f(x) dx = F (x) + const, (9.1)

Rozdził 9 Cłk W tym rozdzile zjmujemy się cłkowniem. Jest to, obok różniczkowni i znjdowni wszelkich grnic, jedn z njwżniejszych opercji w cłej nlizie mtemtycznej. Mówiąc niezbyt precyzyjnie, cłkownie jest opercją odwrotną do różniczkowni. Dltego wiele reguł i twierdzeń, opisujących włsności różniczkowni, możn ntychmist, bez żdnego trudu, przełożyć n odpowiednie włsności cłkowni. Jednk, o ile różniczkownie funkcji elementrnych jest zjęciem mechnicznym wystrczy nuczyć się pewnej liczby wzorów i uwznie je stosowć), o tyle cłkownie funkcji elementrnych wymg większej biegłości i wiąże się czsem) z różnymi utrudnienimi, o których jeszcze wspomnimy. Zobczymy, że oblicznie cłki oznczonej) poleg w istocie n uśredniniu wrtości funkcji n pewnym przedzile). Tki jest podstwowy sens opercji cłkowni. Dzięku temu cłkownie przydje się m.in. w geometrii, do obliczni długości krzywych orz pól i objętości różnych figur i brył, tkże wszędzie tm np. w fizyce i mtemtycznych metodch finnsów i ekonomii gdzie trzeb znleźć średnią wrtość jkiejś wielkości, któr zmieni się np. wrz z biegiem czsu. 9. Cłk nieoznczon Definicj 9.. Niech f : P R, gdzie P R jest dowolnym przedziłem. Cłką nieoznczoną funkcji f nzywmy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f. Przypomnijmy, że F jest funkcją pierwotną f n P, gdy F = f n P. Wiemy już, że kżd funkcj ciągł f : P R m funkcję pierwotną ptrz Twierdzenie 7.34) i że dowolne dwie funkcje pierwotne F, F : P R tej smej funkcji f różnią się o stłą ptrz Stwierdzenie 7.33). Używ się zwykle zpisu fx) dx = F x) + const, 9.) gdzie F jest dowolnie wybrną funkcją pierwotną f n dnym przedzile. Uwg 9.. Jeśli nturlną dziedziną f nie jest przedził, tylko sum dwóch lub więcej rozłącznych przedziłów, to wtedy różnic dwóch funkcji pierwotnych f nie musi być stł. 86

c MIM UW, / 87 Niech np. fx) = / sin x dl x U = R \ {kπ : k Z}. Wiemy, że F x) = ctg x jest n zbiorze U funkcją pierwotną f, bo ctg x) = / sin x. Niech F x) = ctg x + k dl x kπ, k + )π ), k Z. N kżdym z przedziłów kπ, k + )π ) przesuwmy wykres cotngens o inną stłą). Wtedy tkże F x) = / sin x, le F F nie jest funkcją stłą n dziedzinie cotngens, tylko funkcją stłą n kżdym przedzile zwrtym w dziedzinie cotngens. O tkich funkcjch mówi się czsem, że są loklnie stłe. Wrto ztem interpretowć literę C we wzorze 9.) jko funkcję loklnie stłą. Jeśli dziedzin f jest przedziłem, chodzi po prostu o stłą. Przykłd 9.3. Dzięki wzorom n pochodne wybrnych funkcji elementrnych otrzymujemy ntychmist długą listę wzorów n cłki nieoznczone: x dx = x+ + C, ; 9.) + dx = ln x + C, 9.3) x e x dx = e x + C, 9.4) sin x dx = cos x + C, 9.5) cos x dx = sin x + C, 9.6) dx cos = tg x + C, 9.7) x dx = rc sin x + C, 9.8) x dx + x = rc tg x + C. 9.9) Wzór 9.) wolno stosowć n kżdym przedzile, n którym możn określić funkcję x w szczególności, dl wymiernych = p/q, gdzie p Z i q N, q = k + dl pewnego k N, wzór ten m sens n cłej prostej. Posługując się wzormi 9.3) i 9.7), nleży pmiętć, że liter C może oznczć inną stłą n kżdym z przedziłów, których sum stnowi dziedzinę cłkownej funkcji. Mmy tu do czynieni z tym smym zjwiskiem, o którym był mow w Uwdze 9.. Powyższ list wzorów nie jest kompletn. Nie m n niej np. wzoru n cłkę z tngens czy z logrytmu nturlnego, bo tg i ln nie znlzły się wśród wyników wzorów n pochodne w podrozdzile 6.. Aby obliczyć tkie cłki, trzeb nuczyć się kilku dodtkowych reguł. Wspomnijmy jednk, że byw i tk, że cłki z funkcji elementrnej nie możn wyrzić przez funkcje elementrne choć widomo z Twierdzeni 7.34). Njwżniejszy przykłd tkiej sytucji to exp x ) dx, któr nie wyrż się przez funkcje elementrne, tzn. przez skończoną liczbę opercji lgebricznych i skłdni n wielominch, funkcji wykłdniczej, funkcjch trygonometrycznych i funkcjch odwrotnych do nich.

88 wersj robocz z dni: czerwc 9.. Włsności cłek nieoznczonych Stwierdzenie 9.4 liniowość cłki). Jeśli f, g : P R są ciągłe, zś, b R, to fx) ) + bgx) dx = fx) dx + b gx) dx. Dzięki powyższemu wzorowi możn obliczć np. cłki wszystkich wielominów.) Dowód. Stosujemy wzór n pochodną sumy: jeśli F = f i G = g, to dl wszystkich stłych, b R jest F + bg) = f + bg. Stwierdzenie 9.5 wzór n cłkownie przez części). Jeśli f, g : P R są różniczkowlne, to fx) g x) dx = fx)gx) f x) gx) dx. Dowód. Cłkujemy obie strony wzoru n pochodną iloczynu, fg) = fg +f g, nstępnie jedną z cłek przerzucmy z prwej strony n lewą. Przykłd 9.6.. Obliczymy ln x dx. Niech g x) =, fx) = ln x, gx) = x uwg w nwisie: funkcj g nie jest określon jednozncznie przez wybór g ; ustlmy g w sposób njwygodniejszy z możliwych) orz f x) = /x. Ztem ln x dx = x ln x x dx = x ln x dx = x ln x x + C. 9.) x. Obliczymy cłki I = sin x dx orz J = cos x dx. Zstosujmy wzór n cłkownie przez części do I. Biorąc fx) = sin x i gx) = cos x, otrzymmy sin x dx = fx) g x) dx = fx)gx) f x) gx) dx = sin x cos x+ cos dx, tzn. I J = sin x cos x = sin x. Ntomist I + J = sin x + cos x) dx = dx = x + C. Dodjąc otrzymne równni stronmi, otrzymujemy I = x sin x + C. Ztem sin x dx = x sin x + C, cos x dx = x sin x + + C. 4 4 Zmieniliśmy oznczenie stłej, le to przecież nm wolno.) Inne zstosowni wzoru n cłkownie przez części będziemy widywć regulrnie. Stwierdzenie 9.7 wzór n cłkownie przez podstwienie). Niech f, g będą ciągłe i niech F będzie funkcją pierwotną f. Wtedy fgx))g x) dx = F gx)) + C.

c MIM UW, / 89 Uwg 9.8. Dl pełnej precyzji, nleżłoby zkłdć, że g, g są ciągłe n pewnym przedzile I, zś f = F i F są ciągłe n przedzile J = gi). Dowód. Stosujemy wzór n pochodną złożeni: F g) = F g) g = f g) g. Przykłd 9.9. Niech fy) = /y, gx) = cos x orz F y) = ln y. Otrzymujemy tg x dx = sin x cos x dx = fgx))g x) dx = F gx)) + C = ln cos x + C. Łtwo sprwdzić, że tką smą metodą otrzymmy nieco ogólniejszy wzór f x) dx = ln fx) + C. 9.) fx) Dl dowodu, możn też po prostu zróżniczkowć obie strony). Znim omówimy kolejne przykłdy zstosowń wzoru n cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie, wspomnimy o trdycyjnych obyczjch, związnych z roboczym zpisem rchunków tkich, jk w osttnim przykłdzie. Uwg 9. trdycyjny sposób mnewrowni symbolmi dx, dy). Nie wyjśniliśmy dotąd znczeni symbolu dx. Smo oznczenie pochodzi jeszcze z czsów Newton i Leibniz i wiąże się z geometryczną interpretcją cłek oznczonych, którą poznmy niedługo. Jeśli y = gx), gdzie g : I gi) R jest różniczkowln n przedzile I, to będziemy pisć dy = g x) dx. Zuwżmy, że jeśli funkcj g jest różnowrtościow, jej pochodn g nie znik, to wtedy x = g y) i zgodnie z przyjętą przed chwilą konwencją dx = g y) ) Stw. 6.4 dy = g x) dy dzięki wzorowi n pochodną funkcji odwrotnej. Jest więc tk, jkby wzór dy = g x) dx możn było przeksztłcć tk, jk równość dotyczącą liczb rzeczywistych. Wzór n cłkownie przez podstwienie zpisuje się czsem f ) gx) g x) dx = }{{}}{{} =y =dy fy) dy = F y) + C = F gx)) + C. Tki zpis być może lepiej wyjśni nzwę cłkownie przez podstwienie. Przykłd 9.. Aby obliczyć cłkę x exp x ) dx podstwimy y = x, dy = x dx i rchujemy: x exp x ) dx = exp y) dy = exp y) + C = exp x ) + C.

9 wersj robocz z dni: czerwc 9.. Cłkownie funkcji wymiernych Funkcją wymierną nzywmy kżdą funkcję W x) = P x)/qx), gdzie P i Q są wielominmi. Będziemy zkłdć, że P i Q mją współczynniki rzeczywiste, orz mówić, że W jest funkcją wymierną zmiennej rzeczywistej. Z dziedzinę W uznjemy przy złożeniu, że ilorzu P/Q nie możn skrócić przez żden czynnik liniowy x ), gdzie R zbiór R z usuniętymi pierwistkmi wielominu Q. Njwygodniej jest od rzu zkłdć, że wielominy P i Q są względnie pierwsze, tzn. nie mją żdnego wspólnego dzielnik D, który byłby wielominem dodtniego stopni. Okzuje się, że cłkę z kżdej funkcji wymiernej W możn wyrzić prez funkcje elementrne, rozkłdjąc W n sumę odpowiednich skłdników. Definicj 9. ułmki proste pierwszego rodzju). Kżdą funkcję wymierną A x ) k, gdzie, A R i k N, nzywmy ułmkiem prostym pierwszego rodzju. Definicj 9.3 ułmki proste drugiego rodzju). Kżdą funkcję wymierną Cx + D x + cx + d) k, gdzie c, d, C, D R, c 4d < i k N, nzywmy ułmkiem prostym drugiego rodzju. Algorytm cłkowni funkcji wymiernych oprty jest n nstępującym twierdzeniu. Twierdzenie 9.4 rozkłd funkcji wymiernej n ułmki proste). Kżd funkcj wymiern W x) = P x)/qx) jest sumą pewnego wielominu i skończonej liczby ułmków prostych pierwszego i drugiego rodzju. Minowniki tych ułmków prostych są dzielnikmi wielominu Q. Uwg 9.5. Rozkłd funkcji wymiernej n ułmki proste jest jednoznczny z dokłdnością do kolejności skłdników), jeśli złożyć, że skłdnik o dnym minowniku może występowć tylko jeden rz. Twierdzenie o rozkłdzie n ułmki proste nleży brdziej do lgebry, niż do nlizy. Dltego nie będziemy przedstwić jego kompletnego, szczegółowego dowodu. Szkic dowodu Twierdzeni 9.4. Krok. Wykonując dzielenie P przez Q z resztą, możn zpisć W = P + P /Q), gdzie P i P są wielominmi i stopień P jest mniejszy, niż stopień Q. Wystrczy ztem rozptrzeć przypdek W = P/Q, gdzie deg P < deg Q. Njwżniejszym nrzędziem jest prosty fkt z lgebry, który sformułujemy tu jko zdnie. Zdnie 9.6. Jeśli wielominy Q, Q są względnie pierwsze, to istnieją wielominy V, V o współczynnikch z R tkie, że V x)q x) + V x)q x) = dl kżdego x R. Wskzówk. Niech W ozncz zbiór wszystkich wielominów V x)q x) + V x)q x) dl różnych V, V ). Sprwdzić, że Q, Q W. Oznczyć przez D tki wielomin w zbiorze W, który m njmniejszy stopień i współczynnik przy njstrszej potędze x. Posługując się twierdzeniem Bezout, wykzć, że D dzieli Q i Q. Wywnioskowć, że D. W kżdym niepustym podzbiorze N istnieje element njmniejszy.

c MIM UW, / 9 Dlszy ciąg dowodu Twierdzeni 9.4 jest nstępujący: jeśli Q = Q Q, gdzie Q i są względnie pierwsze, to dobiermy V, V, o których mówi powyższe zdnie, i piszemy P Q = P Q = P V Q + V Q ) = P V + P V. Q Q Q Q Nstępnie powtrzmy krok dl kżdego z tych ułmków. Cły zbieg kontynuujemy dopóty, dopóki minowniki możn rozkłdć n czynniki, które są względnie pierwsze. Ptrz Wniosek A.3). Po skończonej liczbie kroków dojdziemy do przedstwieni M M L,j x) W x) = P N x) + x j ) k + L,j x) j x + c j x + d j ) n j j= j= 9.) gdzie deg L,j < k j i deg L,j < n j. Dzieląc liczniki L,j przez x j ), L,j przez x +c j x+d j ), możn po skończonej liczbie kroków, ewentulnie zwiększjąc liczbę skłdników po prwej stronie 9.), dojść do sytucji, gdy wszystkie liczniki L,j są stłymi, wszystkie liczniki L,j wielominmi liniowymi. Aby scłkowć funkcję wymierną, wystrczy rozłożyć ją n ułmki proste i scłkowć kżdy z nich. Poptrzmy n konkretne przykłdy. Przykłd 9.7. Obliczymy cłkę I = x 6 x )x + ) dx. Dzieląc licznik x 6 przez x )x + ) = x )x + ) = x 3 + x x, otrzymujemy wynik x 3 x + x i resztę 3x. Dltego I = x 3 x 3x + x ) dx + x )x + ) dx = x4 4 x3 3 + 3x ) + x x + x )x + ) dx = x4 4 x3 3 + x x + 3 dx x + + = x4 4 x3 3 + x x + 3 ln x + + dx x )x + ) dx x )x + ) } {{ } = ozn.) J Pozostje obliczyć cłkę J. Znjdziemy w tym celu stłe, b, c R tkie, że x + b x + + c x + ) = x )x + ). Ogólnie, jeśli x ) k dzieli minownik funkcji wymiernej, to przewidujemy, że w rozkłdzie n ułmki proste znjdą się A j /x ) j dl wszystkich j =,,..., k). Sprowdzjąc skłdniki lewej strony do wspólnego minownik x )x + ), dodjąc ułmki i Jeśli Lx) = Kx)x ) + R, gdzie deg K < deg L, to Lx)/x ) k = R/x ) k + Kx)/x ) k. Potem dzielimy Kx) przez x itd. Podobnie robimy ze skłdnikmi drugiej sumy w 9.)..

9 wersj robocz z dni: czerwc przyrównując otrzymny licznik do licznik prwej strony, otrzymujemy z porównni współczynników przy x, x i x = ukłd równń: + b =, + c =, b c =. Stąd = b pierwsze równnie) i 3 b = sum drugiego i trzeciego równni), tzn. = 4, b = 4, c = =. Ztem J = dx 4 x dx 4 x + dx 9.), 9.3) x x + ) = ln 4 x + + x + + C. Osttecznie więc I = x4 4 x3 3 + x x + 3 ln x + + J = x4 4 x3 3 + x x + 4 ln x + + 4 ln x + x + + C. Przykłd 9.8. Znjdziemy cłkę nieoznczoną funkcji / + x 4 ). Rozłóżmy minownik n czynniki. Otóż, x 4 + = x + ) x = x x + )x + x + ). Czytelnik może tkże rozwiązć równnie x 4 + w C i pogrupowć w pry liczb sprzężonych jego pierwistki, żeby wyznczyć ten rozkłd nieco inną metodą). Spodziewmy się ztem, że + x 4 = Ax + B x x + + Cx + D x + x +. Jk w poprzednim przykłdzie, dodjąc ułmki i porównując współczynniki liczników obu stron przy x k dl k = 3,,,, otrzymujemy ukłd równń A + C =, B + D + A C) =, A + C + B D) =, B + D =. Z pierwszego i trzeciego równni otrzymujemy B D =, więc dzięki czwrtemu równniu jest B = D =. Dlej, A = C i z równni drugiego + C) =, więc C = = A. Ztem + x 4 = x + x x + + x + x + x +. 9.3) Scłkujemy drugi ułmek. Sprowdzjąc trójmin w minowniku do postci knonicznej, nstępnie zpisując licznik jko kombincję pochodnej minownik i stłej, otrzymujemy x + x + x + dx = x + x + ) dx + x + ) + = x + ) dx + = 4 4 ln x + ) + ) + 4 dx x + ) + }{{} =J.

c MIM UW, / 93 Osttnią cłkę łtwo obliczmy przez podstwienie, pisząc dx J = )) = dt t + = rc tg t + C = rc tg x + ) + C. x + + }{{ } =t Dodjąc otrzymne wyrżeni, otrzymujemy x + x + x + dx = 4 lnx + x + ) + 4 rc tg x + ) + C. Drugi z ułmków w 9.3) możn lbo scłkowć tk smo, lbo lepiej!) zuwżjąc, że podstwienie x = y, dx = dy pozwoli skorzystć z już wykonnych rchunków: x + x x + dx = y + y + y + dy = 4 lny + y + ) = 4 lnx x + ) 4 rc tg y + ) + C 4 rc tg x + ) + C. Dodjąc cłki z obu ułmków prostych i korzystjąc z nieprzystości rcus tngens, otrzymujemy wynik dx + x 4 = 4 ln x + x + x x + + rc tg x + ) + rc tg x ) ) + C. 9.4) 4 Oto drugi, nieco inny sposób obliczeni tej smej cłki. Mmy Zjmijmy się drugim skłdnikiem. Jest + x 4 = x + x 4 + + x + x 4. + x + x 4 = x + x + x = x x ) x x ) +. Dltego, stosując podstwienie y = x x, dy = x x ) dx, otrzymujemy + x + x 4 dx = dy y + =: J. Terz, podstwijąc y = t, znjdujemy dt J = t + = rc tg t + C = rc tg y + C, co, po powrocie do zmiennej x, dje wynik + x x + x 4 dx = rc tg ) x + C.

94 wersj robocz z dni: czerwc Podobnie możn obliczyć cłkę funkcji x )/ + x 4 ). Tym rzem wrto skorzystć z podstwieni y = x + x, dy = x ) dx. Stosując je, dostniemy x + x 4 dx = dy y = ln y + y + C = ln x + x + x x + + C. Środkową równość otrzymujemy, rozkłdjąc /y ) n sumę ułmków prostych o minownikch y ± ). Dodjąc ob wyniki, otrzymmy tym rzem dx + x 4 = ln x + x + x x x + + rc tg ) x + C. 9.5) N pierwszy rzut ok, ten wzór różni się od 9.4). Formlnie biorąc, prw stron nie jest określon dl x =, choć wyjściow funkcj był ciągł n R, więc powinn mieć n cłej prostej funkcję pierwotną. Zdnie 9.9. Udowodnić tożsmość rc tg t + rc tg s = rc tg ) t + s, t, s R, t s. ts Sprwdzić, że wzory 9.4) i 9.5) dją w istocie ten sm wynik. Jk nleży intepretowć wzór 9.5) w punkcie x =? Pokżemy jeszcze, jk oblicz się cłki z ułmków prostych drugiego rodzju, których minownik jest k-tą potęgą trójminu kwdrtowego dl jkiegoś k >. Możn to zrobić rekurencyjnie, w nstępujący sposób. Po pierwsze, cłkując przez podstwienie y = + x ) otrzymujemy J k = x dx + x ) k = dy y k = k) y k + C = k) Jest Ax + B ) + x k = A J k + BI k, gdzie I k = + x ) k + C. 9.6) dx + x ) k. Pozostje zobczyć, jk się oblicz I k. Piszemy, cłkując przy przejściu do drugiej linijki przez części, z wykorzystniem wzoru 9.6), + x x I k = ) + x k dx = I k dx x }{{} =f x = I k k) ) + + x k }{{} = =f g + ) I k k x k) x + x ) k }{{} =g k) ) + x k dx + x ) k. Po skończonej liczbie tkich kroków dojdziemy do cłki I, tzn. do cłki z pochodnej rcus tngens. Cłkownie ułmków prostych drugiego rodzju z minownikiem innym,

c MIM UW, / 95 niż x +, możn sprowdzić do powyższego, zpisując trójmin z minownik w postci knonicznej i dokonując liniowych zmin zmiennych. Włśnie tk postępowliśmy, cłkując wzór 9.3). Uwg 9.. Jk widzieliśmy, nie zwsze wrto rozkłdć funkcję wymierną n ułmki proste. Czsem cłkownie przez podstwienie szybciej prowdzi do wyniku. Oto jeszcze jeden przykłd tkiej sytucji: I = 6x 5 + x 6 dx = Zstosowliśmy podstwienie x 6 = y, 6x 5 dx = dy. dy + y = ln + y + C = ln + x6 ) + C. 9..3 Podstwieni Euler, podstwieni trygonometryczne Szereg cłek możn z pomocą odpowiednich podstwień sprowdzić do cłkowni funkcji wymiernych. Definicj 9.. Wielominem dwóch zmiennych o współczynnikch rzeczywistych nzywmy funkcję P x, y) = ij x i y j, x, y R. i n j m Przyjmujemy umowę x y.) Funkcją wymierną dwóch zmiennych nzywmy funkcję Rx, y) = P x, y)/qx, y), gdzie P i Q są wielominmi dwóch zmiennych. Okzuje się, że jeśli R jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, to obliczenie kżdej z nstępujących cłek: ) Ax + B R x, dx, gdzie AD BC, 9.7) Cx + D R x, ) x + bx + c dx, 9.8) Rcos x, sin x) dx 9.9) możn z pomocą odpowiednich podstwień sprowdzić do cłkowni funkcji wymiernych jednej zmiennej. Cłk 9.7). Wykonujemy podstwienie Ax + B Cx + D = t. 9.) Stąd t Cx + D) = Ax + B), więc różniczkując, otrzymujemy x = Dt B A Ct ; 9.) dx = DtA Ct ) + CtDt B) A Ct ) dt = tad BC) A Ct ) dt. 9.)

96 wersj robocz z dni: czerwc Wstwijąc 9.) 9.) do cłki 9.7), otrzymujemy cłkę z funkcji wymiernej, którą możn obliczyć, stosując lgorytm opisny w poprzednim podrozdzile. Cłk 9.8). Do tej cłki możn zstosowć wiele podstwień. Njpierw opiszemy tk zwne podstwieni Euler. Pierwsze podstwienie Euler. Jeśli >, to podstwimy t ± x = x + bx + c 9.3) możn użyć zrówno plus, jk i minus). Po podniesieniu obu stron równni do kwdrtu zredukuje się skłdnik x i wyznczymy x = t c b t, x + bx + c = t ± t c b t. 9.4) Widć, że zrówno x, jk i pierwistek z trójminu kwdrtowego x + bx + c wyrżją się przez funkcje wymierne zmiennej t; pondto, różniczkując prwą stronę pierwszego z równń 9.4), otrzymujemy dx = t b t ) ± t c) b t ) dt = t + tb c b t ) dt. 9.5) Wstwijąc 9.4) i 9.5), otrzymmy cłkę z funkcji wymiernej jednej zmiennej. Drugie podstwienie Euler. Jeśli c >, to podstwimy tx c = x + bx + c 9.6) Tym rzem po podniesieniu obu stron równni do kwdrtu zredukuje się wyrz wolny c, nstępnie obie strony będzie możn skrócić przez x. Otrzymmy po tkim zbiegu t x t c = x + b, tzn. x = b + t c t. 9.7) Dlej postępujemy tk, jk w poprzednim przypdku: widzimy, że dx = W t) dt, gdzie W jest funkcją wymierną, któr jest pochodną prwej strony drugiego równni 9.7). Czytelnik zechce sm uzupełnić szczegóły. Trzecie podstwienie Euler. Jeśli trójmin x + bx + c m pierwistki rzeczywiste r, s, to x + bx + c = ±x r) x s x r znk zleży od przedziłu). Ztem, jk już widzieliśmy, możn skorzystć z podstwieni t = x s x r. 9.8) Dl porządku dodjmy, że wszystkich szczegółów rchunków 9.3) 9.8), związnych z podstwienimi Euler, nie wrto pmiętć. Dobrze jest wiedzieć, n jkiej sztuczce oprte jest dziłnie kżdego z tych podstwień, tzn. znć wzory 9.3), 9.6) i 9.8) i rozumieć, że kżdy z nich pozwl wyznczyć x jko pewną funkcję wymierną zmiennej

c MIM UW, / 97 t. Resztę rchunków i tk zwykle wykonuje się w rzie potrzeby dl konkretnych dnych liczbowych. Cłk 9.8), inn metod. Zpisując trójmin kwdrtowy pod pierwistkiem w postci knonicznej i używjąc liniowych zmin zmiennych y = αx + β, możn sprowdzić cłkę 9.8) do postci ) R y,... dy gdzie R jest funkcją wymierną, drugim rgumentem jest w zleżności od, b i c) jeden z pierwistków: ) + y, ) y, lub wreszcie 3) y. Możn wtedy użyć funkcji trygonometrycznych, tkże tzw. funkcji hiperbolicznych, zdefiniownych nstępująco: Jk łtwo sprwdzić, cosh x = cosix) = ex + e x, 9.9) sinh x = i sinix) = ex e x. 9.3) cosh x sinh x = dl wszystkich x R. 9.3) Dzięki tej tożsmości, dl y = sinh w jest + y = cosh w. Zchodzą też wzory n pochodne cosh w) = sinh w, sinh w) = cosh w, z których otrzymujemy dy = cosh w dw. Ztem I = R ) y, + y dy = R sinh w, cosh w) cosh w dw = R e w ) dw, gdzie R jest pewną funkcją wymierną jednej zmiennej. Podstwijąc terz z = e w, otrzymujemy dz = e w dw = z dw, co dje wynik I = R z) dz z. Terz możn np. zstosowć widomy lgorytm cłkowni funkcji wymiernych. Zdnie 9.. Podstwijąc y = tg ϕ, sprowdzić R y, + y ) dy do cłki typu 9.9). Aby pozbyć się pierwistk y, stosujemy podstwienie y = cosh w. Reszt rchunków jest podobn; Czytelnik może wypisć je smodzielnie. Możn tkże użyć podstwieni y = / cos ϕ, które sprowdzi cłkę R y, y ) dy do postci 9.9). W osttnim z trzech przypdków, gdy mmy do czynieni z pierwistkiem y, możn stosowć podstwienie y = sin ϕ. Pokżemy jego dziłnie n przykłdzie. Przykłd 9.3. Obliczymy cłkę x dx.

98 wersj robocz z dni: czerwc Dl wygody ustlmy, że funkcję podcłkową rozptrujemy n przedzile [, ]. Niech x = sin θ, gdzie θ [, π/]. Wtedy dx = cos θ dθ i x = cos θ. Ztem, ze wzoru n cłkownie przez podstwienie i tożsmości cos θ = cos θ, + cos θ x dx = cos θ dθ = dθ = θ rc sin x sin rc sin x) = + + C 4 = rc sin x + x ) x + C. + sin θ 4 Wyznczjąc cos θ dθ, możn też użyć Przykłdu 9.6, tzn. cłkowć przez części). Czytelnik może spróbowć zstosowć do obliczeni tej cłki trzecie lub drugie podstwienie Euler. Ob prowdzą do zncznie gorszych rchunków i wyniku zpisnego w innej postci. Cłk 9.9) i uniwerslne podstwienie trygonometryczne. Cłkę z funkcji wymiernej dwóch zmiennych cos x i sin x możn zwsze sprowdzić do cłki z funkcji wymiernej jednej zmiennej t, podstwijąc t = tgx/). Zuwżmy, że wtedy pondto cos x = cos x sin x cos x + sin x dt = = t + t, sin x = cos x sin x cos x + sin x + tg x ) dx = + t dx, + C = t + t, tzn. dx = +t ) dt. Podstwijąc te zleżności do cłki 9.9), rzeczywiście otrzymmy cłkę z funkcji wymiernej jednej zmiennej. Więcej przykłdów możn znleźć w drugim tomie książki Fichtenholz. N tym zkończymy przegląd metod obliczni cłek nieoznczonych. Więcej przykłdów Czytelnik zobczy z pewnością n ćwiczenich. 9. Cłk Newton Definicj 9.4. Niech f : [, b] R będzie funkcją ciągłą. Cłką oznczoną funkcji f n przedzile [, b] nzywmy liczbę b gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f. fx) dx = F b) F ), 9.3) Uwg 9.5. Definicj jest poprwn, tzn. nie zleży od wyboru funkcji F pierwotnej dl f: jeśli F jest inną funkcją pierwotną f, to F = F + const Stwierdzenie 7.33) i dltego F b) F ) = F b) F ). Zgodnie z rozpowszechnioną konwencją, wzór 9.3) będziemy uznwć z definicję cłki oznczonej tkże w przypdku b <.

c MIM UW, / 99 Ze znnych już włsności cłek nieoznczonych ntychmist otrzymujemy nstępujące stwierdzeni. Łtwe dowody por. podrozdził 9..) pominiemy. Stwierdzenie 9.6 liniowość cłki oznczonej). Jeśli f, g : [, b] R są ciągłe, zś α, β R, to b ) b b αfx) + βgx) dx = α fx) dx + β gx) dx. Stwierdzenie 9.7 wzór n cłkownie przez części dl cłek oznczonych). Jeśli f, g : [, b] R są klsy C, to b fx) g x) dx = fb)gb) f)g) b f x) gx) dx. Oznczeni. Stosując ten wzór i definicję cłki oznczonej, będziemy czsem pisć F b = F b) F ), fg b = fb)gb) f)g). Stwierdzenie 9.8 wzór n cłkownie przez podstwienie dl cłek oznczonych). Niech g : [, b] [g), gb)] będzie funkcją klsy C i niech f będzie ciągł n przedzile [g), gb)]. Wówczs b fgx))g x) dx = gb) g) gdzie F ozncz dowolną funkcję pierwotną f. ft) dt = F gb)) F g)), Cłk oznczon jest szczególnie wżn z uwgi n swoją interpretcję geometryczną. Znim o niej powiemy, udowodnimy ściśle kilk kolejnych prostych włsności cłki. Stwierdzenie 9.9 ddytywność cłki jko funkcji przedziłu). Złóżmy, że f jest ciągł n przedzile I R i niech, b, c I. Wtedy b b fx) dx + fx) dx = c b b fx) dx = fx) dx, 9.33) c fx) dx. 9.34) Dowód. Niech F będzie funkcją pierwotną f n I. Wzór 9.34) wynik z równości F b) F ) + F c) F b) = F c) F ), ntomist 9.33) to kwesti interpretcji definicji cłki oznczonej. Stwierdzenie 9.3 monotoniczność cłki). Jeśli f, g : [, b] R są ciągłe i f g n [, b], to b fx) dx b gx) dx. Jeśli dodtkowo f > g n, b), to b fx) dx > b gx) dx.

wersj robocz z dni: czerwc Dowód. Niech Ψ będzie funkcją pierwotną f g n [, b]. Poniewż Ψ = f g, więc Ψ jest niemlejąc. Dltego Ψb) Ψ) = b ) b fx) gx) dx = fx) dx b gx) dx. Jeśli dodtkowo f > g n, b), to z twierdzeni Lgrnge o wrtości średniej wnioskujemy, że Ψ jest ściśle) rosnąc n [, b]; dltego w tym przypdku nierówność między cłkmi jest ostr. Wniosek 9.3. Niech f : [, b] R będzie ciągł. Wówczs b ) inf [,b] f b pondto, dl pewnego punktu ξ, b), jest fξ) = b fx) dx b ) sup f, 9.35) [,b] b fx) dx. Dowód. Nierówności 9.35) otrzymujemy, stosując dwukrotnie poprzednie twierdzenie do f i funkcji stłych g = inf f f orz g = sup f f. Trzeb tylko zuwżyć, że dl dowolnej stłej m R jest b m dx = mx b = mb ). Drugą część wniosku otrzymujemy, zuwżjąc, że b b fx) dx = F b) F ) b gdzie F jest funkcją pierwotną f. Z twierdzeni Lgrnge o wrtości średniej wynik, że prw stron jest równ fξ) dl pewnego ξ, b). Wniosek 9.3. Niech f : [, b] R będzie ciągł. Wówczs b b fx) dx fx) dx. 9.36) Dowód. Poniewż f f, więc b fx) dx b fx) dx Stwierdzenie 9.3). Podobnie, Stąd już wynik tez. b fx) dx = b fx)) dx b fx) dx. Twierdzenie 9.33 przybliżnie cłki summi cłkowymi). Niech f : [, b] R będzie ciągł i niech ε >. Istnieje tk liczb δ >, że jeśli = x < x < x <... < x n = b, x i x i < δ dl wszystkich i =,,..., n, orz t i [x i, x i ] dl i =,,..., n, to b fx) dx ft i )x i x i ) < ε. 9.37) i=

c MIM UW, / Dowód. Ze wzoru 9.34) przez indukcję otrzymujemy Ztem, z nierówności trójkąt, b fx) dx b fx) dx = ft i )x i x i ) = i= i= i= xi x i fx) dx. xi fx) dx ft i )x i x i ) i= x i i= xi fx) dx ft i )x i x i ) =. x i Aby oszcowć, skorzystjmy z jednostjnej ciągłości f n [, b] i wybierzmy liczbę δ > tk, by fs) ft) < η = ε/b ), gdy s t < δ. Z Wniosku 9.3 wynik, że xi x i fx) dx = fξ i )x i x i ) dl pewnego ξ x i, x i ). Poniewż przedził [x i, x i ] jest krótszy, niż δ, więc dl dowolnego t i [x i, x i ] mmy xi ft i)x i x i ) fx) dx = ft i) fξ i ) x i x i ) < η x i x i ). x i Przeto = xi fx) dx ft i )x i x i ) < η x i x i ) = ηb ) = ε. x i i= i= Uzyskn nierówność kończy cły dowód. Interpretcj geometryczn cłki jko pol W udowodnionym twierdzeniu kryje się istot geometrycznej interpretcji cłki oznczonej jko pol pod wykresem funkcji. Przypuśćmy, że f jest ciągł i dodtni n [, b]. Sum fti )x i x i ) to sum pól prostokątów, które mją wysokości równe ft i ) i odcinki [x i, x i ] z podstwy. Gdy podził odcink [, b] punktmi x i jest odpowiednio drobny, to intuicj podpowid, że sum pól tkich prostokątów powinn z dobrym przybliżeniem dwć pole pod wykresem f, tzn. pole figury, ogrniczonej osią x-ów, prostymi x = i x = b orz wykresem funkcji ptrz rysunek). Njpowżniejszy kłopot z pełnym uściśleniem tej intuicji jest nstępujący: nie dysponujemy ścisłą definicją pol figury. Jednk w świetle powyższych wyjśnień możn zdefiniowć pole pod wykresem funkcji ciągłej, dodtniej) jko cłkę z tej funkcji po odpowiednim przedzile. Możn też postąpić odwrotnie i zdefiniowć cłkę oznczoną jko grnicę odpowiednich sum cłkowych ft i )x i x i ), otrzymnych dl corz drobniejszych podziłów odcink [, b] punktmi x i. W tki sposób określ się tzw. cłkę Riemnn. Dl funkcji ciągłych pokryw się on z cłką Newton, le nd nią pewną przewgę. Dl cłki Riemnn obszerniejsz jest kls funkcji cłkowlnych; możn wygodnie cłkowć tkże i

wersj robocz z dni: czerwc Sum n i= fti)xi xi ) to sum pól prostokątów. Dl dużych n, gdy podstwy wszystkich prostokątów są młe, wrtość tej sumy jest dobrym przybliżeniem cłki b fx) dx, tzn. pol zcieniownego obszru. niektóre) tkie funkcje, które nie mją funkcji pierwotnej, np. funkcje schodkowe. 3 Powiemy o tym więcej w podrozdzile 9.3. Przykłd 9.34 pole koł). Posłużymy się geometryczną interpretcją cłki i obliczymy pole P koł jednostkowego. Ćwirtk tego koł stnowi obszr pod wykresem funkcji y = x n przedzile [, ]. Ztem P = 4 x dx = 4 rc sin x + x ) x = rc sin rc sin ) = π. Posłużyliśmy się wzorem n cłkę nieoznczoną funkcji y = x, znlezionym wcześniej, w Przykłdzie 9.3). Zpiszmy jeszcze wniosek, który łtwo wynik z Twierdzeni 9.33. Wniosek 9.35. Niech f : [, b] R będzie funkcją ciągłą. Wówczs b lim f + k b ) b = fx) dx. n n n k= Dowód. Punkty x k = + k b n, gdzie k =,,..., n, dzielą [, b] n n równych części. Wystrczy skorzystć z definicji grnicy ciągu i zstosowć Twierdzenie 9.33 włśnie dl tych konkretnych x k, przyjmując pondto t k = x k. 3 Funkcj schodkow, tzn. funkcj przedziłmi stł, nie m oczywiście włsności Drboux chyb, że w ogóle jest stł), więc nie jest pochodną żdnej funkcji.

c MIM UW, / 3 Przykłd 9.36. Korzystjąc z osttniego wniosku, możn czsem) obliczć grnice ciągów, których n-ty wyrz jest sumą n skłdników s k = fk/n), gdzie k n.. Niech c n = n + + n + + + n + n. Nietrudno zuwżyć, że c n jest ogrniczony z góry przez, z dołu przez ) i rosnący, więc jest zbieżny. Możemy zpisć c n = n + n + + n gdzie fx) = / + x). N mocy Wniosku 9.35,. Niech lim c dx n = n + x d n = n n + + + + ) + n = n n = ln + x) n n + + + k= = ln. n n + n. k f, n) Tym rzem, skrcjąc liczniki i minowniki przez n, otrzymujemy d n = + + + ) = n + + + n n n n n gdzie fx) = / + x ). N mocy Wniosku 9.35, lim d dx n = = rc tg x n + x 9.. Cłk Newton zbieżność jednostjn = π 4. k= k f, n) Poniższe twierdzenie m zrówno znczenie teoretyczne, jk i prktyczne pozwl przybliżć cłki oznczone z dowolnych funkcji ciągłych np. cłkmi oznczonymi z wielominów, lbo z funkcji kwłkmi liniowych). Twierdzenie 9.37 o przejściu do grnicy pod znkiem cłki). Złóżmy, że funkcje f n : [, b] R są ciągłe i f n f n przedzile [, b]. Wtedy b lim n f n x) dx = b fx) dx. Dowód pierwszy. Dl n =,,... wybierzmy funkcje pierwotne F n, F funkcji f n, f tk, by F n ) = F ) = dl kżdego n. Poniewż ciąg pochodnych f n ) = F n) jest zbieżny jednostjnie n [, b], ciąg funkcji F n jest zbieżny w jednym punkcie x =, więc n mocy Twierdzeni 7.9 o różniczkowniu ciągów funkcyjnych ciąg F n jest zbieżny

4 wersj robocz z dni: czerwc jednostjnie n [, b] do funkcji G, której pochodn jest równ f. Musi też być G) = F n ) = = F ), stąd G F. Dltego F n b) F b) dl n, więc b fx) dx = F b) F ) = F b) = lim F nb) = lim Fn b) F n ) ) = lim n n n b f n x) dx. Dowód drugi. Ustlmy ε >. Dobierzmy n N tk, by f n x) fx) < ε/b ) dl wszystkich n > n i x [, b]. Oznczmy I n = b f n x) dx, I = b fx) dx. N mocy Wniosków 9.3 i 9.3, dl n > n jest b I n I = fn x) fx) ) 9.36) b dx f n x) fx) dx ε b ) sup f n f < b ) [,b] b = ε. Ztem, wprost z definicji grnicy ciągu, lim I n = I. Definicj 9.38. Powiemy, że g : [, b] R jest kwłkmi liniow, jeśli g jest ciągł n [, b] i przedził [, b] jest sumą skończenie wielu przedziłów [x i, x i ], n których gx) = α i x + β i dl pewnych α i, β i. Zdnie 9.39. Wykzć, że kżd funkcj ciągł f : [, b] R jest grnicą jednostjnie zbieżnego n [, b] ciągu funkcji kwłkmi liniowych. 9.. Wzór Wllis i wzór Stirling W 655 roku ngielski mtemtyk John Wllis, profesor Uniwersytetu w Oksfordzie 4 udowodnił znny wzór n liczbę π. Twierdzenie 9.4 wzór Wllis). Niech A n = ) 4... n, n =,,.... n 3... n ) Wówczs lim n A n = π. Dowód. Oznczmy I k = π/ sin x) k dx. Cłki I k możn obliczyć, cłkując przez części. Wykżemy, że zchodzi wzór rekurencyjny I k = k k I k dl k, I = π, I =. 9.38) 4 Wllis żył w ltch 66 73. Ciekwostk: podczs wojny domowej w Anglii prcowł tkże jko kryptogrf.

c MIM UW, / 5 Równości I = π/ orz I = są oczywiste. Dl k jest, n mocy wzoru n cłkownie przez części dl cłek oznczonych, I k = π/ sin x) k cos x) dx π/ = cos xsin x) k + = + k ) π/ = k ) I k I k ), π/ sin x) k cos x dx sin x) k ) cos x dx gdzie w osttnim kroku skorzystliśmy z równości cos x = sin x. Wyznczjąc stąd niewidomą I k, otrzymujemy 9.38). Z rekurencyjnej zleżności 9.38) wnioskujemy, że I = I = π, I 4 = 3 4 π,..., I n )... 3 n = π n... 4, ntomist dl nieprzystych indeksów Ztem I n = π In I n = π n π n )... 4 n )... 5 3 I n )... 4 = n )... 5 3. ) n )... 4 = n )... 5 3 n 4... n 3... n ) Aby zkończyć dowód wzoru Wllis, wystrczy więc wykzć, że ciąg n = I n /I n m grnicę równą. Dl x [, π ] jest sin x [, ]; dltego sin x)k+ sin x) k dl kżdego k N. Ztem ciąg I k jest, n mocy Stwierdzeni 9.3, nierosnący. Dzieląc nierówność przez liczbę dodtnią I n, otrzymujemy n = I n 9.38) = I n I n I n n n In I n n n, gdyż I n I n. Wobec twierdzeni o trzech ciągch, n dl n. Dowód wzoru Wllis jest zkończony. Korzystjąc ze wzoru Wllis, wyprowdzimy wzór Stirling, 5 opisujący tempo wzrostu n!. Jest on przydtny w wielu zstosownich, m.in. w rchunku prwdopodobieństw. Twierdzenie 9.4 wzór Stirling). Istnieje tki ciąg liczb dodtnich ρ n, że n ) n n! = πn ρn, lim e ρ n =. 9.39) n 5 Jmes Stirling żył w ltch 69 77. Wzór Stirling pochodzi z okolic roku 73. Są historycy mtemtyki, którzy utrzymują, że mniej więcej w tym smym czsie niezleżnie wykzł ten wzór inny brytyjski mtemtyk, Abrhm de Moivre. ).

6 wersj robocz z dni: czerwc Pole pod wykresem logrytmu skl n osi pionowej znieksztłcon, dl większej czytelności rysunku) przybliżmy przez sumę pól trpezów o wysokości. Indeks k we wzorze 9.4) spełni k < k + n. Błąd, tzn. sum pól młych piórek, jest ogrniczony przez stłą ln niezleżnie od liczby trpezów. To grube szcownie. Dowód. Krok. Zczniemy od wykzni, że ciąg n = n! n e ) n n 9.4) m skończoną grnicę g >. W tym celu obliczymy dwom sposobmi cłkę oznczoną ln x dx. n Sposób pierwszy. Z definicji, n ln x dx = x ln x x) n n ) n = n ln n n + = ln +. 9.4) e Sposób drugi. Podzielmy obszr pod wykresem ln x dl x [, n] n n ) psów szerokości, prowdząc pionowe proste o równnich x = i, gdzie k =,,..., n. Kżdy z psów skłd się z trpezu 6 o wysokości i o podstwch lnk ) i ln k orz z wąskiego piórk, ogrniczonego łukiem wykresu funkcji i sieczną wykresu ptrz lewy rysunek). Dzięki geometrycznej interpretcji cłki, numerując trpezy od do n, otrzymujemy n ln x dx = sum pól n ) trpezów + sum pól n ) piórek = = n k= k= ln k + lnk + ) n + p k k= k= 6 Pierwszy trpez jest zdegenerowny, tzn. jest trójkątem ln k n ln n + p k = ln n! n + p k, 9.4) n k=

c MIM UW, / 7 gdzie p k ozncz pole k-tego piórk. Porównując prwe strony 9.4) i 9.4), otrzymujemy równość n ) n n n! ln ln = + p k, e n tzn. równowżnie, zgodnie z oznczeniem 9.4), k= n ln n = + p k. 9.43) Zuwżmy terz, że szereg p k jest zbieżny. To wynik z wklęsłości logrytmu. Istotnie, wszystkie piórk możn, dokonując przesunięć równoległych wzdłuż siecznych), umieścić w prostokącie P, ogrniczonym prostymi x =, x =, y = i y = ln jko obszry rozłączne, ptrz prwy rysunek. 7 Poniewż przesunięcie zchowuje pole figury, więc sum pól wszystkich piórek nie przekrcz pol prostokąt P i dltego p k = lim k= n k= k= p k, ln ]. Wobec 9.43), ciąg n m grnicę g = exp + k= p k) >. Krok. Wyrzimy liczbę g w jwny sposób, posługując się wzorem Wllis. Połóżmy b n = n ) / n. Poniewż lim n = g >, więc ciąg b n m grnicę g /g = g. Sprwdzmy, że = n)! n ) n! 4 n. b n = n) = ) nn n n! e n n }{{} = n) Niech c n = 4 n n)!/n!) ; wtedy Mmy Ztem, przez indukcję, więc n n)! en n n n }{{} =/ n b n = c n n + )n + )n!) c n+ = 4n + ) n! ) 4 n b n n. = n + n + c n, c =! 4 =. c n = n n n 3 n..., = ) 4... n. n 3... n ) Ze wzoru Wllis, ptrz Twierdzenie 9.4, otrzymujemy lim n /b n) = π, stąd zś g = lim n b n = lim n n = / π. Osttecznie więc n ) n n π = πn dl n. n! e Kłdąc /ρ n = n π, otrzymujemy wzór Stirling 9.39). 7 Piórko o numerze k, gdzie k =, 3,..., nleży przesunąć równolegle o wektor k +, ln k).

8 wersj robocz z dni: czerwc Skn frgmentu prcy Lmbert źródło: Wikipedi). 9..3 Niewymierność liczby π. Informcje o liczbch przestępnych. W 76 roku niemiecki mtemtyk Johnn Heinrich Lmbert udowodnił niewymierność liczby π. Jego dowód 8 opierł się n rozwinięciu funkcji tngens w ułmek łńcuchowy ptrz rysunek) i rzdko jest dziś przytczny w książkch, bo wykzywnie zbieżności tego rozwinięci do tngens wymg wysiłku, znne są prostsze dowody. Opiszemy tu jeden z nich. Zczniemy od nietrudnego, pomocniczego lemtu. Lemt 9.4. Niech wx) = n! xn x) n dl x [, ]. Wówczs. < wx) 4 n /n! < /n! dl kżdego x, );. wx) = n n! k=n c kx k, gdzie wszystkie współczynniki c k są cłkowite; 3. Liczby w k) ) i w k) ) są cłkowite dl kżdego k =,,...; pondto, w k) ) = w k) ) = dl wszystkich k < n i k > n. Dowód. Dl x, ) jest < x x) /4. Podnosząc tę nierówność do n-tej potęgi i dzieląc przez n!, otrzymujemy pierwszy punkt tezy. Drugi punkt tezy wynik ntychmist z równości ) n n!wx) = x n x) n = x n ) l x l l współczynniki dwuminowe Newton są cłkowite). Aby wykzć trzecią włsność wielominu w, zuwżmy, że wx) = w x) i dltego w k) x) = ) k w k) x), tzn. w k) ) = ±w k) ). Wystrczy więc zbdć liczby w k) ). Z drugiego punktu tezy wynik, że w k) ) = dl k < n i k > n dl k > n funkcj w k), gdyż w jest wielominem stopni n). Ntomist dl k {n, n +,..., n} mmy l= w k) ) = k! n! c k Z, gdyż wtedy n! jest dzielnikiem k!. Znotujmy też oddzielnie inny nietrudny fkt, który przyd się nm nie tylko do dowodu niewymierności π. 8 Zinteresownych odsyłm np. do prcy: M. Lczkovich, Lmbert s proof of the irrtionlity of π, Amer. Mth. Monthly 4, no. 5 997), 439 443.

c MIM UW, / 9 Lemt 9.43 wzór n wielokrotne cłkownie przez części). Niech f, g : [, b] R będą funkcjmi klsy C N. Wówczs b ) b fx)g N) x) dx = fg N ) f g N ) + + ) N f N ) g 9.44) b + ) N f N) x)gx) dx. Dowód. Stosujemy N-krotnie wzór n cłkownie przez części, przerzucjąc w kżdym kroku jedno różniczkownie z g n f: b fx)g N) x) dx = fg N ) b = b f x)g N ) x) dx ) b fg N ) f g N ) + b f ) x)g N ) x) dx. = ) b fg N ) f g N ) + + ) N f N ) g b + ) N f N) x)gx) dx. Cłkujemy zwsze funkcję typu f k) g N k) i dltego pojwi się skłdnik ±f k) g N k ) b ; nietrudno zuwżyć i wypisć regułę, określjącą znki kolejnych skłdników. Twierdzenie 9.44. Liczb π jest niewymiern. Dowód. Będziemy dowodzić tezy przez zprzeczenie. Przypuśćmy, że π = l/m dl pewnych l, m N. Rozptrzmy liczbę gdzie A n = m n π n+ wx) sin πx dx, wx) w n x) = n! xn x) n ozncz wielomin z Lemtu 9.4. Wykżemy, że lim n A n = i A n jest liczbą cłkowitą dodtnią dl kżdego n. T oczywist sprzeczność zkończy dowód. Krok. lim n A n =. Istotnie, z nierówności < sin πx, pierwszego punktu tezy Lemtu 9.4 i monotoniczności cłki wynik, że < A n π mπ ) n mπ ) n sin πx dx = π sin πx dx π mπ ) n. n! n! n! Ciąg y n /n! dl kżdego y R, gdyż szereg potęgowy funkcji wykłdniczej jest zbieżny n cłej prostej.

wersj robocz z dni: czerwc Krok. Liczby A n są cłkowite dodtnie. Wiemy już, że A n > dl kżdego n. Aby stwierdzić, że A n Z, posłużymy się wzorem n wielokrotne cłkownie przez części, biorąc przedził [, b] = [, ], liczbę N = n +, fx) = wx), orz g N) x) = π n+ sin πx = cos πx) N) tzn. gx) = cos πx. Znk nie będzie odgrywł istotnej roli w rchunkch). Poniewż w = w n jest wielominem stopni n, N = n + > n, więc w N) i cłk w N) g dx po prwej stronie wzoru 9.44) znik. Dltego ) A n = m wg n N ) w g N ) + + ) N w N ) g 9.45) ) = m ) n n w n) g N n ) + ) n+ w n+) g N n ) + + ) N w n) g, gdyż w k) znik w punktch i dl k < n ptrz Lemt 9.4, punkt 3). Sprwdzimy terz, że kżdy skłdnik w nwisie jest liczbą wymierną postci p/m s, gdzie p Z, ntomist s {,,..., n}. Stąd już wyniknie tez A n Z. Pochodne funkcji w w punktch i są cłkowite Lemt 9.4). Mmy też { g s) π x) = s sin πx dl s nieprzystych, π s cos πx dl s przystych. W drugiej linii wzoru 9.45) występują pochodne g s) dl s =,,,..., N n, tzn. dl s =,,,..., n. Funkcje ± sin πx i ± cos πx przyjmują w punktch, wrtości i ±. Dltego g s) x) przyjmuje w tych punktch wrtości, ±π s = ± ls, s =,,,..., n. ms Iloczyny m n ±w N s) x)g s) x) ) są więc, dl x {, }, cłkowite. Liczb A n, któr jest sumą tkich iloczynów, też więc jest cłkowit. Uwg 9.45. W podobny sposób możn wykzć niewymierność liczby π ptrz np. książk: M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z księgi), tkże niewymierność wszystkich liczb r, dl których cos r jest liczbą wymierną. Niewymierność drugiej z njwżniejszych stłych, z którymi Czytelnik spotyk się w nlizie mtemtycznej, liczby e, możn udowodnić zncznie łtwiej: gdyby e = p/q dl pewnych p, q N, to mielibyśmy x := q! e q n= ) n! = pq )! q n= q! n! Z gdyż n! dzieli q! dl n q; z drugiej strony, poniewż e = n= q < x = q! e n= ) = n! n=q+ /n!, więc q! n! < q + + q + ) + q + ) 3 + = q <. To jest sprzeczność, gdyż w, ) nie m żdnej liczby cłkowitej. Przytoczony dowód niewymierności π jest dużo młodszy od oryginlnego dowodu Lmbert. Podobny chrkter m dowód przestępności liczby e.

c MIM UW, / Definicj 9.46. Liczb z C nzyw się lgebriczn, jeśli dl pewnych,,..., n Z, n N zchodzi równość + z + + n z n =. Liczb zespolon, któr nie jest lgebriczn, nzyw się przestępn. Łtwo zuwżyć, że wszystkie liczby wymierne są lgebriczne: x = p/q Q R C jest rozwiązniem równni liniowego p qx = o współczynnikch cłkowitych p, q. Zbiór liczb lgebricznych jest przeliczlny, gdyż dl kżdej z przeliczlnie wielu wrtości n =,,... istnieje tylko przeliczlnie wiele wielominów + x + + n x n o współczynnikch cłkowitych, kżdy z nich m co njwyżej n pierwistków rzeczywistych. Jednk R jest zbiorem nieprzeliczlnym, więc w R istnieją liczby przestępne. Pierwszy konkretny przykłd tkiej liczby, n!, n= podł w ltch 4-tych XIX wieku Joseph Liouville. W 873 roku Chrles Hermite udowodnił przestępność e. Dodtek roboczy: resztę tego podrozdziłu przy okzji spiszę nieco inczej, w sposób bliższy przedstwionemu n wykłdzie, wyodrębnijąc w postci oddzielnego Lemtu włsności pomocniczego wielominu W, używnego w dowodzie przestępności e. Twierdzenie 9.47. Liczb e jest przestępn. Dowód. Będziemy dowodzić przez zprzeczenie. Przypuśćmy, że dl pewnych i Z i =,,..., n). + e + e + + n e n = Krok. Niech W ozncz dowolny wielomin zmiennej rzeczywistej, stopni m. Sprwdzimy, że jeśli cłk Ix) określon jest wzorem to Ix) = Ix) = e x m j= x e x u W u) du, 9.46) W j) ) m W j) x). 9.47) j= Istotnie, cłkując przez części, przekonujemy się, że x Ix) = e x e u W u) du = e e x u W u) stąd zś przez indukcję pmiętjmy, że W m+) ) Ix) = e x u ) W u) + W u) + W u) + + W m) x u) x + x ) e u W u) du, m = e x W j) ) j= m W j) x). j=

wersj robocz z dni: czerwc Możn również dowieść 9.47), stosując od rzu wzór n wielokrotne cłkownie przez części. Krok. Niech p będzie dosttecznie dużą liczbą pierwszą. 9. Połóżmy i rozptrzmy cłkę W x) = x p x ) p... x n) p 9.48) J = k Ik), k= gdzie liczby k są cłkowitymi współczynnikmi wielominu znikjącego w punkcie e. Niech m = n + )p = deg W. Ze wzoru 9.47) otrzymujemy J = k e k k= j= m j= W j) ) m j= ) W j) k) k Ik) = k= k= m = k W j) k), 9.49) gdyż k e k = z złożeni o lgebriczności e. Krok 3. Aby zbdć wrtość J, wyznczymy pochodne W w punktch,,..., n. Posługując się wzorem Leibniz n wyższe pochodne iloczynu dwóch funkcji, łtwo otrzymć nstępujące zleżności: W j) k) = dl j < p i k =,,..., n, 9.5) W j) ) = dl j < p. 9.5) Dl przykłdu sprwdźmy równość 9.5). Tk smo sprwdz się 9.5).) Jest W x) = fx) gx) dl fx) = x k) p i gx) zdefiniownego jko iloczyn pozostłych czynników po prwej stronie 9.48). Dltego, ze wzoru Leibniz, W j) k) Stw. 6.5 = j i= ) j f i) k)g j i) k) =, i gdyż f i) k) = pp )... p i + )x k) p i x=k = dl kżdego i =,,..., j, gdy j < p. Zuwżmy jeszcze, że dl k > jest f p) k) = p! i f j) k) = dl j > p, więc f j) k) jest liczbą podzielną przez p!. Nietrudno terz wywnioskowć, że dl j =,,,..., m i k =,,..., n W j) k) Z jest liczbą podzielną przez p!, chyb, że j = p, k = ; 9.5) ntomist W p ) ) = p )! ) np n!) p. 9.53) Osttnią równość też możn sprwdzić, posługując się wzorem Leibniz, podobnie jk 9.5). Dl liczb pierwszych p > n liczb W p ) ) jest więc podzieln przez p )!, le niepodzieln przez p!. 9 Szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny, więc liczb pierwszych jest nieskończenie wiele

c MIM UW, / 3 Krok 4. Niech odtąd p > M := mx n,,,..., n ). Wstwijąc obliczone wrtości pochodnych W do wzoru 9.49) n cłkę J, sprwdzmy, że J jest liczbą cłkowitą podzielną przez p )! i niepodzielną przez p!. To wynik stąd, że wszystkie z wyjątkiem jednego skłdniki sumy w 9.49) są podzielne przez p!, zś jeden, W p ) ), wobec 9.53) dzieli się przez p )!, le wskutek doboru p już nie przez p!. Dltego J i J p )!. Z drugiej strony, posługując się monotonicznością cłki i szcując dość brutlnie, otrzymujemy J k Ik) k= M Ik) k= Me n k= z definicji M k mx W x) z definicji Ik) orz 9.36) 9.35) x [,k] Mn e n mx W x) x [,n] Mn e n n p n np = A B p, gdzie stłe A = Mn e n i B = n n+ zleżą od n i współczynników k wielominu, zerującego się w e, le nie od liczby p. Porównując uzyskne oszcowni cłki J, otrzymujemy p )! J AB B p, lub równowżnie AB B p p )!. To jest sprzeczność dl dużych p, gdyż B k /k! dl k i kżdego B R. Rok po dowodzie Hermite Georg Cntor wprowdził pojęcie mocy zbioru i wykzł, że zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczlny. Niecłe lt później, w roku 88, Ferdinnd von Lindemnn wykzł, że liczb π jest przestępn. Wynik stąd, że kwdrtury koł nie możn przeprowdzić z pomocą cyrkl linijki. Dowód przestępności π jest zbliżony do dowodu przestępności e, choć wymg minimlnie głębszej wiedzy z lgebry. Zinteresowny czytelnik odnjdzie go w książeczce Aln Bker Trnscendentl number theory. Uwg 9.48. W 9 roku Dvid Hilbert umieścił n swojej słynnej liście 3 problemów mtemtycznych jko problem nr 7) pytnie o to, czy α β jest przestępn, gdy α > jest liczbą lgebriczną, zś β liczbą lgebriczną i niewymierną. Twierdzącą odpowiedź podli Gelfond i Schneider w 934 roku. promotor prc doktorskich Dvid Hilbert i Hermnn Minkowskiego Cmbridge University Press, 975 r.; dostępn w bibliotece MIM.

4 wersj robocz z dni: czerwc 9..4 Wzór Tylor z resztą w postci cłkowej W poprzednich podrozdziłch wykorzystliśmy wzór n wielokrotne cłkownie przez części do dowodów niewymierności π i przestępności e. Terz wskżemy jeszcze jedno zstosownie tego wzoru, brdzo przydtne tkże do nlizowni funkcji wielu zmiennych, z którymi Czytelnik wielokrotnie zetknie się w późniejszych swoich studich). Twierdzenie 9.49 wzór Tylor z resztą cłkową). Niech g C k+ [, b]), < x < b. Wówczs k g j) ) x gx) = g) + x ) j x t) k + g k+) t) dt. 9.54) j! k! j= Dowód. Ustlmy x, b). Obliczymy cłkę we wzorze 9.54), posługując się wzorem 9.44) z Lemtu 9.43 n przedzile [, x]. Niech N = k +, ft) = x t) k /k!. Przy tkich oznczenich x x t) k g k+) t) dt = k! = = x ft)g N) dt ) x fg N ) f g N ) + + ) N f N ) g x + ) N f N) t)gt) dx 9.55) ) x fg N ) f g N ) + + ) N f N ) g gdyż f N, bowiem f jest wielominem stopni k < N = k +. Różniczkując f, otrzymujemy Dltego dl j < k = N jest ) j f j) g N j) x f j) j x t)k j t) = ), j =,..., k. k j)! )k j = x g N j) x )k j ) = g k j) ), k j)! k j)! ntomist dl j = k = N otrzymujemy f k) ) k i ) j f j) g N j) x = gx) g) Podstwijąc te wyrżeni do wzoru 9.55), znjdujemy wrtość osttniej sumy i sprwdzmy, że x x t) k k g k+) x ) i t) dt = gx) g) g i) ) k! i! wygodnie jest zmienić indeks k j n i i dopsowć grnice sumowni). Dowód jest zkończony. i=

c MIM UW, / 5 9.3 Cłk Riemnn Omówimy terz inne podejście do definicji cłki oznczonej. Z grubsz biorąc, chodzi o to, że definicję możn oprzeć o geometryczną interpretcję cłki, omówioną przez ns wcześniej, przy okzji dowodu Twierdzeni 9.33. Tkie podejście pozwl rozszerzyć klsę funkcji, dl których cłk jest określon, o pewne funkcje nieciągłe. Dl funkcji ciągłych ob podejści cłk Newton, zdefiniown jko przyrost funkcji pierwotnej, orz cłk Riemnn) dją identyczny wynik. Definicj cłki Newton jest w teorii cłki Riemnn twierdzeniem, ntomist o poprwności definicji cłki Riemnn funkcji ciągłej przesądzją oszcowni sum cłkowych, które poznliśmy włśnie w Twierdzeniu 9.33. Ustlmy przedził [, b] osi rzeczywistej. Będziemy rozwżć funkcje ogrniczone le niekoniecznie ciągłe) f : [, b] R. Definicj 9.5 podził przedziłu). Podziłem P przedziłu [, b] nzwiemy kżdy skończony ciąg punktów x, x,..., x n ) tki, że = x x... x n = b. Piszemy x i = x i x i, i =,..., n. Zbiór wszystkich podziłów odcink [, b] będziemy oznczć literą P. Będziemy też milcząco przyjmowć, że npis x, x,..., x n ) ozncz w tym podrozdzile ciąg niemlejący Definicj 9.5 sumy cłkowe Riemnn). Niech f : [, b] R będzie funkcją ogrniczoną, P = x, x,..., x n ) P ustlonym podziłem [, b]. Sumy GP, f) = i= sup f x i, DP, f) = [x i,x i ] i= inf [x i,x i ] f x i nzywmy odpowiednio górną i dolną sumą Riemnn funkcji f dl podziłu P. Interpretcj geometryczn górnych i dolnych sum Riemnn funkcji ogrniczonej, nieujemnej f jest dość oczywist: sum górn jest sumą pól prostokątów, których podstwy są odcinkmi podziłu P, wysokości dobrne zostły tk, żeby sum prostokątów przykrył jk njoszczędniej) cły zbiór Z = {x, y): y fx), x [, b]} punktów pod wykresem f. Obliczjąc sumę dolną, dobiermy wysokości tk, by jk njlepiej przybliżyć zbiór Z od wewnątrz. Definicj 9.5 górn i doln cłk Riemnn). Niech f : [, b] R będzie funkcją ogrniczoną. Liczby inf GP, f), sup DP, f) P P P P nzywmy odpowiednio górną i dolną cłką Riemnn funkcji f n odcinku [, b]. Zuwżmy, że definicj jest poprwn: jeśli M = sup f, to dl dowolnego podziłu P P jest Mb ) DP, f) GP, f) Mb ), gdyż n kżdym odcinku podziłu M f M; mnożąc tę nierówność przez x i i sumując, otrzymujemy oszcownie sum dolnych i górnych. Wobec ksjomtu ciągłości, ob kresy, o których mow w powyższej definicji, istnieją.

6 wersj robocz z dni: czerwc Definicj 9.53 funkcje cłkowlne w sensie Riemnn). Jeśli f : [, b] R jest ogrniczon i inf GP, f) = sup DP, f), P P P P to mówimy, że f jest cłkowln w sensie Riemnn. Kłdziemy wówczs b fx) dx = inf GP, f) = sup DP, f). P P P P Zbiór wszystkich funkcji cłkowlnych w sensie Riemnn n przedzile [, b] oznczymy R[, b]). Pytnie o to, które funkcje ogrniczone są cłkowlne w sensie Riemnn, jest dość subtelne. Zcznijmy od prostych przygotowń ntury technicznej. Powiemy, że podził P jest zgęszczeniem podziłu P, jeśli kżdy punkt podziłu P jest tkże punktem P inczej: P powstje z P przez dorzucenie skończenie wielu punktów). Stwierdzenie 9.54. Jeśli P jest zgęszczeniem P, f funkcją ogrniczoną n [, b], to DP, f) DP, f), GP, f) GP, f) Inczej mówiąc, zgęszcznie podziłu zwiększ dolne sumy Riemnn i zmniejsz sumy górne. Dl kogoś, kto rozumie geometryczną interpretcję sum cłkowych, ten fkt powinien być prktycznie oczywisty. Dowód. Dl porządku wykżemy pierwszą nierówność. Jeśli P powstje z P przez dorzucenie jednego punktu y do odcink [x s, x s ], to m := inf f inf f =: m, m := inf f inf f =: m, [x s,y] [x s,x s] [y,x s] [x s,x s] gdyż kres dolny funkcji nie spd, gdy zwężmy jej dziedzinę. Sumy cłkowe DP, f) i DP, f) różnią się tylko skłdnikmi, odpowidjącymi podzbiorom odcink [x s, x s ]. Dltego DP, f) DP, f) = m y x s ) + m x s y) mx s x s ) m y x s + x s y x s x s ) ) =. Jeśli P powstje z P przez dorzucenie k punktów, to powyższe rozumownie nleży powtórzyć k rzy. Dowód drugiej nierówności jest nlogiczny. Wniosek 9.55. Cłk doln Riemnn funkcji ogrniczonej nie przekrcz cłki górnej tej funkcji. Dowód. Niech P, P P i niech P 3 będzie zgęszczeniem zrówno P, jk i P np. niech P 3 skłd się z punktów obu podziłów P i P. Wtedy, z powyższego stwierdzeni DP, f) DP 3, f) GP 3, f) DP, f), stąd zś DP, f) GP, f) dl wszystkich podziłów P, P P. Biorąc njpierw przy ustlonym P kres dolny prwej strony względem P P, nstępnie zś kres górny lewej strony względem P P, otrzymujemy tezę wniosku.

c MIM UW, / 7 Wniosek 9.56. Funkcj ogrniczon f R[, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ε > istnieje podził P P tki, że GP, f) DP, f) < ε. Dowód. Niech I g ozncz cłkę górną, zś I d cłkę dolną funkcji f. Jeśli I g = I d i ε >, to wobec definicji kresu górnego i dolnego znjdziemy podziły P, P P tkie, że I d ε < DP, f) I d = I g GP, f) < I g + ε = I d + ε. Niech P 3 będzie zgęszczeniem zrówno P, jk i P. Wtedy, wobec Stwierdzeni 9.54, I d ε < DP, f) DP 3, f) GP 3, f) GP, f) < I d + ε ztem liczby GP 3, f) DP 3, f) nleżą do tego smego przedziłu, krótszego niż ε. To kończy dowód implikcji. Implikcj jest łtwiejsz: jeśli dl kżdego ε > istnieje podził P, dl którego sumy górn i doln różnią się mniej, niż o ε, to wprost z definicji kresu górnego i dolnego I g I d < ε dl kżdego ε >. Ztem I d = I g. Twierdzenie 9.57. Kżd funkcj f C[, b]) jest cłkowln w sensie Riemnn. Jej cłk Riemnn i cłk Newton są równe. Dowód. Wykżemy njpierw, że kżd funkcj ciągł spełni równowżny wrunek cłkowlności w sensie Riemnn, podny w poprzednim wniosku. Ustlmy ε >. Dobierzmy, korzystjąc z jednostjnej ciągłości f n [, b], liczbę δ > tk, by fs) ft) < ε/b ) dl wszystkich s t < δ, s, t [, b]. Niech P będzie tkim podziłem [, b], że x i < δ dl kżdego i =,..., n. Wtedy liczby m i := inf f, M i := sup f [x i,x i ] [x i,x i ] dl kżdego i =,..., n różnią się mniej niż o ε/b ), gdyż są wrtościmi funkcji f n przedzile krótszym niż δ. Ztem GP, f) DP, f) = i= M i m i ) x i < ε b x i = i= ε b ) = ε. b N mocy poprzedniego wniosku, f R[, b]). Pozostje wykzć równość obu cłek: Newton i Riemnn. Oznczmy je odpowiednio I N i I R. Jeśli P = x, x,... x n ) P, to znjdziemy s i, t i [x i, x i ] tkie, że DP, f) = fs i ) x i, GP, f) = i= fs i ) x i i= Funkcj ciągł osiąg swoje kresy n kżdym odcinku domkniętym, wyznczonym przez dw sąsiednie punkty podziłu P.

8 wersj robocz z dni: czerwc jeszcze rz korzystmy z fktu, że funkcj ciągł f osiąg swoje kresy n kżdym odcinku domkniętym). Ustlmy dowolne ε >. Z Twierdzeni 9.33 o proksymcji summi Riemnn wynik, że jeśli podził P jest odpowiednio drobny, to I N DP, f) < ε, I N GP, f) < ε. W pierwszej części dowodu sprwdziliśmy, że jeśli podził P jest odpowiednio drobny, to odpowidjące mu sum górn i doln różnią się mniej, niż o ε. Ztem wszystkie liczby DP, f) ε < I N < GP, f) + ε, DP, f), GP, f) są wtedy w pewnym przedzile J krótszym niż 3ε. Liczb I R leży między DP, f) i GP, f) dl kżdego P P. Stąd, tkże I R J. Przeto, I N I R < 3ε, więc I R = I N wobec dowolności ε. Twierdzenie 9.58. Jeśli f jest monotoniczn n [, b], to f R[, b]). Dowód. Wykżemy, że f spełni wrunek cłkowlności z Wniosku 9.56. Ustlmy ε >. Dl ustleni uwgi niech f będzie niemlejąc. 3 Wybierzmy podził x, x, x,..., x n ) odcink [, b] n n równych części. Wtedy x i = x i x i = b )/n. Poniewż funkcj niemlejąc przyjmuje n kżdym odcinku kres górny w prwym końcu tego odcink, zś kres dolny w jego lewym końcu, więc dl podziłu n równe części jest GP, f) DP, f) = b n fxi ) fx i ) ) = i= b )fb) f)) n < ε, jeśli n jest dosttecznie dużą liczbą. Z osttniego twierdzeni wynik, że jest brdzo wiele funkcji nieciągłych, które są cłkowlne w sensie Riemnn. Jeśli f = g h, gdzie g i h są niemlejące, to f R[, b]). Tk funkcj może mieć nieskończony przeliczlny) zbiór punktów nieciągłości. Czytelnik łtwo skonstruuje konkretne przykłdy tkich funkcji. Okzuje się, że zbiór funkcji cłkowlnych w sensie Riemnn jest jeszcze bogtszy. Bez dowodu przytoczymy nstępujące twierdzenie. Twierdzenie 9.59. Złóżmy, że f : [, b] R jest funkcją ogrniczoną. Nstępujące wrunki są wówczs równowżne: i) f R[, b]); ii) Zbiór Z [, b] wszystkich punktów nieciągłości funkcji f m nstępującą włsność: dl kżdego ε > istnieje przeliczln rodzin {I j : j =,,...} przedziłów domkniętych I j [, b] tk, że Z I j, j= I j < ε, j= gdzie I j ozncz długość przedziłu I j. 3 Dl funkcji nierosnących dowód jest w pełni nlogiczny.

c MIM UW, / 9 Uwg 9.6. Kżdy zbiór Z R, który m włsność podną w punkcie ii) Twierdzeni 9.59, nzywmy zbiorem miry Lebesgue zero, lub krótko: zbiorem miry zero. Kżdy podzbiór zbioru miry zero też oczywiście jest zbiorem miry zero. Nietrudno zuwżyć, że zbiór Cntor K, tzn. zbiór zwrty K [, ] opisny w Przykłdzie 5.6, jest zbiorem miry zero. Istotnie, K = n K j, j= gdzie zbiory K K... K i K j skłd się z j odcinków długości 3 j. Łączn długość odcinków wchodzących w skłd K j dąży więc do zer dl j i dltego K jest zbiorem miry zero. Zbiór Cntor jest nieprzeliczlny, ztem zbiór miry zero może być nieprzeliczlny. Zdnie 9.6. Skonstruowć funkcję ogrniczoną f : [, ] R, któr jest nieciągł we wszystkich punktch zbioru Cntor i ciągł poz tym zbiorem. Wskzówk. Tk funkcj może być stł n kżdym odcinku w uzupełnieniu zbioru Cntor. Określić f tk, by powiedzmy) f > /3 n odcinkch usuwnych w kroku j + i f < /3 n odcinkch usuwnych w kroku j. Wśród funkcji cłkowlnych w sensie Riemnn są więc funkcje nieciągłe n pewnych zbiorch nieprzeliczlnych. N drugim roku studiów Czytelnik zobczy, że w wielu sytucjch wygodniej jest posługiwć się jeszcze inną definicją cłki, tk zwną cłką Lebesgue. W teorii tej cłki twierdzeni o przejściu do grnicy pod znkiem cłki są zncznie wygodniejsze i mocniejsze. Nturlne uogólnieni wzoru n cłkownie przez części obejmujące funkcje z nieciągłymi pochodnymi, tkże funkcje ciągłe, które są w pewnych punktch nieróżniczkowlne), przydtne np. w teorii równń różniczkowych i jej konkretnych zstosowń, również wygodniej jest rozptrywć w teorii cłki Lebesgue. Różnicę między cłkmi Newton i Riemnn orz cłką Lebesgue możn zobrzowć poglądowo z pomocą nstępującej nlogii. Przybliżjąc cłkę Riemnn tkże ndjąc sens geometryczny cłce Newton), dodjemy pol kolejnych prostokątnych słupków, które mogą n przemin być wysokie i niskie. Gdy rozdrbnimy podził odcink, wysokości słupków nśldują wszelkie whni cłkownej funkcji. To tk, jkbyśmy obliczli sumę pieniędzy w portfelu, ułożywszy wiele bnknotów w zupełnie przypdkowym porządku, mieszjąc nominły. Kżdy wie jednk, że prościej jest ułożyć bnknoty nominłmi i dopiero wtedy liczyć pieniądze. Cłk Lebesgue wykorzystuje włśnie tkie podejście. Z grubsz biorąc, njpierw dzielimy dziedzinę funkcji n zbiory, n których funkcj przybier z dobrym przybliżeniem mniej więcej tę smą wrtość. Obliczmy sumę pól słupków, których podstwy mogą być dość dziwnymi zbiormi, potem wykonujemy przejście grniczne. Doprecyzownie tej nieco mętnej intuicji, tkże wyznczenie brdzo szerokiej klsy funkcji, dl których tkie podejście m sens, wymg jednk głębszego wniknięci w strukturę podzbiorów prostej rzeczywistej i ogólniej, przestrzeni R n ). Zletą cłek Newton i Riemnn, które wystrczją do wielu prktycznych zstosowń rchunku cłkowego, jest prostot definicji. W subtelniejszych zstosownich, tkże w teorii, brdzo przydją się silne nrzędzi z teorii cłki Lebesgue, z które trzeb jednk zpłcić dłuższym szykowniem pojęć tk zwnej teorii miry. Wrto, żeby Czytelnik o tej różnicy wiedził już terz i pmiętł o niej w przyszłości.

wersj robocz z dni: czerwc 9.4 Geometryczne zstosowni cłki Wiemy już, że dl funkcji f : [, b], ) ciągłej, lbo ogólniej cłkowlnej w sensie Riemnn, liczb b fx) dx jest polem obszru {x, y) R : x b, y fx)}. Opiszemy w tym rozdzile kilk innych geometryczny zstosowń cłki, m.in. do obliczni długości krzywej, tkże objętości i pól powierzchni brył obrotowych. Nie będziemy w sposób ścisły definiowć objętości ni pol powierzchni brył w R 3. Poprzestniemy n dość nturlnych intuicjch, do temtu wrócimy podczs wykłdów nlizy mtemtycznej n drugim roku studiów. Wtedy omówimy go zncznie głębiej i ściślej, nie ogrniczjąc się tylko do brył obrotowych. 9.4. Długość krzywej Będziemy rozptrywć krzywe płskie, będące wykresmi funkcji jednej zmiennej y = fx) n pewnym przedzile, tkże krzywe opisne równnimi prmetrycznymi, ϕ : [, b] t ϕ t), ϕ t),..., ϕ n t) ) R n. 9.56) Dl n =, 3 są to krzywe n płszczyźnie i w przestrzeni. N przykłd, obrzem przeksztłceni [, π] t cos t, sin t) R jest okrąg jednostkowy n płszczyźnie z krtezjńskim ukłdem współrzędnych. Będziemy n rzie zkłdć, że funkcj 9.56) jest różnowrtościow, tzn. z geometrycznego punktu widzeni krzyw pozbwion jest smoprzecięć. Dl prostoty, zjmiemy się szczegółowo przypdkiem n =. Przypdek n 3 jest w pełni nlogiczny. Definicj 9.6. Łmną wpisną w krzywą ϕ: [, b] R nzwiemy sumę l odcinków o końcch ϕ t i ), ϕ t i )), zwnych wierzchołkmi łmnej, gdzie i =,,..., n, zś P = t, t,..., t n ) nleży do zbioru P wszystkich podziłów odcink [, b]. Zbiór wszystkich łmnych wpisnych w dną krzywą będziemy oznczć literą W. Definicj 9.63. Długością łmnej l W o końcch ϕ t i ), ϕ t i )), gdzie i =,,..., n orz P = t, t,..., t n ) P, nzywmy liczbę dl) = i= ) ϕ t i ) ϕ t i ) + ϕ t i ) ϕ t i )) 9.57) Z twierdzeni Pitgors wynik, że kżdy skłdnik sumy 9.57) rzeczywiście jest długością odcink, łączącego dw sąsiednie wierzchołki łmnej. Definicj 9.64 długość krzywej). Niech ϕ: [, b] R. Długością krzywej ϕ nzywmy kres górny długości wszystkich łmnych wpisnych w tę krzywą, tzn. liczbę dϕ) = sup dl), 9.58) l W Proszę zuwżyć, że t definicj jest zgodn z nturlną intuicją: odpowiednio głdką krzywą możn z dobrą dokłdnością zmierzyć linijką, przybliżjąc długość krzywej długością łmnej o wielu wierzchołkch. Długość łmnej nie będzie większ od długości krzywej.

c MIM UW, / Twierdzenie 9.65 wzór n długość krzywej). Niech ϕ: [, b] R będzie funkcją różnowrtościową klsy C. Wtedy dϕ) = b ϕ t) + ϕ t) dt. 9.59) Twierdzenie wyrż jsną intuicję fizyczną: prmetryzcj ϕ to opis sposobu, w jki poruszmy się po dnym torze ruchu, zś ϕ i ϕ to skłdowe wektor prędkości. Liczb vt) = ϕ t) + ϕ t) jest długością wektor prędkości w chwili t, czyli chwilową szybkością ruchu. Dl fizyk iloczyn v t) dt to przyrost drogi, uzyskny w czsie dt. Dl kogoś, kto tk myśli, wzór n długość krzywej to po prostu zleżność między czsem, prędkością i drogą; poniewż prędkość nie jest stł, więc dzielimy przedził czsu n mniejsze odcinki i przybliżmy cłkę summi Riemnn. Podobnie jest w przestrzeni R 3. Długość krzywej ϕ = ϕ, ϕ, ϕ 3 ): [, b] R 3, gdzie ϕ k C dl k =,, 3, określon jko kres górny długości łmnych, wpisnych w tę krzywą, wynosi b dϕ) = ϕ t) + ϕ t) + ϕ 3 t) dt. Dowód. Krok. Oznczeni i pln dowodu. Wprowdźmy oznczeni vt) = ϕ t) + ϕ t), t [, b], I = b vt) dt = b ϕ t) + ϕ t) dt. Wybierzmy dowolną łmną l W, odpowidjący jej podził P = t, t,..., t n ) odcink [, b], orz liczbę ε >. Z nierówności trójkąt wynik, że jeśli podził P powstje z P przez zgęszczenie, to odpowidjąc mu łmn l m długość dl ) dl). Wykżemy, że podził P możn wybrć tk, by uzyskć dl) dl ) < I + ε, I dl ) < ε. 9.6) Nstępnie, przechodząc do grnicy ε, otrzymmy dl) I, co wobec dowolności łmnej l ozncz dϕ) = sup dl) I. l W Z drugiej nierówności 9.6) wynik jednk, że istnieją łmne l W, dl których liczb dl ) może znjdowć się dowolnie blisko liczby I. Ztem nie może zchodzić ostr nierówność dϕ) < I; musi zchodzić równość dϕ) = I. Pozostje tylko wykzć 9.6). Krok. Nierówności 9.6). Niech η >. Liczbę η dobierzemy do ε > później. Dokonując zgęszczeni podziłu P i nie zmniejszjąc długości odpowidjącej mu łmnej, przyjmiemy odtąd, bez zmniejszeni ogólności, że P = t, t,..., t n ), gdzie < t i = t i t i < δ, i =,..., n. Liczbę δ > dobierzemy z chwilę. Rozptrzmy i-ty skłdnik we wzorze 9.57) n długość łmnej. Posługując się dwukrotnie twierdzeniem Lgrnge o wrtości średniej, dl

wersj robocz z dni: czerwc funkcji ϕ i ϕ, otrzymujemy ) ) ϕ t i ) ϕ t i ) + ϕ t i ) ϕ t i ) ϕ ) t i ) ϕ t i ) ϕ t i ) ϕ t i ) = t i + t i t i ϕ = t i s i) ) + ϕ u i ) ), gdzie t i < s i, u i < t i. }{{} = ozn.) W s i,u i ) Sprwdzimy terz, że jeśli liczb δ > jest dosttecznie mł, to W s, u) vs) < ε dl wszystkich s, u [, b] tkich, że s u < δ. Jeśli W s, u) =, to ów fkt łtwo wynik z ciągłości ϕ. Jeśli W s, u), to mmy W s, u) vs) = ϕ u) ϕ s) W s, u) + vs) ) ϕ u) ϕ s) ϕ u) + ϕ s) W s, u) }{{} = ozn.) λ ϕ u) ϕ s) gdyż wobec nier. Schwrz λ ) < η o ile, korzystjąc z jednostjnej ciągłości ϕ n [, b], dobierzemy δ > tk, by ϕ s) ϕ u) < η dl wszystkich s u < δ. Rozwżmy terz dwie sumy, dl) = i= t i W s i, u i ), S = t i vs i ) i= Z Twierdzeni 9.33 o proksymcji cłki I = b vs) ds summi Riemnn wynik, że I S < ε/, gdy δ > jest dosttecznie młe. Ntomist S dl) t i W s i, u i ) vs i ) < η t i = η b ) < ε/ i= i= np. dl η = ε/4b )). Z nierówności trójkąt, I dl) < ε. Dowód jest zkończony. Uwg 9.66. Kluczowej technicznej trudności w dowodzie dostrczło to, że stosując twierdzenie Lgrnge do wyrżeni wzoru n długość łmnej z pomocą pochodnych, uzyskiwliśmy wrtości pochodnych ϕ i ϕ w różnych punktch s i, u i kżdego odcink podziłu. Dltego potrzebny był frgment z szcowniem różnicy W s, u) i vs). Wniosek 9.67. Jeśli f : [, b] R jest funkcją klsy C, to długość wykresu tej funkcji jest równ cłce b + f x) dx. Dowód. Stosujemy twierdzenie do funkcji ϕ x) = x i ϕ = f. 4 4 Zinteresowny teorią Czytelnik zechce udowodnić ten wniosek bezpośrednio. Dowód jest prostszy, niż dowód Twierdzeni 9.65.

c MIM UW, / 3 Zbiór punktów {t sin t, cos t): t R} to cykloid. Zznczonych zostło położeń toczącego się okręgu z ustlonym punktem n obwodzie i promieniem o końcu w tym punkcie), odpowidjących równym odstępom czsu π/5. Widć, że punkt toczącego się okręgu nie przemieszcz się wcle po cykloidzie ze stłą szybkością. To jsne: vt) = ϕ t) + ϕ t) = cos t, inf v =, sup v =. Uwg 9.68. Wrto zuwżyć, że powyższe twierdzenie stosuje się tkże do tkich krzywych, dl których obrz ϕ[, b]) odcink [, b] nie jest wykresem funkcji klsy C, tylko m dziobki. Przykłd: biorąc ϕt) = t sin t, cos t), t R, otrzymujemy cykloidę, krzywą, jką zkreśl ustlony punkt okręgu jednostkowego, toczącego się po linii prostej bez poślizgu i ze stłą prędkością. Pochodne prmetryzcji to ϕ t) = cos t i ϕ t) = sin t. W punktch t = kπ, k Z, tzn. tm, gdzie cos t =, stosunek ϕ /ϕ m grnicę lewostronną równą, prwostronną równą + proszę spojrzeć n znk sinus). Dltego w tych punktch cykloid m dziobki. Przykłd 9.69 długość okręgu). Obliczymy długość okręgu jednostkowego, tzn. krzywej ϕt) = cos t, sin t), t [, π]. Mmy ) vt) = ϕ ) t + ϕ π t = sin t + cos t = ; ztem dϕ) = dt = π. Możn postąpić inczej. Ćwirtk okręgu to wykres fx) = x, gdzie x [ /, /]. Mmy + f x) = + x x = x i terz jest jsne, dlczego wybrliśmy kurt tki przedził: n [, ] otrzymny wzór nie określ funkcji ciągłej, z uwgi n zero minownik w jedynce). Dltego / 4 dϕ) = dx / = rc sin x / x / = π 4 + π 4 = π. Przykłd 9.7 długość jednego łuku cykloidy). Obliczymy długość jednego łuku cykloidy. Niech ϕt) = t sin t, cos t) dl t [, π]. Wtedy vt) = ϕ t) + ϕ t) = cos t = sin t, t π. Posłużyliśmy się jedynką trygonometryczną i wzorem cos t = sin t.) Dltego π π dϕ) = vt) dt = sin t dt = 4 cos t π = 4 + 4 = 8.

4 wersj robocz z dni: czerwc Obrcjąc położony w płszczyźnie x, y) wykres funkcji y = fx) klsy C ) wokół osi x w R 3, otrzymujemy pewną powierzchnię obrotową. Bliskie, równoległe płszczyzny x = x i i x = x i wycinją z tej powierzchni część, któr jest brdzo blisk powierzchni bocznej stożk ściętego o promienich podstw r = fx i ), r = fx i) i wysokości h = x i = x i x i. Co ciekwe, wynik jest liczbą wymierną. Długość łuku cykloidy znli Gilles de Robervl i Christopher Wren w XVII wieku. 9.4. Objętość bryły obrotowej. Pole powierzchni obrotowej Złóżmy, że funkcj f : R [, b], ) jest klsy C. Obrcjąc wykres f wokół osi x-ów, otrzymujemy powierzchnię obrotową ptrz rysunek). Powiemy, nie wnikjąc ndmiernie w kłopotliwe szczegóły techniczne, związne z formlnym definiowniem objętości i pol powierzchni, jk znleźć objętość bryły, ogrniczonej w R 3 powstłą powierzchnią orz dwiem płszczyznmi x =, x = b, tkże pole powierzchni bocznej tej bryły. Objętość V tkiej bryły wyrż się cłką V = π b f x) dx. 9.6) Z intuicyjnego punktu widzeni jest to dość jsne. Dzieląc odcinek [, b] n n równych części punktmi x k = +k b n, k =,,..., n i prowdząc płszczyzny x = x k prostopdłe do osi x-ów, potniemy bryłę n plstry. Skłdnik π fx i ) x i

c MIM UW, / 5 wyrż objętość wlc o promieniu podstwy fx i ) i wysokości x i. Sum objętości tkich wlców, czyli sum Riemnn cłki π b fx) dx, tym lepiej przybliż objętość cłkę), im gęściej prowdzimy płszczyzny cięć. 5 Przykłd 9.7 objętość kuli). Niech fx) = x dl x [, ]. Wykres f jest połówką okręgu; obróciwszy go, otrzymujemy powierzchnię kuli jednostkowej. Objętość tej kuli jest równ V = π f x) dx = π x ) dx = π ) x x3 = π 3 3 = 4π 3. Objętość kuli o promieniu r wynosi 4πr 3 /3, gdyż objętość brył podobnych jest równ sześcinowi skli podobieństw. Pole A powierzchni bocznej tkiej bryły wyrż się cłką A = π b fx) + f x) dx. 9.6) Aby to zrozumieć, zuwżmy, że dwie brdzo bliskie płszczyzny x = x i i x = x i wycinją z tkiej powierzchni obrotowej frgment, który w brdzo dobrym przybliżeniu jest powierzchnią boczną stożk ściętego o promienich o promienich podstw r = fx i ), r = fx i ) i wysokości h = x i = x i x i ptrz rysunek). Jk widzieliśmy, obliczjąc długość krzywej, tworząc tkiego stożk m długość równą, z brdzo dobrym przybliżeniem, x i + f x i ). Dltego pole powierzchni bocznej tkiego stożk ściętego wynosi, z zniedbywlnym w grnicy x i błędem, tyle, co pole prostokątnego psk o bokch πfx i ) obwód okręgu) i x i + f x i ), więc πfx i ) x i + f x i ). Sumując i przechodząc do grnicy, otrzymujemy cłkę 9.6). Przykłd 9.7 Pole powierzchni sfery jednostkowej). Jk wcześniej, niech fx) = x dl x [, ]. Wtedy πfx) + f x) = π x x = π jest po prostu funkcją stłą. Wynikją stąd dw wnioski. Po pierwsze, pole powierzchni sfery jednostkowej w R 3 jest równe A = π fx) + f x) dx = π dx = 4π. Ztem, pole sfery jest równe polu powierzchni bocznej opisnego n niej wlc. 5 Czytelnik powinien zdwć sobie sprwę, że to intuicj dobr i nturln, le jednk nie do końc ścisł, z dwóch powodów. Po pierwsze, nie powiedzieliśmy, czym jest objętość. Po drugie, szkolny wzór n objętość wlc, będący uogólnieniem wzoru n objętość grnistosłup, przyjęliśmy tu n wirę.

6 wersj robocz z dni: czerwc Po drugie, zuwżmy, że obrcjąc łuk okręgu, krzywą fx) = x dl x [, b], gdzie < b, otrzymujemy frgment, wycięty ze sfery dwiem równoległymi płszczyznmi x = i x = b. Pole powierzchni tego frgmentu, A = π b fx) + f x) dx = π b dx = πb ), zleży tylko od różnicy b, nie zś od liczb i b z osobn. Wiedził to wszytko już Archimedes pond lt temu. Doszedł do tego wniosku bez użyci rchunku cłkowego we współczesnej postci, wykonując jednk de fcto pewne przejści grniczne i stosując metodę, nzywną cłkowniem strożytnych lub metodą wyczerpywni. Czytelnik może dowiedzieć się więcej o tej metodzie, czytjąc np. Wykłdy z historii mtemtyki Mrk Kordos). Stosownie tej metody wymgło zncznie większej pomysłowości, niż proste i mechniczne obliczenie konkretnych cłek, którymi posłużyliśmy się w tym podrozdzile, żeby wyznczyć objętość kuli orz pole sfery. Aby zrozumieć sens tego zdni, proszę obliczyć pole figury, ogrniczonej prostą i łukiem prboli, nie posługując się nszą dzisiejszą notcją i pojęciem cłki. Możn rozptrzeć sumy Riemnn wprost, le to nie jest szczególnie wygodne.) Wspomnin włsność sfery ptrz też rysunek obok) nzywn byw czsem twierdzeniem Archimedes: pole powierzchni obręczy, którą wycięto ze sfery o promieniu r dwiem równoległymi płszczyznmi, zleży tylko od odstępu h tych płszczyzn i jest równe πrh. N rysunku ob ciemne frgmenty sfery, tkże jśniejsz, półprzezroczyst obrączk, wycięt przez dwie płszczyzny z powierzchni bocznej opisnego n sferze wlc, mją równe pol.