1.3 Przestrzenie ilorazowe

1.3 Przestrzenie ilorazowe Niech X 0 będzie odrzestrzenią liniową X 0, +, rzestrzeni liniowej X, +,. Oreślmyzbiór x + X 0 := {x + y : y X 0 }. Zbiór ten nazywamy warstwą elementu x X względem odrzestrzeni X 0. Zbiór taich warstw nazywamy rzestrzenią ilorazową rzestrzeni X rzez odrzestrzeń X 0 i oznaczamy symbolem X / X 0. Jeśli teraz w X mamy oreśloną relację równoważności R: xry y x X 0, to warstwy x + X 0 są lasami równoważności względem tej relacji. Taą lasę równoważności oznaczamy symbolem [x]. Dwie lasy [x 1 ]i[x 2 ] są zawsze identyczne albo rozłączne. Ponadto, jeśli [x 1 ]=[x 2 ]i[y 1 ]=[y 2 ], to [x 1 +y 1 ]= [x 2 + y 2 ]oraz,jeśli[x 1 ]=[x 2 ]iα K, to[αx 1 ]=[αx 2 ] Stąd wynia, że możemy w sosób jednoznaczny oreślić działania + :X / X 0 ) X / X 0 ) X / X 0 ) jao [x 1 ] +[x 2 ]=[x 1 + x 2 ] : K X / X 0 ) X / X 0 ) jao α[x 1 ]=[αx 1 ]. Przy tych działaniach X / X 0, +, jest rzestrzenią wetorową. Elementem zerowym tej rzestrzeni jest warstwa [θ] =X 0. Oreślmy teraz odwzorowanie T : X x [x] X / X 0. Jest ono liniowe i rzeształca X na X / X 0. Ponadto ert )={x X : Tx = θ} = {x X : [x] =[θ]} = {x X : x θ X 0 } = {x X : x X 0 } = X 0. 1.4 Kila rzydatnych nierówności Lemat 1.1. Niech dane będą dwie liczby u, v 0oraz, q > 1 taie, że 1 + 1 q = 1 wyładni q nazywamy wtedy srzężeniem do wyładnia ). Wtedy uv u + vq q. 4) Lemat 1.2. Nierówność Höldera dla sum). Niech >1i 1 + 1 =1.Wtedy q n n t s s n t q q. 5) 12

Lemat 1.3. Nierówność Minowsiego dla sum). Niech >1i 1 + 1 =1.Wtedy q n t + s n s + n t q q. 6) 2 Przestrzenie unormowane i rzestrzenie Banacha 2.1 Przestrzenie unormowane Niech X będzie rzestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zesolonych. Definicja 2.1. Nieujemną funcję x x : X K nazywamy normą, gdy sełnia ona dla dowolnych x, y X i dowolnego a K waruni tzw. asjomaty normy): 1. x =0wtedy i tylo wtedy, gdy x = θ, 2. x + y x + y warune trójąta, inaczej: warune subaddytywności), 3. ax = a x warune jednorodności) Jeżeli funcja ta sełnia tylo waruni 2 i 3 nieoniecznie 1), to nazywamy ją seudonormą seminormą lub quasi-normą). Definicja 2.2. Przestrzeń liniową X wraz z oreśloną w niej normą, czyliarę X, nazywamy rzestrzenią unormowaną. Również tutaj będziemy w srócie isać tylo X, jeśli nie będzie to rowadziło do nieorozumień. W tej samej rzestrzeni liniowej można worwadzić różne definicje normy, uzysując w ten sosób różne rzestrzenie unormowane. Na rzyład, jeśli weźmiemy rzestrzeń funcji ciągłych na rzedziale [0, 1] o wartościach rzeczywistych, to normę można oreślić wzorem x C =max 0 t 1 xt), ale można ją też oreślić wzorem x L = 1 0 xt) dt, uzysując dwie różne rzestrzenie unormowane w ierwszym rzyadu mamy rzestrzeń zuełną, a w drugim nie). Każdą rzestrzeń unormowaną tratuje się jao rzestrzeń metryczną. Wystarczy rzyjąć nastęującą definicję odległości dwóch untów x, y X: dx, y) = x y. 7) 13

Łatwo srawdzić, że ta zdefiniowana odległość sełnia wszystie asjomaty metryi. Ponadto, ze względu na tę definicję odległości, wszystie ojęcia toologiczne oreślone dla rzestrzeni metrycznych, taie ja n. zuełność, ośrodowść, zwartość, odnoszą się również do rzestrzeni unormowanych. W szczególności zbieżność ciągu untów x n ) n=1 X do untu x X oznacza, że lim x n x =0. n Ta oreśloną zbieżność nazywamy zbieżnością według normy. Wymieńmy teraz ila własności normy, wyniających wrost z definicji. Lemat 2.1. Dla dowolnych untów x 1,x 2,...,x n X zachodzi nierówność: Jest to uogólnienie nierówności z ajomatu 2 normy. Dowód. Wystarczy zastosować inducję względem n. x 1 + x 2 + + x n x 1 + x 2 + + x n. Lemat 2.2. Dla dowolnych untów x, y X zachodzi nierówność: Dowód. Na mocy asjomatu 2 mamy x y x y. 8) x = y +x y) y + x y, czyli x y x y. Ze względu na symetrię i asjomat 3 mamy również: y x x y. Razem dostajemy tezę. Lemat 2.3. Norma jest funcjonałem ciągłym, tzn. jeżeli x n x rzy n,to x n x dla x n,x X). Dowód. Jest to natychmiastowy wniose z nierówności 8). Lemat 2.4. Działania algebraiczne w rzestrzeni unormowanej są ciągłe, tzn. dla x n,y n,x,y X oraz a n,a K dla n =1, 2... mamy a) jeżeli x n x i y x y, tox n + y n x + y, b) jeżeli a n a i x n x, toa n x n ax. 14

Dowód. Mamy x n + y n ) x + y) = x n x)+y n y) x n x + y n y dla n =1, 2,..., czyli a). Dla dowodu b) wystarczy zauważyć, że a n x n ax = a n x n x)+a n a)x a n x n x) + a n a)x = a n x n x + a n a x dla n =1, 2,... Definicja 2.3. Dwie normy x 1 i x 2 wrzestrzenix nazywamy równoważnymi, jeżeli oreślają to samo ojęcie zbieżności, tzn. jeśli x n x 1 0 wtedy i tylo wtedy, gdy x n x 2 0. Na rzyład, jeśli weźmiemy wsomnianą wcześniej, rzestrzeń funcji ciągłych na rzedziale [0, 1] o wartościach rzeczywistych, i normy oreślone wzorami x C =max 0 t 1 xt), x L = 1 0 xt) dt, toniesą one równoważne. 2.2 Przyłady rzestrzeni unormowanych Klasyczny rzyład rzestrzeni unormowanej sończenie wymiarowej: Przyład 7. Przestrzeń ln,gdzie 1. Elementami tej rzestrzeni są omawiane już wcześniej ułady n liczb rzeczywistych lub zesolonych z K n : x =t 1,t 2,...,t n )znormą n x := t Należy srawdzić, że sełnione są asjomaty normy. Asjomat 1 i 3 otrzymujemy natychmiast, bo n t =0 t =0,2,... x = θ oraz n ax = at = a n t n = a t = a x. Warune trójąta dla = 1 jest oczywisty również z nierówności trójąta dla wartości bezwzględnej). Dla >1 zastosujemy nierówność Minowsiego 6) z x =s 1,s 2,...,s n )iy =t 1,t 2,...,t n ). Wtedy Zatem jest normą. n x + y = t + s n. s + n t q q = x + y. 15

Zauważmy, że w rzyadu = 2 otrzymujemy zwyłą rzestrzeń eulidesową n-wymiarową z odległością między untami wyrażoną metryą eulidesową, a dodatowo w rzyadu n = 2 otrzymujemy R 2 lub Z 2 czyli unty na łaszczyźnie) ze szolną definicją odległości. Klasycznymi rzyładami rzestrzeni unormowanych ciągowych niesończenie wymiarowych są: Przyład 8. Przestrzeń m ciągów ograniczonych z normą x =su t,dlax =t ) m. Przestrzeń tę oznacza się też symbolem l. Oczywiście jest normą, co wynia z własności suremum. Istotnie. Dla dowolnych x =t ),y =s ) m, α K mamy x =0 su t =0 t =0,2,... t =0,2,... x = θ. x + y =su t + s su αx =su αt =su t + s ) su Przyład 9. Przestrzeń c ciągów zbieżnych z normą x =su t. α t )= α su Przyład 10. Przestrzeń c 0 ciągów zbieżnych do zera z normą x =su t. t +su s = x + y. t = α x. Przyład 11. Przestrzeń l szeregów zbieżnych z -tą otęgą, gdzie 1. Elementami tej rzestrzeni są ciągi niesończone liczb rzeczywsitych lub zesolonych x =t ), dla tórych t < znormą x = t. Istotnie. Asjomaty 1 i 3 normy są selnione w sosób oczywisty. Aby zaś udowwodnić nierówność trójąta i liniowość rzestrzeni, należy sorzystać z nierówności Minowsiego dla sum 6). Przechodząc w niej stronami do granicy rzy n, otrzymujemy: t + s wyonując odstawienia ja w rzyadu rzestrzeni ln. s + Klasycznymi rzyładami rzestrzeni funcyjnych niesończenie wymiarowych są: t q q, 1, 9) Przyład 12. Przestrzeń C, K) funcji ciągłych x : K, gdzie jest zbiorem zwartym w rostym rzyadu może to być n. rzedział domnnięty [a, b] znormą x =su t xt). Oczywiście norma jest dobrze oreślona, tzn. jest to na ewno liczba i jest nieujemna, bo ażda funcją ciągła na zbiorze zwarytm jest też ograniczona i osiąga swoje resy). Sełnienie asjomatów normy jest oczywiste. 16

Przyład 13. Przestrzeń L, Σ,µ) funcji całowalnych z -tą otęgą, 1. Wyjaśnienie: Σjestσ-algebrą odzbiorów zbioru, µ jest miarą w L, Σ,µ) jest rzestrzenią las równoważności funcji x, tóre są Σ-mierzalne i taie, że xt) dµ <, ze względu na relację równości µ-rawie wszędzie, tzn. utożsamiamy ze sobą ażde dwie funcje, tóre są równe sobie µ-rawie wszędzie na bo wtedy różnią się tylo na zbiore miary zero, a tai zbiór nie ma wływu na wartość całi). Dla indywidualnej funcji x będziemy isali róto x L,gdy odowiadająca tej funcji lasa równoważności [x] L. Zauważmy najierw, że L jest rzestrzenia liniową. Istotnie, weźmy x, y L oraz α K.Wtedy xt) dµ < i yt) dµ <. Zauważmy onadto, że xt)+yt) 2 xt) + yt) ), zatem xt)+yt) dµ 2 xt) + yt) ) dµ =2 xt) dµ + ) yt) dµ <, więc x + y L. Analogicznie oazujemy, że αx L. Oreślamy w tej rzestrzeni normę: x = xt) dµ. Asjomaty 1 i 3 normy są sełnione w sosób oczywisty z wlasności całe). Pozostaje oazać nierówność trójąta. Niech więc x L, y L q,gdzie 1 + 1 =1,,q>1. Biorąc w nierówności 4): q u = xt), v = xs) dµ yt) ys) q dµ q i całując ją stronami względem t, otrzymujemy nierówność Höldera dla całe: gdzie x L, y L q,, q > 1, 1 + 1 q nierówność Minowsiego dla całe: xt)yt) dµ xt)+yt) dµ xt) dµ yt) q q dµ, 10) = 1. Stosująć tę nierówność, otrzymujemy odobnie, ja wcześniej, xt) dµ + yt) dµ, 11) gdzie x, y L, 1. Zaisując nierówność Minowsiego za omocą normy w L, otrzymujemy nierówność trójąta dla. 17

2.3 Przestrzenie Banacha Powiemy, że rzestrzeń unormowana X, jest zuełna, jeśli rzestrzeń metryczna X, d jest zuełna soro ażda rzestrzeń unormowana jest metryczna z metryą dx, y) = x y ). Przyomnijmy zatem, że rzestrzeń metrycza X jest zuełna, jeśli ażdy ciąg x n ) n=1 jej elementów, sełniający warune Cauchy ego, jest zbieżny do ewnego elementu x 0 tej rzestrzeni X. Przyomnijmy również, że ciąg x n ) n=1 elementów rzetrzeni metrycznej X, d sełnia warune Cauchy ego jest ciągiem Cauchy ego) w X, d, gdy dla ażdej liczby ε > 0 istnieje taa liczba N, że dla ażdych m, n > N zachodzi nierówność dx n,x m ) <ε. Zaiszmy to za omocą normy w rzestrzeni unormowanej. Ciąg x n ) n=1 elementów rzetrzeni unormowanej X, sełnia warune Cauchy ego jest ciągiem Cauchy ego) w X,, jeśli ε>0 N m,n>n x n x m <ε. Definicja 2.4. Przestrzeń unormowaną X,, tóra jest zuełna, nazywamy rzestrzenią Banacha. Wszystie rzestrzenie unormowane z orzedniego aragrafu są rzestrzeniami Banacha. Wystarczy tylo oazać ich zuełność. Zrobimy to na ońcu niniejszego wyłdu. Przyład 14. Przestrzenie c, c 0 i l. Ćwiczenie. Uwaga 3. Jeżeli 1 1 < 2,tol 1 l 2, Uwaga 4. Jeżeli 1 1 < 2 i µ) < to L 1, Σ,µ) L 2, Σ,µ). 2.4 Ośrodowość wybranych rzestrzeni. Przyomnijmy najierw ojęcie ośrodowości rzestrzeni. Definicja 2.5. Przestrzeń metryczna X jest ośrodowa, jeśli istnieje zbiór co najwyżej rzeliczalny Z X gęsty w X, tzn. domnięcie zbioru Z równe jest całej rzestrzeni X. Wynia stąd natychmiast, że również rzestrzeń unormowana X jest ośrodowa, jeśli istnieje zbiór co najwyżej rzeliczalny Z X gęsty w X. 18

Wiadomo, że rzestrzeń X = K = R jest ośrodowa, zbiorem Z jest wtedy zbiór liczb wymiernych, bo jest rzeliczalny i jego domnięcie jest całym R. Analogicznie można stwierdzić, że jeśli X = C, tozbioremz ośrodiem) jest wtedy zbiór liczb ostaci a + bi, gdziea, b są wymierne. Postęując ta dalej, dostaniemy, że rzestrzeń l 2 m rzestrzeń eulidesowa m-wymiarowa jest ośrodowa, ośrode stanowić będą unty o wsółrzęnych wymiernych. Zajmijmy się teraz rzestrzeniami niesończenie wymiarowymi. Przyład 15. X = m - rzestrzeń ciągów liczbowych z normą suremum Przestrzeń ta nie jest ośrodowa. Istotnie, gdyby istniał zbiór Z m rzeliczalny i gęsty w m, to wtedy oznaczając elementy zbioru Z rzez x) zbiór wszystich ul Kx, 1)dlax Z orywałby całą rzestzreń m. Niech teraz zbiór Z 2 0 oznacza zbiór wszystich ciągów zero-jedynowych. Oczywiście ciągi te są ograniczone, ale jest ich nierzeliczalna ilość. Ponieważ ul jest co najwyżej rzeliczalna ilość, więc w rzynajmniej jednej uli muszą leżeć dwa różne unty x 1,x 2 Z 0.Niechx 0 będzie środiem taiej uli. Wtedy x 1 x 2 x 1 x 0 + x 0 x 2 < 1 2 + 1 2 =1, co jest niemożliwe, bo z definicji normy w rzestrzeni m wynia, że x 1 x 2 =su t s =1. Przyład 16. X = l - rzestrzeń ciągów sumowalnych Przestrzeń ta jest ośrodowa. Należy wsazać zbiór Z będący jej ośrodiem. Niech więc Z będzie zbiorem wszystich untów ostaci y =t 1,t 2,...,t m, 0, 0,...), gdzie m =1, 2,..., a t 1,t 2,,...t m są liczbami wymiernymi. Wtedy y l bo, t = m t <. Ja łatwo widać, zbiór Z jest rzeliczalny, wystarczy więc oazać jego gęstość w l. Weźmy w tym celu dowolny x =t s ) l. Musimy oazać, że w dowolnym jego otoczeniu istnieją unty ze zbioru Z. Weźmy zatem ε>0iniechm będzie taie ustalone, że s 1 =m+1 2 ε. Wybierzmy dalej taie liczby wymierne t 1,t 2,...,t m ta, aby m t s 1 2 ε. Przyjmijmy y =t 1,t 2,...,t m, 0, 0,...). Wtedy m y x = t s + s ε. =m+1 Zatem w ażdym esilonowym otoczeniu untu x l istnieją unty y Z. Zdowolnościx mamy tezę. Zanim odamy olejny rzyład rzestrzeni ośrodowej, sformułujemy rzydatne twierdzenie o arosymacji funcji ciągłych wielomianami. Zainteresowanych szczegółami dowodu, odsyłamy do [5] lub [6]. 19

Twierdzenie 2.1. Twierdzenie Weierstrassa o arosymacji funcji ciągłych wielomianami. Jeżeli u jest funcją ciągłą oreśloną na odzbiorze zwartym rzestrzeni eulidesowej m-wymiarowej, to istnieje ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie na do funcji u. Twierdzenie 2.2. Twierdzenie Weierstrassa o arosymacji funcji ciągłych wielomianami trygonometrycznymi. Jeżeli u jest funcją ciągłą zmiennej rzeczywsitej oresową o oresie 2π, to istnieje ciąg wielomianów trygonometrycznych zbieżny jednostajnie na na zbiorze R do funcji u. Wyjaśnijmy, że wielomianem trygonometrycznym nazywamy funcję ostaci n wt) =a 0 + a cost + b sint), rzy czym z oreślenia tego widać, że jeśli wt) jest wielomianem trygonometrycznym, to wt + t 0 ) też oraz, że suma i iloczyn dwóch wielomianów trygonomterycznych też są wielomianami trygonometrycznymi. Przyład 17. Przestrzeń C, K) Przestrzeń ta jest ośrodowa. Przyładem zbioru rzeliczalnego gęstego Z jest zbiór wszystich wielomianów o wsółczynnniach wymiernych. Istotnie, weźmy dowolną funcję u : K. Zbiór jest zwarty, więc na odstawie twierdzenia Weierstrassa o arosymacji funcji ciągłych wielomianami dla ażdej liczby ε>0 istnieje tai wielomian w 0,że ut) w 0 t) 1 ε dla wszystich t. 2 Oczywiście można znaleźć wielomian w o wsółczynniach wymiernych, sełniający nierówność: w 0 t) wt) 1 ε dla wszystich t 2 wystarczy, aby wsółczynnii wielomianu w dostatecznie mało różniły się od odowiednich wsółczynnniów wielomianu w 0 ). Z obu owyższych nierówności wynia, że ut) wt) ut) w 0 t) + w 0 t) wt) dla wszystich t. Zatem u w =su ut) wt) ε. t Z dowolności funcji u C, K) iε > 0 wynia, że zbiór wielomianów o wsółczynniach wymiernych jest gęsty w tej rzestrzeni. Wystraczy jeszcze tylo zauważyć, że zbiór ten jest rzeliczalny. Przyład 18. Przestrzeń L, K) Przestrzeń ta jest ośrodowa. A jeśli zbiór jest ograniczony, to zbiór rzeliczalny złożony ze wszystich wielomianów o wsółczynniach wymiernych jest gęsty w tej rzestrzeni. 20

2.5 Izomorfizm rzestrzeni unormowanych Rozważmy dwie rzestrzenie unormowane X, w srócie będziemy isali tylo X i Y ). Definicja 2.6. Przestrzenie unormowane X i Y nazywamy izomorficznymi, jesli istnieje odwzorowanie różnowartościowe liniowe U rzestrzeni X na rzestrzeń Y taie, że x n 0 wtedy i tylo wrtedy, gdy Ux n ) 0. Odwzorowanie U nazywamy izomorfizmem X na Y. Jeśli dodatowo sełniony jest warune Ux) = x dla ażdego x X, torzestrzeniex i Y nazywamy izometrycznie izomorficznymi. Przyład 19. Przestrzenie c i c 0 są izomorficzne. Jao odwzorowanie U rzestrzeni c na c 0 będące izomofizmem można wybrać Ux) =y, dlay =s ) dla x =t ), rzy czym s 1 = g, s +1 = g t dla =1, 2,..., g = lim t. 2.6 Szeregi elementów rzestrzeni unormowanej Rozważmy ciąg niesończony elementów rzestrzeni unormowanej X, czyli ciąg ostaci a n ) n=1, gdziea n X dla ażdego n =1, 2,... W szczególnym rzyadu, gdy X = R jest to znany z wcześniejszych wyładów ciąg liczbowy. Definicja 2.7. Powiemy, że szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum częściowych, tzn. ciąg elementów: m S m = a n = a 1 + a 2 + + a m P dla m =1, 2,... n=1 jest zbieżny do ewnego elementu a X. Elementa nazywamy wówczas sumą szeregu i iszemy a n = a. n=1 Z ciągłości działań w rzestrzeni unormowanej wyniaja natychmiast twierdzenia. Twierdzenie 2.3. Jeżeli szeregi n=1 a n i n=1 b n elementów rzestrzeni unormowanej X są zbieżne, to zbieży jest również szereg n=1 a n + b n ) i zachodzi równość: a n + b n )= a n + a n. n=1 n=1 n=1 Twierdzenie 2.4. Jeżeli szereg n=1 a n elementów rzestrzeni unormowanej X jest zbieżny, to dla ażdej liczby α zbieży jest również szereg n=1 αa n i zachodzi równość: αa n = α a n. n=1 n=1 21

Twierdzenie 2.5. Załóżmy, że X jest rzestrzenią Banacha. Szereg n=1 a n elementów tej rzestrzeni jest zbieżny wtedy i tylo wtedy, gdy ε>0 N N a m+1 + a m+2 + + a) m ε dla m>n N, 12) Dowód. Zauważmy że a m+1 + a m+2 + + a m = S m S n, zatem warune 12) jest równoważny temu, że ciąg S m ) m=1 sum częściowych tego szeregu jest ciągiem Cauchy ego. Ale X jest rzestrzenią Banacha, więc jest to równoważne zbieżności tego ciągu, co z definicji, daje zbieżność szeregu n=1 a n. Definicja 2.8. Powiemy, że szereg n=1 a n jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy n=1 a n. Twierdzenie 2.6. Każdy bezwzględnie zbiezny szereg n=1 a n elementów rzestrzeni Banacha jest zbieżny, a jego suma sełnia nierówność: a n a n. 13) n=1 n=1 Dowód. Zauważmy że, jeżeli ε jest daną liczbą dodatnią, to wobec zbieżności szeregu liczbowego n=1 a n istnieje taie N, że a n+1 + a n+2 + + a m ε dla m>n N. Z nierówności trójąta dla normy mamy natychmiast: a m+1 + a m+2 + + a m a n+1 + a n+2 + + a m ε dla m>n N. Zatem zbieżność szeregu n=1 a n jest onsewencja orzedniego twierdzenia bo ciąg sum częściowych sełnia warune Cauchy ego). Aby uzysać nierówność 13) wystarczy rzejść do granicy rzy m w nierówności m m a n a n m =1, 2,...), n=1 n=1 uwzględniając ciągłość normy i fat, że szeregi są zbieżne). Można odowodnić również twierdzenie odwrotne: Twierdzenie 2.7. Jeżeli ażdy bezwzględnie zbieżny sezreg n=1 a n elementów rzestrzeni unormowanej X jest zbieżny, to X jest rzestrzenią Banacha. 22