PERTURBACJE Z OBLICZANIEM POLA MAGNETYCZNEGO SOLENOIDU

Kytyn PAWLUK PERTURBACJE Z OBLICZANIEM POLA MAGNETYCZNEGO SOLENOIDU STRESZCZENIE Pzeanalizowano algoytmy do obliczania indukcji magnetycznej w olenoidzie z uwzględnieniem modeli tuktualnych o óŝnych topniach upozczenia, pod kątem widzenia wykozytania wyników obliczeń pzy analizie ozwiązań technicznych układów pomiaowych wykozytujących zjawiko magnetooptyczne Faadaya. Kozytając z opacowanego pzez autoa pakietu pogamów komputeowych zapezentowano niektóe wyniki obliczeń kładowej oiowej i adialnej indukcji magnetycznej w amym olenoidzie i poza jego kańcami, co pozwoliło ocenić paktyczną dopuzczalność wybanych modeli tuktualnych z punktu widzenia oiąganych dokładności obliczeń. Słowa kluczowe: pawo Biota-Savata, pole magnetyczne, olenoid. WPROWADZENIE Zainteeowanie tematem obliczania pola magnetycznego w olenoidzie wynika z potzeb pojektu badawczego* ) powadzonego w Intytucie Elektotechniki, któego pzedmiotem jet zatoowanie otacji Faadaya w układach zawieających mazyny i apaaty elektyczne. Zjawiko magnetooptyczne zwane zjawikiem (lub otacją) Faadaya polega na tym, Ŝe * ) Pojekt badawczy N N N50 387735 Badania ozkładu pól magnetycznych w uządzeniach elektomagnetycznych z wykozytaniem efektów magnetooptycznych w światłowodach. pof. d hab. inŝ. Kytyn PAWLUK e-mail: pawluk@iel.waw.pl Zakład Mazyn Elektycznych Intytut Elektotechniki PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zezyt 38, 008

6 K. Pawluk gdy na liniowo polayzowany tumień świetlny w śodowiku dielektycznym oddziałuje tacjonane pole magnetyczne, któego wekto indukcji jet kieowany zgodnie z kieunkiem tumienia świetlnego, to jego płazczyzna polayzacji ulega kęceniu o kąt: β V B d () gdzie B indukcja magnetyczna, d długość obzau pola magnetycznego działającego na tumień świetlny, V tała Vedeta, wyaŝona w ad/(t m). Kieunek kęcenia płazczyzny polayzacji moŝe być zgodny z uchem wkazówek zegaa lub pzeciwny, w zaleŝności od tego, czy kieunki tumienia świetlnego i wektoa indukcji magnetycznej ą ówno- czy antyównoległe. Na zjawiku Faadaya opiea ię działanie pewnych pzyządów pomiaowych. W Intytucie Elektotechniki powadzi ię aktualnie pace badawcze co do moŝliwości jego wykozytania w mazynach i apaatach elektycznych [8]. Odpowiednie kontukcje mogą polegać na uytuowaniu światłowodu wewnątz olenoidu wytwazającego pole magnetyczne. Pzez światłowód pzepuzcza ię liniowo polayzowany tumień świetlny i miezy ię kęcenie kąta polayzacji po dugiej tonie olenoidu. Niniejza paca jet poświęcona technice obliczania indukcji magnetycznej w potoliniowym olenoidzie, zaówno w jego wnętzu jak i w obzaach poza właściwym olenoidem, tj. wzędzie tam, gdzie miałby być uytuowany światłowód. Indukcja magnetyczna wewnątz olenoidu nie jet tała w pozczególnych punktach olenoidu, lecz wykazuje chaakteytyczną zmienność oiową i pomieniową. śeby na podtawie zmiezonego kęcenia kąta polayzacji pomienia świetlnego moŝna było wniokować o watości indukcji magnetycznej, jej ozkład pzetzenny w amym olenoidzie i poza jego kańcami powinien być ilościowo ozpoznany i obliczony z wytaczającą dokładnością. Klayczna elektotechnika zajmowała ię poblemem pola magnetycznego w olenoidzie juŝ od badzo dawna dotaczając zeegu wzoów matematycznych na obliczanie indukcji magnetycznej w olenoidzie, patz [3] i [6]. Pozczególne wyaŝenia podawane pzez óŝnych autoów óŝnią ię między obą pzyjmowanymi załoŝeniami upazczającymi, co kutkuje pewnymi ozbieŝnościami w dokładności obliczanych wyników. Pzytępując do zefeowania tego poblemu wpowadzimy podtawowe oznaczenia: N liczba zwojów cewki olenoidu, pzy czym oganiczamy ię tutaj do uzwojenia jednowatwowego ), ) Uzwojenie wielowatwowe uwzględnia ię w dodze potej upepozycji wyników.

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 7 L długość olenoidu, któą taktujemy jako ówną: p (N ), gdzie p epezentuje pokok oiowy uzwojenia ówny zeokości pzewodu liczonej waz z izolacją plu odtęp międzyuzwojeniowy, R śedni pomień olenoidu liczony od jego oi do śodka pzekoju pzewodu cewki, I pąd olenoidu. Pzytoczymy tu upozczenia pzyjmowane pzez óŝnych autoów w teoii pola magnetycznego olenoidu [3], [6], [7]. Według zaadniczej idei tych upozczeń ozmia pzekoju pzewodu twozącego olenoid jet zaniedbywany. WyóŜnimy tu 3 podtawowe waianty:. Działanie magnetyzujące cewki powadza ię do działania okładu pądu keślonego jako τ NI L. Okład ten taktuje ię jako ozłoŝony ównomienie: obwodowo na pomieniu R i oiowo na całej długości L olenoidu; wymia geometyczny pzekoju pzewodu jet w tym modelu zaniedbywany.. Cewka olenoidu jet modelowana pzez układ N wpółoiowych cewek o pomieniu R, uytuowanych w odtępach p i wiodących pąd I, pzy czym pąd ten taktuje ię jako kupiony w śodku pzekoju pzewodu. Tak jak w popzednim modelu wymia pzekoju pzewodu jet tu więc teŝ pomijany. Zaniedbuje ię takŝe wpływ pądu w połączeniach pozczególnych cewek, któy nota bene moŝe podlegać oddzielnemu obliczeniu. 3. Cewka olenoidu twozy linię pialną o pomieniu R i o pokoku p, co odpowiada zeczywitej tuktuze cewki olenoidu, lecz pąd I jet tu ównieŝ taktowany jako kupiony w śodku powiezchni pzekoju pzewodu. Wzytkie tzy wymienione tu modele mogą mieć zatoowanie do obliczenia indukcji magnetycznej w olenoidzie w tych pzypadkach, gdy tounek wymiaów pzekoju pzewodu do pomienia olenoidu R jet dotatecznie mały. Gdy to nie zachodzi, to obliczanie pola w olenoidzie i poza jego kańcami powinno uwzględniać zeczywity, ównomieny ozkład pądu po całej powiezchni pzekoju pzewodu. Modele odpowiadające tej ytuacji nie ą na ogół ozpatywane w monogafiach z teoii elektotechniki. W niniejzej pacy zamiezczono odpowiednie wyaŝenia całkowe, któymi auto połuŝył ię opacowując pogamy komputeowe do obliczania indukcji magnetycznej w olenoidzie z uwzględnieniem zeczywitych wymiaów pzewodów, patz Dodatek. Podano tu ównieŝ wybane wyniki obliczeń chaakteyzujące topień dopuzczalności niektóych upozczeń, wzytko pod kątem widzenia

8 K. Pawluk ozkładów indukcji magnetycznej, któa ma oddziaływać na światłowód z liniowo polayzowanym pomieniem świetlnym w uządzeniach elektotechnicznych wykozytujących zjawiko Faadaya.. PRAWO BIOTA-SAVARTA Podtawą fizyczną do obliczania wielkości pola magnetycznego w olenoidzie jet pawo Biota-Savata, zapiywane klaycznie jako zaleŝność natęŝenia pola magnetycznego (w wybanym punkcie P pzetzenni) od pądu elektycznego w pzewodzie okeślonego kztałtu, pzytaczane tadycyjnie w potaci: I l H d (P) 4 π () C QP 3 QP gdzie C ymbolizuje taę pzewodu wiodącego pąd elektyczny o wektoowym elemencie óŝniczkowym pądu I d l, pzy czym QP epezentuje wekto wodzący (o nomie QP ) kieowany od uytuowanego na C punktu źódłowego Q do punktu polowego P. W inteeujących na zatoowaniach wyaŝenie () dotyczy punktu P w pzetzeni z wyłączeniem amego pzewodu. Gdy pzewód znajduje ię w śodowiku powietznym lub dielektycznym, to indukcję magnetyczną w P oblicza ię oczywiście jako B(P) H (P) (3) µ 0 gdzie µ 0 oznacza tałą magnetyczną. W niniejzym atykule ozpatzono najpiew wymienione powyŝej podejścia pzybliŝone zaniedbujące wymiay geometyczne pzekoju pzewodu. W tych pzypadkach pawo Biota-Savata () (z uzupełnieniem (3)) tanowi wytaczającą podtawę algoytmów obliczeniowych. W pzypadku, gdy wymia pzekoju pzewodu nie moŝe być zaniedbywany, pawo Biota-Savata mui uwzględniać ównieŝ całkowanie po powiezchni pzekoju pzewodu i tzeba je ozpatywać w ozwiniętej potaci; zapiując je dla wektoa indukcji magnetycznej, otzymamy: B(P) µ σ dl 0 π S C 4 3 QP QP d (4)

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 9 gdzie σ oznacza gętość pądu w pzewodzie, S ymbolizuje pzekój pzewodu, a d to jego kalany element óŝniczkowy. Analiza numeyczna dotacza wkazówek, w jakich pzypadkach zeczywity ozmia pzewodu olenoidu powinien być w obliczeniach uwzględniany wyaŝenie (4), a kiedy dopuzczalne jet intepetowanie pądu pzewodu olenoidu jako kupionego w geometycznym śodku jego pzekoju wyaŝenia () i (3). Zapianie konketnych wyaŝeń matematycznych na indukcję magnetyczną B w olenoidzie i w jego otoczeniu, ściślej na jej tzy kładowe, pzy uwzględnieniu kończonych wymiaów pzekoju pzewodu wymaga całkowania numeycznego; w opacowanych pogamach komputeowych auto połuŝył ię kwadatuą Gaua, a wyaŝenia zczegółowe zatoowanej tu jej weji dwuwymiaowej pzytoczono w Dodatku. 3. POLE MAGNETYCZNE NA OSI PĘTLI Z PRĄDEM W zaleŝności od odzaju pzewodu pętli z pądem moŝna wyóŝnić tzy pzypadki: gdy cały pąd taktuje ię jako kupiony w geometycznym śodku pzekoju pzewodu pętli (y.), gdy uwzględnia ię, Ŝe gętość pądu jet ozłoŝona ównomienie po całym pzekoju potokątnym pzewodu, o bokach a x b (y. ), i podobnie dla pzewodu o pzekoju kołowym, o śednicy R c (y. 3). Pzypadek. Pętlę w kztałcie okęgu taktujemy jako model podtawowy dla całej teoii olenoidu; podamy tu fomalny tok ozumowania powadzący od pawa Biota-Savata do wyaŝenie na indukcję magnetyczną w oi pętli. Ryunek pokazuje pętlę utwozoną z pzewodu (o zaniedbywanych ozmiaach pzekoju) wiodącego pąd elektyczny I, któa jet ufomowana jako okęg koła o pomieniu R. Pzyjmiemy globalny układ wpółzędnych potokątnych (x, y, z) o początku w geometycznym śodku pętli, pzy oznaczeniach i, j, k, dla odpowiednich wektoów jednotkowych. Zatoujemy podwójne oznaczenia pozczególnych kładowych: dla punktu polowego P zachowamy oznaczenia podtawowe x, y, z, pzy czym pętla z pądem będzie uytuowana w płazczyźnie (x, y), a oi pętli pzypoządkowujemy zmienną z. Rozpoczynając analizę od pola tylko na oi pętli oganiczamy ię do punktu polowego P(0, 0, z ), któy moŝemy oznaczać kótowo jako P(z ). Dla punktu źódłowego Q toujemy oznaczenia wpółzędnych o bliźniaczych ymbolach ξ, η, ζ. Punkt źódłowy ozpatujemy jako zlokalizowany w geometycznym śodku pzekoju pzewodu pętli, tak więc Q(ξ,η, 0) Q(ξ, η ).

0 K. Pawluk y,η R dl Q(ξ,η ) φ QP P(z ) z,ζ x,ξ Ry.. Stuktua geometyczna pętli z pądem Pzez dl i R inφ dφ + j R coφ d φ oznaczamy wektoowy element óŝniczkowy tay opiującej pętlę, a wyaŝenie I d l epezentuje wektoowy element óŝniczkowy pądu pętli. Wekto wodzący QP jet kieowany od punktu źódłowego Q do polowego P i wyaŝa ię jak natępuje: ( 0 ) ( 0 ) ( z 0) i R coφ + j R inφ + k i R coφ j R inφ + k z QP a jego noma euklideowa jet dana wyaŝeniem: (5) z z (6) QP QP R co φ + R in φ + R + Zatoujemy pawo Biota-Savata, pzy czym iloczyn wektoowy zapiujemy w potaci wyznacznika: µ B(P) 4π π 0I R R inφ dφ R coφ dφ i j k coφ ( R + z ) 0 R inφ 3 0 z (7) Piewza, popocjonalna do i kładowa iloczynu wektoowego ma licznik ówny z co φ d φ, a więc po całkowaniu w ganicach kąta pełnego znika, R i podobnie duga kładowa popocjonalna do j, czego oczywiście moŝna ię podziewać ze względu na ymetię oiową pola magnetycznego. Tak więc w punkcie P itnieje tylko kładowa z-owa indukcji magnetycznej, a więc tylko wyaz popocjonalny do wektoa jednotkowego k. Po wykonaniu całkowania,

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu któe w tym pzypadku powadza ię do potego wymnoŝenia pzez π, otzymuje ię natępujące wyaŝenie: B z ( R co φ + R in φ ) ( R + z ) π µ 0I µ 0I R 4 φ 3 3/ π 0 R + z ( z ) d (8) któe w podęcznikach elektotechniki jet powzechnie pzytaczane w potaci: µ 0I Bz( z ), patz np. [3]. 3/ R + ( z R ) Pzykładowo dla danych: I 000 A i R 0 mm otzymuje ię dla punktu polowego P okeślonego pzez z natępujące watości B z (z ): z 0 mm, B z (0) 6,83 mt z 5 mm, B z (5) 3,70 mt z 0 mm, B z (0),4 mt. Pzypadek. Rozpatujemy pzewód pętli o bokach pzekoju a i b, yunek. Za źódło wzbudzenia pola pzyjmujemy teaz nie pąd elektyczny, lecz gętość pądu σ I 4ab ozłoŝoną ównomienie po całym pzekoju pzewodu. Teaz zamiat wzoów () i (3) tzeba zatoować wyaŝenie (4) uwzględniające całkowanie po powiezchni pzekoju. Zatoujemy tutaj cylindyczny układ wpółzędnych (, θ, z), któe dla punktów źódłowych oznaczymy jako (ρ, φ, ζ ). Dzięki ymetii oiowej tuktuy pętli o potokątnym pzekoju pzewodu moŝna pzy całkowaniu połuŝyć ię potokątnym, dwuwymiaowym układem wpółzędnych globalnych (ρ, ζ), tj. podukładem globalnego układu cylindycznego (, θ, z) z oznaczeniami zmiennych jak dla punktu źódłowego. WyaŜenie na wpółzędną oiową indukcji magnetycznej w punkcie polowym P(z ) będzie w tym układzie okeślone natępującą całką powiezchniową: Bz R + b a µ 0σ ρ dζ d ρ 3 / R b a ρ + ( z ζ ) ( z ) (9) któą moŝna obliczyć kwadatuą Gaua, patz Dodatek, jak natępuje:

K. Pawluk gdzie i i j j N N µ 0I ρ W W 3 j i j / i j ρ + ( z ζ ) B( z ) (0) 8 j i ζ a U ; ρ R + b U, pzy czym U, U, W, W wpółczynniki i wagi kwadatuy zędu N, np. N 4 patz Dodatek. i j i j b σ R σ λ,ϕ R R c a z z z z Ry.. Pętla z pądem o pzekoju potokątnym Ry. 3. Pętla z pądem o pzekoju kołowym Pzypadek 3. Rozpatzymy teaz pzewód o pzekoju kołowym. W tym pzypadku wygodnie jet połuŝyć ię pomocniczo nowym lokalnym układem λ, ϕ zdefiniowanym na powiezchni pzekoju wpółzędnych biegunowych ( ) pzewodu (y. 3). Składowa oiowa indukcji magnetycznej na oi pętli wyaŝa ię teaz natępującą całką: Bz π Rc µ 0σ 3 ρ λ dλ dϕ 3 / 0 0 ρ + ( z ζ ) ( z ) () gdzie ρ R + λ in ϕ, ζ λ co ϕ. Stoownie do (D-) obliczenie tej całki moŝna pzepowadzić podaną poniŝej kwadatuą, w któej wpółczynniki i wagi kwadatuy Gaua touje ię tylko do zmiennej ρ, a wobec zmiennej ϕ pzyjmuje ię dyketyzację polegającą na M-kotnym (np. M 6) podziale kąta pełnego. Tak więc, po dokonaniu toownych podtawień będzie:

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 3 B z N M µ 0 I W π 3 Rc M ( z ) ρ λ ij i i / i j ρi j + ( z ζ i j ) () R gdzie c π λi ( + Ui ); ϕ j ( j ) ; ρi j R + λi in ϕ j; ζ i j λi co ϕ j. M Poównanie wyników obliczenia kładowej oiowej indukcji magnetycznej wzbudzonej pądem pojedynczej pętli dla tzech wyŝej omówionych waiantów pokazano na yunku 4. W punkcie P odpowiadającym z 0 (śodek geometyczny pętli) óŝnica na kozyść pądu kupionego w oi pzekoju pzewodu (kzywa ) jet wyaźna, 83,8 mt wobec 78,0 mt dla pzekoju kołowego (kzywa ) i 7,7 mt dla pzekoju kwadatowego (kzywa 3). 90 80 70 3 Indukcja magnetyczna, mt 60 50 40 30 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 punkt na oi liczony od śodka pętli, mm Ry. 4. Składowa oiowa indukcji magnetycznej wzbudzonej pętlą z pądem I 000 A, R 7,5 mm : pąd kupiony w oi pzewodu pętli, pzewód o pzekoju kołowym R c 5,0 mm, 3 pzewód o pzekoju kwadatowym a b 5,0 mm W miaę oddalania ię punktu polowego od śodka pętli natępuje oczywite zmniejzanie watości indukcji magnetycznej, lecz dla watości z zbliŝonej do kańca bocznego pzekoju pzewodu (z a, czy teŝ, z R) indukcja magnetyczna dla pzypadku kwadatowego nieznacznie pzewyŝza indukcję pzy pzewodzie kołowym, co oczywiście tłumaczy ię oddziaływaniem gętości pądu w obzaze dolnego naoŝa pzekoju kwadatowego. Pzy dalzym oddalaniu ię punktu P(z ) od pętli z pądem wpływ ozmiaów

4 K. Pawluk pzekoju pzewodu zanika. Z danych powyŝzego pzykładu wynika waŝny wnioek, co do dopuzczalnych upozczeń pzy obliczaniu pola magnetycznego w całym olenoidzie powadzających ię do dopuzczalności pomijania wpływu ozmiaów pzekoju pzewodu, zczególnie w pzypadku dłuŝzych olenoidów. 4. POLE MAGNETYCZNE W OSI SOLENOIDU Pzechodząc od analizy pojedynczej pętli do pola magnetycznego w oi olenoidu ozpatzymy 3 modele tuktualne: model tubowy z okładem pądu, układ wpółoiowych pętli z pądem, olenoid o uzwojeniu pialnym. 4. Model tubowy z okładem pądu Najpotzym modelem tuktualnym olenoidu pzytaczanym w podtawowych podęcznikach z zakeu elektomagnetyzmu, patz [3] i [6], jet tuba o długości L, i o pomieniu R, na powiezchni któej wytępuje gętość liniowa pądu (okład pądu) o watości τ NI L kieowana tycznie do powiezchni tuby (y. 4). L / τ L / β β z z Ry. 5. Tubowy model olenoidu z okładem pądu τ Model ten o tyle óŝni ię od pętli, Ŝe zamiat pzyjmowania w obliczeniach tałej watości pądu kupionego w śodku pzewodu pętli mui być pzepowadzone całkowanie gętości liniowej pądu τ względem zmiennej źódłowej ζ. Zamiat wyaŝenia (8) otzymamy więc:

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 5 B z L µ 0τ R ζ d 3 / L R + ( z ζ ) ( z ) (3) WyaŜenie to daje ię całkować analitycznie po podtawieniu: ζ z R ctg β R i konekwentnie dζ dβ, co powadzi do potego wzou na kładową in β oiową indukcji magnetycznej w oi olenoidu epezentowanego modelem tubowym z okładem pądu: π-β N I Bz( z ) β β L in d β (4) w któym w ganicach całki wytępują watości koinuów kątów β i β pokazanych na yunku 5. Po całkowaniu otzymuje ię: N I B ( z ) co β co β (5) z [ ] + L gdzie L ± z co β,. 4R + ± ( L z ) Oczywiście powyŝze wyaŝenie wpowadza pełne uśednienie wyników obliczenia i nie uwzględnia ubtelnego wpływu zeczywitych wymiaów pzekoju uzwojenia olenoidu ani odtępów międzyzwojowych, któe mają dyketny chaakte. 4.. Pole magnetyczne w oi układu wpółoiowych pętli z pądem Solenoid moŝna takŝe analizować w opaciu o inny model upozczony, jako układ identycznych, wpółoiowych pętli w liczbie N zailanych

6 K. Pawluk identycznym pądem I. Składową oiową indukcji magnetycznej w oi takiego układu otzymuje ię pzez pote umowanie indukcji wzbudzanej pądami pozczególnych pętli z uwzględnieniem ich wzajemnej odległości. W obliczeniach dogodnie jet pzyjąć początek układu wpółzędnych w geometycznym śodku układu pętli, tj. w śodku pętli śodkowej, gdy liczba pętli N jet liczbą niepazytą, lub w śodku między dwoma centalnymi pętlami pzy pazytym N. Na pzykład w pzypadku, gdy cały pąd pozczególnych pętli jet taktowany jako kupiony w śodku pzekoju pzewodu, to dla kładowej oiowej indukcji magnetycznej w oi olenoidu obowiązywać będzie odpowiednia, łatwa do zapogamowania uma wyaŝeń (8), B z N µ 0I R 3/ k R + ( z ζ k ) ( z ) (6) N gdzie + ζ k p k okeśla połoŝenie pozczególnych pętli względem śodka olenoidu, pzy czym p pokok uzwojenia olenoidu. W pzypadku uwzględniania gętości pądu ozłoŝonego ównomienie po powiezchni pzekoju pzewodu pozczególnych pętli, odpowiednie wyaŝenia otzymuje ię w dodze potych uogólnień wzoów (0) i (). Będzie więc dla olenoidu o pzewodzie potokątnym, zgodnie z (D-): N N N µ 0I ρ j Wi W j 3/ 8 k i j ρ j + ζ i + ζ k B( z ) (7) ( z ( )) i dla olenoidu o pzewodzie o pzewodzie okągłym, zgodnie z (D-): B z N N M µ 0 I ij i Wi π 3/ Rc M k i j ρ i j + i j + k ( z ) ρ λ ( z ( ζ ζ )) (8) gdzie ζ k jak w (6), ζ i i ρ j jak w (0), a ρ ij, ζ ij i λ i jak w ().

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 7 4.3. Pole magnetyczne w oi olenoidu o pialnej linii uzwojenia Najdokładniejze obliczenie indukcji magnetycznej w oi olenoidu otzymuje ię taktując linię uzwojenia olenoidu jako odpowiadającą zeczywitości linię pialną S o śednim pomieniu R, dla któej ównania we wpółzędnych walcowych, θ, z (zapiane w bliźniaczych wpółzędnych ρ, φ, ζ jak dla zmiennych punktu źódłowego) ą natępujące: p ρ R ζ ; φ π (9) lub we wpółzędnych katezjańkich: p ξ R co φ ; η R in φ ; z φ π (0) Początek układu wpółzędnych wybiea ię w geometycznym śodku olenoidu, któy taktujemy jako zbudowany ze kończonej liczby N połączonych zeegowo identycznych zwojów pialnych o pokoku p L N i o pomieniu R. Zgodnie z powyŝzym płazczyzna (x, y) jet tak uytuowana, Ŝe dla kąta φ 0 punkt (x, y) (R, 0) leŝy na linii pialnej, jet więc dla pola magnetycznego punktem źódłowym o wpółzędnych Q(R, 0), a punkt (x, y) (0, R ) leŝy na ¼ pokoku p od linii pialnej i tym amym nie jet punktem źódłowym pola magnetycznego. Zgodnie z powyŝzym wekto wodzący punktu P(z ) na oi olenoidu liczony od punktu Q na linii pialnej dany jet wyaŝeniem QP i R coφ j R inφ + k z pφ π () φ π, a nomą euklideową wektoa wodzącego jet: pzy czym [ N π, N ] QP z QP R + p φ π () Pawo Biota-Savata wyaŝające indukcję magnetyczną na oi olenoidu pzyjmuje potać:

8 K. Pawluk i j k µ 0I B( P) 4π N π Nπ R inφ dφ R coφ dφ R coφ R inφ z R + z pφ π 3 0 pφ π (3) pzy czym całkowanie pzebiega od minu do plu N kotności kąta π. Wybieając z (3) kładnik popocjonalny do wektoa jednotkowego k i dokonując odpowiedniego całkowania (pzez wpowadzenie nowej zmiennej β, podobnie jak w pzypadku całki (3), znajduje ię, patz [7], Ŝe w punkcie polowym P(z ) na oi olenoidu obowiązuje natępujące wyaŝenie analityczne na kładową oiową indukcji magnetycznej: µ I N p + z N p z B( z ) + 0 p 4R + ( N p + z ) 4R + ( N p z ) Wato zwócić uwagę, Ŝe ułamki w nawiaie kwadatowym okeślają te ame koinuy kątów β i β, któe pokazano na y. 4 w odnieieniu do modelu tubowego z okładem pądu. Autoki pogam Solenoid_ z pakietu Solenoid, patz Dodatek, jet pzeznaczony do obliczania kładowej oiowej indukcji magnetycznej dla okeślonej liczby punktów polowych na oi olenoidu (zaówno wewnątz jak i poza jego kańcami) pzy załoŝeniu, Ŝe pąd jet taktowany jako kupiony w oi pzewodu. Obliczenie jet ealizowane według dwóch waiantów: S) uzwojenie olenoidu ma kztałt linii śubowej, C) uzwojenie olenoidu jet modelowane układem wpółoiowych pętli kołowych. W tabeli pokazano chaakteytyczne óŝnice między waiantami S (lub C), a waiantem tubowym z okładem pądu, odnozące ię do wnętza olenoidu o danych I 000 A; R 3,0 mm; N 40; L 47,0 mm, tąd p,75 mm. W obliczonym pzypadku obliczenie wg S daje watości identyczne (pzynajmniej w zakeie tzech miejc znaczących) z waiantem C, (4)

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 9 i to zaówno wewnątz olenoidu jak i poza jago kańcami. Natomiat waiant tubowy z okładem pądu daje w śodku olenoidu watość zawyŝoną o około %, a na kańcu watość zaniŝoną o ponad %. W tabeli podano ównieŝ zakey na długości olenoidu, wzdłuŝ któych ubytek watości B z nie pzekacza toleancji 5 % i 5 % watości B z (0). TABELA Indukcja magnetyczna Wg waiantów S i C Wg waiantu tubowego w śodku olenoidu B z (0) 0,98 T 0,936 T na kańcu olenoidu B z (L /) 0,57 T 0,55 T 3 B z > 0,95 B z (0) na długości 0,43 L 4 B z > 0,85 B z (0) na długości 0,68 L Z pzytoczonego tu pzykładu, dla któego ten apekt wyników B z na oi potwiedził ię w obliczeniach dla kilku innych danych olenoidu, moŝna wniokować, Ŝe jeśli oganiczyć ię do upozczenia pomijającego ozkład pądu na powiezchni pzewodu, to obydwa waianty: C (wpółoiowe pętle) i S (pzewód pialny) dają identyczne wyniki, z dokładnością do tzech miejc znaczących. Od tony pogamowej waiant S jet oczywiście potzy niŝ waiant C. W pzypadku, gdy długość olenoidu jet znacząco więkza od jego pomienia, moŝna takŝe wyazić analitycznie watość kładowej adialnej na oi: µ 0I B [ uk0( u) + K( u) ] (5) p któej watość jet paktycznie tała na całej długości olenoidu, lecz jej kieunek zmienia ię peiodycznie waz kątem φ opiującym linię pialną olenoidu, patz [6]. W wyaŝeniu (5) K0( u), K( u) oznaczają zmodyfikowane funkcje Beela dugiego odzaju, odpowiednio zeowego i piewzego zędu, zeczywitego agumentu u π R p, ównego tounkowi obwodu walca opiującego olenoid do jego pokoku. W paktycznie inteeujących pzypadkach u > 5,0 co pozwala do obliczenia K 0 i K zatoować względnie pote zeegi aymptotyczne, oganiczone tylko do kilku piewzych wyazów, patz [] i [7]. Auto połuŝył ię w obliczeniach odpowiednio pzekztałconą, podaną poniŝej potacią tego zeegu, łatwą do algoytmizacji:

0 K. Pawluk u 4n 4n 3 4n 5 4n 7 π Kn( u) e + + + + [ +...] u 8u 8u 3 8u 4 8u (6) któą, w azie konieczności moŝna łatwo uzupełnić; np. w kolejnym, nie 4n 9 5 8u itd. zapianym tu członie wytąpi ( ) ( ) Obliczanie B ma oczywiście en tylko w pzypadku olenoidów dotatecznie długich i o tounkowo małej śednicy. Np. dla danych: L 50 mm; R 4, 5 mm; N 48; I 000 A otzymujemy u 5, 3 tąd B 0, 003 0T wobec B ( 0) 0, 9T, tak więc w tym pzykładzie kładowa adialna tanowi około,5 % kładowej oiowej wytępującej w śodku olenoidu. Pzewód olenoidu o pzekoju kołowym. śeby uwzględnić kończone wymiay pzekoju kołowego uzwojenia olenoidu, wyaŝenie (4) na kładową oiową indukcji magnetycznej w oi olenoidu powinno być dotoowane do upepozycji oddziaływania elementanych olenoidów utwozonych toownie do podziału kwadatuowego. Pzyjmujemy zatem, Ŝe olenoid wykonany pzewodem, któego pzekój jet kołowy o pomieniu R c, zatępujemy umownymi olenoidami czątkowymi w liczbie N x M (w autokich pogamach zatoowano 4 x 6 64), toownie do idei wyaŝonej w Dodatku. Odpowiednio zmodyfikowane wyaŝenie (4) pzyjmie potać całki: R π µ 0σ N p + zij N p zij B z p c ( ) + ρ d ρ dϕ 0 0 4Rij + ( N p + zij ) 4Rij + ( N p zij ) (7) któą moŝna obliczyć kwadatuą jak natępuje: N M µ 0I N p + zij N p zij B( z) 4R p M + i j 4R N p z 4R N p z gdzie: ( ) ( ) ( ij ) ij ( ij ) ij + + + R c π ρi + Ui ; ϕ j j ; zij z ρi co ϕ j ; Rij R + ρi inϕ j. M ρiwi (8) Pzewód olenoidu o pzekoju potokątnym. W tym pzypadku odpowiednie wyaŝenie całkowe pzyjmuje potać:

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu R + b p a µ 0σ N p + zij N p zij B( z) p + dζ d ρ R p b -a 4Rij + ( N p + zij ) 4Rij + ( N p zij ) (9) Obliczenie kwadatuą pzepowadza ię według wzou: N N µ 0I N p + zi N p zi B( z) + WiW j 4 p i j 4R j + ( N p + zi ) 4R j + ( N p zi ) (30) gdzie: z z au ; R R + bu i i j j 5. POLE MAGNETYCZNE MODELU WSPÓŁOSIOWYCH PĘTLI Z PRĄDEM UOGÓLNIENIE NA PUNKTY POLOWE P(R,Z) Ze względu na znaczny topień zgodności wyników obliczeń kładowej indukcji magnetycznej w oi olenoidu wykonanych według modelu wpółoiowych cewek i według cewki pialnej, w uogólnieniach dotyczących pola magnetycznego poza oią olenoidu oganiczono ię tylko do piewzego modelu. 5.. Wektoowy potencjał magnetyczny pętli Rozpatzymy więc najpiew pole magnetyczne pętli z pądem kupionym w oi pzekoju pzewodu pętli nie oganiczając ię tylko do punktów polowych na jej oi. Stoując cylindyczny układ wpółzędnych oznaczymy wpółzędne punktu polowego P(, θ, z) uytuowanego w dowolnym punkcie pzetzeni (poza amym pzewodem pętli); ze względu na ymetię oiową pola magnetycznego oganiczamy ię do wybanej tałej watości θ 0, tak więc punkt polowy będziemy oznaczać w kócie P(, z). Dla punktu źódłowego uytuowanego w śodku powiezchni pzekoju pętli wpowadzimy wpółzędne Q(R, φ ). Ze względu na ymetię oiową pola wektoowy potencjał magnetyczny A w dowolnym punkcie P(, z) pzetzeni otaczającej pętlę z pądem elektycznym ma w układzie wpółzędnych cylindycznych tylko

K. Pawluk kładową obwodową, tj. definicyjna: A e A ; dla któej obowiązuje natępująca zaleŝność θ θ A θ π µ 0 I µ 0R I φ φ dl co d 4π QP 4π C 0 z + R + R φ co (3) Z intencją powadzenia tego wyaŝenia do potaci paktycznie obliczalnej wpowadza ię nową zmienną ϕ π-θ, tąd coφ in ϕ, co powadzi do wyaŝenia A θ za pomocą całek eliptycznych: A µ R 0 I / θ k K( k) E( k) π k (3) gdzie K( k) i E( k) to całki eliptyczne zupełne piewzego i dugiego odzaju: π/ π/ dϕ K( k) ; E( k) k in ϕ dϕ (33) - 0 k in ϕ 0 wyliczalne łatwo dotępnymi pogamami komputeowymi, a k oznacza ich moduł, któy jet ówny: 4R k z + ( R + ) / (34) i zaleŝny od wpółzędnych punktów: polowego P i źódłowego Q, :pzy czym jego moduł komplementany wyaŝa ię jako: / z + ( R ) k ( k ) z + ( R + ) / (35) 5.. Indukcja magnetyczna pętli Składowe indukcji magnetycznej w P otzymujemy z wektoowego potencjału magnetycznego A e A pzez natępujące definicje óŝniczkowe: θ θ Aθ B ; Bz A z ( ) θ (36)

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 3 Uwzględniając wyaŝenia na pochodne czątkowe całek eliptycznych zupełnych względem ich modułu, patz []: K( k) E( k) E( k) K( k) ; ( E( k) K( k) ) (37) k k k k k i podobnie wyaŝenia na pochodne czątkowe modułu k względem zmiennych i z: 3 3 k k k k zk + 4 z ; z 4R (38) otzymujemy natępujące wyaŝenia na wpółzędne wektoa indukcji magnetycznej B w punkcie P(, z ) w otoczeniu pętli z pądem : µ I k z [ E( ) K( )] 0 B k k k 4π R µ 0I k Bz kz E( k) + K( k) 4π R [ ] (39) (40) gdzie k R + + z + ( ) R z ; kz R + z ( R ) z Dla watości ganicznych dla 0 mamy k R R + z eliptyczne K( k) E( k) π ; wyaŝenie w nawiaie (39) znika dając a wyaŝenie w nawiaie (40) ówna ię π, tak Ŝe dla lim B z 0, a całki B 0 lim 0, otzymuje ię wyaŝenie identycznie z (8). WyaŜenia (39) i (40) dotyczą pzypadku, gdy pąd pętli jet kupiony w śodku pzekoju pzewodu pętli. Uogólnienia na pzypadek uwzględniający kończone ozmiay pzekoju pzewodu mogą być dokonane za pomocą odpowiednich wyaŝeń całkowych, w duchu ozwiązań pzedtawionych w Rozdziale 3. Moduł k całek eliptycznych będzie w tym pzypadku funkcją lokalnych zmiennych ρ i ζ. Oznaczając go, odóŝniająco od k cont wytępującego we wzoze (35), pzez ˆ k k( ρ, ζ ) otzymamy ˆ 4ρ k k( ρ, ζ ) ( z ξ ) + ( ρ + ) /

4 K. Pawluk i podobnej modyfikacji ulegają wpółczynniki: i kˆ z R ( z ζ ) ( R ) + ( z ζ ) kˆ R + + ( z ζ ) ( R ) + ( z ζ ), tak Ŝe wyaŝenia na kładowe indukcji magnetycznej w P(, z) dla pzewodu o pzekoju potokątnym a x b będą: ˆ R + b a µ 0σ S k z ζ B kˆ kˆ kˆ 4π R b a ρ E( ) K( ) dζ d ρ (4) R + b a µ 0σ kˆ S Bz kˆ z k + k ζ ρ 4 ρ E( ˆ) K( ˆ) d d π R b a (4) Odpowiednie wyaŝenia kwadatuowe będą natępujące ˆ B k E( k) K( k) W W (43) N N µ 0 I k z ζ i ˆ ˆ ˆ i j 6π i j ρ j ˆ B k E( k) K( k) W W (44) N N µ 0I k z ˆ ˆ z + ˆ i j 6π i j ρ j gdzie ζ a U ; ρ R + b U, pzy czym U, U, W, W wpółczynniki i i j j i j i j i wagi kwadatuy, a N ząd kwadatuy, patz (D). Odpowiedniej koekcie w tounku do wzoów (39) i (40) podlegają takŝe wpółczynniki k i k z, któe ( z ζ ) j + + i ρ pzyjmują tutaj potać kˆ i kˆ ( ρ j ) + ( z ζ i ) z j ( z ζ ) ρ i ( ρ j ) + ( z ζ i ) Podobnie dla pzewodu o pzekoju kołowym o pomieniu R c : π R S 0 0 ( z ζ ) µ 0σ k B k k k 4 c ˆ λ λ α ρ E( ˆ) K( ˆ) d d π (45) π R S c µ 0σ kˆ Bz kz k k 4 λ λ α ρ E( ˆ) K( ˆ) d d π 0 0 (46)

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 5 gdzie λ i α to zmienne lokalnego układu biegunowego na powiezchni pzekoju pzewodu pętli, a ponadto: ρ R + Rc in α ; ζ R c co α. i j ij ( z ζ ij ) N M µ 0 I k B ˆ kˆ kˆ kˆ λi Wi 8 R M ρ E( ) K( ) π c (47) kˆ B k k k W N M µ 0 I ij z ˆ z λi i 8 R M i j ρij E( ˆ) K( ˆ) π c (48) R c i i j gdzie λ ( + U ); ϕ ( j ) czym i podobnie π M ˆ 4ρij k k( ρij, ζ ij ) ( z ζ ij ) + ( ρij + ) z ρij ( z ζ ij ) ( ρij ) + ( z ζ ij ) kˆ. ; ρi j R λi ϕ j ζ ij i ϕ j + in ; λ co.pzy / ; kˆ ρij + + ( z ζ ij ) ( ρij ) + ( z ζ ij ) 5.3. Indukcja magnetyczna wzbudzona układem wpółoiowych pętli Pzy załoŝonym początku układu wpółzędnych w geometycznym śodku olenoidu kolejne połoŝenia oiowe zwoju wzbudzającego pole magnetyczne w punkcie P(, z ) ą okeślone pzez natępujące watości wpółzędnej ζ : ζ m m L N (49) gdzie: m,,..., N W pzypadku, gdy pąd pętli taktowany jet jako kupiony w geometycznym śodku pzekoju pzewodu, to wpółzędne wektoa indukcji magnetycznej w punkcie P(, z ) otzymuje ię pzez odpowiednie umowanie wyaŝeń (39) i (40) po wzytkich powyŝzych połoŝeniach zwojów pętli: N µ 0 I km z ζ m m m m m R, 4π B k E( k ) K( k ) (50)

6 K. Pawluk N µ 0 I km z z m m + m 4 m R, π B k E( k ) K( k ) (5) pzy czym pozczególne moduły całek eliptycznych będą dane wyaŝeniem: k m / 4R ( z ζ m) + ( R + ) (5) i podobnie wpółczynniki k m R + + ( z ζ m ) ( R ) + ( z ζ ) m ; k z m R ( z ζ m ) ( R ) + ( z ζ ) m (53) pzy czym ζ m jak w (49). Uogólniając to na pzypadek, w któym honoujemy ównomieny ozkład gętości pądu po pzekoju potokątnym a x b pętli; wyaŝenia (50) i (5) pzyjmą potać: ( ζ ζ ) ˆ B k E( k) K( k) W W (54) N N N µ 0 I k z i + m ˆ ˆ ˆ i j 6π m i j ρ j ˆ B k E( k) K( k) W W (55) N N N µ 0I k z ˆ ˆ z + ˆ i j 6π m i j ρ j gdzie kˆ 4ρ j ( z ( ζ i + ζ m )) + ( ρ j + ) / ; kˆ j ( z ( i + m )) ρ + + ζ ζ ( ρ j ) + ( z ( ζ i + ζ m )) j ( z ( i + m )) ρ ζ ζ ( ρ j ) + ( z ( ζ i + ζ m )) ˆ z, ζ m jak w (49), a ζ i.i ρ j jak w (45) i (46). k Podobnie w pzypadku pzewodu o pzekoju kołowym o pomieniu R c otzymamy: N N M µ 0 I kˆ z ( ζ ij + ζ m ) B kˆ k k λiwi 8 R M ρ E( ˆ) K( ˆ) π c m i j ij (56)

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 7 ˆ N N M µ 0σ k Bz kˆ z k + k λi Wi 8 R M m i j ρij E( ˆ) K( ˆ) π c (57) Tutaj kˆ 4ρ ij ( z ( ζ ij + ζ m )) + ( ρij + ) ρij ( z ( ζ ij + ζ m )) ( ρij ) + z ( ζ ij + ζ m ) k ˆ z pzy czym λ i ϕ j ρ ij i ζ ij ( ) / kˆ ρij + + ( z ( ζ ij + ζ m )) ( ρij ) + z ( ζ ij + ζ m ) ( ),, jak w (47) i (48). W tabeli podano poównanie wybanych wyników obliczenia B z według modelu wpółoiowych pętli ealizowanego pzy załoŝeniu, Ŝe: pąd pętli jet kupiony w śodku pzekoju pzewodu waiant CP, uwzględnia ię gętość pądu ozłoŝoną ównomienie po powiezchni pzekoju pzewodu waiant CR, dla natępujących danych olenoidu: L 95 mm, R 6,5 mm, N 48, a,0 mm, b 0,5 mm, I 000 A. Chaakteytyki obliczone dla punktów polowych uytuowanych na oi i podobnie wzdłuŝ linii na pomieniu 7,5 mm nie wykazują dla waiantów CP i CR znaczących ozbieŝności. Inaczej jet dla chaakteytyki dotyczącej pomienia 5,0 mm, a więc punktów polowych oddalonych o 0,75 mm od dutu pzewodu, to jet, paktycznie zecz bioąc, pzylegających do izolacji pzewodu. Kok obliczeniowy punktów polowych wybano jako ówny p, to znaczy, Ŝe kolejne obliczane punkty odpowiadają na pzemian śodkowi pozczególnych pętli i śodkowi odległości między dwoma ąiednimi pętlami. TABELA Wybane dane z chaakteytyki oiowej B z (, z) dla 5 mm Waiant CP Waiant CR w śodku olenoidu B z0 306,5 mt 97,0 mt na kańcu olenoidu B z k+ 35,5 mt 3,0 mt 3 na kańcu olenoidu B z k 30,0 mt 50,0 mt 4 40 mm poza olenoidem B z e 9,0 mt 9,0 mt Na yunku 6 pokazano chaakteytykę B z (z) dla 5 mm w zakeie od śodka olenoidu do punktu odpowiadającego odległości 0,745 mm, obliczoną autokimi pogamami Solenoid_4 i _6, patz Dodatek. W waiancie CP (pąd kupiony) óŝnice B z między dwoma ąiednimi punktami

8 K. Pawluk polowymi ą znaczne, zędu kilkunatu pocent w tounku do śedniej, któą podano w tabeli. W waiancie CR (pąd ozłoŝony po potokącie) te óŝnice ą znikome. 400 Składow oiowa indukcji magnetycznej, mt 350 300 50 00 50 00 50 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Punkty polowe liczone od śodka olenoidu Ry. 6. B z wzdłuŝ olenoidu o danych: L 95 mm, R 6,5 mm, N 48, a,0 mm, b 0,5 mm, I 000 A, obliczona na pomieniu 5 mm, punkty polowe w odległości,074 mm, waiant CP, waiant CR Ogólnie, śednia obliczonych watości wg waiantu CP daje wewnątz amego olenoidu watości zawyŝone w poównaniu do waiantu CR, a tuŝ poza olenoidem ytuacja jet odwotna, waiant CP daje watości zaniŝone w tounku do waiantu CR, lecz w niewielkiej odległości od olenoidu wyniki obliczeń chodzą ię. Sytuację tę ilutuje yunek 7, na któym punkty polowe z numeacją ujemną odnozą ię do wnętza olenoidu tuŝ pzy jego kańcu, a punkty z numeacją dodatnią okeślają obza tuŝ poza kańcem.

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 9 Składowa oiowa indukcji magnetycznej, mt 350 300 50 00 50 00 50 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 Punkty polowe liczone od kańca olenoidu Ry. 7. B z wzdłuŝ obzau kańcowego olenoidu o danych: L 95 mm, R 6,5 mm, N 48, a,0 mm, b 0,5 mm, I 000 A, obliczona na pomieniu 5 mm, punkty polowe w odległości,074 mm, waiant CP, waiant CR, 3 zay olenoidu Składowa adialna wewnątz olenoidu zeuje ię na oi, poza oią ma watość kończoną, lecz znacznie mniejzą od watości kładowej pomieniowej. Pzyjmuje ona więkze watości, gdy punkty polowe zbliŝają ię do pzewodu. Na yunku 8 pokazano obliczone chaakteytyki B (z) cont według waiantu CR, tj. dla pądu ównomienie ozłoŝonego po powiezchni potokątnej pzewodu, dla tzech watości wpółzędnej 7,5 mm,,5 mm i 5,0 mm. Zake chaakteytyki obejmuje otoczenie kańca olenoidu, identycznie jak na yunku 7. Pzebieg B wykazuje chaakteytyczną watość makymalną tuŝ za kańcem olenoidu. Ogólnie bioąc, watości B wzatają w miaę oddalania ię punktu polowego od oi olenoidu.

30 K. Pawluk Składow pomieniowa indukcji magnetycznej mt 40 0 00 80 60 40 0 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 Punkty polowe liczone od kańca olenoidu Ry. 8. B wzdłuŝ obzau kańcowego olenoidu o danych: L 95 mm, R 6,5 mm, N 48, a,0 mm, b 0,5 mm, I 000 A, obliczona na pomieniach: 7,5 mm,,5 mm, 3,5 mm, 4 zay olenoidu; pozczególne punkty polowe w odległości,074 mm, 6. PODSUMOWANIE Teoia pola magnetycznego w olenoidzie zotała opacowana we wczenym okeie ozwoju elektotechniki i dotyczy tanów tacjonanych. Kilka podtawowych modeli olenoidu pzytaczanych w podęcznikach elektotechniki, oganiczających ię do taktowania pądu w cewce olenoidu jako kupionego w śodku pzekoju pzewodu cewki lub opeujących pojęciem okładu pądu powadzą w wyniku obliczeń kładowej oiowej indukcji magnetycznej w punktach uytuowanych na oi olenoidu do pawie identycznych wyników. Pawdopodobnie ten fakt zaciąŝył na tym, Ŝe w zaadzie zaniechano uzczegółowienia tego tematu i podobnie pzytoowania poblemu obliczania pola magnetycznego w olenoidzie do wpółczenym moŝliwości obliczeniowych. Klayczna elektotechnika nie ozpatuje pzypadków, gdy powyŝze załoŝenia co do pądu nie ą pełnione. Potzeba taktowania pądu jako ozłoŝonego po całej powiezchni pzekoju pzewodu, ównomienie lub z uwzględnieniem zjawika wypieania pądu, wytępuje, gdy obliczeniu ma

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 3 podlegać indukcja magnetyczna w punktach polowych uytuowanych poza oią olenoidu. W takich pzypadkach nieodzowne jet ozzezenie klaycznego podejścia o odpowiednie całkowania po powiezchni pzewodu. Omówione w niniejzym atykule modele olenoidu pzyjęto jako podtawę do opacowania kilku pogamów komputeowych. Mogą one połuŝyć do weyfikacji doświadczalnej pod kątem widzenia wykozytania zjawika otacji Faadaya w odnieieniu do apaatów i mazyn elektycznych. Wykaz zczegółowy tych pogamów podano w Dodatku. Wykonane za pomocą tych pogamów obliczenia kontolne, w zczególności poównania wyników pomiaów wykonanych óŝnymi pogamami a odnozących ię do takiej amej ytuacji fizycznej, pozwalają na fomułowania natępujących wnioków: W obliczeniach kładowej oiowej indukcji magnetycznej w punktach leŝących na oi olenoidu, zaówno wewnątz jak i poza jego kańcami wytaczy poługiwać ię modelem upozczonym pomijającym wymiay pzekoju pzewodu cewki, honoując jej taę pialną: wyaŝenie (4), pogam Solenoid_, patz Dod.. W obliczeniach kładowej pomieniowej indukcji magnetycznej w punktach leŝących na oi wewnątz długiego olenoidu, wytaczy poługiwać ię modelem upozczonym pomijającym wymiay pzekoju pzewodu cewki, honoując jej taę pialną: wyaŝenie (5), pogam Solenoid_5, patz Dod. W obliczeniach kładowej oiowej indukcji magnetycznej w punktach leŝących poza oią olenoidu, zaówno wewnątz jak i poza jego kańcami tzeba poługiwać ię modelem upozczonym fomułowanym pzez układ wpółoiowych pętli z pądem, lecz honoować kończone wymiay pzekoju pzewodu pętli: wyaŝenia (55) lub (57), pogamy Solenoid_6 lub _7. W obliczeniach kładowej pomieniowej indukcji magnetycznej w punktach leŝących na oi olenoidu, lecz tylko poza jego kańcami tzeba poługiwać ię modelem upozczonym fomułowanym pzez układ wpółoiowych pętli z pądem, lecz honoując kończone wymiay pzekoju pzewodu pętli: wyaŝenia (54) lub (56), pogamy Solenoid_6 lub _7. Pzytoczone w pacy wyaŝenia na kładowe indukcji magnetycznej odpowiadają ściśle tanom tacjonanym, to jet dotyczą pądu tałego, lub pzemiennego o czętotliwości na tyle nikiej, Ŝe efekt wypieania pądu w cewce olenoidu jet zaniedbywany. Pzypadek, gdy naleŝy liczyć ię z wypieaniem pądu, moŝe być ównieŝ taktowany za pomocą podejścia pzetawionego w niniejzej pacy, pod waunkiem, Ŝe ozkład gętości pądu po pzekoju pzewodu zotanie niezaleŝnie obliczony.

3 K. Pawluk Podtawowa modyfikacja wyaŝeń opiujących pole tacjonane polega na wciągnięciu pod znak całki watości lokalnych gętości pądu, np. σ w ównaniu (9), i toownych dalzych całkowaniach kwadatuowych. Dodatek Pakiet pogamów komputeowych Solenoid klayfikacja Pzyjęte ymbole ytematyzujące poblematykę taktowaną w niniejzej pacy podano W tabeli D- TABELA D- Zaada klayfikacji Według typu cewki olenoidu Według odzaju pzewodu Według obzau obliczeniowego 3 4 Według obliczanej wielkości Symbole klayfikacyjne S cewka pialna model zeczywity C cewki wpółoiowe model pzybliŝony CP pzekój pzewodu pomijalny CR pzekój pzewodu potokątny CC pzekój pzewodu kołowy AX wewnątz i na zewnątz, lecz tylko na oi OU wewnątz i na zewnątz, poza oią BZ kładowa oiowa indukcji magnetycznej BR kładowa pomieniowa indukcji magnetycznej Pogamy komputeowe Wykaz opacowanych pogamów do obliczania indukcji magnetycznej w olenoidzie podano w tabeli D-. TABELA D- Nazwa pogamu Funkcje obliczeniowe Solenoid_ C-CP-AX-BZ & S-CP-AX-BZ Solenoid_ C-CR-AX-BZ & S-CR-AX-BZ 3 Solenoid_3 C-CC-AX-BZ & S-SS-AZ-BZ 4 Solenoid_4 C-CP-OU-BZ 5 Solenoid_5 S-CP-OU-BR 6 Solenoid_6 C-CR-OU-BZ & C-CR-OU-BR 7 Solenoid_7 C-CC-OU-BZ & C-CC-OU-BR

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 33. Całkowanie po potokącie Dodatek Całkowanie numeyczne po powiezchni potokąta i koła wg kwadatu Gaua Pzy załoŝeniu, Ŝe funkcja podcałkowa dwóch zmiennych f ( x, y) jet ciągła i nie ma oobliwości w obzaze całkowania, jej obliczenie kwadatuą Gaua powadza ię do podwójnej umy: b d N N ( b a)( d c) f ( x, y)d y d x f ( xi, y j ) Wi W j (D-) 4 a c i j a + b a b c + d c d gdzie xi Ui ; y j U j pzy czym U i (i podobnie U j ) ą kolejnymi piewiatkami wielomianu Legende a topnia N, a W i (i podobnie W j ) to odpowiadające im wagi tej kwadatuy. Np. dla N 4 mamy: TABELA D- i Odcięte U i Wagi W i 0,86 36 3 594 053 0,347 854 845 37 454 0,339 98 043 584 856 0,65 45 54 86 546 3 0,339 98 043 584 856 0,65 45 54 86 546 4 0,86 36 3 594 053 0,347 854 845 37 454. Całkowanie po kole Klayczna liteatua dotycząca całkowania numeycznego nie podaje gotowych ozwiązań całkowania numeycznego po powiezchni koła. PoniŜej zamiezczamy ozwiązanie (pawdzone pzez autoa, patz [3]) opate na podziale koła na M ównych wycinków o kącie wiezchołkowym ównym φ π/m i na zatoowaniu dla zmiennej jednowymiaowej kwadatuy Gaua zędu N: π R N M 0 0 π f ϕ ϕ f i ϕ j i Wi M (, ) d d (, ) i j (D-)

34 K. Pawluk gdzie wpółzędne adialna układu biegunowego wyaŝa ię jako ( + U ) π j M potokątnym ą: xi j i co ϕ j ; yi j i in ϕ j. a wpółzędna obwodowa jako ϕ ( j ) i R.Ich odpowiedniki w układzie i LITERATURA. Angot A., Complément de mathématique. Collection technique et cientifique du C.N.S.T. Édition de la Revue Optique, Pai, 96.. Byd P.F., Fiedman M.D., Handbook of elliptic integal fo enginee and cientit. Spinge Velag, Belin, 970. 3. Kakowki M., Elektotechnika techniczna, t. : Pole elektomagnetyczne. PWN, 999. 4. McLachlan N.W.: Funkcje Beela dla inŝynieów. W-wa, PWN, 964. 5. Pawluk K.: O indukcyjności pieścieniowych tuktu pzewodzących. Pace I.El., z. 70, 99, t. 5-4, 6. Sikoa R.: Teoia pola elektomagnetycznego. WNT, 998. 7. Smyte W.R.: Static and dynamic electicity. New Yok, 950. 8. śycki Z., BłaŜejczyk T.: Wykozytanie efektów magnetooptycznych w pomiaach pola magnetycznego w układach magnetycznych. Pzegląd Elektotechniczny, N, 008. Rękopi dotaczono dnia 3..008. Opiniował: pof. d hab. inŝ. Jan SIKORA PERTURBATIONS IN COMPUTATION THE MAGNETIC FIELD IN A SOLENOID Kytyn PAWLUK Abtact Algoithm fo computation the magnetic flux denity within a olenoid with epect to the vaiou kind of mathematical model of a olenoid coil wee analyed. The conideation of meauement ytem that ae baed on the Faaday magneto-optic effect can take a pactical advantage fom the eult of uch analyi. The autho compute pogam wee done and ome paticula calculation eult of the both axial and

Petubacje z obliczaniem pola magnetycznego olenoidu 35 adial component of the magnetic flux denity a well within the olenoid itelf a outide it end wee peented. It made poible to chooe the mot convenient mathematical model of the olenoid coil which eult in high accuacy of the magnetic field calculation. Pof. d hab. inŝ. Kytyn Pawluk, u. w 96. otzymał dyplom inŝyniea magita elektyka w 95. w Akademii Góniczo-Hutniczej w Kakowie, i tamŝe uzykał w 959. topień naukowy doktoa nauk technicznych, a topień naukowy doktoa habilitowanego w 974. w Intytucie Elektotechniki w Wazawie. W latach 95-6 pacował jako aytent, a natępnie jako adiunkt w Zakładzie Mazyn i Pomiaów Elektycznych na Wydziale Elektotechniki Góniczej i Hutniczej Akademii Góniczej w Kakowie, a od oku 96 w Intytucie Elektotechniki w Wazawie, w Zakładzie Mazyn Elektycznych i w Zakładzie Badań Podtawowych Elektotechniki, a w latach 98-83 pacował na tanowiku pofeoa w Intitut Agonomique et Vétéinaie w Rabacie, Maoko. Tytuł pofeoa nadała mu Rada Pańtwa w 980. Od oku 985 pof. Pawluk jet ekpetem Polkiego Komitetu Nomalizacyjnego w zakeie teminologii, ymboli i jednotek mia w elektyce, pzewodniczy Polkiemu Komitetowi Teminologii Elektyki SEP, Komitetowi Technicznemu N 8 PKN i bieze udział w potkaniach komitetów i gup oboczych IEC poświęconych opacowywaniem nom międzynaodowych z zakeu tej tematyki. Pofeo Pawluk jet autoem wielu publikacji naukowych; otatnia z nich to Międzynaodowy Słownik Teminologiczny Elektyki, wydany pzez Zakłady Szkolenia i Wydawnictw SEP, opacowany w potaci elektonicznej.