Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje nas czy odchylenie rozwi azania równania zaburzonego od rozwi azania równania pierwotnego bȩdzie zanikać z up lywem czasu (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako stabilny asymptotycznie), czy też odchylenie to bȩdzie pozostawać w pewnym otoczeniu rozwi azania równania pierwotnego (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako stabilny lecz nieasymptotycznie), lub też czy odchylenie to bȩdzie nieograniczenie narastać z up lywem czasu (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako niestabilny). Badanie stabilności może dotyczyć wyróżnionej trajektorii stanu o poż adanym przebiegu np. trajektorii sta lej określaj acej tzw. punkt równowagi uk ladu. Dla uk ladów liniowych obowi azuje nastȩpuj aca Definicja: Punkt przestrzeni stanu x r, dla którego Ax r = 0 dla wszystkich chwil t 0, nazywamy punktem równowagi liniowego autonomicznego uk ladu sterowania opisywanego równaniem ẋ(t) = Ax(t), t 0, x(0) = x 0. Jeżeli deta 0, to liniowy uk lad sterowania ma dok ladnie jeden punkt równowagi w pocz atku uk ladu wspó lrzȩdnych tj. zerowy punkt równowagi. Niech x bȩdzie dowoln a (niezerow a) wyróżnion a sta l a trajektori a stanu liniowego uk ladu sterowania zwi azan a z wyróżnionym sta lym sterowaniem ū. Ten wyróżniony rodzaj ruchu uk ladu sterowania spe lnia równanie stanu x = 0 = A x + Bū, x(t 0 ) = x, t [t 0, + ). Analizȩ warunków stabilności uk ladów sterowania można sprowadzić do badania stabilności zerowego punktu równowagi zredukowanego uk ladu sterowania określonego za pomoc a przekszta lcenia ( x(t) = x(t) x) (x(t) = x(t) + x). Równanie stanu wzglȩdem nowych wspó lrzȩdnych stanu przybierze postać x(t) = A( x(t) + x) + Bū, 1

czyli x(t) = A x(t). Rozwi azanie zerowe x(t) = 0 ostatniego równania jest równoważne z wyróżnionym rozwi azaniem niezerowym x równania pierwotnego. Rozwi azanie to jest punktem równowagi uk ladu przekszta lconego, gdyż A x(t) = 0 x(t) = 0. Tak wiȩc badanie stabilności dowolnej wyróżnionej trajektorii stanu liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania można sprowadzić do badania zerowego punktu równowagi zredukowanego uk ladu sterowania z t a sam a macierz a stanu A. Definicja: Punkt równowagi x r = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym, jeżeli dla każdej liczby dodatniej ɛ można dobrać tak a liczbȩ dodatni a η = η(ɛ), że trajektoria rozpoczynaj aca siȩ w punkcie x 0, leż acym wewn atrz kuli o promieniu η, pozostanie wewn atrz kuli o promieniu ɛ dla dowolnej chwili t > 0. Definicja: Punkt równowagi x r = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem asymptotycznie stabilnym, jeżeli punkt ten jest stabilny i ponadto lim t x(t) = 0. Analizuj ac stabilność liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania bierzemy pod uwagȩ sk ladow a swobodn a rozwi azania pochodz ac a od zaburzenia stanu pocz atkowego ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x r + δx 0, t [0, ) x(t) = e At δx 0, t [0, ). Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania sprowadza siȩ do warunku zanikania sk ladowej rozwi azania pochodz acej od zaburzenia stanu pocz atkowego tj. do warunku lim t eat δx 0 = 0 Rozważana sk ladowa przybiera postać e At δx 0 = L 1 {(si A) 1 }δx 0 n = L 1 {( ij (s)δx j0 / (s)) i=1,...,n } = j=1 2

L 1 {(X 1 (s, δx 0 ),...X i (s, δx 0 ),..., X n (s, δx 0 )) T } ( ) gdzie ij (s) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy do l aczonej (si A) D, a (s) = det(si A) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia n. Do badania wyrażenia ( ) można zastosować metodȩ rozk ladu na u lamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości w lasne s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A tj. pierwiastki równania det(si A) = 0. W zależności od charakteru tych wartości w lasnych uzyskujemy sk ladowe rozwi azania o różnej postaci. macierzy A s a jednokrotne rzeczy- 1. Wartości w lasne s 1, s 2,..., s n wiste - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s s 1 + c i2(δx 0 ) s s 2 +... + c in(δx 0 ) s s n, gdzie c ij (δx 0 ) s a sta lymi zależnymi od zaburzenia warunku pocz atkowego. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e s 1t + c i2 (δx 0 )e s 2t +... + c in (δx 0 )e snt. 2. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest r-krotna wartość w lasna rzeczywista - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s s 1 + c i2(δx 0 ) (s s 2 ) 2 +... + c ir(δx 0 ) (s s r ) r +... + c in(δx 0 ) s s n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e s 1t +c i2 (δx 0 )te s 2t +...+c ir (δx 0 )t r 1 e srt +...+c in (δx 0 )e snt. 3. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest para wartości zespolonych sprzȩżonych s 1,2 = σ ± jω - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s (σ + jω) + c i2(δx 0 ) s (σ jω) +... + c in(δx 0 ) s s n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e σt cos ωt + c i2 (δx 0 )e σt sin ωt +... + c in (δx 0 )e snt. 4. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest para r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych s 1,2 = σ ± jω - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s (σ + jω) + c i2(δx 0 ) s (σ jω) 3

c i1 (δx 0 ) +... + (s (σ + jω)) + c i2 (δx 0 ) r (s (σ jω)) +... + c in(δx 0 ). r s s n W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e σt cos ωt + c i2 (δx 0 )e σt sin ωt +... + c i,2r 1 (δx 0 )t r 1 e σt cos ωt + c i2r (δx 0 )t r 1 e σt sin ωt Bior ac pod uwagȩ zależność +... + c in (δx 0 )e snt. lim t tp e σt = 0, p = 1, 2,...; σ < 0, wnioskujemy, że we wszystkich czterech przypadkach sk ladowe swobodne rozwi azania równania stanu pochodz ace od zaburzenia warunku pocz atkowego zanikaj a wraz z up lywem czasu t. Oznacza to, że warunkiem koniecznym i wystarczaj acym stabilności liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania jest po lożenie wszystkich wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej tj. spe lnienie warunku Re(s i ) < 0, i = 1,..., n. s 4

Definicja stabilności eksponencjalnej: Punkt równowagi x = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym eksponencjalnie, jeżeli istniej a dwie liczby η > 0 i λ < 0 takie, że x(t) η x(0) e λt. Dla stabilnego liniowego uk ladu sterowania o pojedynczych wartościach w lasnych s i, i = 1,..., n uzyskuje siȩ λ = max i=1,...,n Re(s i) tj. szybkość stabilności określona jest w tym przypadku przez maksymaln a czȩść rzeczywist a wartości w lasnych macierzy stanu. Jeśli natomiast uk lad posiada wielokrotne wartości w lasne, to zachodzi oszacowanie λ = max i=1,...,n Re(s i) + ɛ, gdzie ɛ jest dowolnie ma l a liczb a dodatni a - tak wiȩc również w tym przypadu wyk ladnik szybkości stabilności jest w przybliżeniu równy maksymalnej czȩści rzeczywistej wartości w lasnych macierzy stanu. s λ 5

W przypadku zamkniȩtego uk ladu sterowania ẋ(t) = Ãx(t), à = A + BKC badanie stabilności asymptotycznej sprowadza siȩ do weryfikacji po lożenia wartości w lasnych macierzy stanu à zamkniȩtego uk ladu sterowania. Ponieważ wartości w lasne macierzy A (lub Ã) s a pierwiastkami równania algebraicznego stopnia n, wiȩc zbadać ich po lożenie na p laszczyźnie s można stosuj ac kryterium Hurwitza. W tym celu (a) porz adkujemy równanie wartości w lasnych do postaci (s) = a n s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0 = 0, (b) sprawdzamy, czy wszystkie wspó lczynniki a i s a różne od zera i maj a ten sam znak, (c) sprawdzamy, czy wszystkie minory g lówne i macierzy Hurwitza H s a dodatnie, gdzie a 1 a 0 0 0... a 3 a 2 a 1 a 0... H = a 5 a 4 a 3 a 2.................. n n Inna postać macierzy Hurwitza Przyk lad: a n 1 a n 0 0 0 0... a n 3 a n 2 a n 1 a n 0 0... H = a n 5 a n 4 a n 3 a n 2 0 0........................ Macierz stanu zredukowanego uk ladu sterowania z czasem ci ag lym ma postać 1 α 0 A = β 1 α, 0 β 1 6 n n

przy czym α i β s a parametrami uk ladu. Aby zbadać dla jakich parametrów uk lad sterowania jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości w lasnych macierzy stanu s + 1 α 0 det(si A) = det β s + 1 α = 0. 0 β s + 1 Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu w postaci standardowej (s) = s 3 + 3s 2 + (3 2αβ)s + 1 2αβ = 0 1 2αβ > 0, co oznacza, że a 3 = 1, a 2 = 3, a 1 = 3 2αβ i a 0 = 1 2αβ. Zapisujemy macierz Hurwitza 2 2αβ 1 2αβ 0 A = 1 3 3 2αβ 0 0 1 Kryterium stabilności Hurwitza implikuje warunki a 1 = 3 2αβ > 0 i a 0 = 1 2αβ > 0 (dodatniość wspó lczynników wielomianu charakterystycznego uk ladu), 1 = 3 2αβ > 0, i 2 = 8 4αβ > 0 αβ < 0.5 (dodatniość minorów g lównych macierzy Hurwitza). Tak wiȩc obszar stabilności parametrycznej uk ladu sterowania jest określony przez nierówność αβ < 0.5. 7

Stabilność liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym sprowadza siȩ do warunku zanikania sk ladowej rozwi azania pochodz acej od zaburzenia stanu pocz atkowego tj. do warunku lim k Ak δx 0 = 0 Rozważana sk ladowa przybiera postać A k δx 0 = Z 1 {(zi A) 1 z}δx 0 n = Z 1 {( ij (z)zδx j0 / (z)) i=1,...,n } = j=1 Z 1 {(X 1 (z, δx 0 ),...X i (z, δx 0 ),..., X n (z, δx 0 )) T } ( ) gdzie ij (z) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy do l aczonej (zi A) D, a (z) = det(zi A) jest wielomianem zmiennej zespolonej z stopnia n. Do badania wyrażenia ( ) można zastosować metodȩ rozk ladu na u lamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości w lasne z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A uk ladu dyskretnego tj. pierwiastki równania det(zi A) = 0. W zależności od charakteru tych wartości w lasnych uzyskujemy sk ladowe rozwi azania o różnej postaci. macierzy A s a jednokrotne rzeczy- 1. Wartości w lasne z 1, z 2,..., z n wiste - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z z 1 + c i2(δx 0 )z z z 2 +... + c in(δx 0 )z z z n, gdzie c ij (δx 0 s a sta lymi zależnymi od zaburzenia warunku pocz atkowego. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )z k 1 + c i2 (δx 0 )z k 2 +... + c in (δx 0 )z k n. 2. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest r-krotna wartość w lasna rzeczywista - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z z 1 + c i2(δx 0 )z (z z 2 ) 2 +... + c ir(δx 0 )z (z z r ) r +... + c in(δx 0 )z z z n. 8

W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )z k 1 +c i2 (δx 0 )kz k 1 +...+c ir (δx 0 )k r 1 z k 1 +...+c in (δx 0 )z k n. 3. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest para wartości zespolonych sprzȩżonych z 1,2 = σe ±jω - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z σe jω + c i2(δx 0 ) s σe jω +... + c in(δx 0 )z z z n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )σ k cos ωk + c i2 (δx 0 )σ k sin ωk +... + c in (δx 0 )z k n. 4. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest para r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych z 1,2 = σe ±jω - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) z σe + c i2(δx 0 ) +... jω z σe jω + c i1(δx 0 ) (z σe jω ) r + c i2(δx 0 ) (z σe jω ) r +... + c in(δx 0 ) z z n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )σ k cos ωk + c i2 (δx 0 )σ k sin ωk +... + c i,2r 1 (δx 0 )k r 1 σ k cos ωk + c i2r (δx 0 )k r 1 σ k sin ωk +... + c in (δx 0 )z k n. 9

Bior ac pod uwagȩ zależność lim k kp z k = 0, p = 1, 2,...; z < 1, wnioskujemy, że warunkiem koniecznym i wystarczaj acym stabilności liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym jest po lożenie wszystkich wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A uk ladu dyskretnego wewn atrz okȩgu jednostkowego p laszczyzny zmiennej zespolonej z tj. spe lnienie warunku z i < 1, i = 1,..., n. z 1 Lemat: Transformacja z = (s + 1)/(s 1), s 1 przeprowadza ko lo jednostkowe p laszczyzny z w lew a pó lp laszczyznȩ zmiennej zespolonej s. Dowód: Oznaczmy s = a + j b. Z zależności wynika, że z = (a + j b + 1)/(a + j b 1) < 1 ( (a + 1) 2 + b 2 < (a 1) 2 + b 2) (2a < 2a) (4a < 0) (a = Re(s) < 0). 10

Tak wiȩc podstawiaj ac z = (s+1)/(s 1) do równania det(zi A) = 0 sprowadzamy badanie stabilności dyskretnych uk ladów sterowania do kryterium Hurwitza. Przyk lad: Macierz stanu zredukowanego uk ladu sterowania z czasem dyskretnym ma postać A = ( α β 2 ) 1, α przy czym α i β s a parametrami uk ladu. Aby zbadać dla jakich parametrów uk lad sterowania z czasem dyskretnym jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości w lasnych macierzy stanu det(zi A) = det ( z + α 1 β 2 z + α ) = 0. Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu w postaci standardowej (z) = z 2 + 2αz + α 2 + β 2 = 0. Dokonujemy podstawienia z = (s + 1)/(s 1) uzyskuj ac ( s + 1 s 1 )2 + 2α s + 1 s 1 + α2 + β 2 = 0/ (s 1) 2. Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu wzglȩdem zmiennej s: ( 1 + 2α + α 2 + β 2) s 2 + (2 2(α 2 + β 2 ))s + 1 2α + α 2 + β 2 = 0. co oznacza, że a 2 = 1 + 2α + α 2 + β 2, a 1 = 2 2(α 2 + β 2 ) i a 0 = 1 2α + α 2 + β 2. Ponieważ a 2 = (1 + α) 2 + β 2 i a 0 = (1 α) 2 + β 2, wiȩc kryterium stabilności Hurwitza określa obszar stabilności parametrycznej jako wnȩtrze ko la α 2 + β 2 < 1. Stabilność dyskretnych liniowych uk ladów sterowania w uk ladzie zamkniȩtym sprowadza siȩ do badania, czy wartości w lasne macierzy stanu zamkniȩtego uk ladu dyskretnego à = A + BKC 11

leż a wewn atrz ko la jednostkowego na p laszczyźnie z. Zanikanie sk ladowej swobodnej rozwi azania równania stanu liniowego dyskretnego uk ladu sterowania lim k Ak δx 0 = 0 dla dowolnego zaburzenia stanu pocz atkowego implikuje zbieżność do zera elementów macierzy A k. Praktyczne kryterium badania stabilności dyskretnych uk ladów sterowania uzyskujemy obliczaj ac potȩgi macierzy stanu uk ladu dyskretnego podnosz ac je do kwadratu. A, A 2 = AA, A 4 = A 2 A 2, A 8 = A 4 A 4, A 16 = A 8 A 8... Jeśli elementy potȩgowanych macierzy d aż a do zera, to uk lad dyskretny jest asymptotycznie stabilny. Metoda ta nazywana jest metod a szybkiego potȩgowania macierzy. Wyznacza ona ci ag macierzy A, A 2, A 4, A 8,..., A 2k. Oznaczmy elementy ostatniej macierzy jako (a ij ) 2 k. Warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy dla badania stabilności liniowych dyskretnych uk ladów sterowania przybiera postać (a ij ) 2 k < 1, i, j = 1, 2,..., n, n gdzie n jest wymiarem kwadratowej macierzy stanu A. Jeśli warunek stopu jest spe lniony, to elementy macierzy A 2k spe lniaj a warunki (a ij ) 2 k (c ij) 2 k, i, j = 1, 2,..., n n dla sta lych (c ij ) 2 k < 1. Spe lniaj a one wiȩc warunek (a ij ) 2 k (c) 2 k, i, j = 1, 2,..., n n dla sta lej (c) 2 k = max ij (c ij ) 2 k < 1. Elementy macierzy A 2k+1 spe lniaj a oszacowania (a ij ) 2 k+1 n (c) 2 (c) k 2 k (c) 2k+1 =, n n n gdzie (c) 2 k+1 = (c) 2 k(c) 2 k < (c) 2 k < 1. Oszacowania te d aż a monotonicznie do zera dla k. 12

Przyk lad: Niech jednorodne równanie stanu liniowego dyskretnego uk ladu sterowania ma postać 1 0 0 2 x(k + 1) = 1 1 1 6 3 3 x(k) 1 0 1 4 2 Warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy ma w tym przypadku postać (a ij ) 2 k < 1, i, j = 1, 2, 3; (n = 3). 3 Elementy macierzy A (k = 0) nie spe lniaj a warunku stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy, gdyż 1 2 > 1 3. Obliczamy 1 1 0 0 0 0 A 2 2 2 = 1 1 1 6 3 3 1 1 1 6 3 3 = 1 0 1 1 0 1 4 2 4 2 1 0 0 4 1 1 9 18 1 0 0 4 1 18 Dla k = 1 warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy jest spe lniony. Oznacza to, że rozpatrywany liniowy dyskretny uk lad sterowania jest asymptotycznie stabilny. 13

Stabilność liniowych okresowych uk ladów sterowania Dla niektórych uk ladów sterowania charakterystyczna jest okresowa (cykliczna) zmienność jego parametrów. Wyróżnion a trajektori a stanu może być w tym przypadku krzywa zamkniȩta zwana także cyklem granicznym. Jednorodny liniowy okresowy uk lad sterowania opisywany jest równaniem stanu ẋ(t) = A(t)x(t), gdzie niestacjonarna macierz stanu A(t) jest macierz a okresow a tj. A(t + τ) = A(t). Lemat: Znormalizowana macierz fundamentalna Φ(t) = Φ(t, 0) liniowego okresowego uk ladu sterowania posiada reprezentacjȩ Φ(t) = Γ (t)e Λt, t [0, + ), gdzie Γ (t) jest nieosobliw a macierz a okresow a, zaś Λ jest macierz a sta l a. Dowód: Macierz Φ(t) spe lnia z definicji równanie Φ(t) = A(t)Φ(t), Φ(0) = I. Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że każda macierz fundamentalna Φ(t) może być uzyskana ze znormalizowanej macierzy fundamentalnej Φ(t) za pomoc a nieosobliwego przekszta lcenia liniowego C tj. Φ(t) = Φ(t)C. Ponieważ dla uk ladu okresowego Φ(t + τ) jest jego macierz a fundamentaln a dφ(t + τ) dt = Φ d(t + τ) (t + τ) dt = A(t + τ)φ(t + τ) = A(t)Φ(t + τ), wiȩc Φ(t + τ) = Φ(t)C i Φ(τ) = C (t = 0). Oznacza to, że Φ(t + τ) = Φ(t)Φ(τ). Z teorii macierzy wiadomo, że każda macierz nieosobliwa posiada tzw. reprezentacjȩ logarytmiczn a tj.. Φ(τ) = e Λτ 14

Jeśli macierz Φ(τ) posiada jednokrotne wartości w lasne s 1, s 2,..., s n, to reprezentacjȩ tak a można latwo uzyskać stosuj ac nieosobliwe przekszta lcenie diagonalizuj ace P : P 1 Φ(τ)P = diag (s i ). Macierz P jest określona przez wektory w lasne P i, i = 1,..., n macierzy Φ(τ) zwi azane z poszczególnymi wartościami w lasnymi. Wektory te spe lniaj a równania Φ(τ)P i = s i P i, i = 1,..., n i mog a być wyznaczone przez rozwi azanie tych równań. Ponieważ det(s i I Φ(τ)) = 0, wiȩc jedn a wspó lrzȩdn a wektora P i zak ladamy jako dowoln a wartość niezerow a, a pozosta le wspó lrzȩdne tego wektora obliczamy z uk ladu n 1 równań liniowo niezależnych. Wartości w lasne s i przedstawiamy w postaci wyk ladniczej i uzyskujemy zależności s i = e λ iτ, λ i = 1 τ (ln s i + j(arg(s i ) + 2kπ). Φ(τ) = P diag (s i ) P 1 = P diag = P (I + diag (λ i τ) + diag = I + P diag (λ i τ) P 1 + 1 2! P diag (e λ iτ ) P 1 ((λ i τ) 2 /2!) +...) P 1 (λ i τ) P 1 P diag (λ i τ) P 1 +... = e P diag (λ i τ) P 1 = e P diag (λ i ) P 1 τ = e Λτ, Λ = P diag (λ i ) P 1 Z zależności Φ(t) = Φ(t)e Λt e Λt = Γ (t)e Λt, Γ (t) = Φ(t)e Λt, Γ (t + τ) = Φ(t + τ)e Λ(t+τ) = Φ(t)Φ(τ)e Λτ e Λt = Φ(t)e Λt = Γ (t) wynika,że macierz Γ (t) jest macierz a τ-okresow a. Elementy tej macierzy s a jednostajnie ograniczone na osi czasu jako ci ag le funkcje okresowe. 15

Definicja: Macierz fundamentalna Φ(τ) liniowego uk ladu okresowego nazywa siȩ macierz a monodromii, a jej wartości w lasne nazywaj a siȩ mnożnikami Floqueta lub multyplikatorami tego uk ladu. Twierdzenie: Liniowy okresowy uk lad sterowania jest stabilny (stabilny asymptotycznie) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie multyplikatory (wartości w lasne macierzy monodromii Φ(τ)) tego uk ladu leż a w domkniȩtym kole jednostkowym s i 1, i = 1,..., n (leż a wewn atrz ko la jednostkowego s i < 1, i = 1,..., n). Dowód: Sk ladowa rozwi azania liniowego uk ladu okresowego pochodz aca od zaburzenia warunku pocz atkowego ma postać x(t) = Γ (t)e Λt δx 0. Ze wzglȩdu na jednostajn a ograniczoność macierzy Γ (t) na osi czasu zachodzi oszacowanie x(t) c e Λt. Oznacza to, że badany uk lad jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wartości w lasne λ i macierzy Λ leż a w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej. Warunek ten jest jednak równoważny z po lożeniem wartości w lasnych macierzy Φ(τ) wewn atrz ko la jednostkowego z uwagi na zwi azek s i = e λiτ. Przyk lad: Niech macierz A(t) bȩdzie określona jak nastȩpuje: ( ) ( ) A(t) t [0,π) = Ā = 0 1 a 1 0, A(t) t [π,2π) = Ā = 1 0 0 a 2 Mamy wiȩc ( ) ( ) cos t sin t 1 0 Φ(t) = eāt, Φ(π) =, sin t cos t 0 1 ( ) e a 1π 0 Φ(2π) =. 0 e a 2π St ad wynika, że s i = e a iπ i warunek stabilności uk ladu okresowego przybiera postać a i < 0, i = 1, 2.. 16

Stabilność uk ladów zlinearyzowanych Warunki stabilności liniowych uk ladów sterowania można stosować do badania stabilności uk ladów nieliniowych w ma lym otoczeniu wyróżnionej trajektorii stanu. Takimi wyróżnionymi trajektoriami stanu mog a być m.in. trajektorie sta le (np. optymalny statyczny punkt pracy uk ladu) lub trajektorie okresowe (np. optymalna cykliczna trajektoria uk ladu). Za lożenie o funkcjonowaniu procesu w ma lym otoczeniu wymienionych trajektorii pozwala uprościć model matematyczny uk ladu rozwijaj ac nieliniowe funkcje w szereg Taylora pierwszego rzȩdu i przejść do modelu zlinearyzowanego wzglȩdem zmiennych przyrostowych czyli ma lych odchyleń od trajektorii wyróżnionej. Niech δx(t), δu(t) i ȳ bȩd a ma lymi odchyleniami stanu,sterowania i wyjścia od statycznego punktu pracy x, ū iȳ uk ladu. uk ladu ẋ(t) = f(x(t), u(t)), y(t) = g(x(t), u(t)) linearyzujemy w punkcie pracy ( x, ū) d dt f( x, ū) ( x+δx(t)) = f( x, ū)+ δx(t)+ x Nieliniowy opis f( x, ū) δu(t)+r f (δx(t), δu(t)), u g( x, ū) g( x, ū) ȳ + δy(t) = g( x, ū) + δx(t) + δu(t) + r g (δx(t), δu(t)), x u gdzie r f (δx(t), δu(t)) i r g (δx(t), δu(t)) s a nieliniowymi cz lonami rozwiniȩć (resztami z rozwiniȩcia w szereg Taylora w szereg pierwszego rzȩdu) spe lniaj acymi warunki r f (δx(t), δu(t)) lim δx 0 δx r f (δx(t), δu(t)) = 0, lim δu 0 δu = 0. Reszty te s a nieskończenie ma lymi rzȩdu wyższego niż odpowiednio δx i δu. Można je pomin ać dla ma lych odchyleń od punktu pracy i przejść do modelu zlinearyzowanego δẋ(t) = δy(t) = f( x, ū) δx(t) + x g( x, ū) δx(t) + x f( x, ū) δu(t), u g( x, ū) δu(t). u 17

Podstaw a do badania stabilności uk ladu zlinearyzowanego jest weryfikacja po lożenia wartości w lasnych macierzy Jacobiego A = f( x, ū) x = ( f i ( x, ū) x j ) i,j=1,...,n. W przypadku wyróżnionego cyklicznego sposobu prowadzenia procesu macierz stanu uk ladu zlinearyzowanego przybiera niestacjonarn a postać okresow a A(t) = f( x(t), ũ(t)) x = ( f i ( x(t), ũ(t)) x j ) i,j=1,...,n, gdzie x(t) jest cykliczn a trajektori a stanu, a ũ(t) jest cyklicznym sterowaniem. 18