Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E każda, dokoywaych w odokresach. Zastosowaie umowej właty K ma tę zaletę że owoduje uzgodieie wkładów. Są to wkłady oszczędościowe zgode z dołu, o jedakowej wysokości k w liczbie. Przyszła (końcowa) wartość sumy takich wkładów, zgodie ze wzorem (06) rzyjmie ostać: K=E(m+((m+-)/2)r)*(^ -)/-. Przy czym - dotyczy wkładów z dołu, atomiast + wkładów z góry. Wartość teraźiejszą (oczątkową) sumy wkładów, zgodie ze wzorem (07) rzyjmie ostać: K0=E(m+((m-)/2)r)* /^ * (^-)/(-). Zauważy, że wzór () możemy zaisać w ostaci: K = Em(+((m+-)/2m)r) )*(^ -)/-. Czyik (m+-)/2m wystęujący w tym wzorze jest większy od. Obrazuje o korzyści jakie dają miejsze, ale częstsze właty. Dokoywaie jedorazowych włat w wysokości Me zgodie z okresem kaitalizacji zamiast m włat w wysokości E w odokresach kaitalizacji, daje bowiem końcową wartość rówą Em= (^ -)/-. Zauważmy jeszcze, że m we wzorach () i (2) ozacza liczbę wkładów. Liczba rzeczywistych wkładów jest rówa m. Oczywiście wzór () ma ewą wadę. Pozwala bowiem wyzaczyć rzyszłą wartość wkładów oszczędościowych w ilości będącej całkowita wielokrotością liczby m, a więc dla ilości wkładów m, 2m.. itd. Zatem ie jest to rachuek szczegółowy. Orocetowaie wkładów oszczędościowych z uwzględieiem iflacji. Na zakończeie rozważań o wkładach oszczędościowych rozatrzymy co orocetowaie uwzględia. Cey towarów i usług rosą. Poieważ ie astęuje rówocześie odowiedi wzrost ich jakości, więc rodzi to iflacje. Iflacja, czyli wzrost ce owoduje, że wartość reala ieiądza rośie woliej iż wyikało by to z rzyjętego modelu kaitalizacji. Możemy zatem mówić o wartości omialej (bez uwzględieia iflacji) jak i o wartości realej (z uwzględieiem iflacji, w odiesieiu do stałych ce ustaloego okresu) gromadzoych wkładów oszczędościowych. W dalszym ciągu zakładamy, że w ciągu gromadzeia wkładów oszczędościowych stoa rocetowa r oraz stoa iflacji i są
stałe oraz, że okres stoy rocetowej r okrywa się z okresem stoy iflacji i. Ozaczamy =+r oraz =+i. Jak wykazaliśmy wcześiej dla wkładów oszczędościowych zgodych o stałej wartości omialej E rzyszła wartość omiala sumy wkładów wyosi: K om E { E( dla _ wkłkład _ z _ dolu ) dla _ wkladow_ z _ gory Wiadomo, że reala wartość sumy tych wkładów wyrażoa w ceach z - szego okresu wkładów jest miejsza. Strumień realej wartości wkładów moża rzedstawić jak oiżej (o i tutaj mamy taka os czasorzestrzea a górze czas a dole wkład z dołu/góry i aalogiczie dla mamy e/(e)/ dla 2 mamy e/ / e/^2 itd.) Dla wkładów z góry sumowaia realych wartości wkładów rowadza do astęującej wartości końcowej: K(re) = E((^ /^)/-/). A dla wkładów z góry mamy: K(re) = E(((^)-(/^))/-/). Kt(re) = K(re)/^(-t) Więc wartość teraźiejszą wkładów oszczędościowych wyrażoych w ceach dzisiejszych jest rówa: K re 0 E { E dla _ wkladow_ z _ dolu dla _ wkladow_ z _ gory Słata Długów Z Długiem ściśle związay jest okres słaty długu lub krótko okres zwrotu. Ze względu a okres zwrotu długów, długi dzieli się a: Krótkotermiowe (gdy okres zwrotu określoy jest oiżej jedego roku), średio termiowe(gdy okres długu określoy jest od roku do 5 lat) oraz długotermiowe gdy okres zwrotu jest większy iż 5 lat. W rzyadku rozliczaia długów krótkotermiowych stosuje się model kaitalizacji z dołu rostej, a w rzyadku rozliczaia długów średiotermiowych i
długotermiowych stosuje się model kaitalizacji złożoej z dołu. Podstawowymi formami długów są ożyczki i kredyty. Umowa o długo dotyczy ożyczkobiorcy oraz wierzyciela- w rzyadku ożyczki, w rzyadku kredytu dotyczy kredytobiorcy oraz wierzyciela. Między ojęciami ożyczki i kredytu istieje szereg różic atury rawej i ekoomiczej. Wymieimy ewe z ich. Stosuki rawe omiędzy ożyczkobiorca oraz wierzycielem są regulowae rzez rzeisy rawa cywilego, atomiast stosuki rawe między kredytobiorcą, a wierzycielem regulują rzeisy rawa bakowego. Przedmiotem ożyczki mogą być środki ieięże lub iej rzedmioty materiale, atomiast rzedmiotem kredytu są tylko środki ieięże w ostaci bezgotówkowego kredytu bakowego. Przy zaciągaiu ożyczki cel ie musi być określoy, atomiast cel kredytu musi być ściśle określoy i może być kotroloway w czasie trwaia kredytu. Pożyczka ie musi mieć formy isemej, atomiast kredyt musi osiadać taka formę isemą. Oczywiście różice te ie są brae od uwagę z uktu widzeia matematyki fiasowej i ie mają wływu a obliczeia związae ze słatą długu. Umowa o długo owia określać jego wysokość, formę słaty, termi słaty, wysokość stoy rocetowej z okresem kaitalizacji, formę i wysokość słacoych odsetek (uwzględiających wysokość marży ) oraz szereg iych. Zaciągięty dług ależy słacić z ależymi odsetkami. Słata długo azywa się także umarzaiem długu. Jedą z form słaty długu jest forma ratala, której odstawę tworzą raty zwae łatościami, słatami lub ratami łączymi. Zakłada się, że słatę długu dokouje się ratami w takich samych odstęach czasu zwaych okresami słaty. Raty woszoe mogą być a oczątku lub a końcu okresu słaty. W ierwszym rzyadku mówimy o słacie długu z góry, atomiast z drugim z dołu. Zauważmy, że słatę długu góry możemy traktować jako słatę z dołu tyle że długu omiejszoego o ierwszą ratę, w kosekwecji ograiczymy rozważaia do słaty długu z dołu. Przy rozliczeiach związaych z długiem ależy uwzględić 3 okresy stoy rocetowej, kaitalizacji i słat. Jeżeli wszystkie te okresy są rówe, to mamy do czyieia ze słatami zgodymi, jedak gdy te okresy są ierówe to mówimy o iezgodości. Podstawę słaty długo staowi astęująca zasada. Dług został słacoy wtedy i tylko wtedy gdy w ustaloym momecie czasu aktuala wartość długu jest rówa sumie aktualych wartości wszystkich słat umarzających te dług. Zasada ta wymaga wrowadzeia aktualizacji kwot a wybray momet czasowy. Aktualizacji ależy dokoywać w oarciu o róże modele. Jako regułę rzyjmuje się, że do rozliczeia długów krótkotermiowych stosuje się model kaitalizacji rostej rzy czym do aktualizacji wstecz stosuje się dyskoto matematycze roste lub dyskoto hadlowe, a do rozliczeia średio i długotermiowych długów stosuje się model kaitalizacji złożoej z dołu.
Przyjmuje się astęujące ozaczeia z zaisem działań związaych w rozliczeiem długu: S wartość oczątkowa długu N ilość rat umarzających dług wskaźik bieżący T -ta rata długu, -ta rata kaitałowa, część długu słacoa w -tej racie. Z- -ta rata odsetek, wartość odsetek słacoych w -tej racie A -ta rata łącza, -ta słata, -ta łatość S ozostała część długu o słaceiu rat, dług bieżący Z suma wartości omialych (bez uwzględiaia wływu wartości ieiądza w daym czasie) wszystkich odsetek. Ciągi {T}, {Z}, {A}, {S} liczba Z wchodzą w skład tzw. Plau słaty długu. W rzyadku lau słaty długo krótkotermiowego uwzględia się tez ie elemety. Wielkości wchodzące w skład lau słaty ie są iezależe. N. A oszące azwę raty łączej jest suma raty kaitałowej i raty odsetek, a więc (5) A = T+Z Poadto wzór (5) jest iekiedy uzuełioy trzecim składikiem który jest ołatą dodatkową,. rowizja, lub marża bakowa. Z def. Wyika, że: (6) Z = Z+ +Z Rozważmy a oczątek słatę długu zgodą. Niech r będzie stoą rocetową w okresie stoy rocetowej i ich l ozacza wybray momet aktualizacji. Schemat słaty długu możemy rzedstawić astęująco: Os liczbowa, 0 2 k S okrywa się z zero, A z A2 z 2 A z w k zbieg strzelek od a i a a2 Aktualizacja słat długu a momet k Oczywiście aktualizacja kwoty a day momet czasu wymusza dyskotowaie. Do dyskotowaia moża używać dyskoto matematycze lub hadlowe. Fakt słaceia długu za omocą słat A A ozacza zachowaie astęujących rówości: Dla modelu kaitalizacji rostej i dyskota matematyczego mamy: (7) S(+kr) = A[+(k-)r]+ +Ak- (+r)+ak+(ak+)/+r+ +A/+(N-k)
Dla modelu kaitalizacji rostej i dyskota hadlowego mamy: (8) S(+kr)=A[+(k-)r]+ +Ak-(+r)+Ak +AK+(-r)+ +A[- (N-k)r] Dla modelu kaitalizacji złożoej z dołu mamy (9) S(+r)^k = A(+r)^(k-)+ +AK- (+r)+ak+(ak+)/(+r)+ +A/(+r)^(-k) Dla mometu kaitalizacji rostej zarówo wybór mometu k jak i wybór rodzaju dyskota jest istoty. Jeżeli rówaia (7) lub (8) zachodza dla ewego to może ie zachodzić dla iego k. Ozacza to rówież, że te sam dług S rzy tej samej stoie rocetowej r i tych samych łatościach A, A może być słacoy lub ie w zależości wyboru mometu aktualizacji k. Fakt te rodzi określeie: kosekwecje związae z rozliczaiami związaymi z długami krótkotermiowymi. Rówość (7), w której wykorzystywae jest dyskoto matematycze roste dla k=0 rzyjmuje ostać: (20) S = A/(+r)+A2/(+2r)+ +A/(+Nr) Rówość (8), w której zastosowao dyskoto hadlowe dla k=0 rzyjmuje ostać: (2) S = A(-r)+A2(-2r)+ +A(-Nr) Rówość (7) i (8) dla k=n rzyjmuje jedakowa formę: (22) S(+Nr) = A[+(-)r]+A2[+(N-2)r]+A W rzyadku modelu kaitalizacji złożoej z dołu wybór mometu aktualizacji k ie jest istoty. Jeśli rówość (9) zachodzi dla ewego K, to zachodzi dla każdego K co uraszcza aalizę długów średio i długotermiowych. Rówość (9) dla k=0 rzyjmuje ostać: (23) S = A/(+R)+A2/(+R)^2+ +A/(+r)^N Natomiast dla K=N (24) S(+r) = A(+r)^(N-)+A2(+r)^(N-2)+ +A Przedstawiamy teraz roblem słaty długów krótkotermiowych z wykorzystaiem modelu kaitalizacji rostej oraz roblem słaty długów średio i długotermiowych z wykorzystaiem modelu kaitalizacji złożoej z dołu.
Pla Słaty długów Krótkotermiowych Załóżmy, że raty łącze słaty A A umarzają dług krótkotermiowy S. Przyjmijmy oadto, że są to słaty zgode tz. okres stoy rocetowej r jest rówy okresowi słaty. Wiadomo, że w modelu kaitalizacji rostej zaczeie ma rzyjęty momet aktualizacji kwoty. Istote zaczeie ma także rzyjęty rodzaj stosowaego dyskota, a więc czy jest to dyskoto matematycze czy dyskoto hadlowe. Waruek słaty długu S w ratach łączych A A oisay został rówaiami (7) i (8), które moża zaisać w rówoważy sosób jako tożsamość dla dyskota matematyczego rostego. (25) S=A((+(K-)r)/+kr)+ +AK- ((+r)/(+kr))+ak(/(+kr))+ak+(/((_r)(+rk)))+ +A /(+(-)r)(+kr) Dla dyskota hadlowego mamy: (26) S = A(((k-)r)/(+kr))+ +AK- ((+r)/(+rk))+ak(/(+rk))+ +A((-(N-)/(+kr))) Po słaceiu rat wartości zadłużeia moża mierzyć za omocą, różic między zaktualizowaa a momet k wartością oczątkową długu, a suma zaktualizowaych a momet k słacoych rat łączych czyli różic. S = (+kr)-a[+(k-)r]- -A[+(k-)r], gdy <=k, oraz S = S(+kr) A[+(k-)r]- -Ak-(AK+)/+R- -A/(+(N-k)r), >k Dla dyskota Matematyczego rostego i S = S(+kr) A[+(k-)r]- -Ak[+(k+)r] dla dyskota hadlowego W rzyadku dyskota hadlowego (27) S = S-A((+(K=)r)/(+kr))- -A((+(k-)r)/(+kr)) Dług S jest rówy między lewą a rawa stroa rówości (25) lub odowiedio (26), w której uwzględioo składowych z rówań (25 26 27 28) wyika ze S=0 Dług bieżący S o słaceiu rat defiiujemy jako zaktualizowaa a momet długu S, Zatem: S=S(+r), z tego wyika, że S=0 (30 i 3)
Warto zauważyć, że rówości ( 27 i 8) są rawdziwe tylko dla ustaloej wartości k, czyli dla ustaloego mometu aktualizacji. Dla długów krótkotermiowych, czyli w rzyadku modelu kaitalizacji rostej istote zaczeie ma rozkład raty łączej A a część kaitału BN i część odsetek C, czyli rozkład: A=BN+C Może się zdarzyć ze któraś z uzgodioych słat A A jest zbyt mala aby okryć odestki. Wówczas taka słata ie zmiejsza długu, a jedyie ozwala a okrycie części ależych odsetek.