.. CAŁA OHRA Całka OHRA yraża ziązek między przemieszczeniem (ydłużeniem, ugięciem, obrotem) a obciążeniem (siłą, momentem, obciążeniem ciągłym). Służy ona do yznaczania przemieszczeń statycznie yznaczanych układach prętoych i do yznaczania reakcji układach statycznie nieyznaczanych.... Geometryczna postać całki OHRA Rozażmy pręt prostoinioy (poniższe rozażania pozostają słuszne rónież przypadku pręta krzyoinioego) jak na rysunku. Z rysunku tego ynika, że Rys. ds dθ ρ () gdzie ds jest długością łuku krzyej łączącej punkty Q i R, ρ promieniem krzyizny pręta punkcie Q, natomiast ds ( ϕ )d () gdzie ϕ jest kątem obrotu pręta punkcie. rzyjmując założenie o małych pochodnych ugięcia pręta (małych odkształceniach kątoych) możemy przyjąć, że ϕ << i zapisać poyższą zaeżność następującej postaci: odstaiając () do () dostajemy ds d () dθ d () ρ Obiczmy przemieszczenie yołane okaną zmianą jego krzyizny ynika, że dδ punktu pręta kierunku okreśonym prostą p ρ punkcie Q o spółrzędnej. Z rys.
dδ sin α QdΘ sinα QSdΘ (5) odstaiając ( ) QS () gdzie oznacza siłę jednostkoą przyłożoną miejscu i kierunku poszukianego przemieszczenia, natomiast ( ) jest momentem zginającym yołanym tą siłą, oraz ykorzystując reację (), zapisujemy (5) następującej postaci: δ d (7) ρ d Z poyższej zaeżności ynika, że przemieszczenie rozpatryanego punktu pręta okreśa zaeżność δ d () ρ zana całką OHRA postaci geometrycznej. W przypadku yznaczania obrotó pręta siłę jednostkoą naeży zastąpić momentem jednostkoym. W anaogiczny sposób możemy otrzymać yrażenie δ ε N d (9) okreśające przemieszczenie δ punktu pręta kierunku okreśonym prostą p yołane okaną zmianą jego odkształcenia inioego ε punkcie Q o spółrzędnej, gdzie N jest siłą podłużną yołana siłą jednostkoą przyłożoną miejscu i kierunku poszukianego przemieszczenia. Wpły siły poprzecznej na przemieszczenie rozpatryanego punktu można pominąć. Dodając do siebie poyższe yrażenia dostajemy ostatecznie całkę OHRA przypadku układó prętoych poddanych działaniu momentu zginającego i siły podłużnej. δ d ε Nd () ρ oyższy zór, co arto podkreśić, jest niezaeżny od rodzaju materiału, z którego jest ykonany pręt. oże być zatem ykorzystany rónież przypadku materiałó fizycznie nieinioych. Natomiast przypadku materiałó inioych fizycznie (opisanych praem HOOE A) mamy
N ε () EA oraz ρ () gdzie N i oznacza siłę podłużną i moment zginający od przyłożonego do pręta obciążenia zenętrznego, EA oznacza sztyność pręta przy rozciąganiu zaś przy zginaniu. odstaiając poyższe zaeżności do zoru () dostajemy całkę OHRA postaci ykorzystyanej przypadku prętó ykonanych z materiałó inioo sprężystych NN δ d d () EA W przypadku stałej sztyności pręta przy rozciąganiu i zginaniu poyższy zór przyjmuje postać δ d NN d () EA W przypadku beek i ram pły sił podłużnych na przemieszczenia zazyczaj się pomija i zór () przyjmuje postać δ d (5) W przypadku n przedziałó charakterystycznych przemieszczenie obiczamy ze zoru n d δ ()... Wzór WERESZCZAGINA Z poyższych zoró ynika, że yznaczanie całki OHRA sproadza się do obiczania całek z ioczynu dóch funkcji ( ) i ( ). iersza z tych funkcji może być co najyżej stopnia drugiego (przy obciążeniu ciągłym, nierónomiernie rozłożonym stopień ten może być yższy), natomiast druga co najyżej stopnia pierszego (rys. ).
Rys. Z poyższego rysunku ynika, że ( ) tgα ( ) tgα c c (7) gdzie c oznacza spółrzędną środka ciężkości poierzchni pod funkcją ( ) Zaeżność (7) pozaa zapisać całkę z ioczynu funkcji ( ) i ( ). postaci gdzie natomiast d tgα d tgα da tgαs () da d jest poem eementarnego ycinka poierzchni pod funkcją ( ), S da onieaż S ca, gdzie momentem statycznym tej poierzchni zgędem osi Oz. A jest poem poierzchni pod funkcją ( ), zatem d A ctgα (9) Uzgędniając poyższym yrażeniu reację (7) dostajemy ostatecznie następującą zaeżność: d A ( ) () zaną zorem WERESZCZAGINA. Ze zoru tego ynika z niego, że całka z ioczynu funkcji ( ) i ( ) jest róna pou poierzchni pod funkcją ( ) pomnożonemu przez. Wzór () rzędną ykresu ( c ) pod środkiem ciężkości poierzchni pod funkcją ( ) można rónież ykorzystać przypadku, gdy funkcja ( ) da (inioa ub stała). c jest stopnia niższego niż
Wzór WERESZCZAGINA pozaa zastąpić całkoanie anaityczne prostym całkoaniem graficznym, zanym mnożeniem ykresó (na operację mnożenia skazuje symbo między funkcjami i e zorze ().... Wzory całkoania graficznego odstaoym probemem przy ykorzystyaniu zoru WERESZCZAGINA jest okreśenie położenia środka ciężkości poierzchni pod ykresami funkcji momentó zginających. Datego też ykorzystuje się inne, prostsze formuły pozaające zastąpić całkoanie anaityczne całkoaniem graficznym (mnożeniem ykresó). Rozpatrzmy zatem funkcje ( ) i ( ), przy czym piersza z nich jest funkcją kadratoą zaś druga funkcją inioą (rys. ). W takim przypadku Rys. ( ) A ( ) D E C () Stałe A,, C, D, E yznaczamy z następujących arunkó ( ) C a ( ) A ( ) A ( ) E c ( ) D E d C e C b () Wynika stąd, że A D ( a b e), ( a b e), ( c d), E c C a ()
Uzgędniając () () dostajemy ( ) ( a b e) ( a b e) ( ) ( c d) c a () Wynika stąd, że ( ad ac ed ec bd bc) ( 5ac ec bc ad bd ed) ( ac bc ec ad) ac (5) Zatem d ( ad ac ed ec bd bc) ( 5ac ec bc ad bd ed) ( ac bc ec ad) [ ac e( c d) bd] d acd d d () onieaż c d f zatem zaeżność () przyjmuje postać d ( ac ef bd) (7) jest kadratoa. W odróżnieniu od zoru (), nie ymaga on okreśenia położenia środka ciężkości poierzchni pod ykresem ( ). Wymaga natomiast yznaczenia rzędnych obu ykresó środku przedziału charakterystycznego. oyższy zór pozaa obiczyć całkę OHRA przypadku, gdy funkcja ( ) Jeśi funkcja ( ) jest inioa, to e a b (rys. ).
Rys. W takim przypadku zór () przyjmuje postać d ( ac ad bc bd) () Do yznaczenia całki OHRA przy ykorzystaniu poyższego zoru ystarczają artości funkcji na początku i końcu przedziału charakterystycznego. rzykład. Obiczyć ugięcie i kąt obrotu końca beki o schemacie statycznym, ymiarach i obciążeniu jak na rys... Rys.. Dane:,, E, I Szukane:, ϕ Roziązanie: rok. Sporządzamy ykresy momentó zginających od: zadanego obciążenia, siły jednostkoej i momentu jednostkoego przyłożonych do końca rozpatryanej beki (rys..).
Rys.. rok. Obiczamy ugięcie i obrót końca beki. rzy pomocy zoru (5) onieaż ( )( ) ( ) ( ), Zatem ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d ma ϕ rzy pomocy zoru () ma ϕ rzy pomocy zoru (7)
ma ϕ rzykład. Obiczyć ugięcie i kąt obrotu połoie rozpiętości beki o schemacie statycznym, ymiarach i obciążeniu jak na rys... Rys.. Dane: I E,,, Szukane: ( ) ( ), ϕ Roziązanie: rok. Sporządzamy ykresy momentó zginających od: zadanego obciążenia, siły jednostkoej i momentu jednostkoego przyłożonych środku rozpiętości rozpatryanej beki (rys..). Rys.. rok. Obiczamy ugięcie i obrót połoie rozpiętości beki przy pomocy zoru (7) ( ) ( ) 5 ma ϕ
rzykład. Obiczyć ugięcie i kąt obrotu końca beki o schemacie statycznym, ymiarach i obciążeniu jak na rys... Rys.. Dane:,, E, I Szukane:, ϕ Roziązanie: rok. Sporządzamy ykresy momentó zginających od: zadanego obciążenia, siły jednostkoej i momentu jednostkoego przyłożonych do końca rozpatryanej beki (rys..). Rys.. rok. Obiczamy ugięcie i obrót końca beki przy pomocy zoru (7) ma ϕ ( ) ( ) 5 rzykład. Obiczyć ugięcie i kąt obrotu połoie rozpiętości, a także obrót na końcu rozpiętości beki o schemacie statycznym, ymiarach i obciążeniu jak na rys... Rys..
Dane:,, E, I Szukane: C Roziązanie: L C C, ϕ, ϕ, ϕ rok. rok. Sporządzamy ykresy momentó zginających od: zadanego obciążenia, siły jednostkoej i momentó jednostkoych przyłożonych środku rozpiętości rozpatryanej beki, a także momentu jednostkoego przyłożonego na jej końcu (rys..). Rys.. rok. Obiczamy ugięcie i obrót zadanych punktach beki przy pomocy zoru () C ma L ϕc ϕc ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )