II EWNE SCHEMATY RACHUNKU RAWDOODOBIEŃSTWA 2 Zagadieie Beroulliego rzeprowadzamy doświadczeń w tai sposób, że prawdopodobieństwo sucesu w ażdym doświadczeiu jest stałe, iezależe od wyiów poprzedich i rówe p Jest to tzw schemat (zagadieie) Beroulliego Twierdzeie 2 (Beroulliego) rawdopodobieństwo, że a przeprowadzoych doświadczeń wg schematu Beroulliego uzysa się sucesów w dowolej olejości jest dae wzorem gdzie 0 < p < i q! p Dowód Ozaczmy: U zdarzeie polegające a udaiu się doświadczeia, U zdarzeie przeciwe rawdopodobieństwo, że a doświadczeń uda się pierwszych i ie uda się! astępych jest rówe oieważ zdarzeia są iezależe, więc Kolejość występowaia udaych doświadczeń jest obojęta, więc ażdy uład udaych oraz! ieudaych doświadczeń jest sprzyjający zdarzeiu, tórego prawdopodobieństwo obliczamy Wszystich różych uładów elemetów U i! elemetów U jest tyle, ile jest permutacji z powtórzeiami rzypomieie: -elemetową permutacją z powtórzeiami azywamy zbiór sładający się z elemetów uporządowaych, wśród tórych pewe elemety powtarzają się odpowiedio, 2,, razy; liczba utworzoych w te sposób zbiorów jest rówa W aszym przypadu mamy p q,, ( U U K U U U K U) 4243 4243 ( U) ( U) K ( U) ( U) ( U) K ( U) 44 424444 3 4444244443!! K!, 2, K,! 2
26 II ewe schematy rachuu prawdopodobieństwa i stąd mamy wzór poday w twier- # rawdopodobieństwo ażdego uładu jest rówe p dzeiu q Schemat Beroulliego ma prostą iterpretację urową, tóra polega a tzw losowaiu ul ze zwracaiem rzyład 2 W urie mamy N ul, wśród tórych jest M Białych i N! M czarych Losujemy razy po jedej uli, zwracając ją za ażdym razem Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowaia ul białych rawdopodobieństwo wylosowaia białej uli jest stałe przy ażdym losowaiu i wyosi p M / N Zatem rzyład 22 Co jest bardziej prawdopodobe u zawodia rozgrywającego partię z przeciwiiem o rówej sile gry: a) wygraie 3 partii z 4, czy 5 z 8, b) wygraie ie miej iż 3 partii z 4, czy ie miej iż 5 z 8, c) wygraie ie więcej iż z 2 partii, czy więcej iż z 2, d) wygraie ie więcej iż z 2 + partii, czy więcej iż z 2 +? Z założeia prawdopodobieństwo wygraia p jest rówe prawdopodobieństwu przegraia q i wyosi /2 Rozegraie partii moża uważać za przeprowadzeie doświadczeia Wyi jedej partii ie wpływa a wyi iej, co ozacza, że doświadczeia są iezależe Ad a) Należy obliczyć 4, 3 oraz 8, 5 i porówać te wielości Mamy a więc 4, 3 > 8, 5 Ad b) rawdopodobieństwo wygraia ie miej iż 3 partii z 4 jest rówe prawdopodobieństwu wygraia 3 partii z 4 lub 4 partii z 4, czyli W drugim przypadu mamy!( )!,!, 3 M N M N 4 8 7, 85, 3 2 2 4 5 2 2 32 43,, 5 3 3 4 0 4 4 5 ( 43, 4, ),, 2 43+ 44 3 + 2 2 4 2 2 6 93 (, 85 8, ),,,, 2 85+ 86+ 87 + 88 256 Zatem bardziej prawdopodobe jest wygraie ie miej iż 5 partii z 8
2 Zagadieie Beroulliego 27 Ad c) Mamy ( 2, 0, ), gdyż oraz orówując oba wyii widzimy, że Ad d) Mamy i mamy rówość 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 oraz 2 ( 2, + 2, 2) 2, + 2 2 + + 2 2 2 2 2 + 2 2 2 0 2 2 + 2 2 2 2 2 + + + 2 K 0 0 2 ( 2, 0, ) > ( 2, + 2, ) ( 2+, 0, ) +, 2+ 2 2 0 2+ 2 0 2 2 + 2 2 0 2 + oraz ( 2, 2, 2 + + + ) 2 2, 2 2 + + + 2 2 2 2 + + + 2 + 2 + 2+ 2 + 2 2, + 2+ 0
28 II ewe schematy rachuu prawdopodobieństwa Zadaia Obliczyć prawdopodobieństwo, że a 7 rzutów ostą co ajwyżej 3 razy wypadie liczba ocze ie miejsza od 4 2 Rzucamy cztery razy dwiema ostami Jaie jest prawdopodobieństwo, że dwa razy otrzymamy sumę ocze ie więszą od trzech? 3 Daa jest ura, w tórej są ule: 6 czarych i 9 białych Losujemy 5 razy po jedej uli, ładąc za ażdym razem wyciągiętą ulę z powrotem do ury Jaie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy co ajwyżej 3 razy ulę białą? 4 Mamy 2 ury typu A zawierające po 3 białe i 7 czarych ul, 3 ury typu A 2 zawierające po 2 białe, 3 czare i 5 zieloych ul oraz 5 ur typu A 3, w ażdej z tórych zajduje się biała i 9 czarych ul obieramy losowo 3 ule ze zwrotem, tz po ażdym losowaiu zwracamy ją do ury, z tórej została wyciągięta Obliczyć prawdopodobieństwo, że co ajwyżej jeda ula będzie czara 5 W urie są 4 ule białe i 6 ul czarych Losujemy 4 razy po 5 ul i po ażdym losowaiu wrzucamy je do ury Jaie jest prawdopodobieństwo, że 2 razy wylosujemy 5 taich ul, wśród tórych będą 3 ule czare? 22 Masymale prawdopodobieństwo w zagadieiu Beroulliego Defiicja 2 Ustaloy wsaźi 0, dla tórego prawdopodobieństwo, jest ie miejsze 0 od pozostałych prawdopodobieństw azywamy ajbardziej prawdopodobą liczbą sucesów w serii doświadczeń Aby zaleźć tę liczbę, rozpatrzmy ciąg prawdopodobieństw,, w tórym przy ustaloej wartości będziemy zmieiać wartość Utwórzmy iloraz Mamy, a) >, tj, >,, gdy < ( +)p,,, b) <, tj, <,, gdy > ( + )p,,, c), tj,,, gdy ( + )p,, p ( p) p ( p), + p + p
22 Masymale prawdopodobieństwo w zagadieiu Beroulliego 29 Zgodie z defiicją 2 ależy ustalić wsaźi 0, dla tórego Na podstawie a) i c) pierwsza ierówość jest spełioa, gdy a druga (a podstawie b) i c)), gdy 0 ( + ) p (w tym przypadu w podaych wzorach ależy podstawić 0 + ) Wartość 0 spełia zatem podwóją ierówość: Różica liczb ( + )p! i ( + )p wyosi Wyia stąd, że a) jeśli liczby te ie są całowite, to 0 [( + )p], gdzie [x] ozacza część całowitą liczby x, b) gdy obie liczby są całowite, to istieją dwie liczby ajbardziej prawdopodobych sucesów: ' ( + ) p i " ( + ) p 0 0 i,,, +, 0 0 0 0 ( + ) p, 0 ( + ) p ( + ) p 0 rzyład 23 Mamy 4 ury typu A zawierające 2 białe i 8 czarych ul oraz 6 ur typu A 2 z 3 ulami białymi i 7 czarymi Losujemy cztery razy po jedej uli ze zwracaiem Obliczyć ajbardziej prawdopodobą liczbę ul białych Ozaczmy przez B zdarzeie polegające a wylosowaiu białej uli, a przez p prawdopodobieństwo otrzymaia białej uli przy jedym losowaiu Mamy oieważ 4, więc ( + )p 5 @ 0,26,30, czyli ajbardziej prawdopodobą liczbą białych ul wśród czterech pobraych jest jeda ula rzyład 24 Rzucoo 77 razy ostą do gry Jaa jest ajbardziej prawdopodoba liczba wyrzucoych szóste? rawdopodobieństwo p wyrzuceia szósti w jedym rzucie wyosi /6 oieważ wartość Zadaie p ( A B+ A2 B) ( A B) + ( A2 B) ( A) ( B A) + ( A2) ( B A2) 04, 02, + 06, 03, 026, ( + ) p 78 3 6 jest liczbą całowitą, więc ajbardziej prawdopodobe liczby wyrzuceia szóste to 2 i 3 Działo r w ciągu oreśloego czasu wyrzuca 70 pocisów z prawdopodobieństwem trafieia do celu rówym 0,8 dla ażdego strzału, a działo r 2 w ciągu tego samego czasu wyrzuca 60 pocisów z prawdopodobieństwem trafieia do celu rówym 0,9 dla ażdego strzału Dla tórego z tych dział ajbardziej prawdopodoba liczba celych strzałów jest więsza?
30 II ewe schematy rachuu prawdopodobieństwa 23 Zagadieie oissoa Twierdzeie 22 Jeżeli przeprowadzamy ciąg S serii doświadczeń według schematu Beroulliego, ta że liczba doświadczeń w poszczególych seriach wzrasta dążąc do iesończoości i prawdopodobieństwo p dąży do zera, ale iloczy @ p jest wielością stałą, sończoą, rówą 8 > 0, to Dowód Mamy Ale lim, e λ λ! (bo liczba czyiów jest sończoa i rówa ) oraz (, λ), p ( p)! ( + ) ( + ) λ 2 K λ 2! 0 λ K lim 2 K λ lim lim e e, λ λ λ λ sąd wyia teza λ # Wzór poday w twierdzeiu 22 pozwala obliczyć prawdopodobieństwo, według przybliżoego wzoru e λ λ,,! gdy liczba doświadczeń jest duża, a prawdopodobieństwo p jest ta małe, że iloczy @ p jest liczbą małą (w pratyce $00, a 8 # 20) Zadaia Mamy 3 maszyy typu A, 5 maszy typu B i 2 maszyy typu C Każda z ich produuje tę samą liczbę towarów i dla typu A mamy: 50% wyrobów I gatuu, 45% wyrobów II gatuu, resztę staowią brai; dla typu B: 80% wyrobów I gatuu, 7% wyrobów II gatuu, resztę staowią brai; dla typu C: 30% wyrobów I gatuu, 69% wyrobów II gatuu i % braów obieramy losowo z całej przemieszaej masy towarowej 200 sztu ze zwracaiem Obliczyć prawdopodobieństwo, że co ajwyżej jeda sztua będzie braiem 2 Test zadaia zob zad obieramy losowo 300 sztu Obliczyć ajbardziej prawdopodobą liczbę sztu wadliwych oraz prawdopodobieństwo wystąpieia tej liczby
24 Zagadieie ascala 3 3 Szufladę o polu powierzchi rówym m 2 podzieloo a przegródi o polach podstaw rówych cm 2 Do szuflady tej wrzucoo losowo 000 ule, przy czym załadamy, że prawdopodobieństwo wpadięcia uli do przegródi jest dla ażdej przegródi jedaowe Obliczyć prawdopodobieństwo, że do wyróżioej przegródi wpadą więcej iż dwie uli 24 Zagadieie ascala Zagadieie ascala jest trochę zmodyfiowaym zagadieiem Beroulliego W zagadieiu Beroulliego liczba doświadczeń jest z góry ustaloa i wyzacza się prawdopodobieństwo, że wśród tej ustaloej liczby będzie sucesów W zagadieiu ascala ależy obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba doświadczeń według schematu Beroulliego będzie rówa przy założeiu, że próby przeprowadzamy ta długo, aż osiągiemy sucesów Twierdzeie 23 Jeżeli doświadczeia przeprowadzamy według schematu Beroulliego o stałym prawdopodobieństwie sucesu w ażdym doświadczeiu rówym p, aż do uzysaia z góry ustaloej liczby sucesów ( $), to prawdopodobieństwo, że liczba doświadczeń będzie rówa ( $ ) jest rówe Dowód Ozaczmy przez E zdarzeie polegające a tym, e liczba doświadczeń będzie rówa, jeśli będziemy wyoywać je ta długo, aż osiągiemy sucesów, przez E zdarzeie polegające a otrzymaiu! sucesów w! doświadczeiach (w dowolej olejości), a przez E 2 zdarzeie polegające a otrzymaiu sucesu w -tym doświadczeiu Zauważmy, że E E E2 oraz że zdarzeia E i E 2 są iezależe Zatem oieważ E ( ) p, 2, p q,, q p E ( ) E ( ) E ( ) 2 a a podstawie twierdzeia 2 mamy E ( ) p q, więc stąd wyia poday wzór # W szczególym przypadu, gdy doświadczeie przeprowadzamy tylo do chwili uzysaia pierwszego sucesu ( ), poday wzór przyjmuje prostszą postać, p q rzyład 25 Gracz wyouje rzuty moetą ta długo, aż otrzyma orła Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeia E, że liczba rzutów ie przeroczy czterech Mamy p /2 i q /2 oraz
32 II ewe schematy rachuu prawdopodobieństwa 2 3 4 E ( ), +, +, +, +, + + 5 2 3 4 2 2 2 2 6 gdzie, ozacza suces w -tym rzucie Zadaie Trzy fabryi A, B i C produują towar sztuowy ta, że fabrya A porywa 30% zapotrzebowaia ryu, fabrya B 50% oraz fabrya C 20% Jaość towaru produowaego przez poszczególe fabryi jest astępująca: w fabryce A 80% I gatuu, 8% II gatuu, 2% braów, w fabryce B 40% I gatuu, 55% II gatuu, 5% braów, w fabryce C 80% I gatuu, 5% II gatuu i 5% braów Kupujemy a ryu w sposób losowy po jedej sztuce ta długo, aż otrzymamy dwie sztui I gatuu Obliczyć prawdopodobieństwo, że zostaie zaupioych 5 sztu 25 Zagadieie ólya Zagadieie to jest związae z pewą metodą losowaia ul z ury Z ury, w tórej zajduje się b białych i c czarych ul (b + c N) losujemy ulę i astępie zwracamy ją do ury oraz wyoujemy jedą z astępujących czyości: a) dodajemy s ul tego samego oloru, co pobraa uprzedio ula (s > 0), b) wyjmujemy z ury s ul tego oloru, co pobraa uprzedio ula (s < 0), c) ie doładamy, ai ie wyjmujemy ul (s 0) Zagadieie ólya polega a obliczeiu prawdopodobieństwa, że w przypadu losowań według tego schematu otrzymamy ul białych (przypade c) jest schematem Beroulliego schematem losowaia ul z ury ze zwrotem) Twierdzeie 24 rawdopodobieństwo uzysaia sucesów a przeprowadzoych doświadczeń według schematu ólya jest rówe p ( p ) ( p ( ) ) q ( q ) ( q ( ) ) (, ), + α K + α + α K + α ( + α) ( + 2α) K ( + ( ) α) b gdzie p N q c s,, α N N Dowód Ozaczmy: B i zdarzeie polegające a wylosowaiu białej uli za i-tym razem, C i zdarzeie polegające a wylosowaiu czarej uli za i-tym razem, E wylosowaie olejo białych, a astępie! czarych ul, czyli E B B K B C C K C 2 + + 2 rawdopodobieństwo zajścia zdarzeia E jest rówe E ( ) B ( ) B ( 2 B) K B ( B B2 K B ) C ( B B K B ) K C ( B K B C K C ) + 2 +
25 Zagadieie ólya 33 b b+ s + b+ ( ) s c c+ s c+ ( ) s K K N N s N + ( ) s N + s N + ( + ) s N + ( ) s Wszystich możliwych ustawień białych i! czarych ul jest (jest to liczba eleme- towych permutacji, w tórych jede elemet powtarza się razy, a drugi! razy) Zatem (, ) E ( ) b ( b s) ( b ( )) s c ( c s) ( c ( )) s + K + + K + N ( N + s) K ( N + ( ) s) Dzieląc liczi i miaowi przez N otrzymujemy wzór poday w twierdzeiu # W szczególym przypadu losowaia bez zwrotu (s!) mamy Twierdzeie 25 rawdopodobieństwo uzysaia sucesów a przeprowadzoych doświadczeń przy losowaiu bez zwrotu dae jest wzorem przy czym max( 0, N + b) mi(, b) Dowód odstawiając s! we wzorze podaym w poprzedim twierdzeiu, otrzymujemy Ograiczeia wyiają z waruów, że liczba wylosowaych ul białych i czarych ie może przeroczyć liczby ul daego oloru w urie, czyli b, N b N + b, a poadto jest oczywiste, że 0 b c (, ) N,! b ( b ) K ( b + ) c ( c ) K ( c + + ) (, )!( )! N ( N ) K ( N + )! b! c! ( N )!!( )! ( b )! ( c + )! N! b b! c! c!( b )! ( )!( c + )! N! N ( N )!! rzyład 26 Z ury zawierającej 7 ul białych i 3 czare losujemy olejo trzy razy, zwracając po ażdym losowaiu ulę wraz z dwiema ulami wylosowaej uprzedio uli Obliczyć prawdopodobieństwo, że doładie dwa razy wylosujemy ulę białą #
34 II ewe schematy rachuu prawdopodobieństwa Mamy: 3, 2, b 7, c 3, s 2, czyli 3 7 ( 7 2) 3 ( 32, ) 2 + 0 ( 0 + 2) ( 0 + 4) 27 80 Twierdzeie 26 Jeżeli przy ustaloych wartościach i mamy to Dowód Wzór te wyia bezpośredio z poprzediego twierdzeia # Z powyższego twierdzeia wyia waży pratyczie wzór: Wzór te stosujemy, gdy wartości N, b i c są liczbami dostateczie dużymi w porówaiu z wartościami, i! Jeżeli dodatowo liczba jest bardzo duża, a wartość @ p bardzo mała, to możemy zastosować wzór przybliżoy z zagadieia oissoa: rzyład 27 Z partii towaru o liczości N 200 elemetów, w tym b 20 elemetów mających cechę X, losujemy 2 elemetów bez zwrotu Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowaia doładie 7 elemetów z cechą X stosując a) wzór dołady, b) wzór przybliżoy Ad a) o żmudych rachuach otrzymujemy ( 2, 7) 0, 234 Ad b) Mamy p b / N 20/200 0,6 < i z przybliżoego wzoru dostajemy Zadaie s b lim 0 i 0< lim p <, N N N N lim (, ) p ( p) N b (, ) p ( p), p gdzie 0< < N e λ λ b (, ), gdzie λ p i p! N 2 ( 2, 7) ( 06, ) ( 04, ) 0227, 7 7 5 Widzimy, że otrzymae wyii różią się iewiele W urie zajduje się 25 ul białych i 45 ul czarych Losujemy 20 razy według schematu ólya dodając po ażdym losowaiu 2 ule odpowiediego oloru Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy 7 razy ulę białą
26 Zagadieie Bayesa 35 26 Zagadieie Bayesa Day jest uład zupeły zdarzeń A, A 2,, A oraz zdarzeie B oreśloe w tej samej przestrzei I Wiemy, że zdarzeie B zaszło Iteresuje as prawdopodobieństwo zdarzeia A (, 2,, ) obliczoe a podstawie otrzymaej już iformacji o zajściu zdarzeia B, tj (A B) Zagadieie to azywa się zagadieiem Bayesa, w tórym zdarzeia A azywa się przyczyami, a zdarzeie B sutiem Zajomość prawdopodobieństw (A ) i (B A ) pozwala am oreślić prawdopodobieństwo (A B) Mamy sąd B ( A) B ( ) A ( B) A ( ) BA ( ) A ( B), ( A) ( B A) ( A B) B ( ) Zdarzeia A, A 2,, A staowią jeda uład zupeły zdarzeń, tj B ( ) A ( B+ A B+ + A B), 2 K więc ze wzoru a prawdopodobieństwo całowite mamy B ( ) A ( ) BA ( ) i i i Zatem ostateczie ( A B) ( A ) ( B A ) i ( A) ( B A) i i Wzór te osi azwę wzoru a prawdopodobieństwo a posteriori, tz prawdopodobieństwo przyczyy Często jest też azyway wzorem Bayesa rzyład 28 Dae są dwie ury z ulami: ura A, tóra zwiera 6 czarych i 9 białych ul oraz ura A 2 z 5 czarymi i 5 białymi ulami Wylosowao ulę białą Jaie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi oa z ury A? Zay jest fat wyciągięcia uli białej ytamy o prawdopodobieństwo, że jest oa z ury A Ze wzoru Bayesa mamy gdzie przez B ozaczyliśmy zdarzeie polegające a wyciągięciu uli białej oieważ więc ( A B) ( A) ( B A) ( A) ( B A) + ( A) ( B A), 2 2 9 5 ( A), ( A2), ( B A), ( B A2), 2 2 5 20
36 II ewe schematy rachuu prawdopodobieństwa 9 ( A B) 2 5 4 9 5 9 + 2 5 2 20 Zadaia Mamy 2 ury typu A zawierające po 3 białe i 7 czarych ul, 3 ury typu A 2 zawierające po 2 białe, 3 czare i 5 zieloych ul oraz 5 ur typu A 3, w ażdej z tórych zajduje się biała i 9 czarych ul Wyciągięto ulę, tóra oazała się białą Jaiemu typowi ury odpowiada ajwięsze prawdopodobieństwo pochodzeia tej uli i jaa jest jego wartość liczbowa 2 W pewym mieście są trzy lotisa A, A 2 i A 3, posiadające samoloty saitarerawdopodobieństwo, że jest do dyspozycji samolot a lotisu A jest rówe /5, że a lotisu A 2 rówe 2/5, a a lotisu A 3 rówe 4/5 rawdopodobieństwo otrzymaia połączeia telefoiczego z lotisiem A za pierwszym wybraiem umeru jest rówe 3/5, z lotisiem A 2 rówa się /5, a z lotisiem A 3 rówa się /5 Uzysao samolot saitary po pierwszym wezwaiu telefoiczym Z tórego lotisa ajprawdopodobiej uzysao samolot? 3 W urie zajduje się 5 ul, przy czym ażda z ich może być czara lub biała Losując 4 razy po jedej uli ze zwrotem wylosowaliśmy jedą ulę białą i trzy czare Jaie jest prawdopodobieństwo, że w urie zajduje się jeda ula biała i cztery czare? Zadaia dotyczące różych schematów prawdopodobieństwa Mamy 3 ury typu A, 2 ury typu A 2 i 5 ur typu A 3 Każda z ur typu A zawiera białą i 9 zieloych ul, ażda ura typu A 2 zawiera 3 białe, 6 zieloych i czarą ulę, a w ażdej urie typu A 3 zajduje się 7 ul białych, zieloa i 2 czare A Obliczyć prawdopodobieństwo, że pobraa losowo ula oaże się zieloa B Losujemy po jedej uli z ażdego typu ury Obliczyć prawdopodobieństwo, że i) ule te będą różych olorów, ii) ule będą tego samego oloru, iii) doładie dwie ule będą tego samego oloru, iv) co ajmiej dwie ule będą tego samego oloru, v) dwie ule będą białe, vi) co ajmiej jeda ula będzie biała C Losujemy trzy razy po jedej uli za ażdym razem zwracając ją Obliczyć: i) ajbardziej prawdopodobą liczbę ul białych wśród ul wylosowaych i prawdopodobieństwo wylosowaia tej liczby ul, ii) prawdopodobieństwo, że co ajwyżej jeda ula będzie czara D Wylosowao jedą ulę, tóra oazała się zieloa Obliczyć prawdopodobieństwo, że pochodzi oa z ury typu A E Co ajmiej ile ul ależy pobrać losowo, aby z prawdopodobieństwem ie miejszym od 0,9 moża było twierdzić, że ie wszystie ule są tego samego oloru? F Losujemy dwurotie po jedej uli za ażdym razem zwracając ją Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie ule będą pochodziły z ury typu A i obie będą zieloe
26 Zagadieie Bayesa 37 G Losujemy urę, a potem olejo dwie ule uprzedio wylosowaej ury Obliczyć prawdopodobieństwo, że i) będą oe różych olorów, ii) obie będą białe H Obliczyć prawdopodobieństwo, e jeśli losujemy ule ze zwracaiem ta długo, aż otrzymamy dwie ule białe, to liczba losowań będzie rówa trzy 2 Na pewym ieruu studiów sład grup studecich jest astępujący: w grupie I jest 4 studete i studetów, w grupie II jest 2 studete i 2 studetów, a w grupie III jest 7 studete i 5 studetów A Z listy zawierającej alfabetyczy spis całego rou wybrao losowo jedą osobę, tóra oazała się studetą Obliczyć prawdopodobieństwo, e wybraa studeta ależy do grupy III B Z trzech list, po jedej dla ażdej grupy, losowao jedą osobę, tóra oazała się studetą Obliczyć prawdopodobieństwo, że ależy oa do grupy III 3 Urządzeie słada się z trzech zespołów typu A, trzech zespołów typu B oraz czterech zespołów typu C Urządzeie przestaje działać, jeśli działają miej iż dwa zespoły daego typu rawdopodobieństwo zepsucia się zespołu daego typu w pewym oreśloym czasie jest rówe odpowiedio (A) 0,, (B) 0, i (C) 0,2 A Obliczyć prawdopodobieństwo, że urządzeie przestaie w daym czasie działać B Urządzeie przestało działać Obliczyć prawdopodobieństwo, że zdarzeie zaszło z powodu awarii zespołów typu C 4 Z talii 52 art losujemy po olei 5 art ze zwracaiem arty po ażdym losowaiu A Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowaia jedego pia, dwóch trefli, jedej arty aro i jedego iera B Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowaia dwóch art jedego oloru i po jedej arcie pozostałych olorów