*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów konsumpcyjnych skªada si z n ró»nych towarów o numerach od 1 do n, x i ilo± i-tego towaru, mierzona w jednostkach zycznych kg, m, l, mb, m 2, szt.). Koszyk towarów x = (x 1, x 2,..., x n ), x i 0 Odlegªo± mi dzy koszykami x = (x 1, x 2,..., x n ) i y = (y 1, y 2,..., y n ) d(x, y) = max{ x i y i : i = 1, 2,..., n}
Dla dowolnych x, y, z X: 1. d(x, y) 0, przy czym d(x, y) = 0 x = y 2. d(x, y) = d(y, x) 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Przestrze«towarów: X R+ n zbiór dost pnych na rynku koszyków towarów z odlegªo±ci d. Jest to przestrze«metryczna. Otoczenie koszyka x o promeniu ε: U ɛ (x) = {y X : d(x, y) < ε}. Granica ci gu koszyków {x i } i=1 : taki koszyk x,»e lim d(x i, x) = 0. i Zbiór M ( M X) nazywamy domkni tym, je»eli granica ka»dego zbie»nego ci gu koszyków nale» cych do zbioru M te» nale»y do M. Koszyk x M (M X) nazywamy punktem wewn trznym zbioru M, je±li ε > 0 U ɛ (x) M. Wn trze zbioru M (ozn. int M): zbiór wszystkich punktów wewn trznych tego zbioru.
Zbiór M X nazywamy otwartym, je»eli ka»dy koszyk x M jest jego punktem wewn trznym (M = int M). Zbiór M X nazywa si wypukªy je±li dla dowolnych x, y M, odcinek [x, y] jest zawarty w M. Punkt brzegowy zbioru M X: taki koszyk x X,»e w dowolnym otoczeniu x znajduj si zarówno punkty nale» ce do M, jak i do M nienale» ce. Zbiór wszystkich punktów brzegowych bnd M brzeg zbioru M. Dopeªnienie zbioru M X: X \ M. Zbiór M X nazywa si ograniczonym, je±li N > 0 x, y M d(x, y) N. Zbiór M X nazywa si zwarty, je±li jest ograniczony i domkni ty. Liniowa kombinacja wypukªa koszyków x, y R n + nazywamy koszyk z postaci x = αx + βy, gdzie α, β s nieujemnymi liczbami rzeczywistymi oraz α + β = 1. Odcinek ª cz cy koszyki x i y w przestrzeni R n + : [x, y] = {z R n + : α, β 0 : α+β = 1, z = αx+βy}.
I.2. Relacja preferencji konsumenta Koszyki x i y s indyferentne, je±li dla konsumenta s jednakowo dobre; piszemy x y Koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y, je±li dla konsumenta x jest lepszy od y; piszemy x y. Symbol x y oznacza alternatyw : (x y) (x y) Relacja indyferencji konsumenta: I = {(x, y) X X : x y} Zaªo»enie 1. Relacja indyferencji jest zwrotna i symetryczna, tzn. a) x X x x, b) x, y X x y = y x. Relacja silnej preferencji: P s = {(x, y) X X : x y} Relacja preferencji konsumenta: P = {(x, y) X X : x y} Zaªo»enie 2. Relacja preferencji konsumenta jest zupeªna i przechodnia, tzn. a) x, y X (x y) (y x) b) x, y X (x y) (y z) x z.
Tw.1. Dla dowolnych koszyków x, y, z X: a) (x y) (y x) (x y), b) (x y) (y x) (x y), c) (x y) (y x) (x y), d) (x y) (y z) (x z). Wniosek. Dla dowolnych koszyków x, y, z X: a) (x y) (y z) (x z), b) (x y) (y z) (x z). Pole preferencji konsumenta: jest to przestrze«towarów X (0 X R n + ) ze zdeniowan relacj preferencji konsumenta P ; ozn. (X, P ). Obszar (krzywa) oboj tno±ci wzgl dem danego koszyka x 0 X: zbiór wszystkich koszyków indyferentnych z x 0, tzn. K x 0 = {x X : x x 0 }. Prz. 1. Przestrze«towarów: X = {A, B, C, D} Preferencje I-go konsumenta A B C D A A A A B A C A D B B B B D C C A C B C C C D D D D I = {(A, A)(B, B)(C, C)(D, D)(A, C)(C, A)}; relacja indyferencji jest zwrotna i symetryczna P s = {(A, B)(A, D)(B, D)(C, B)(C, D)}:
relacja s. pref. jest przechodnia P = I P s : relacja preferencji jest zupeªna i przechodnia K A = {A, C} Preferencje II-go konsumenta A B C D A A A A B A C B B B B C C C A C B C C C D D D A D B D D I = {(A, A)(B, B)(C, C)(D, D)(B, C)(C, B)}; relacja indyferencji jest zwrotna i symetryczna P s = {(A, B)(A, C)(C, D)(D, A)(D, B)}: relacja s. pref. nie jest przechodnia P = I P s : relacja preferencji jest zupeªna, ale nieprzechodnia K A = {A}. Prz. 2. X = {x R 1 + : 0 x a} x y x = y, x y x > y I = {(x, y) R 2 + : x = y, 0 x a, 0 y a} P s = {(x, y) R 2 + : x > y, 0 x a, 0 y a} P = {(x, y) R 2 + : x y, 0 x a, 0 y a}
Prz. 3 X = R 2 + I = {(x, y R 4 + : x 1 + x 2 = y 1 + y 2 } P s = {(x, y R 4 + : x 1 + x 2 > y 1 + y 2 } P = {(x, y R 4 + : x 1 + x 2 y 1 + y 2 } Je±li x 0 = (x 0 1, x0 2 ), to K x 0 = {x R 2 + : x 1 + x 2 = x 0 1 + x0 2 } I.3. Optymalny koszyk towarów i warunki jego istnienia. Koszyk x M nazywamy optymalnym koszykiem w zbiorze M, je»eli jest on nie gorszy od ka»dego innego koszyka z tego zbioru Relacja preferencji konsumenta P = {(x, y) : x y} jest ci gªa je±li istniej takie otoczenia U ε (x) i U ε (y),»e dla ka»dego x U ε (x) i dla ka»dego y U ε (y) jest x y. Tw. 2. Relacja preferencji konsumenta P jest ci gªa na przestrzeni towarów X relacja silnej preferencji jest zbiorem otwartym w przestrzeni X X. Tw. 3. Relacja preferencji konsumenta P jest ci gªa na przestrzeni towarów X dla dowolnych a, b X zbiory {x X : x a} i {x X : b x} s zbiorami otwartymi w X.
Relacja preferencji P jest wypukªa, je±li α, β 0: α + β = 1 x, y X, x y αx + βy y. Prz. 4. x = ( 1 l mleka 5 l piwa ), y = ( 2 l mleka 2 l piwa ) Tw. 4. Relacja preferencji konsumenta jest wypukªa Longlef trightarrow dla ka»dego koszyka a X zbiór F (a) = {x X : x a} jest wypukªy. Relacja preferencji P jest silnie wypukªa na X, je±li α, β 0: α + β = 1 x, y X, x y, x y αx + βy y. Tw. 5. Je»eli relacja preferencji konsumenta jest wypukªa, to α, β 0: α + β = 1 zachodz implikacje (a) x, y X (x y, x y) αx + βy y; (b) x, y X (x y, x y) αx + βy y; (c) x, y X (x y, x y) αx + βy x;
Tw. 6. Niech (X, P ) oznacza pole preferencji konsumenta i niech = M X. Wówczas: (a) je»eli relacja preferencji P jest ci gªa na przestrzeni towarów X, a M jest zbiorem zwartym, to w zbiorze M istnieje przynajmniej jeden optymalny koszyk towarów, a wszystkie koszyki optymalne tworz zwarty podzbiór zbioru M. (b) Je»eli relacja preferencji P jest ci gªa i wypukªa na wypukªej przestrzeni towarów X, a zbiór M jest zwarty i wypukªy, to w zbiorze M istnieje przynajmniej jeden optymalny koszyk towarów, a wszystkie koszyki optymalne tworz zwarty i wypukªy podzbiór zbioru M. (c) Je»eli relacja preferencji P jest ci gªa i silnie wypukªa na wypukªej przestrzeni towarów X, a zbiór M jest zwarty i wypukªy, to w zbiorze M istnieje dokªadnie jeden optymalny koszyk towarów. Prz. 5. Relacja preferencji jest zdeniowana nast.: x y a 1 x 1 + a 2 x 2 = a 1 y 1 + a 2 y 2 x y a 1 x 1 + a 2 x 2 > a 1 y 1 + a 2 y 2