Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych

Transkrypt

1 Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17

2 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta co najmniej dwa podukªady. Przestrze«H AB = H A H B H A - przestrze«hilberta podukªadu A H B - przestrze«hilberta podukªadu B Stan czysty ψ H AB jest separowalny je±li ψ = ϕ A ϕ B, ϕ A H A, ϕ B H B Stan czysty jest spl tany, je±li nie jest separowalny. 2 / 17

3 Spl tanie stanów czystych Jak wykry stany spl tane? Kryterium separowalno±ci stanów czystych: stan ψ H AB jest separowalny jego ±lady cz ±ciowe tr A ψ ψ, tr B ψ ψ A zatem s stanami czystymi. ψ jest spl tany, gdy jego ograniczenia do podukªadów nie s stanami czystymi. 3 / 17

4 Spl tanie stanów czystych 'Fizyczna' denicja spl tania ukªad zyczny algebra obserwabli A stan ukªadu funkcjonaª liniowy ω : A C, który jest dodatni: ω(a A) 0, A A unormowany: ω(1) = 1 Przykªady stanów: ω ψ = ψ, Aψ - stan wektorowy ω ρ = tr(ρa) - stan mieszany 4 / 17

5 Spl tanie stanów czystych ukªad zªo»ony algebra obserwabli A tot zawiera podalgebry A oraz B takie»e: A i B s statystycznie niezale»ne: [A,B] = 0 A i B generuj A tot Stan czysty ω : A tot C jest (A, B) - separowalny, je±li ω(ab) = ω(a)ω(b), A A, B B Stan czysty ω jest (A, B) - spl tany, je±li powy»sza wªasno± nie zachodzi. 5 / 17

6 Spl tanie stanów czystych Uwaga: poj cie spl tania zale»y od mierzonych obserwabli, przy wyborze pary (A, B), spl tanie stanu oznacza istnienie korelacji mi dzy niezale»nymi obserwablami ka»dy stan czysty mo»e by spl tany (lub separowalny): zawsze istnieje wybór pary (A, B), taki»e stan ω jest (A, B) - separowalny b d¹ nie 6 / 17

7 Spl tanie stanów mieszanych Separowalno± stanów mieszanych - denicja Wernera (1989) Stan mieszany jest (A, B) - separowalny, je±li da si przedstawi jako kombinacja wypukªa czystych stanów (A, B) - separowalnych. Stan ω jest (A, B) - spl tany, je±li nie jest separowalny. Problem: Jak wykry takie spl tanie? 7 / 17

8 Spl tanie stanów mieszanych Kryterium Peresa (1996) Niech stan ω b dzie zadany przez operator stanu ρ. Je±li ρ jest separowalny, czyli ρ = p j P j Q j, j P j A, Q j B to po cz ±ciowej transpozycji Mamy wi c ρ PT = p j Pj T Q j 0 j ρ jest separowaly ρ jest PPT 8 / 17

9 Spl tanie stanów mieszanych czyli ρ jest NPPT (ρ PT 0) ρ jest spl tany dla dwóch qubitów (H AB = C 2 C 2 ), ρ jest NPPT ρ jest spl tany, dla ukªadów na przestrzeniach C d C d, d 3, istniej stany spl tane, które s PPT, s to przykªady stanów o spl taniu zwi zanym, które nie da si wydestylowa do spl tania stanów czystych, nie wiadomo, czy wszystkie stany NPPT s destylowalne 9 / 17

10 Czy tylko spl tanie? Czy tylko spl tanie? Czy rzeczywi±cie separowalne stany mieszane nie zawieraj»adnych korelacji kwantowych? Odpowied¹ Wernera jest raczej formalna. Rozwa»my operacyjne podej±cie do problemu: {P A k } - zupeªny pomiar podukªadu A Pk A - projektory 1 - wymiarowe, Pk A = 1 k Podobnie deniujemy zupeªny pomiar podukªadu B. 10 / 17

11 Czy tylko spl tanie? Po lokalnym pomiarze ρ P AB (ρ) = Pk A PB l k,l ρ P A k PB l Je±li wszystkie lokalne pomiary zaburzaj stan ρ: P AB (ρ) ρ dla dowolnych projektorów {P A k PB l }, to naturalne jest stwierdzenie: Stan ρ jest czysto kwantowy - opisuje kwantowe korelacje mi dzy niezale»nymi podukªadami. W przeciwnym wypadku, stan ρ jest klasyczny. 11 / 17

12 Czy tylko spl tanie? Stan ρ jest klasyczny istniej projektory P A k PB l : ρ = p kl Pk A PB l, k,l p kl 0, p kl = 1 k,l wszystkie stany spl tane s czysto kwantowe, istniej separowalne stany czysto kwantowe np ρ = 1 [ ] jest czysto kwantowym stanem dwóch qubitów, 12 / 17

13 Czy tylko spl tanie? prawie wszystkie stany s czysto kwantowe. Rozwa»a si te» 'jednostronne' pomiary lokalne {P k A 1} lub {1 P k B}. Stan ρ jest klasyczno - kwantowy je±li istnieje pomiar lokalny (np P k A 1), taki»e P A (ρ) = Pk A 1ρPA 1 k = ρ k Stany klasyczno - kwantowe s postaci ρ = p k Pk A ρb k k gdzie {p k } jest pewnym rozkªadem probabilistycznym, a ρ B k s dowolnymi stanami ukªadu B. 13 / 17

14 Miara kwantowo±ci korelacji Miara kwantowo±ci korelacji: geometryczny 'kwantowy discord' (Daki, Vedral, Brukner ) Niech Ω AB - zbiór stanów klasycznych ukªadu zªo»onego AB. DG AB (ρ) = inf ρ χ 2 2 χ ΩAB - dwustronny geometryczny 'discord' gdzie m 2 = tr(mm ). Równowa»na denicja D AB G (ρ) = inf ρ P AB (ρ) 2 2 P AB 14 / 17

15 Miara kwantowo±ci korelacji Cz ±ciej analizuje si jednostronny geometryczny 'discord' DG A (ρ) = inf ρ P A (ρ) 2 2 P A maj cy bliski zwi zek z kwantowym 'discordem' (Ollivier, urek- 2002), wprowadzonym w kontek±cie analizy kwantowej miary 'informacji wzajemnej'. Co wiadomo o D A G? W przypadku dwóch qubitów: dla stanów czystych: D A G (ψ) = spl tanie ψ dla dowolnych stanów: D A G (ρ) spl tanie ρ (Girolami, Adesso ) istnieje zwarta formuªa na D G (ρ) dla dowolnego stanu 15 / 17

16 Miara kwantowo±ci korelacji W przypadku dwóch quditów: dla stanów czystych: DG A (ψ) spl tanie mierzone przez 'negativity' dla dowolnych stanów? Przykªad: Stan Wernera ρ = 1 1, P - projektor na stan Bella 4 Deniujemy stan Wernera ρ W = (1 p)ρ + p P, p [0,1] 16 / 17

17 Miara kwantowo±ci korelacji Dla stanu Wernera spl tanie mierzone przez 'negativity' N(ρ W ) wynosi { 0, p 1/3, N(ρ W ) = (3p 1)/2, p > 1/3 a z drugiej strony D A G (ρ W ) = p 2 Wida,»e: D G A(ρ W ) N(ρ W ), separowalny stan Wernera (p (0, 1/3]), ma czysto kwantowe korelacje 17 / 17