Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0, S 2 0,4 0,2 0 0, Ceny x

Transkrypt

1 Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca (w kg) oraz ceny (w zł) przedstawiają się jak następuje: Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0, S 2 0,4 0,2 0 0, Ceny x Ustalić wielkości produkcji gwarantujące maksymalny przychód ze sprzedaży. Wykorzystać program dualny. Zadanie prymalne: x 1 wielkość produkcji wyrobu A, x 2 wielkość produkcji wyrobu B, x 3 wielkość produkcji wyrobu C, x 4 wielkość produkcji wyrobu D. z= 10x 1 +14x 2 +8x 3 +11x 4 MAX 0,5x 1 +0,4x 2 +0,4x 3 +0,2x 4 < ,4x 1 +0,2x 2 +0x 3 +0,5x 4 < 2800 x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 1

2 Zadanie dualne: y 1 cena dualna S 1, y 2 cena dualna S 2. w= 2000 y y 2 MIN 0,5 y 1 + 0,4 y 2 > 10 0,4 y 1 + 0,2 y 2 > 14 0,4 y y 2 > 8 0,2 y 1 +0,5 y 2 > 11 y 1, y 2 > 0 Rozwiązanie: y 1 =30, y 2 =10, w MIN =

3 Przejście z zadania dualnego na prymalne: 1) Sprawdzamy ostrość nierówności w zadaniu dualnym: I nierówność: 0, ,4 10 = > 10 II nierówność: 0, ,2 10 = = 14 III nierówność: 0, = > 8 IV nierówność: 0, ,5 10 = = 11 2) Odpowiadające nierównościom ostrym zmienne z zadania prymalnego przyjmują wartość równą 0. Dotyczy to nierówności I i III a zatem zmienne x 1 oraz x 3 są równe zero. 3) Nowe zadanie prymalne przyjmuje postać: z= 14x x 4 MAX 0,4x 2 + 0,2x 4 < ,2x 2 + 0,5x 4 < 2800 x 2, x 4 > 0 3

4 x 2 =2750, x 4 =4500 Rozwiązanie: x 1 =0, x 2 =2750, x 3 =0, x 4 =4500 z MAX = w MIN = =

5 Posługiwanie się MS Excel na przykładzie o produkcji frytek i puree. Do rozwiązania tego zadania i wielu następnych będzie nam potrzebny dodatek Solver. Domyślnie jest on dezaktywowany. W związku z tym musimy go włączyć. W Excelu 2007 proces ten wygląda następująco: 1) Klikamy na symbol MS Office 5

6 2) Następnie na Opcje programu Excel 3) Następnie na Dodatki 6

7 4) Z listy wybieramy Dodatki programu Excel i klikamy Przejdź 5) Na liście zaznaczamy Dodatek Solver i klikamy Ok 7

8 Funkcja celu: Ograniczenia: Warunki brzegowe: z = 5 x x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 > 0 x 2 > 0 1) Wydzielmy pola na rozwiązanie Każda z wartości zmiennych ma wydzielone pole. Dla x 1 jest to komórka A2 o kolorze żółtym, dla x 2 komórka B2 o kolorze zielonym. 8

9 2) Zapiszmy naszą funkcję celu jako zwykły napis (nie jest to konieczne, ale ułatwia nam pracę) i zapiszmy wzór funkcji celu jako formułę w komórce C4 3) Zapiszmy pierwsze ograniczenie w postaci zwykłego tekstu, ale wartość ograniczenia zapiszmy w osobnej komórce (B5) i zapiszmy formułą wzór ograniczenia. 9

10 4) Tak samo postępujemy z drugim ograniczeniem. 5) Następnie klikamy na kartę Dane, a następnie Solver 10

11 6) Musimy uzupełnić pola Solvera 7) Jako Komórkę celu podajemy zapisaną formułą funkcję celu, czyli komórkę C4 8) Zadanie ma na celu określenie maksimum, a więc wybieramy w polu Równa wartość Maks 11

12 9) Jako Komórki zmieniane wybieramy zaznaczając obszar A2:B2, czyli wartości naszych zmiennych 10) Wprowadzamy Warunki ograniczające. Klikamy Dodaj. 11) Jako Adres komórki wybieramy pierwsze ograniczenie zapisane formułą, a więc komórkę C5 12

13 12) Ustawiamy działanie ograniczające, czyli. Wybieramy z listy <= 13) Jako Warunek ograniczające wybieramy adres komórki w której jest wartość ograniczająca, czyli B5 14) I klikamy Dodaj. 15) Tak samo postępujemy z drugim warunkiem 13

14 16) I klikamy OK 17) Klikamy Rozwiąż 18) Pojawiło się okno Solver Wyniki. Klikamy OK 14

15 19) Otrzymaliśmy rozwiązanie optymalne, gdzie x1=60 x2=20, a funkcja celu ma wartość 420. Zadania do rozwiązania: Zadanie 1: Dziecko w pewnym wieku potrzebuje co najmniej 120 jednostek (j.) witaminy A, 60 j. witaminy D, 36 jednostek witaminy C oraz 180 jednostek witaminy E. Witaminy te są zawarte w dwóch składnikach odżywczych P 1 i P 2. Ze względu na uboczne działanie witaminy A należy jej dostarczyć nie więcej niż 240 j. Zawartość poszczególnych witamin w jednostce produktu oraz ceny jednostkowe produktów (w zł) są następujące: Witamina P 1 P 2 A 6 3 D 1 3 C 9 1 E 6 6 Cena 1,2 1,8 15

16 Ile należy zakupić produktów P 1 i P 2, aby dostarczyć dziecku witamin w wymaganych ilościach przy minimalnym koszcie zakupu P 1 i P 2? Zastosować metodę geometryczną. Rozwiązać problem przy użyciu winqsb. Zadanie 2: Przedsiębiorstwo wytwarza trzy wyroby: A, B, C. Spośród wielu surowców zużywanych w procesie produkcji dwa są limitowane. Limity dziennego zużycia wynoszą odpowiednio: surowiec I 1500 kg, surowiec II 1200 kg. Poniżej zaprezentowano informacje na temat jednostkowego zużycia surowców na produkcję wyrobów: Surowiec Wyrób A B C I 1,5 3 4 II Zysk netto w przypadku jednostki wyrobu A wynosi 12 zł, zaś wyrobów B i C odpowiednio 18 i 12 zł. Ile wyrobów dziennie ma produkować przedsiębiorstwo, aby osiągnąć maksymalny zysk? Czy cały limit surowca jest wykorzystany? Czy opłaca się zwiększyć zasób surowca I? Czy struktura asortymentowa produkcji ulegnie zmianie gdy cena wyrobu C wzrośnie o 2 zł, natomiast limit surowca I zmniejszy się o 20%. Zastosować metodę geometryczną (program dualny). Rozwiązać problem przy użyciu winqsb. Zadanie 3: Żeliwo maszynowe (przeznaczane na odlewy) wytwarzane z trzech stopów powinno zawierać odpowiednio 16

17 węgla C<14%, krzemu S i <8%, manganu Mn>25%, fosforu P>12%. Zawartość pierwiastków (w kg) oraz koszt zakupu 1 t każdego z nich są następujące: Stop Pierwiastek: Cena C Si Mn P (zł/t) I II III Zminimalizować koszt wytworzenia 3000 t żeliwa maszynowego. Czy rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie gdy cena II stopu zwiększy się o 10 zł? Rozwiązać problem przy użyciu winqsb. 17