Rober Kruszewski ROZDZIAŁ 8 WIELOSTABILNOŚĆ W NIELINIOWM MODELU CKLU KONIUNKTURALNEGO Z OCZEKIWANIAMI Wprowadzenie Głównym celem opracowania jes zbadanie wpływu prosego mechanizmu oczekiwań na dynamikę modelu cyklu koniunkuralnego, oparego na mnożniku i zasadzie akceleracji Liniową wersję modelu przedsawił Hicks (950) Zmodyfikowana funkcja konsumpcji zależy od oczekiwanego poziomu produkcji (dochodu) w okresie bieżącym i jes nieliniowa, w odróżnieniu od liniowej funkcji konsumpcji uzależnionej od dochodu z poprzedniego okresu Zagregowane oczekiwania są średnią ważoną oczekiwań konynuacji i odwrócenia obecnego rendu Wielkość populacji oczekującej konynuacji jak i odwrócenia rendu zmienia się w sposób endogeniczny i jes źródłem nieliniowości w proponowanym modelu Prosoa modelu Hicksa pozwala zbadać, jaki efek na dynamikę produku krajowego, wywierają zagregowane oczekiwania formowane przez gospodarswa domowe Zagregowane oczekiwania wielkości produkcji w okresie, powsają na koniec okresu poprzedniego j okresu i są średnią ważoną oczekiwań konynuacji rendu oraz oczekiwań odwrócenia rendu Oczekiwania powsają w odniesieniu do długookresowej równowagi w modelu liniowym Zakładam, podobnie jak Lines i Waserhoff (006), że większe odchylenia produku krajowego powodują zmniejszenie wagi związanej z oczekiwaniem konynuacji rendu Gospodarswa domowe, syuacje skrajne (duże odchylenia od poziomu równowagi) odbierają, jako niesabilne Uwzględnienie umiejęności prognozowania poziomu produku w okresie bieżącym wpływa akże na sposób modelowania srumienia inwesycji Inwesycje czynione w okresie bieżącym zależeć będą, w modelu nieliniowym, od oczekiwanej wielkości produkcji w ym okresie i znanych poziomów produkcji w dwóch okresach poprzedzających W eorii ekonomii modele z czasem dyskrenym są coraz częściej sosowane Szczególnym zaineresowaniem cieszą się modele nieliniowe ze względu na różnorodność dynamiki, kóra je charakeryzuje Rozwiązaniami akich układów dynamicznych mogą być ścieżki czasowe monoonicznie zbieżne do sanu usalonego, okresowe, quasi-okresowe aż do rozwiązań, kóre swym przebiegiem przypominają procesy losowe (arakory chaoyczne) Różnorodność dynamiki modeli z czasem dyskrenym wysępuje już modelach jedno i dwuwymiarowych Model liniowy Produk wyworzony w okresie w gospodarce ( ) jes przeznaczany na konsumpcję ( C), inwesycje ( I ) oraz wydaki rządowe ( G) = C + I + G () Konsumpcja bieżąca jes liniową funkcją dochodu z poprzedniego okresu C = ( s), 0 < s < () Paramer s = cons określa krańcową skłonność do oszczędzania Inwesycje w okresie są
Wielosabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkuralnego z oczekiwaniami 87 sumą inwesycji auonomicznych ( I a ) i inwesycji indukowanych ( I ind ) W niniejszym opracowaniu (bez sray ogólności) zakładać będę sałość inwesycji auonomicznych a ( I = Ia = cons ) Inwesycje indukowane zależą od zmian produku krajowego w okresie bieżącym i w okresie poprzednim oraz od sałego w czasie współczynnika akceleracji ( k = cons ) a ind I = I + I = Ia + k( ) + k( ), k,k > 0 () Zakładam akże sałość w czasie wydaków rządowych G = g = cons, g > 0 (4) Równania (), (), () i (4) sanowią kompleny liniowy model gospodarki, kórego maemayczną reprezenacją jes liniowe, niejednorodne równanie różnicowe drugiego rzędu = (( s k + k) k + Ia + g) (5) k Zgodnie z równaniem (5) produk krajowy, w bieżącym okresie, zależy od inwesycji auonomicznych, wydaków rządowych oraz produku krajowego w poprzednich dwóch okresach Równanie (5) jes równoważne nasępującemu układowi dwóch równań liniowych pierwszego rzędu: = (( s k + k) kz + Ia + g) k Z =, kóry posiada dokładnie jeden punk sały E (, Z ) reprezenujący długookresowe położenie równowagi, gdzie Ia + g = Z = = s Równowaga E jes globalnie asympoycznie sabilna, gdy współczynniki akceleracji ( k,k ) oraz krańcowa skłonność do konsumpcji (s ) spełniają warunki: ( k,k,s) {( k,k,s) : 0 < k < 0 < s < k + k 0 < k < k} Pojawiające się wahania produku krajowego w modelu liniowym (cykl o okresie dwa) są zanikające (zbieżność do punku sałego) lub eksplodujące Trwałe cykle o sałem okresie równym dwa i ampliudzie wysępują jedynie dla przypadku granicznego: s = k + k, k (0,) W dalszej części opracowania, na bazie modelu liniowego, zaproponuję nieliniowy model cyklu koniunkuralnego poszerzony o zagregowane oczekiwania gospodarsw domowych, co do wielkości produkcji krajowej Oczekiwania Gospodarswa domowe są częściowo racjonalne zn ze względu na niewysarczającą informację i możliwości analiyczne nie są w sanie podejmować opymalnych decyzji W zasępswie sosują prose heurysyki, kóre sprawdziły się w przeszłości Zakładam, że gospodarswa domowe, do prognozowania warości zmiennych ekonomicznych (u: produku krajowego), sosują średnią ważoną dwóch ypów oczekiwań Pierwszy yp, o oczekiwanie konynuacji obecnego rendu, a drugi o oczekiwanie odwrócenia się obecnego rendu Głównym celem opracowania jes zbadanie wpływu oczekiwań gospodarsw domowych na zmienność produku krajowego Zagregowane oczekiwania wielkości produkcji w okresie powsają na koniec okresu poprzedniego j okresu E [ ] i są średnią ważoną oczekiwań konynuacji rendu ( ) i
88 Rober Kruszewski oczekiwań odwrócenia rendu ( E [ ]) Oczekiwania powsają w odniesieniu do długookresowej równowagi w modelu liniowym Ia + g =, kóra jes punkem sałym równania (5) Oczekiwania pierwszego ypu wyrażają s się równością: E [ ] = + µ, 0 µ > (6) Oczekiwania drugiego ypu opisane są nasępującą regułą: E [ ] = + µ, 0 < µ < (7) Zakładam, podobnie jak Lines i Waserhoff (006), że większe odchylenia produku krajowego powodują zmniejszenie wagi związanej z oczekiwaniem konynuacji rendu Gospodarswa domowe, syuacje skrajne (duże odchylenia od równowagi ) odbierają, jako niesabilne Formalnie reguła opisująca zmienność wagi dla oczekiwań konynuacji rendu przyjmuje posać: w =, γ > 0 (8) + γ Równanie opisujące zagregowane oczekiwania co do wielkości produkcji przyjmuje posać: E [ ] = w E [ ] + ( w )E [ ], 0 < w < (9) Nieliniowa funkcja konsumpcji i inwesycji W proponowanym nieliniowym modelu gospodarki zmianie ulegnie równanie opisujące zagregowany srumień konsumpcji oraz inwesycji Konsumpcja w okresie bieżącym, zależeć będzie od oczekiwanego poziomu produku krajowego w ym okresie Oczekiwania są formowane na koniec poprzedniego okresu Równanie opisujące srumień konsumpcji przyjmuje posać: C = ( s) E [ ], 0 < s < (0) Gospodarswa domowe wykorzysują akże przewidywania poziomu produku w okresie bieżącym przy podejmowaniu decyzji inwesycyjnych Nowe równanie opisujące zagregowany srumień inwesycji przyjmuje posać: a ind I = I + I = Ia + k( E [ ] ) + k( ), k,k > 0 () Podsawiając równania (4), (0) i () do równania () orzymujemy nieliniową wersję modelu z oczekiwaniami: = ( s + k)e [ ] ( k k) k + Ia + g) () Równanie () jes auonomicznym nieliniowym równaniem różnicowym drugiego rzędu W dalszej analizie sosować będziemy narzędzia jakościowej eorii układów dynamicznych Równanie (0) jes równoważne nasępującemu dwuwymiarowemu układowi dynamicznemu: = ( s + k)e [ ] ( k k) kz + Ia + g () Z = Analizę układu dynamicznego () rozpoczynamy od wyznaczenia ilości równowag (rozwiązań sacjonarnych)
Wielosabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkuralnego z oczekiwaniami 89 Twierdzenie Gospodarka opisana równaniem () posiada jedną równowagę długookresową (, Z ) Ia + g gdzie = Z = dla s > ( s + k) µ i rzy równowagi długookresowe (, Z ) s E (, ), (, ) 0 < s < s + k µ, akie, że Z = < < = Z E dla ( ) Z Z E, E, Dowód: Punky sałe układu () spełniają układ równań = = (4) Z = Z = Z, kóry jes równoważny równaniom s + k = ( w ( µ + µ ) µ ), (5) s Z = (6) gdzie w = (7) + γ Ia jes wagą równowagi długookresowej = jes pierwiaskiem równanie (5) dla wszyskich warości paramerów Zaem = = jes punkem sałym równania () Pod- + g s sawiając zależność (7) do równania (5) orzymujemy (( s + k) µ s) = γ ( s + µ ( s + k) ) Mianownik prawej srony (8) jes zawsze dodani ( 0 s, µ < ) ( s + k) 0 < s < µ posiada dwa pierwiaski rzeczywise (-s) µ s = + spełniające nierówność γ s + µ ( s) () ma jedną równowagę (, Z ) E (, ), E (, ), (, ) Z Z = < < Z Z = (8) Z Sabilność równowagi i bifurkacje lokalne < Równanie (8) dla (-s) µ s = - oraz γ s + µ ( s) < < Zaem układ dynamiczny E dla s ( s + k) µ E dla 0 s < ( s + k) µ > i rzy równowagi długookresowe < akie, że Kolejnym elemenem badania dynamiki układu () będzie określenie obszarów zmienności paramerów, dla kórych wyznaczone równowagi są lokalnie asympoycznie sabilne Nasępnie zbadana będzie dynamika modelu związana z uraą sabilności przez isniejące punky sałe oraz opisane będą, wysępujące w badanym modelu, bifurkacje lokalne Sabilność równowag oraz bifurkacje lokalne związane są z warościami własnymi macierzy linearyzacji (macierzy Jakobiego) Badanie charakeru położenia równowag rozpoczynamy
90 Rober Kruszewski od wyznaczenia macierzy Jakobiego układu (): de [ ] ( s + k) (k k ) k J( =,Z ) d 0 Równowaga E będzie lokalnie asympoycznie sabilna, gdy wszyskie warości własne macierzy Jacobiego, ( s + k) ( + µ ) ( k k) k J(E) = 0 co do modułu, będą mniejsze od jedności Warunki e będą spełnione (Medio, Lines, 00) wedy i ylko wedy gdy: + Tr J(E ) + De J(E) > 0 (a) Tr J(E ) + De J(E) > 0 (b) De J(E ) > 0 (c) gdzie Tr J(E) = ( s + k) ( + µ ) ( k k), de J(E) = k Pierwszy warunek jes zawsze spełniony, gdyż ślad i wyznacznik macierzy Jakobiego są zawsze dodanie Zaem obszar zmienności paramerów modelu, dla kórych równowaga E jes lokalnie asympoycznie zadany jes przez warunki (ii) oraz (iii) Wniosek Równowaga E układu dynamicznego () jes lokalnie asympoycznie sabilna wedy i ylko wedy, gdy ( ) ( ) ( + k) µ k,k,s, µ k,k,s : 0 < k < < s < 0 < k < µ > 0 µ + µ Uraa sabilności przez jedyną równowagę E w modelu liniowym, skukuje niesabilnością całego modelu W przypadku modelu nieliniowego uraa sabilności przez równowagę E, będącą punkem sałym, nie musi oznaczać niesabilności całego modelu Dla kombinacji paramerów, przy kórych równowaga E jes niesabilna mogą isnieć sabilne równowag lub arakory o bardziej złożonej srukurze (okresowe, quasi-okresowe, chaoyczne) oraz może wysępować zjawisko wielosabilności Wielosabilność oznacza isnienie kilku rakorów dla zadanej kombinacji paramerów Współisniejące arakory są zbiorami granicznymi dla różnych podzbiorów warunków począkowych (pozycji wyjściowych modelowanej gospodarki) Ponieważ γ de [ ] ( ) µ + µ = + ( µ ) d, + γ + γ zaem
Wielosabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkuralnego z oczekiwaniami 9 de [ ] d = = i wówczas macierze Jakobiego dla równowag E i de [ ] d = E są sobie równe de [ ] ( s + k) (k k ) k J(E ) = J(E ) = d =, 0 Ponownie, równowag są lokalnie asympoycznie sabilne, wedy i ylko wedy, gdy: + Tr J(E,) + De J(E, ) > 0 (a ) Tr J(E,) + De J(E, ) > 0 (b ) De J(E ) 0 (c ), > Wyznacznik i ślad macierzy J ( E, ) są równe odpowiednio: De J(E =,,) k s ( s) µ s Tr J( E, ) = µ + + µ k + k s γ( s)( µ + µ ) Wniosek Równowag układu dynamicznego () są lokalnie asympoycznie sabilne wedy i ylko wedy, gdy µ + k > s µ k < s ( s) µ s k < µ + + µ + k s γ( s)( µ + µ ) s ( s) µ s k > µ + + µ s γ( s)( µ + µ ) Pierwszy warunek w powyższym wniosku gwaranuje isnienie równowag E Zanim przejdziemy do analizy scenariuszy uray sabilności i lokalnych bifurkacji przyoczymy podsawowe pojęcia z eorii bifurkacji Dla jednoparamerowej rodziny dyskrenych układów dynamicznych, sabilne położenie równowagi raci sabilność w wyniku bifurkacji podwajania okresu, gdy przy zmianie parameru bifurkacyjnego, jedna z rzeczywisych warości własnych macierzy linearyzacji zmniejszając swoją wielkość przekracza - Podczas, gdy pozosałe warości własne są co do modułu mniejsze od jedynki Skukiem ej bifurkacji jes powsanie orbiy okresowej o okresie, kóra może być sabilna lub niesabilna W wyniku nasępujących po sobie bifurkacji podwajania okresu mogą powsawać orbiy o okresie 4,8,6,, a akże może wysąpić zjawisko chaosu deerminisycznego Możliwa jes akże odwrona bifurkacja podwajania okresu, w wyniku kórej dynamika sysemu ulega uproszczeniu Uraa sabilności w wyniku bifurkacji ypu pichfork (bifurkacja widelcowa) nasępuje, gdy jedna z warości własnych macierzy linearyzacji, przy zmianie parameru bifurkacyjnego, zmieniając swoją warość przekracza Ponownie pozosałe warości własne macierzy linearyzacji są co do modułu mniejsze od jedności W wyniku ej bifurkacji, pojawiają się dwie dodakowe równowagi pierwszy scena-
9 Rober Kruszewski riusz Drugi z możliwych przebiegów bifurkacji widelcowej polega na redukcji liczby równowag Przekraczanie granicy obszaru wyznaczonego przez warunki (a-c) dla równowag, (a -c ) dla równowag E, prowadzi do uray sabilności i wiąże się z wysępowaniem różnych ypów bifurkacji Naruszenie warunku pierwszego (a, a ) jes konieczne do zaisnienia bifurkacji podwajania okresu (flip bifurcaion) Wówczas jedna z warości własnych macierzy linearyzacji jes równa - Opisany scenariusz ma miejsce gdy + Tr J(Ei ) + De J(Ei) = 0 oraz Tr J(Ei ) (,0) i De J(Ei ) (, ) (pozosałe warunki są spełnione) Naruszenie drugiego warunku (b, b ) jes konieczne do zaisnienia bifurkacji sycznej (fold bifurcaion) zwanej akże bifurkacją ypu siodło-węzeł (sadle-node bifurcaion) Wówczas jedna z warości własnych macierzy linearyzacji jes równa Opisany scenariusz ma miejsce gdy Tr J(Ei ) + De J(Ei) = 0 oraz Tr J(Ei ) (0,) i De J(Ei ) (, ) (pozosałe warunki są spełnione) W szczególnych przypadkach naruszenie warunku (b, b ) może prowadzić do bifurkacji ranskryycznej (ranscriical bifurcaion) lub bifurkacji ypu pichfork (pichfork bifurcaion) Naruszenie warunku (c, c ) jes konieczne do zaisnienia bifurkacji Hopfa (Hopf bifurcaion) Wówczas macierzy linearyzacji ma parę zespolonych sprzężonych warości własnych, kórych moduł jes równy jedności Opisany scenariusz ma miejsce gdy De J(Ei ) = 0 oraz warunki (a, a ) i (b, b ) są spełnione j Tr J(Ei ) (,) Warunek (a) określający lokalną asympoyczną sabilność równowag jes zawsze spełniony (ślad macierzy linearyzacji jes dodani), zaem uraa sabilności przez punk sały E nie prowadzi do bifurkacji podwajania okresu Naruszenie warunku (b), przy spełnieniu dwóch pozosałych, prowadzi do bifurkacji widelcowej Wraz ze wzrosem parameru k sabilna równowaga saje się niesabilna i po przekroczeniu punku bifurkacji pojawiają się dwie dodakowe równowag, kóre są lokalnie asympoycznie sabilne Po lewej sronie na rysunku przedsawiony jes diagram bifurkacyjny ilusrujący isnienie bifurkacji widelcowej Nieciągłości w sabilnych gałęziach równowag E spowodowane są zmieniającą się srukurą basenów przyciągania ychże równowag, wraz z rosnącą warością parameru bifurkacyjnego Symulacje numeryczne wykluczają wysępowanie bifurkacji Hopfa Przekroczenie kryycznej warości przez paramer k prowadzi do całkowiej niesabilności badanego modelu Warunki (a)-(c) są jednie warunkami koniecznymi do zaisnienia określonego ypu bifurkacji Uraa sabilności przez równowag wiąże się z wysępowaniem bifurkacji podwajania okresu i pojawieniem się rozwiązań okresowych o okresie dwa w ooczeniu każdej z równowag (naruszenie warunku a ) Warunki (c) i (c ) są konieczne do zaisnienia bifurkacji Hopfa, jednakże symulacje numeryczne wykluczają isnienie ego ypu bifurkacji w badanym modelu Przekroczenie kryycznej warości przez paramer k skukuje niesabilnością całego modelu Rysunek przedsawia sabilne gałęzie równowag E oraz punk bifurkacji, po przekroczeniu kórego, w badanym modelu pojawiają się sabilne rozwiązania okresowe o okresie dwa Po lewej sronie wybrany warunek począkowy znajduje się w basenie przyciągania równowag, a po prawej w basenie przyciągania równowag W szerokim zakresie zmienności parameru k w układzie () wysępuje zjawisko dwu-sabilności i długookresowe zachowanie sysemu ekonomicznego zależy od pozycji wyjściowej gospodarki (warunku począkowego)
Wielosabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkuralnego z oczekiwaniami 9 Rysunek Diagramy bifurkacyjne dla paramerów k i k Źródło: opracowanie własne Rysunek Diagramy bifurkacyjne dla parameru k Bifurkacja podwajania okresu Źródło: opracowanie własne Dynamika globalna W e części pracy omówione zosaną wybrane elemeny dynamiki globalnej badanego modelu Symulacje numeryczne długookresowego zachowania hipoeycznej gospodarki przedsawione będą na odpowiednich diagramach bifurkacyjnych, przedsawiających isnieją-
94 Rober Kruszewski ce arakory, w funkcji wybranego parameru modelu dla zadanego warunku począkowego (pozycji wyjściowej gospodarki) Wpływ zmian akceleraora związanego z inwesycjami uzależnionymi od oczekiwanego poziomu produkcji przedsawia rysunek Dla wybranych warości paramerów modelu równowaga E jes już niesabilna dla każdego k > 0 Dla znacznego zakresu zmienności parameru k ( 0 < k < 6 ) badana gospodarka charakeryzuje się wysępowaniem dwóch sabilnych, sacjonarnych równowag długookresowych zw dwusabilność Po przekroczeniu kryycznej warości przez paramer k wszyskie punky sałe badanego układu są niesabilne, lecz sam układ jes sabilny, gdyż w wyniku bifurkacji widelcowej, pojawiły się arakory cykliczne (o okresie dwa) Wraz ze wzrosem parameru bifurkacyjnego cykle o okresie dwa sają się niesabilne, w wyniku kolejnej bifurkacji podwajania okresu W wyniku kaskady podwajania okresu dynamika hipoeycznej gospodarki saje się coraz bardziej złożona Pojawiają się cykle o coraz dłuższych okresach i osaecznie badany układ zachowuje się chaoycznie Przedsawiony scenariusz ma miejsce dla każdej z równowag E, E Pojawiające się arakory chaoyczne, wraz ze wzrosem parameru bifurkacyjne sają się coraz większe i dochodzi do kolizji arakora chaoycznego z brzegiem swojego basenu przyciągania W wyniku ej kolizji dynamika modelu się upraszcza, pojawiają się arakory cykliczne charakeryzujące się krókim okresem Dalszy wzros parameru k ponownie prowadzi do kaskady podwajania okresu i chaoycznej dynamiki badanego modelu Rysunek Diagram bifurkacyjny dla parameru k, poniżej największy wykładnik Lapunowa Źródło: opracowanie własne Rysunek 4 przedsawia dynamikę hipoeycznej gospodarki jako funkcję parameru µ określającego szybkość reakcji ej części gospodarsw domowych, kóra oczekuje konynuacji akualnego rędu W pierwszej fazie badany układ dynamiczny posiada ylko jedną sacjonarną równowagę długookresową E, kóra raci sabilność w wyniku bifurkacji widelcowej Kolejna faza, o isnienie dwóch sacjonarnych, sabilnych równowag długookresowych E i E pomiędzy kórymi nasępuje przełączanie dynamiki Przełączanie dynamiki jes konsekwencją bifurkacji widelcowej Zmieniająca się warość parameru µ zmienia brzeg base-
Wielosabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkuralnego z oczekiwaniami 95 nów przyciągania Dla µ 5 równowag racą sabilność w wyniku bifurkacji podwajania okresu Od ego momenu, dynamika modelu ze względu na zmienność parameru µ jes zbliżona, do ej wywołanej zmiennością parameru k Rysunek 5 ilusruje scenariusz zmian w badanym modelu wywołany zmiennością parameru µ Dla wybranych warości paramerów modelu równowaga E jes już niesabilna dla każdego µ ( 0, ) Sabilne równowag ponownie racą sabilność w wyniku bifurkacji podwajania okresu Pojawiająca się kaskada podwajania okresu prowadzi do chaoycznej dynamiki badanego układu dynamicznego Scenariusz zmian własności dynamicznych jes bardzo podobny w każdym z zaprezenowanych przypadków Rysunek 4 Diagram bifurkacyjny dla parameru µ i największy wykładnik Lapunowa Źródło: opracowanie własne Rysunek 5 Diagramy bifurkacyjne dla parameru µ Źródło: opracowanie własne
96 Rober Kruszewski Jednowymiarowe diagramy bifurkacyjne badanego modelu wskazują na wysępowanie zjawiska mulisabilności Od współisniejących, sacjonarnych równowag przez rozwiązania cykliczne po chaoyczne arakory Rysunek 6 przedsawia współisniejące arakory o zróżnicowanej srukurze wraz z ich basenami przyciągania Basen przyciągania arakora zawiera wszyskie pozycje wyjściowe gospodarki, kóre w długim okresie zbiegają do danego arakora Dolne obrazy przedsawiają współisniejące dwuczęściowe arakory chaoyczne na lewo i współisniejący arakor chaoyczny wraz z arakorem cyklicznym o okresie czery Znajomość basenów przyciągania i pozycji wyjściowej gospodarki pozwala określić długookresową dynamikę gospodarki Analiza basenów przyciągania pozwala odpowiedzieć na nasępujące pyanie: Dlaczego gospodarki o akich samych paramerach i niewiele różniących się pozycjach wyjściowych charakeryzują się cyklami o różnej długości i ampliudzie Rysunek 6 Współisniejące arakory wraz z ich basenami przyciągania Źródło: opracowanie własne
Wielosabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkuralnego z oczekiwaniami 97 Podsumowanie W pracy zaproponowałem dwa modele opisujące ewolucję w czasie produku krajowego hipoeycznej gospodarki Model liniowy, będący modyfikacją modelu Hicksa oraz model nieliniowy, w kórym uwzględniono formowanie się srumienia konsumpcji oraz srumienia inwesycji na podsawie oczekiwań doyczących poziomu produkcji w okresie bieżącym Równania opisujące dynamikę modelowanej gospodarki, w modelu liniowym, są prose i zrozumiałe Sanowi on znakomią bazę do zbadania wpływu zagregowanych oczekiwań, co do wielkości produku krajowego, formowanych przez gospodarswa domowe Dynamika modelu nieliniowego jes bardziej złożona, wysępuje zjawisko wielosabilności oraz zjawisko chaosu deerminisycznego Równowaga wysępująca w modelu liniowym jes akże sanem sacjonarnym modelu nieliniowego Uraa lokalnej sabilności przez równowagę, w modelu nieliniowym, nie oznacza niesabilności modelu Pojawiają się arakory okresowe oraz arakory quasi-okresowe, kóre są maemaycznym modelem endogenicznego cyklu koniunkuralnego Drugą cechą modelu nieliniowego jes wysępowanie arakorów chaoycznych o zróżnicowanej srukurze dla szerokiego spekrum paramerów modelu Wielosabilność jak i isnienie rakorów chaoycznych ma miejsce dla szerokiego spekrum paramerów modelu Rozwiązanie cykliczne wysępujące w modelu liniowym wysępuje ylko dla ściśle określonych kombinacji akceleraora i krańcowej skłonności do konsumpcji Jakiekolwiek odchylenia od owych warości prowadziły do rajekorii zbieżnych do punku sałego lub rozbieżnych W modelu nieliniowym isnienie sabilnego arakora cyklicznego możliwe jes w pewnych przedziałach zmienności wszyskich paramerów modelu i ym samym zaproponowany model jes mniej wrażliwy na błędy pomiaru (esymacji) paramerów BIBLIOGRAFIA: Hicks JR, (950), A conribuion o he heory of he rade cycle Oxford Universiy Press Jakimowicz A, (00), Od Keynesa do eorii chaosu PWN, Warszawa Keynes John M, (00), Ogólna eoria zarudnienia, procenu i pieniądza, PWN, Warszawa 4 Lines M, Weserhoff F,(006), Expecaions and muliplier-acceleraor model, Business cycle dynamice Models and ools Red naukowy T Puu, I Sushko, Springer, Berlin 5 Lubiński M, (00), Analiza koniunkury i badanie rynków, Elipsa, Warszawa 6 Medio A, Lines M, (00), Nonlinear dynamice: a primer Cambridge Universiy Press, Cambridge