ZASTOSOWANIE WYBRANYCH MODELI ADAPTACYJNYCH W PROGNOZOWANIU BRAKUJĄCYCH DANYCH W SZEREGACH ZE ZŁOŻONĄ SEZONOWOŚCIĄ DLA LUK NIESYSTEMATYCZNYCH

METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XV/4, 214, sr. 181 194 ZASTOSOWANIE WYBRANYCH MODELI ADAPTACYJNYCH W PROGNOZOWANIU BRAKUJĄCYCH DANYCH W SZEREGACH ZE ZŁOŻONĄ SEZONOWOŚCIĄ DLA LUK NIESYSTEMATYCZNYCH Maria Szmuksa- Zawadzka Sudium Maemayki Zachodniopomorski Uniwersye Technologiczny w Szczecinie e-mail: Maria.Szmuksa-Zawadzka@zu.edu.pl Jan Zawadzki Kaedra Zasosowań Maemayki w Ekonomii Zachodniopomorski Uniwersye Technologiczny w Szczecinie e-mail: Jan.Zawadzki@zu.edu.pl Sreszczenie: Arykuł poświęcony jes wykorzysaniu wybranych modeli wyrównywania wykładniczego: Browna, Hola i Hola-Winersa w prognozowaniu zmiennych ze złożona sezonowością w warunkach braku pełnej informacji. Prognozy wyjściowe będą budowane na podsawie szeregów oczyszczonych z sezonowości. Prognozy końcowe, uwzględniające wahania sezonowe, będą sumami prognoz wyjściowych i składników sezonowości lub iloczynami prognoz ego rodzaju i wskaźników sezonowości. Rozważania o charakerze eoreycznym zosaną zilusrowane przykładem empirycznym. Słowa kluczowe: złożona sezonowość, wyrównywanie wykładnicze, prognozowanie, brakujące dane WSTĘP W lieraurze saysyczno-ekonomerycznej można spokać wiele przykładów zasosowania modeli adapacyjnych do modelowania i prognozowania zjawisk, w kórych wysępuje jeden rodzaj wahań (np.: miesięczne, dekadowe). Dla danych nieczyszczonych (z sezonowością) najczęściej wykorzysywane były modele Hola-Winersa (addyywny i muliplikaywny). Naomias dla danych oczyszczonych z sezonowości meody wyrównywania wykładniczego: Browna

182 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki (prosy, liniowy i kwadraowy) oraz liniowy model Hola a akże meody numeryczne. Prognozy osaeczne, w zależności od sposobu eliminacji wahań, orzymuje się po przemnożeniu przez wskaźniki lub przez dodanie składników sezonowości 1. Prognozy dla danych oczyszczonych mogą być akże budowane jako sumy lub iloczyny warości rendów szacowanych KMNK i odpowiednio składników lub wskaźników sezonowości. Tego rodzaju posępowanie określane jes mianem meody wskaźnikowej lub meody wskaźników sezonowości (por. [Dimann 26, s.85], Zeliaś i inni 23, s.9]). W pracy [Szmuksa-Zawadzka, Zawadzki; 214] zaproponowana zosała procedura wykorzysania modeli adapacyjnych w prognozowaniu zmiennych ze złożoną sezonowością dla pełnych danych. Niniejsza praca sanowi rozszerzenie rozważań na przypadek wysępowania niesysemaycznych luk w danych. WPROWADZENIE TEORETYCZNE W niniejszej pracy podjęa zosanie próba wykorzysania modeli adapacyjnych do modelowania i prognozowania zmiennych ze złożoną sezonowością dla danych oczyszczonych z jednego lub dwóch rodzajów wahań sezonowych. Zakładać będziemy, że w szeregu czasowym dla danych dziennych wysępują wahaniami o cyklu ygodniowym (7 dniowym) i rocznym (12- miesięcznym). Mogą się one nakładać na siebie i na rend w sposób addyywny lub muliplikaywny. Ogólny zapis modelu addyywnego jes nasępujący: ( a ) ( a ( ) ) ( a ( ) ) ( ) ( ) Y ( a ) = P + M + D + V a (1) gdzie: P (a) () rend, M (a) () składniki sezonowości o cyklu 12 miesięcznym, D (a) () składniki sezonowości o cyklu 7 dniowym. Naomias posać ogólna modelu muliplikaywnego wyraża się wzorem: ( m ) ( m ( ) ) ( m ( ) ) ( ) ( ) Y ( m ) = P M D V m (2) gdzie: P (m) () rend, M (m) () - wskaźniki sezonowości o cyklu 12 miesięcznym, D (m) () - wskaźniki sezonowości o cyklu 7 dniowym. 1 Przegląd publikacji poświęconych meodom prognozowania, zarówno pełnych jak i brakujących danych oraz ich prakycznym zasosowaniom w odniesieniu do zmiennych z niezłożonymi wahaniami sezonowymi (miesięcznymi, kwaralnymi i dekadowymi), można znaleźć w pracy [Szmuksa-Zawadzka, Zawadzki; 212].

Zasosowanie wybranych modeli adapacyjnych 183 Bezpośrednie wykorzysanie modeli Hola-Winersa nie jes możliwe, ponieważ wymagałoby wprowadzenia dodakowego, czwarego równania opisującego wahania o cyklu rocznym uwzględniającego różną długość miesięcy. Jak się wydaje, ze względów prakycznych mogą wchodzić w grę m.in. modele Hola-Winersa dla danych oczyszczonych, z kórych wyeliminowano wahania o cyklu rocznym ( Y ). Jeżeli eliminacji dokonano odejmując składniki sezonowości o będzie o model w posaci addyywnej. W przypadku podzielenia warości zmiennej prognozowanej przez wskaźniki sezonowości będziemy mieć do czynienia z posacią muliplikaywną. Zapis modelu addyywnego Hola-Winersa (A_HW) jes nasępujący [Pawłowski 1973]: m ( Y c L ) + ( 1 α ) m 1 ( m ) ( ) m 1 + β δ 1 1 ( Y ) m + ( ) C = α (3) 1 = β 1 δ (4) C = 1 γ m Predykor opary na ym modelu przyjmuje posać: A _ HW γ (5) α, β, γ 1 (6) Π = δ (7) m + 1 h + C o o o 1+ h Prognozę osaeczną, uwzględniającą wahania sezonowe, orzymuje się na podsawie predykora o posaci: ( ) Π = Π M a ( ) (8) A _ HW A _ HW + Model muliplikaywny Hola-Winersa (M_HW) można zapisać nasępująco: m αy = C m + 1 1 1 1 ( α )( m + δ ) ( m ) ( ) m 1 + β δ 1 1 1 = β 1 δ (1) C γ Y = + γ m ( ) C 1 m (9) (11) α, β, γ 1 (12) Predykory; wyjściowy i końcowy, wyrażają się wzorami: Π = + δ h C (13) ( ) M _ HW m 1 m + h ( ) Π = Π M m ( ) (14) M _ HW M _ HW Naomias w przypadku danych, z kórych wyeliminowano dodakowo akże wahania o cyklu ygodniowym ( Y ) do budowy prognoz mogą być wykorzysane na przykład prose modele Browna i modele Hola. Równanie addyywnego prosego modelu Browna (A_BS) jes nasępujące:

184 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki m ( α ) m = Y + 1 1 α (15) α 1 (16) Predykory wyjściowy i końcowy przyjmują posać: Π = m (17) A _ BS ( a ) ( a ) Π = Π + M ( ) D ( ) (18) A _ BS A _ BS + W modelu muliplikaywnym równanie modelu prosego Browna (M_BS) różni się od posaci addyywnej jedynie sposobem wyznaczenia warości oczyszczonych ( Y ) - są one ilorazami warości zmiennej prognozowanej i wskaźników sezonowości o cyklu rocznym i ygodniowym. Predykory wyjściowy i końcowy są nasępujące: Π = m (19) M _ BS ( m ) ( m ) Π = Π M ( ) D ( ) (2) M _ BS ) M _ BS Addyywny model liniowy Hola (A_H) można zapisać [Pawłowski 1973]: m ( α )( m δ ) = Y + 1 1 + 1 1 α (21) ( m m ) + ( β ) δ 1 = β 1 1 1 1 δ (22) α, β 1 (23) Predykory wyjściowy i końcowy wyrażają się wzorami: Π = m + δ h (24) A _ H 1 ( a ) ( a ) Π = Π + M ( ) D ( ) (25) A _ H A _ H + Równania posaci muliplikaywnej modelu Hola (M_H) różnią się, podobnie jak w przypadku modelu Browna, jedynie sposobem eliminacji wahań sezonowych. Posacie predykorów są nasępujące: Π = m + δ h (26) A _ H 1 ( m ) ( m ) Π = Π M ( ) D ( ) (27) M _ H M _ H Jednym z ważniejszych zagadnień związanych z modelowaniem i prognozowaniem z wykorzysaniem modeli adapacyjnych w warunkach braku pełnej informacji jes wybór opymalnych warości sałych wygładzania Dla pełnych danych za opymalne uznaje się e warości sałych wygładzania, kóre minimalizują warość określonego miernika dokładności. Najczęściej są o błąd średnio-kwadraowy (RMSE) i procenowy błąd absoluny (MSE) albo związane z nimi przecięne błędy względne i pierwiasek kwadraowy ze współczynnika Theila (I) lub przecięny względny błąd prognozy (MAPE). Oblicza się je jako różnice absolune lub względne dla przedziału czasowego próby

Zasosowanie wybranych modeli adapacyjnych 185 oraz realizacji zmiennej prognozowanej. Okazuje się jednak, że orzymanie minimalnych ocen mierników dla warości wyrównanych nie jes jednoznaczne z orzymaniem minimalnych ocen błędów prognoz ex pos. Jeżeli celem modelowania jes budowa prognoz ex ane o podsawą wyboru opymalnych warości sałych wygładzania powinny być mierniki dokładności prognoz ex pos. Proces en ulega komplikacji w przypadku, gdy w szeregach czasowych wysępują luki w danych. Wyznacza się wedy dwa rodzaje prognoz: inerpolacyjne i eksrapolacyjne. Prognozy inerpolacyjne odnoszą się do ych okresów należących do przedziału czasowego próby, w kórych wysąpiły luki. Naomias prognozy eksrapolacyjne wybiegają poza en przedział. Jeżeli zna się warości realizacji w ym okresie o obliczamy mierniki dokładności ex pos. Należy liczyć się z ym, że w omawianej syuacji orzyma się najczęściej różne zbiory opymalnych warości sałych wygładzania odpowiednio dla: warości wyrównanych (WW), prognoz inerpolacyjnych (I) oraz prognoz eksrapolacyjnych (E) PRZYKŁAD EMPIRYCZNY Charakerysyka zmiennej Modelowaniu i prognozowaniu poddana zosanie dzienna sprzedaż paliw płynnych na sacji benzynowej X (w lirach). Kszałowanie się zmiennej prognozowanej w przedziale czasowym próby przedsawione zosało na rysunku 1. Rysunek 1. Wielkość sprzedaży paliw płynnych na sacji benzynowej X 1 9 8 7 6 liry 5 4 3 2 1 1 51 11 151 21 251 31 351 41 451 51 551 61 651 71 751 81 851 91 951 11 151 dni Źródło: Bank Danych Kaedry Zasosowań Maemayki w Ekonomii ZUT w Szczecinie W Tabeli 1 zesawione zosały oceny wskaźników i składników sezonowości o cyklach12 miesięcznym i 7 dniowym..

186 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Tabela 1. Oceny wskaźników i składników sezonowości o cyklach12 miesięcznym i 7 dniowym. Dzień Wskaźniki Składniki Wskaźni Składniki Miesiąc sez. sez. ki sez. sez. Poniedziałek 1,28 131,3 Syczeń,866-936,19 Worek 1,15 71,9 Luy,858-126,38 Środa 1,27 146,1 Marzec,958-216,37 Czwarek 1,18 535,76 Kwiecień,987-5,84 Piąek 1,35 2,12 Maj 1,26 314,46 Soboa,829-832,9 Czerwiec 1,29 33,36 Niedziela,957-251,46 Lipiec 1,153 713,35 Sierpień 1,85 532,99 Wrzesień 1,22 191,27 Październik 1,113 517,72 Lisopad,931-36,9 Grudzień,971-37,28 Źródło: Szmuksa-Zawadzka, Zawadzki, 214 Na podwójnie skalowanych rysunkach 2 i 3 przedsawione zosały w posaci graficznej oceny wskaźników i składników sezonowości wahań o cyklu rocznym i ygodniowym. Rysunek 2. Oceny wskaźników i składników sezonowości wahań o cyklu rocznym wsk_mc 1,2 1,15 1,1 1,5 1,,95,9,85 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 skl_mc,8-12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 wsk_mc(l) skl_mc(r) Źródło: opracowanie własne

Zasosowanie wybranych modeli adapacyjnych 187 Rysunek 3. Oceny wskaźników i składników sezonowości wahań o cyklu ygodniowym. wsk_dni 1,15 1,1 1,5 1,,95,9,85 6 4 2-2 -4-6 -8 skl_dni,8 1 2 3 4 5 6 7 Źródło: opracowanie własne wsk_dni(l) skl_dni(r) Z rysunków wynika, że sprzedaż paliw na badanej sacji charakeryzuje się isonymi wahaniami zarówno w skali roku jak i ygodnia. Widoczna jes duża zgodność przebiegu wskaźników i składników sezonowości. Oszacowania wskaźników i składników sezonowości zaware w Tabeli 1 zosaną wykorzysane najpierw do eliminacji wahań sezonowych a nasępnie wyznaczania prognoz końcowych Zakres badań Rozparywany będzie jeden warian luk niesysemaycznych. Luki wysępować będą w drugim roku przedziału czasowego próby: w poniedziałki, środy i piąki zn. w 157 spośród 724 dni. Udział luk będzie wynosić zaem 21,69% długości szeregu. Orzymano je przez wymazanie odpowiednich wielkości z pełnego szeregu. Do budowy prognoz dla danych, z kórych wyeliminowano wahania o cyklu rocznym ( Y ) zosaną wykorzysane modele Hola-Winersa w posaci addyywnej (A_HW) i muliplikaywnej (M_HW). Naomias dla danych, z kórych wyeliminowano zarówno wahania o cyklu rocznym jak i ygodniowym ( Y ) prognozy będą budowane na podsawie predykorów oparych na prosych modelach Browna (A_BS i M_BS) oraz modelach Hola (A_H i M_H). Dla każdej kombinacji sałych wygładzania obliczone zosaną oceny błędów względnych: warości wyrównanych (WW), prognoz inerpolacyjnych (I) i prognoz eksrapolacyjnych (E). Naomias analizie poddane zosaną zesawy sałych wygładzania charakeryzujące się minimalnymi ocenami błędów wymienionych wyżej rodzajów wielkości. Dla celów porównawczych zosaną podane akże oceny błędów: warości wyrównanych, prognoz iner- i eksrapolacyjnych orzymanych na podsawie predykorów oparych na modelach szeregu czasowego z liniowym rendem i periodycznymi składnikiem sezonowym (A_KL) i rendem -1

188 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki wykładniczym o sałej sopie wzrosu i relaywnie sałych wahaniach sezonowych (M_KL). Dla modeli charakeryzujących się minimalnymi ocenami błędów prognoz iner- i eksrapolacyjnych przeprowadzona zosanie dekompozycja błędów prognoz według dni ygodnia i miesięcy. Pracę kończyć będzie część wnioskowa doycząca oceny możliwości wykorzysania modeli wyrównania wykładniczego dla danych oczyszczonych z sezonowości w prognozowaniu zmiennych ze złożoną sezonowością w warunkach braku pełnej informacji. Analiza wyników modelowania i prognozowania W ablicy 2 zesawione zosały oceny błędów: warości wyrównanych (WW), prognoz inerpolacyjnych (I) i prognoz eksrapolacyjnych (E) orzymane dla paramerów wygładzania charakeryzujących się minimalnymi ocenami błędów wymienionych wyżej wielkości. Zesawiono w niej akże oceny błędów dla modeli klasycznych: A_KL oraz M_KL.W modelach ych wahania cyklu rocznym i ygodniowym były opisane za pomocą osobnych zbiorów zmiennych zero-jedynkowych. Model M_KL różnił się ym od modelu A_KL ym, że po lewej sronie szacowanego równania zamias zaobserwowanych warości zmiennej prognozowanej Y wysąpiły jej logarymy nauralne (por. np. [Kufel 21], [Szmuksa-Zawadzka; Zawadzki 211]). Tablica 2. Minimalne oceny średnich błędów względnych: warości wyrównanych (WW), prognoz inerpolacyjnych (I) i prognoz eksrapolacyjnych (E) oraz opymalne warości sałych wygładzania Model Miernik doyczy Sałe wygładzania MAPE(%) α β γ WW I E MODELE ADDYTYWNE A_BS1 WW,7 12, 12,88 16,17 A_BS2 I,16 12,26 12,62 15, A_BS3 E,22 12,48 12,66 14,86 A_H1 WW,15,15 13,55 12,78 297,72 A_H2 I,15,3 15,99 12,61 49,2 A_H3 E,2,6 5,21 17,58 13,31 A_HW1 WW,1,2,1 11,33 13,93 22,97 A_HW2 I,1,4,1 11,36 13,89 45,45 A_HW3 E,3,8,3 12,93 15,4 12,94 A_KL 11,54 15,17 16,59 MODELE MULTIPLIKATYWNE M_BS1 WW,4 15,68 16,34 16,66 M_BS2 I,1 16,3 16,9 18,35 M_BS3 E,38 17,22 19,28 12,14

Zasosowanie wybranych modeli adapacyjnych 189 Model Miernik doyczy Sałe wygładzania MAPE(%) α β γ WW I E M_H1 WW,15,15 17,22 17,56 258,52 M_H2 I,4,3 35,13 16,67 17,18 M_H3 E,12,1 31,48 16,99 11,59 M_HW1 WW,1,2,1 12,74 12,74 17,97 M_HW2 I,1,4,1 12,98 12,69 14,26 M_HW3 E,7,1,3 14,48 13,47 11,2 M_Kl 11,51 14,17 15,6 Źródło: opracowanie własne Wysępujące przy oznaczeniach modeli kolejne cyfry oznaczają modele charakeryzujące się minimalnymi ocenami błędów: 1 - warości wyrównanych, 2 - prognoz inerpolacyjnych, 3 - prognoz eksrapolacyjnych. Analiza błędów warości wyrównanych oraz błędów obu rodzajów prognoz orzymanych na podsawie modeli wyrównywania wykładniczego zosanie poprzedzona krókim omówieniem wyników orzymanych dla modeli klasycznych. Niższe o 1 p.p. oceny błędów prognoz iner- i eksrapolacyjnych orzymano dla predykora oparego na modelu wykładniczym o sałej sopie wzrosu z relaywnie sałą sezonowością (M_KL). W rakcie omawiania wyników modelowania i prognozowania będziemy odwoływać się do ego modelu klasycznego. Z informacji zawarych w ablicy wynika, że minimalną oceną błędu warości wyrównanych wynoszącą 11,33% orzymano dla addyywnej posaci modelu Hola-Winersa (A_HW1) o sałych wygładzania wynoszących: α =,1, β =,2 oraz γ =,1. Nasępnym w kolejności był model muliplikaywny Hola- Winersa (M_HW1) z ocena 12,74%. Spośród modeli z podwójnie eliminowaną sezonowością najniższą ocenę błędu względnego (12,78%) orzymano dla predykora oparego na modelu Hola (A_H1) o sałych wygładzania α =,15 i β =,15. Oceny przecięego błędu względnego orzymanego dla modelu klasycznego(m_kl) jes ylko o 1,68% wyższa od oceny uzyskanej dla modelu A_HW1. W przypadku prognoz inerpolacyjnych z oceną 12,61%, najwyższą efekywnością charakeryzował się model addyywny Hola (A_H2), o akiej samej ocenie parameru α jak w modelu A_HW1, ale ocenie parameru β =,3. Model klasyczny (M_KL) charakeryzuje się oceną błędu o 23,7% wyższą. Oceny bardzo zbliżone orzymano dla dwóch sałych modeli Browna (A_H2 i A_H3) o paramerach wygładzania wynoszących,16 oraz,22. Oceny ylko nieznacznie wyższe orzymano dla dwóch modeli Hola w posaci muliplikaywnej (M_H1 i M_H2). Na rysunku 4 przedsawione zosały aproksymany eoreyczne empirycznych rozkładów błędów prognoz inerpolacyjnych orzymane na

19 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki podsawie najlepszego predykora adapacyjnego (A_H2) oraz predykora klasycznego (M_KL). Z rysunku wynika, że błędy prognoz adapacyjnych przyjmują częściej niższe warości. Rysunek 4. Rozkłady błędów prognoz inerpolacyjnych orzymanych na podsawie modeli A_H2 oraz M_KL 6 5 4 Odseki 3 2 1,,8,16,24,32,4,48,56,64 MAPE Źródło: opracowanie własne Zdecydowanie najniższą ocenę błędu prognoz eksrapolacyjnych orzymano dla muliplikaywnej posaci modelu Hola-Winersa (M_HW3) o sałych wygładzania wynoszących odpowiednio: α =,7, β =,1,γ =,8. Wynosiła ona 11,2% i była o 28,21% niższa od oceny dla predykora klasycznego. Dwie najniższe w kolejności oceny błędu orzymano akże dla posaci muliplikaywnych modeli Hola (M_H3) i Browna (M_BS3) o sałych wygładzania wynoszących:,12;,1oraz,38. Przyjęły one warości 11,58% oraz 12,14% i były niższe o: 25,77% i 22,18 od oceny orzymanej dla klasycznego predykora z rendem wykładniczym i relaywnie sałą sezonowością. Widzimy zaem, że przy niemal akiej samej ocenie błędu warości wyrównanych efekywność prognoz inerpolacyjnych a zwłaszcza eksrapolacyjnych okazała się zdecydowanie wyższa od prognoz orzymanych na podsawie predykora klasycznego. Spośród modelu addyywnych najniższą oceną charakeryzuje się model Hola-Winersa (A_HW3) o sałych wygładzania wynoszących odpowiednio: α =,3, β =,8 oraz γ =,3. Orzymana ocena błędu 12,94% jes o 17,6% niższa od uzyskanej dla predykora klasycznego. Kszałowanie się aproksyman eoreycznych empirycznych rozkładów błędów prognoz eksrapolacyjnych orzymanych na podsawie najlepszego predykora adapacyjnego (M_HW2) oraz predykora klasycznego (M_KL) zosało przedsawione graficznie na rysunku 5.

Zasosowanie wybranych modeli adapacyjnych 191 Rysunek 5 Aproksymany eoreyczne rozkładów błędów prognoz eksrapolacyjnych orzymanych na podsawie modeli M_HW2 oraz M_KL 7 6 5 Odseki 4 3 2 1,,8,16,24,32,4,48,56,64 MAPE Źródło: opracowanie własne Z rysunku wynika, że błędy prognoz adapacyjnych, podobnie jak w przypadku prognoz inerpolacyjnych, przyjmują częściej niższe warości niż dla modelu klasycznego. Różnice w rozkładach są bardziej widoczne niż dla prognoz inerpolacyjnych. W ablicy 3 zesawione zosały zdezagregowane oceny błędów prognoz inerpolacyjnych i eksrapolacyjnych orzymane na podsawie równań o minimalnych ocenach błędów. W celach porównawczych zesawiono w niej akże zdezagregowane błędy prognoz dla modelu klasycznego. Z uwagi na o, że prognozy inerpelacyjne odnoszą się do poniedziałków, śród i piąków i doyczą one okresów, w kórych wysąpiły luki, zosanie podana ich liczba. To samo doyczy miesięcy. Tablica 3. Zdezagregowane oceny błędów prognoz iner- i eksrapolacyjnych według dni ygodnia i miesięcy. Błędy prognoz inerpolacyjnych (%) Błędy prognoz eksrapolacyjnych (%) Liczba prognoz A_H2 M_KL M_HW3 KL Ogółem 157 12,61 14,18 11,2 15,65 Poniedziałek 52 8,4 8,72 1,71 21,9 Worek 8,45 12,49 Środa 53 18,65 18,24 9,91 14,5 Czwarek 1,28 12,93 Piąek 52 11,2 15,49 8,95 18,53 Soboa 18,99 18,89 Niedziela 11,23 16,35 Syczeń 14 6,7 9,53 11,13 12,3

192 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Błędy prognoz inerpolacyjnych (%) Błędy prognoz eksrapolacyjnych (%) Liczba prognoz A_H2 M_KL M_HW3 KL Luy 12 9,1 1,4 12,94 9,62 Marzec 13 12,94 11,25 7,5 9,71 Kwiecień 13 13,28 13,81 1,93 12,34 Maj 13 11,99 13,84 11,48 23,92 Czerwiec 13 12,51 14,23 9,26 21,87 Lipiec 13 5,76 9,94 6,96 14,38 Sierpień 13 9,3 11,54 7,91 12,78 Wrzesień 13 5,6 6,4 11,98 17,8 Październik 14 11,29 16,98 14,12 2,75 Lisopad 12 8,59 1,3 16,93 17,61 Grudzień 14 42,49 39,84 17,72 14,65 Źródło: opracowanie własne Z informacji zawarych w abeli 3 wynika, że dla poniedziałków i śród zbliżone są oceny błędów prognoz inerpolacyjnych orzymanych na podsawie najlepszego z modeli adapacyjnych i orzymanych na podsawie predykora klasycznego. Naomias około 4,5 p.p. niższe błędy orzymano na podsawie modelu Hola. W przypadku dezagregacji na miesiące najniższą ocenę dla modelu Hola wynoszącą 5,6% orzymano dla września. Błędami nieznacznie wyższymi charakeryzują się lipiec i syczeń. Oceny błędów w granicach 9% orzymano akże dla luego, sierpnia i lisopada. Najwyższą ocenę przekraczającą 4% orzymano dla grudnia. Dla modelu klasycznego najniższą ocenę orzymano akże dla września jes ona ok. 1 p.p. wyższa niż dla predykora adapacyjnego. Oceny w granicach 1% orzymano dla sycznia, lipca, luego oraz lisopada. Niższe oceny błędów ok. 1,5 p.p. i 2,7 p.p. orzymano na podsawie predykora klasycznego odpowiednio dla marca i lisopada. Największą różnicę wynoszącą ponad 5,5 p.p. odnoowano dla października. Najwyższą warość błędu dla predykora klasycznego przyjął akże w grudniu. Wynikać o mogło, z nagłego załamania się pogody w porównaniu z rokiem poprzednim. W przypadku prognoz eksrapolacyjnych przecięna ocena błędu dla predykora adapacyjnego była niższa o 4,45 p.p. od błędu dla predykora klasycznego. Oceny błędów prognoz eksrapolacyjnych dla dni ygodnia dla modelu Hola-Winersa wahają się do 8,45% dla worku do 18,95% i 18,99% dla piąku i soboy. Dla pozosałych dni kszałują się na poziomie ok. 1%-19%. Dla modelu klasycznego oceny błędów wahają się od 12,45% i 12,93% dla worku i czwarku do 21,9% dla poniedziałku. Najwyższe różnice dla dni ygodnia, wynoszące 1,38p.p. i 9,58 orzymano dla poniedziałku i piąku a najniższą minus,1 dla soboy. Najniższą ocenę błędów w przypadku

Zasosowanie wybranych modeli adapacyjnych 193 miesięcy dla predykora oparego na modelu muliplikaywnym Hola-Winersa orzymano dla lipca i marca wynoszą one odpowiednio: 6,96% oraz 7,5%. Oceny w granicach 8%-9% orzymano dla sierpnia i czerwca. Naomias ocenami najwyższymi charakeryzują się grudzień (17,72%) i lisopad (16,93%). Oceny błędów orzymane dla predykora klasycznego zaware są w przedziale od 9,62% - 9,71% dla luego i marca do 23,92% dla maja. Maksymalne różnice dokładności prognoz wynoszące 12,62 p.p. i 12,44 p.p. orzymano odpowiednio dla czerwca i maja. Jedynie w grudniu błąd prognozy dla predykora klasycznego był niższy (o 3,7 p.p.) od błędu dla predykora adapacyjnego. PODSUMOWANIE Z przeprowadzonych w pracy badań wyprowadzić można nasępujące wnioski: 1. Kryerium wyboru modelu dla celów prognozowania nie mogą być przecięne błędy względne warości wyrównanych, lecz błędy względne prognoz inerpolacyjnych lub prognoz eksrapolacyjnych. 2. W przypadku modelowania i prognozowania zmiennych o niezby silnej dynamice, w kórych wysępują luki niesysemayczne, opymalne warości sałych wygładzania w modelach Hola i Hola-Winersa przybierają warości bliskie zeru. 3. Minimalne oceny błędów: warości wyrównanych, prognoz inerpolacyjnych oraz prognoz eksrapolacyjnych orzymano na podsawie różnych modeli adapacyjnych. 4. Dokładność prognoz inerpolacyjnych orzymana na podsawie najlepszego predykora adapacyjnego była ok. 23,7% wyższa od dokładności prognoz dla predykora klasycznego. 5. Dokładność prognoz eksrapolacyjnych orzymanych na podsawie najlepszych predykorów adapacyjnych był ok. 22,2% - 28,2 % wyższa od dokładności dla predykora klasycznego. 6. W oku badań wykazano, modele wyrównywania wykładniczego dla danych oczyszczonych z sezonowości mogą być użyecznym narzędziem prognozowania zmiennych ekonomicznych ze złożoną sezonowością. BIBLIOGRAFIA Dimann P. (26) Prognozowanie w przedsiębiorswie. Meody i ich zasosowanie, Wolers Kluwer Polska, Kraków. Kufel T. (21) Ekonomeryczna analiza cykliczności procesów gospodarczych o wysokiej częsoliwości obserwowania, Wydawnicwo Naukowe Uniwersyeu Mikołaja Kopernika, Toruń. Pawłowski Z. (1973) Prognozowanie ekonomeryczne, PWN, Warszawa.

194 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J. (211) Zasosowanie modelowania ekonomerycznego w prognozowaniu brakujących danych w szeregach o wysokiej częsoliwości, Prace Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu. Ekonomeria 34,Wrocław, sr. 33-314. Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J. (212) Z badań nad meodami prognozowania na podsawie niekomplenych szeregów czasowych z wahaniami okresowymi (sezonowymi), Przegląd Saysyczny, Tom 59, s.14-154, Warszawa. Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J. (214) Modele wyrównywania wykładniczego w prognozowaniu zmiennych ekonomicznych ze złożoną sezonowością (w druku). Zeliaś A., Pawełek B., Wana S. (23) Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania. PWN, Warszawa. THE APPLICATION OF SELECTED ADAPTATION MODELS IN FORECASTING THE MISSING DATA IN THE TIME SERIES WITH COMPLEX SEASONALITY FOR UNSYSTEMATIC GAPS Absrac: The paper is devoed o he applicaion of seleced exponenial smoohing models: Brown, Hol and Hol-Winers in predicion of variables wih complex seasonaliy in he condiion of lack of full informaion. Oupu forecass will be buil on he basis of ime series cleansed from seasonaliy. Final forecass, aking ino accoun seasonal flucuaions, will be a sum of oupu forecass and seasonal componens or muliply of forecass and he seasonal indicaors. Theoreical consideraions will be illusraed by an empirical example. Keywords: complex seasonaliy, exponenial smoohing, forecasing, gaps in daa