Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II Sudia dzienne 2008/2009 1/7
1. Treść zadania: Dany jes 12-elemenowy szereg czasowy. Zbudować prognozy punkowe i przedziałowe, przy założeniu, że p = 0,95 dla T=13 oraz T=14. Nasępnie ocenić dopuszczalność zbudowanych prognoz punkowych, jeżeli wiadomo, że ɳ * = 4%. Szereg czasowy: y 128.6 135 144.8 145.5 149.3 160.1 162 176 179.3 190 192.6 204 2. Kolejność wykonywanych kroków: 1. Wyznaczenie badanych modeli. 2. Znalezienie funkcji dla danych modeli. 3. Znalezienie prognozowanych warości punkowych dla wybranych modeli. 4. Obliczenie warość błędów względnych i bezwzględnych dla wybranych modeli. 5. Znalezienie prognoz przedziałowych dla wybranych modeli. 6. Ocena poprawności prognoz na podsawie orzymanych wyników. Wybór opymalnego modelu. 3. Wyznaczenie badanych modeli: Modele, kóre będą badane w ćwiczeniu, ograniczyliśmy do rzech: 1. Model liniowy. 2. Model poęgowy. 3. Model wielomianowy 2. sopnia. 4. Znalezienie funkcji dla danych modeli. Funkcje, po wprowadzeniu danych znaleźliśmy z pomocą narzędzia Microsof Excel. Dla każdej funkcji zosał eż wyznaczony współczynnik deerminacji R 2. Wyznaczony współczynnik deerminacji jes zmienną z przedziału [0, 1], kóra informuje o ym, w jakim sopniu model jes dopasowany. Dopasowanie jes ym większe, im warość ego współczynnika jes bliższa do 1. Wyznaczany jes z wzoru: y R 2 = y 2, y y 2 y rzeczywisa warość y w momencie y warość prognozowana zmiennej y w momencie y średnia arymeyczna warości 2/7
1. Funkcja dla modelu liniowego: 250,000 y = 6,6965 + 120,41 R 2 = 0,9847 Model Liniowy 150,000 f(x) = 6,6965x + 120,4100 y() 100,000 Model liniowy Regresja liniowa dla Model liniowy 50,000 0,000 2. Funkcja dla modelu poęgowego: y = 119,2 0,1852 R 2 = 8868 Model poęgowy y() 180,000 160,000 140,000 120,000 100,000 80,000 60,000 40,000 20,000 Model poęgowy 0,000 3. Funkcja dla modelu wielomianowego sopnia 2: 3/7
y = 0,1471 2 + 4,7842 + 124,87 R 2 = 0,989 250,000 Model wielomianowy s. 2 150,000 y() 100,000 Model wielomianowy 50,000 0,000 Warości wyliczone funkcją REGLINP: 4. Znalezienie prognozowanych warości punkowych dla wybranych 4/7
modeli: Prognozy punkowe zosały oznaczone żółym kolorem: Dane Model liniowy Model poęgowy Model wielomianowy 1 128,6 127,107 119,200 129,801 2 135 133,803 135,527 135,027 3 144,8 140,500 146,096 140,547 4 145,5 147,196 154,091 146,360 5 149,3 153,893 160,593 152,469 6 160,1 160,589 166,108 158,871 7 162 167,286 170,918 165,567 8 176 173,982 175,198 172,558 9 179,3 180,679 179,061 179,843 10 190 187,375 182,590 187,422 11 192,6 194,072 185,841 195,295 12 204 200,768 188,860 203,463 13 207,465 191,681 211,925 14 214,161 194,330 220,680 5. Obliczenie warość błędów względnych i bezwzględnych dla wybranych modeli: Błędy wyliczono z nasępujących wzorów: Błąd bezwzględny: T 2 ϑ T = i 2 1 n 1 T - okres, dla kórego liczymy błąd - średnia z danych rzeczywisych s - sandardowy błąd oceny modelu Błąd względny: 0,5 s η = ϑ y y - warość prognozowana dla okresu 6. Znalezienie prognoz przedziałowych dla wybranych modeli: 5/7
Model liniowy Model poęgowy Model wielomianowy Błędy bezwzględne: 13 3,7090 10,0859 3,1265 14 3,8384 10,4378 3,2356 Błędy względne: 13 1,7878 5,2618 1,4753 14 1,7923 5,3712 1,4662 Prognozy przedziałowe wyznaczamy ze wzoru: p=p { y u ϑ T y T y u ϑ T } y - warość prognozy dla okresu u - współczynnik związany z wiarygodnością prognozy Naomias współczynnik u uzyskujemy z wykorzysaniem funkcji programy Microsof Excel Rozkład.T.odw. u = ROZKŁAD.T.ODW( 1 p; L) p prawdopodobieńswo podane w reści zadania L liczba sopni swobody 1. Model liniowy: 2. Model poęgowy: 3. Model wielomianowy: p=p {199,2003 y 13 215,7287} p=p {205,6084 y 14 222,7136 } p=p {169,2081 y 13 214,1535} p=p {171,0728 y 14 217,5865} p=p {204,9583 y 13 218,8907} p=p {213,4711 y 14 227,8897} 7. Ocena poprawności prognoz na podsawie orzymanych wyników. 6/7
Wybór opymalnego modelu. Porównanie modeli y() 210,000 190,000 180,000 170,000 160,000 150,000 140,000 130,000 120,000 Dane Model liniow y Model poęgow y Model w ielomianow y 110,000 Z wykresu, jak i warunków zadania, kóre mówią, iż błąd bezwzględny musi być mniejszy niż 4%, od razu można zdyskwalifikować model poęgowy, gdyż jes zby mało dokładny, a końcowe punky na linii rendu mają zwiększające się odchylenie od danych rzeczywisych. Także współczynnik deerminacji dla ego modelu jes najbardziej oddalony od warości opymalnej. Pozosałe 2 modele, j. model liniowy i model wielomianowy sopnia drugiego, są wynikami zbliżone do siebie. Ich współczynniki deerminacji niewiele się od siebie różnią. Dla modelu wielomianowego orzymaliśmy najlepsze wyniki, jeżeli wziąć pod uwagę błędy. Wydaje się on więc najbardziej opymalnym modelem dla danego szeregu czasowego. Jednak przy ak małych różnicach w wymienionych współczynnikach, lepszym wyborem jes model liniowy, gdyż jes prosszy w zasosowaniu. Mieści się również w założonym w zadaniu błędzie bezwzględnym. 8. Wnioski: Po zaznajomieniu się z rzema modelami można powiedzieć, że model liniowy jes najbardziej rafny dla ego zadania. Daje on bardzo prawdopodobną prognozę przy zachowaniu prosoy i zadowalającym współczynniku deerminacji oraz małym błędzie. Dlaego można go uznać za opymalny model dla rozwiązywanego zadania. 7/7