Wprowadzenie do rachunku tensorowego

Podobne dokumenty
5. MES w mechanice ośrodka ciągłego

Zaawansowane metody numeryczne

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)

Zmiana bazy i macierz przejścia

MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego

PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE

4. Zjawisko przepływu ciepła

Reprezentacje grup symetrii. g s

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

VIII. MODELE PROCESÓW EKSPLOATCJI OBIEKTÓW TECHNICZNYCH

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE METODY KLASYFIKACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 8. CAŁKI NIEOZNACZONE. ( x) 2 cos2x

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

MECHANIKA BUDOWLI 6 CIĘŻARY SPRĘŻYSTE

IN YNIERIA BEZPIECZE STWA LABORATORIUM NR 6

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA

Modelowanie komputerowe przemian fazowych w stanie stałym stopów ze szczególnym uwzględnieniem odlewów ADI

ψ przedstawia zależność

Analiza obwodów elektrycznych

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

Nieliniowe zadanie optymalizacji bez ograniczeń numeryczne metody iteracyjne optymalizacji

System M/M/c/L. H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 µ c λ c-1 H c µ c+1 λ c µ c+l λ c+l-1 H c+l = 2 = 3. Jeli załoymy, e λ λ = λ = Lλ. =1, za.

Wyznaczanie przemieszczeń

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych

F - wypadkowa sił działających na cząstkę.

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

Małe drgania wokół położenia równowagi.


Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.


KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. Strona 1

FINANSOWE SZEREGI CZASOWE WYKŁAD 3


Laboratorium ochrony danych

Podstawy teorii falek (Wavelets)

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE - zadania powtórzeniowe

tor ruchu ruch prostoliniowy ruch krzywoliniowy

PODSTAWY MATEMATYCZNE

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH

1 Działania na zbiorach

Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan

II.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru. II.3 Przyspieszenie

P 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Metody analizy obwodów

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Funkcje wielu zmiennych

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk

Dyskretny proces Markowa

WYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO PRZETWARZANIA ENERGII

14. OBWODY LINIOWE POBUDZONE SYGNAŁEM ODKSZTAŁCONYM

Grupy, pierścienie i ciała

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra

f(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Funkcje wielu zmiennych

Programowanie Równoległe i Rozproszone

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

q (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q

Prąd sinusoidalny. najogólniejszy prąd sinusoidalny ma postać. gdzie: wartości i(t) zmieniają się w czasie sinusoidalnie

5. Maszyna Turinga. q 1 Q. Konfiguracja: (q,α β) q stan αβ niepusta część taśmy wskazanie położenia głowicy

mgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

Metody Numeryczne 2017/2018

Reprezentacja krzywych...

Funkcje wielu zmiennych

Plan wykładu. Sztuczne sieci neuronowe. Uczenie nienadzorowane (bez nauczyciela) Uczenie nienadzorowane - przykłady

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

System M/M/c/N. System róni si od wyej omawianego tym, e posiada c kanałów obsługi. ródła zgłosze. Stanowiska obsługi. 2 kolejka

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

I. Elementy analizy matematycznej

Różniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k


max Wydział Elektroniki studia I st. Elektronika III r. EZI Technika optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK DYNAMICZNYCH RAM Z TŁUMIKAMI MAXWELLA

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Optymalizacja funkcji

Transkrypt:

A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego Wprowadzene do rachunu ensorowego Konwenca sumacyna Ensena Powórzene s wsanów oznacza sumowane, s o zw wsan neme Wsan neme mona dowolne zmena, zachowuc edna reguł ch powarzana s: = a x a x a x Iloczyn salarny weorów zapsuemy: uv = u x vx + u y v y + u z vz = u v = u v ( = u v ), a długo weora (salar): u = x + u y + uz = u u = x, z a u = u u x = x, z Uład równa zapsuemy z uycem wsanów ywych: a x + a x + a3 + b a x + a x + a3 + b a x + b (sumowane po, yle równa le ) a3 x + a3 x + a33 + b3 Jel powarzace s wsan ne naley sumowa, bdzemy psal e w nawasach, np suma wadraów osnusów erunowych prose w przesrzen: a a n n (n bez ( n) ( n) = = nawasów oznaczałoby podwóne sumowane: po n po ) Pochodne po współrzdnych oznacza bdzemy przecnem przed ndesem współrzdne po óre rónczuemy: f f, x Transformaca przez obró Transformaca uładu współrzdnych zapsue s: ξ = a x gdze a s współrzdnym macerzy przeca (nesymeryczne, oronormalne), np dla obrou o α na płaszczyne: cosα snα a = snα cosα Elemeny perwszego wersza zawera oleno osnusy ów pomdzy perwsz os nowego uładu (obróconego) a osam uładu wycowego W drugm werszu wdne osnusy mdzy drug os nowego uładu a osam uładu wycowego Macerz a es orogonalna: a a dla, oraz unormowana: a a = dla = Oznacza o, e wersze olumny macerzy przeca s wersoram os orogonalnego uładu nowego w sarym uładze (wycowym) Dela Kronecera dla δ = dla = Warune oronormalnoc zapszemy wc: a a = δ,, = ξ, η, = x, y Jes ae: b δ = b

A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego Defnca ensora II rzdu Tensorem (drugego rzdu) nazywamy macerz wadraow (3 współrzdnych), óre współrzdne przy obroce uładu współrzdnych ransformu s zgodne z prawem (zwanym prawem ransformac ensorowe): a gdze a, a l s dosawam erunowym os (osnusam ów mdzy osam -, -l, czyl współrzdnym wersorów os w uładze współrzdnych) S elemenam macerzy przeca ze sarego uładu współrzdnych do nowego Prawo ransformac es lnowe ednorodne wzgldem współrzdnych ensora Kady obe geomeryczn óry przy zmane uładu współrzdnych ransformue s zgodne z prawem ransformac ensorowe, es ensorem a l l Do ensorów sosu s wszele zasady rachunu ensorowego, a zaps ensorowy es nezaleny od przyego uładu współrzdnych (obone czy arezasego czy e rzywolnowego, neorogonalnego) Uwaga : Bdzemy zamowal s wyłczne ensoram symerycznym: = Uwaga : Ilo współrzdnych zaley od wymaru przesrzen rzdu ensora (w m-wymarowe przesrzen ensor n-ego rzdu ma m n współrzdnych) Przyłady: Doychczas poznalmy: ensory rzdu (3 współrzdnych), czyl salary: a = = a cons, ensory rzdu (3 współrzdnych); a wda z zapsu s nm współrzdne punu (óre moemy uwaa za weory wodzce), w = a w, ensorem rzdu s e weory (ne ylo wodzce); dowód: r w = ρ -r = (rysobo) = a ρ - a r = a (ρ - r ) = a w ensor rzdu ednosowy - dela Kronecera δ ; es o ensor nezmenncz gdy dla uładu orogonalnego:δ =a a l δ l = a a = δ Tensorem rzdu es loczyn współrzdnych weorów (zw loczyn salarny zewnrzn dadyczny): v w = a v a w = a a v w, l przyładem aego loczynu es loczyn weora sły P wersora normalne zewnrzne n do płaszczyzny przerou: Px P x nx Px n y Px Py ( nx n y ) = Py nx Py n y Py nx n y Inerpreaca geomeryczna es naspuca: sładowe na przene główne s o rzuy sładowych P na erune normalne n, równoległe do os x, z a sładowe poza przen o rzuy na prosopadłe erun lece na płaszczyne przerou Dowód: P x n x = P x cos(n,x), podobne dla pozosałych ednomennych P x n x + P x n y + P x n z = P x (n x + n y + n z ) = P x, l l l w ρ

A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego sd wyna, e s o sumy geomeryczne 3 wzaemne do sebe prosopadłych sładowych Jes o wc nc nnego a rozład weora na erune normalne zewnrzne erun syczne do płaszczyzn wzaemne prosopadłe Nedługo poznamy nowe, szczególne przydane ensory rzdu Tensor pomnoony przez weor dae w wynu weor: w = a a a w = a a a w = δ w = w = w l l l l l l Powysze werdzene moe by przye ao defnca ensora, z óre mona wyprowadz wzory ransformacyne Jel w powyszym wzorze weor zaspmy wersorem normalne do pewnego erunu, o defnc mona wypowedze: Tensor n-ego rzdu es o obe geomeryczn órego rzu na dowolny erune es ensorem n- rzdu Wyna sd, e rzuy ensora rzdu na erun rzech os uładu współrzdnych s rzema weoram, ady o rzech współrzdnych (salarnych), sd całowa lo współrzdnych (salarnych) dla ensora rzdu w przesrzen 3D wynos 9 Zagadnene waroc własnych Poszuuemy ae ransformac (aego obrou) uładu współrzdnych, dla óre współrzdne ensora na przene główne (n)(n) = bd esremalne Współrzdn z przene główne ensora uzysue s dwurone rzuuc ensor na erune: za perwszym razem orzymuc weor = n, a za drugm ego współrzdn = n n Zadane sprowadza s do poszuwana esremum func z warunem pobocznym: n = (suma wadraów cosnusów erunowych a wc długo wersora normalne), czyl: n f = n n + λ ( n n ) f, Oblczamy pochodn: ( nn ), n λ( nn ) n ( nn ) n n n n n n ( ) n, = δ, λ = δ λ = λδ = λδ, przyrównuc do zera, orzymuemy: ( λδ ) n W powyszym równanu eden ze wsanów es yw co oznacza e mamy do czynena z uładem 3 równa (np =,, 3) S o równana algebraczne, lnowe ednorodne ze wzgldu na weor normalne Do denycznego uładu równa dochodzmy poszuuc aego erunu dla órego weor naprena = n byłby współlnowy z normaln zewnrzn: = λn, sd po porównanu wyrae: n = λn od razu dosaemy powysze równane Oznacza o, e szuac erunów dla órych waroc na przene byłyby esremalne (cle: chodz o warune ch saconarnoc), orzymuemy macerz w zw posac dagonalne: edyne na przene główne znadu s waroc nezerowe (rzuy na pozosałe erun prosopadłe do normalne s zero) Tensor ransformowany do uładu współrzdnych orelonego z powyszych równa ma posa dagonaln (współrzdne poza przen główn s równe zero) Poszuuemy nerywalnego (nezerowego) rozwzana powyszego uładu W maemayce ae zagadnene nazywa s zagadnenem waroc własnych ensora: λ = (n), orelonych przez n - współrzdne wersorów erunów własnych (głównych) ensora Przyoczmy bez dowodu dwa werdzena algebry: WKW snena rozwzana nezerowego lnowego uładu równa, es zerowane s wyznaczna macerzy główne uładu Ale ednoczene: WKW, aby macerz wadraowa była neosoblwa es ne zerowane s e wyznaczna n

A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego Jel wc zadamy de( ( n) δ ), o ym samym damy lnowe zalenoc uładu równa Wówczas sporód 3 równa uładu edyne równana s lnowo nezalene Aby wc rozwza uład równa musmy dołczy równane z warunu pobocznego poszuwana esremum, wce dosawy erunowe weora własnego (suma wadraów = ) Po rozpsanu warunu zerowana s wyznaczna, orzymuemy równane szecenne na waroc własne: 3 I + I I3 W maemayce dowodz s, e dla macerzy symeryczne powysze równane ma 3 perwas rzeczywse, óre oznaczymy (,, 3 ) Z ednoznacznoc rozwzana wnosuem e nezalene od perwonego uładu współrzdnych równane szecenne es ae samo, zn e zarówno waroc własne a współczynn równana s ae same dla danego ensora Mówmy o nch e s nezmennam:,, 3 s nazywane nezmennam głównym, warocam głównym, warocam własnym ensora, I, I, I 3 s nazywane nezmennam podsawowym ensora, przy czym: I = ( = suma po przene), I = (suma podwyznacznów), I 3 = (wyznaczn główny macerzy ensora) Pomnómy dwa równana zagadnena waroc własnych odpowedno n n n, n n n odemmy od sebe, uwzgldnac symer ensora = oraz zamenac mescam wsan neme n n = n n = n n, orzymuemy: n n δ n n = ) n n n n, gdy δ ( Jel waroc własne s róne, o odpowadace m erun główne s prosopadłe Jel waroc własne s sobe równe, o ady erune na płaszczyne es erunem głównym Jel 3 waroc własne s sobe równe, o ady erune w przesrzen es erunem głównym Ja es sens powyszych wywodów? Jel ensor, zapsany w dowolnym uładze współrzdnych, ransformuemy do uładu wyznaczonego przez erun główne, o orzymamy ensor w posac dagonalne, przy czym waroc główne wyspuce na dagonalne przymu waroc esremalne (cle waroc esremalne a edna saconarna ) Zamas 9 współrzdnych ensora (lub 6 współrzdnych dla ensora symerycznego) wysarcza 3 waroc własne, co m n znaczne upraszcza zaps: ( ) xx xy xz x, z (,,3) yx yy yz zx zy zz 3 Mac współrzdne ensora w ednym uładze moemy na podsawe wzorów ransformacynych oblczy ego współrzdne w nnym uładze Zagadnene waroc własnych w przesrzen -wymarowe (na płaszczyne) Jel nezmenn podsawowy I 3 (z am przypadem mamy do czynena el np n-a olumna odpowadacy e n-y wersz zawera same zera, ale ne ylo), o edna z

A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego waroc własnych es równa zero równane szecenne reduue s do równana wadraowego: I + I Perwas ego równana (dla z ) wyraa s wzoram: ( + ) ± ( ) ; = xx y y xx y y + 4 x y a uład erunów głównych orelony es em α, o a naley obróc wycowy uład współrzdnych: ( xx ) cosα + x y snα, x y cosα + ( y y )snα sd, dla waroc własnych (, ) znaduemy: xx x y g α = =, x y gdze α oznacza merzony od os x do -ego erunu głównego Ponewa perwszy nezmenn podsawowy es sum wyrazów na przene główne es nezaleny od a obrou uładu współrzdnych, wyna sd orogonalno erunów głównych: xy xx + yy xx xx gα gα = = = xy yy y y yy