14. OBWODY LINIOWE POBUDZONE SYGNAŁEM ODKSZTAŁCONYM

Transkrypt

1 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony. OBWODY LINIOWE POBDZONE SYGNŁEM ODKSZŁCONYM PRZYPOMNIENIE ) Funcja wyładncza pełn wyjąową rolę, poneważ: ażdy sygnał wysępujący w prayce oże być zawsze wyrażony w posac suy funcj wyładnczych; w przypadu obwodów lnowych odpowedź obwodu na wyuszene wyładncze jes aże wyładncza. B) Meoda sybolczna zapsu przebegów snusodalnych pozwala raować je jao przebeg wyładncze.. OPIS SYGNŁ ODKSZŁCONEGO ) RYGONOMERYCZNY SZEREG FORIER Dowolną funcję oresową x() o orese, spełnającą warun Drchlea wyrażone nasępująco: przedzał o długośc ożna podzelć na sończoną lczbę przedzałów owarych, w órych funcja jes cągła onoonczna; w punach necągłośc funcja x() a grance lewo prawosronne jej warość jes równa średnej aryeycznej ych granc; ożna przedsawć w posac szeregu haroncznego nesończonego zwanego szerege rygonoeryczny Fourera. dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9

2 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony Szereg rygonoeryczny Fourera: x () F F ( Ψ ) sn ω (.) sładowa sała -a haronczna rozwnęca Fourera gdze: ω / pulsacja podsawowa rząd haroncznej F apluda -ej haroncznej Ψ faza począowa -ej haroncznej Szereg zawera wyraz nezależny od czasu SMĘ haroncznych funcj czasu o pulsacjach będących weloronośca pulsacj podsawowej (pulsacj funcj x() równej ω /). Welość snusodalną o nazyway haronczną podsawową (perwszą haronczną). Welośc o > nazyway wyższy haronczny Inerpreacja: x () x() F F sn(ω Ψ ) F sn(ω Ψ )... / F F F Ψ Ψ ω dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9

3 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony Wadoo jedna, że F ( ω Ψ ) F ( sn ω cosψ cos ω snψ ) sn (.) Jeśl oznaczyy F F snψ cosψ B (.3) o F sn( ω Ψ ) cos ω B ω sn (.) Gdy apludę -ej haroncznej przedsawy jao weor wrujący, o z zależnośc rygonoerycznych wynają wzory I F B (.5) F Ψ B Re B sn Ψ, cosψ (.6) F F względnając powyższe zależnośc ożey szereg (.) przedsawć x sn () ( cos B ω ) ω (.7) sładowa sała -a haronczna rozwnęca Fourera Współczynn,, B wyznacza sę ze wzorów: warość średna x()d (.8) ω (.9) sład. osnusodalna x() cos d dla,, K ω (.) sład. snusodalna B x() sn d dla,, K dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 3 /9

4 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony B) WYKŁDNICZY (ZESPOLONY) SZEREG FORIER Jeśl w rozwnęcu w szereg Fourera dany wyrażene (.7) zasosujey podsawene wynające z wzorów Eulera o orzyay cos ω x () jω jω e e, e jω e jω jω e e sn ω (.) j jω B e jω e j jω (.) Wprowadzając oznaczena jb jb C, C, C (.3) sąd osaeczne x jω () [ jω C C e C e ] () órą o posać nazyway posacą zespoloną szeregu Fourera. jω x C e (.) (.5) -y współczynn wyładnczego szeregu Fourera C j ω x () e d j η C e dla, ±, ±,K (.6) oduł -ego współczynna wyładnczego szeregu Fourera arguen -ego współczynna wyładnczego szeregu Fourera waga: C C C η η C * dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9

5 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony C) WIDMO MPLIDOWE I FZOWE Wprowadzene: F F F3 F Ψ Ψ Ψ 3 ω x() F F Ψ F F F 3 F 3 F sn(ω Ψ ) F sn(ω Ψ ) F 3 sn(3ω Ψ 3 ) Ψ Ψ Ψ 3 3 ω ω... / dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 5 /9

6 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony Wyres, w uładze współrzędnych prosoąnych, sanowący zbór odułów C współczynnów zespolonego szeregu Fourera lub zbór aplud F poszczególnych haroncznych oreślony dla odpowednch pulsacj ωω (bądź częsolwośc ff ) nazyway dysreny WIDMEM MPLIDOWYM sygnału x(). o zbór arguenów η współczynnów zespolonego szeregu Fourera lub o zbór faz począowych ψ poszczególnych haroncznych oreślony dla odpowednch pulsacj ωω (bądź częsolwośc ff ) nazyway dysreny WIDMEM FZOWYM sygnału x(). Poędzy współczynna rozwnęca w rygonoeryczny w zespolony szereg Fourera zachodzą nasępujące zwąz: F B C C dla,,k (.7) η Ψ dla,,k (.8) Znajoość obydwu wd, apludowego fazowego jednoznaczne oreśla suę częścową szeregu Fourera czyl z założoną doładnoścą opsuje analzowany sygnał x(). Wda (częsolwoścowe) są równoważny opse do analycznego zapsu w dzedzne czasu ego sygnału - jes o jego reprezenacja wdowa. dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 6 /9

7 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony Wyjaśnene: WIDMO MPLIDOWE SPORZĄDZONE W OPRCI O POSĆ: RYGONOMERYCZNĄ ZESPOLONĄ F C ω ω WIDMO FZOWE SPORZĄDZONE W OPRCI O POSĆ: RYGONOMERYCZNĄ ZESPOLONĄ Ψ η / / ω - 3 ω / / Wdo apludowe sygnału oresowego jes funcją parzysą a wdo fazowe funcją neparzysą. Prawosronne wda apludowe fazowe sanową reprezenację sygnału oresowego w dzedzne częsolwośc. dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 7 /9

8 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony D) RODZJE SYMERII SYGNŁÓW ) SYMERI WZGLĘDEM POCZĄK KŁD WSPÓŁRZĘDNYCH Funcję nazyway syeryczną względe począu uładu współrzędnych lub funcją neparzysą jeśl spełna ona zależność x () x( ) (.9) x(), Ψ lub Ψ () x B sn ω (.) ) SYMERI WZGLĘDEM OSI RZĘDNYCH Funcję nazyway syeryczną względe os rzędnych, lub funcją parzysą jeśl spełna ona zależność x () x( ) (.) x() B Ψ lub Ψ () x cos ω (.) 3) SYMERI WZGLĘDEM OSI ODCIĘYCH Funcję nazyway anysyeryczną (syeryczną względe os odcęych), jeśl rzędne funcj oresowej powarzają sę co pół oresu ze zenony znae, zn. x () x (.3) n Bn dla n,, K x() dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 8 /9

9 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony E) WIDMO MOCY SYGNŁ Moc średna sygnał P x () x ()d Moc sygnału oresowego x(), ożna równeż wyznaczyć w dzedzne częsolwośc oblczając warośc ocy zawarej w ażdej sładowej haroncznej. Przyładowo dla n-ej sładowej haroncznej: F n P n F n sn ( n n ) d ω Ψ (.) Wyrażając funcję oresową x() za poocą jej rozwnęca w szereg rygonoeryczny Fourera orzyujey: ( B ) F P F (.5) Wyznaczając wdo ocy przebegu oresowego x() za poocą wyładnczego szeregu Fourera, orzysa sę z werdzena Parsevala x ( ) ( ) x * C ω C (.6) ω ówącego: warość średna za ores loczynu dwóch funcj oresowych o y say orese jes równa sue od - do szeregu nesończonego, órego wyraza są loczyny współczynnów rozwnęca wyładnczego jednej z ych funcj przez współczynn sprzężone rozwnęca wyładnczego drugej Czyl warość średna wadrau funcj oresowej załadając * ( ω ) x( ) x ( ) wynos x () C C x ω C (.7) Zae: P C (.8) Wówczas WIDMEM MOCY sygnału nazyway wyres zennośc wadraów odułów współczynnów wyładnczego szeregu Fourera. dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 9 /9

10 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony F) PROKSYMCJ SYGNŁ W zagadnenach praycznych częso zachodz oneczność ogranczena sę do reprezenacj sygnału oresowego sończoną lczbą wyrazów szeregu Fourera (do aprosyacj sygnału suą częścową szeregu). Ogranczay sę do uwzględnena w rozwnęcu N-haroncznych. Zapszey o nasępująco: () N jω x C e N (.9) Jao ryeru doładnośc aprosyacj sygnału x() suą częścową jego rozwnęca przyjuje sę błąd względny gdze: N δ ε % (.3) X N ε s X warość sueczna sygnału x() : X x () d x () P ε - warość sueczna błędu : ε s X C C s N N N N N Jeśl a pror założyy pewną warość błędu aprosyacj, o przy znajoośc X, ożey usalć en rząd haroncznej N, órej uwzględnene w sue częścowej zapewna wyaganą doładność. Mówy wówczas, że sygnał x() zajuje paso Nω (N f ). Sens fzyczny a oreślonego pasa wąże sę z ocą średną sygnału a anowce, jeśl przyjęlśy ryeru doładnośc δε N o oznacza, że N uwzględnonych w rozwnęcu haroncznych nese ( - δε N )% ocy jaą reprezenuje sobą sygnał x(). dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9

11 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9 PRZYKŁD : Dany jes sygnał u() będący cąge pulsów prosoąnych o orese s, czase rwana,5s oraz apludze V. Wyznaczyć wdo apludowe fazowe sygnału. ) Opsujey sygnał u() analyczne w przedzale czasu odpowadający oresow: () < < < < dla dla u ) Wyberay posać szeregu Fourera, dla órej będzey rozwjal sygnał () ( ) sn cos B u ω ω 3) Sprawdzay rodzaj syer sygnał u() Wysępuje syera względe os rzędnych ( () ( ) f f ). Poneważ jes o funcja parzysa znają wyrazy z snusa ( B ). Zae: () cos u ω ) Oblczay sładową sałą ()d u [ ] V d,5

12 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9 5) Oblczay współczynn () K,, cos d u ω ( ) sn cos d ω ω ω ω ω ω ω sn sn sn sn sn sn sn 6,37 sn sn sn 6) Oblczay warośc aplud faz począowych N-haroncznych F F arcsn Ψ.,5,5 9 o. 3,83 3,83 9 o 3.,5,5 9 o ,9,9-9 o 6. -,6,6-9 o 7. -,63,63-9 o ,5,5 9 o

13 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony 7) Przedsaway wdo apludowe fazowe sygnału F 5, f [Hz] Ψ 9 o f [Hz] -9 o dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 3 /9

14 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony PRZYKŁD : Wyznaczyć wdo ocy sygnału z przyładu. Oreślć błąd względny aprosyacj sygnału suą częścową dla N F - - -,5,5 3,83,5 F C.75,59,5,5,5,59.75 C,563,533 5,67 6,5 5,67,533, C,576 warość sueczna sygnału x() : X x () d P 5 warość sueczna błędu : ε s X C, 557 N 3 N błąd względny: % 3,% X δ ε N Czyl rozwnęce sygnału z przyładu, uwzględnające sładową sałą oraz rzy perwsze haronczne nese 68,86% ocy jaą reprezenuje sobą en sygnał. ε s N 3 N 9 a3( ) a9( ) dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl /9

15 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony PRZYKŁD 3: Ilusracja wpływu dwuronego zwęszena oresu na wdo apludowe cągu pulsów prosoąnych () () 7, 6, 5, [V], 3,,,,,,5,,5,,5 3, 3,5,,5 5, 5,5 6, 6,5 f [Hz] 7, 7,5 8, 8,5 9, 9,5,,5,,5, dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 5 /9

16 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony PRZYKŁD : Ilusracja wpływu dwuronego znejszena czasu rwana pulsu na wdo apludowe cągu pulsów prosoąnych (),5 () 7, 6, 5,,5 [V], 3,,,, f [Hz] dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 6 /9

17 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony.. NLIZ OBWODÓW SLS PRĄD ODKSZŁCONEGO Załóży, że do dwójna zawerającego eleeny R, L w połączenu szeregowy przyłożono napęce odszałcone u(). Weloścą poszuwaną jes prąd płynący przez eleeny dwójna. Rozwnęce rozparywanego wyuszena w szereg Fourera a posać u () sn( ω Ψu ) u () u () u () u () 3 K Sosujey zasadę superpozycj w sposób nasępujący: (.3). Przyjujey, że jedyny wyuszene jae dzała na obwód jes źródło napęca sałego rozparywany obwód oblczay za poocą eod doyczących obwodów prądu sałego, wyznaczając prąd I ;. Przyjujey, że jedyny wyuszene jae dzała jes -e źródło napęca haroncznego o napęcu u () sn ( ω Ψ ) za poocą eod oblczana obwodów prądu haroncznego wyznaczay prąd obwodu u () I ( ω Ψ ) sn, oblczene o powarzay welorone, przyjując olejno,,3,... Zgodne z zasadą superpozycj przez eleeny obwodu płyne prąd () I () I I sn ( ω Ψ ) (.3) dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 7 /9

18 OBWODY I SYGNŁY () Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony () u() R L u() u() R L I ω () ωω () ω ω R u() R... u() R... L L L Obwód prądu sałego Obwody prądu haroncznego ( ) ( ) u sn ω Ψu R I Z R j ωl e jψ u I Z R ( ωl) e ωl j arcg R I R ( ωl) e j Ψ u ωl arcg R I e jψ ( ) I sn ( ω Ψ ) dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 8 /9

19 OBWODY I SYGNŁY Wyład : Obwody lnowe pobudzone sygnałe odszałcony PRZYKŁD 5: Ilusracja wpływu przenoszena sygnału odszałconego przez uład lnowy o znanej sruurze Flr dolnoprzepusowy RC I-rzędu, f g 5Hz Paraery cągu p. prosoąnych : s, μs,,9 hn/hn Ku,8,7,6,5,,3,,, f [Hz] dr nż. Mare Szul e-al: szul@wa.edu.pl 9 /9