Modelowanie komputerowe przemian fazowych w stanie stałym stopów ze szczególnym uwzględnieniem odlewów ADI

Transkrypt

1 MERO MEtalurgczny Renng On-lne Modelowane oputerowe przean fazowych w stane stały stopów ze szczególny uwzględnene odlewów ADI Wyład III: Metoda różnc sończonych dla transportu cepła asy Wocech Kapturewcz AGH Eduaca Kultura

2 Metoda różnc sończonych Wstęp Procesy wyany cepła asy w technolog ADI opsuą równana parabolczne tórych rozwązane nueryczne przeprowadzć ożna Metodą Różnc Sończonych (nte Dfference Method - DM) lub Metodą Eleentów Sończonych (nte Eleent Metod -EM). Równane przewodnctwa cepła (prawo ourera) a dentyczną forę a równane transportu asy (prawo ca). W zwązu z powyższy te obydwa procesy rozważyć ożna na przyładze ednego z nch np. przewodzena cepła. Borąc pod uwagę rozważana dotyczące transportu asy w esce dyfuzynośc ceplne "a" wprowadzy dyfuzyność asy "D" o tych saych ednostach ( /s). Pewne różnce wystąpć ogą w przypadu warunów brzegowych tóre są zaprezentowane w Wyładze III równana 3-0. W nneszy wyładze zaprezentowano uproszczoną wersę DM MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH

3 Metoda różnc sończonych (wersa uproszczona) Rozwązywane równana różnczowego o pochodnych cząstowych doonue sę poprzez rozwązywane uładu równań algebracznych tórych lczba równa est lczbe węzłów sat dysretyzac. Sposób przeprowadzena dysretyzac zennych zostane przedstawony na przyładze równana różnczowego przewodzena cepła w ednowyarowy płas stały cele bez wewnętrznych źródeł cepła przy stałe wartośc dyfuzynośc ceplne a : gdze: teperatura τ - czas współrzędna. τ a () MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 3

4 4 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Lewą stronę równana ożey zastąpć perwszy człone szeregu aylora : τ τ τ τ τ...! w zależnośc od sposobu rozwnęca pochodną zastępue sę loraze różncowy przedn (rys.): wsteczny: lub centralny : τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Rys.. unca teperatura czas gdze τ ro czasowy ()

5 Metoda różnc sończonych Naczęśce stosowane nabardze dogodne w oblczenach est przyblżene lewe strony równana różnczowego loraze różncowy przedn. Prawą stronę równana różnczowego przewodzena cepła czyl pochodną teperatury względe przestrzen oblcza sę za poocą lorazu różncowego centralnego drugego rzędu (rys. ): (3) gdze ro przestrzenny - - MERO MEtalurgczny Renng On-lne Rys.. unca teperatura - odległość Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 5

6 6 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Zestawaąc () () (5) otrzyue sę: a τ Po przeształcenu względe newadoe uzysue sę równane różncowe ze scheate awny z przyblżene od dołu w stosunu do rozwązana doładnego: ) ( ) ( a τ (4) gdze: (Różncowe ryteru ourera) D D τ Adewatny ryteru dla transportu asy est: gdze D dyfuzyność asy /s

7 Metoda różnc sończonych Równane (4) zachowue sens fzyczny eśl wartość (z defnc dodatna) ne a wpływu na erune zany teperatury Jest to spełnone gdy: ( ) 0 ryteru stablnośc wówczas: / (5) MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 7

8 Metoda różnc sończonych Metoda Crana Ncolsona W etodze Crana-Ncolsona za przyblżoną wartość teperatury względe czasu loraz różncowy syetryczny w chwl 05; dae ona wartośc przyblżone oscyluące woół wartośc rozwązana doładnego. Dla przyblżena pochodne teperatury przyue sę loraz różncowy przedn: 05 τ τ natoast drugą pochodną teperatury względe współrzędne przestrzen zastępue sę średną arytetyczną lorazów różncowych syetrycznych drugego rzędu w przedzałach czasu oraz : MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 8

9 9 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Metoda Crana Ncolsona 05 Podstawene przyblżeń do () dae: ( ) ( ) a τ sąd po uwzględnenu defnc lczby otrzyue sę: ( ) ) (

10 Metoda różnc sończonych Metoda Crana Ncolsona Ze względu na dużą doładność aprosyac pochodne stnee ożlwość zastosowana dużych roów czasowych; z te przyczyny etoda Crana- Ncolsona uważana est za naefetywneszą etodę różncową neustalonego przewodzena cepła (dla uładu -wyarowego - D). MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 0

11 Metoda różnc sończonych Metoda blansów eleentarnych Równane (4) wyprowadzć ożna poprzez zblansowane ustalonych struen ceplnych (lub struen asy). Sposób ten est szczególne przydatny przy zestawanu rów-nań dla sat neednorodne zaweraące zróżncowane ro przestrzenne cha-rateryzuące sę różny paraetra terofzyczny. Wydzely w przestrzen ednowyarowe trzy płase eleenty o wyarze lnowy. Środ tych eleentów na pozoe czasowy aą teperatury odpowedno - oraz (Rys. 3). e τ - Dstance Rys. 3. Scheat blansu eleentarnego MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH

12 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Metoda blansów Załadaąc w dany przedzale czasowy τ ustalony przepływ cepła stałe paraetry terofzyczne c ρ blans ceplny dla środowego eleentu o teperaturze ożna przedstawć następuąco: ( ) ( ) ( ) c ρ τ τ (6) c ρ -dyfuzyność ceplna cepło właścwe gęstość gdze Powyższy blans przeształca sę do postac równana (4): ) ( ) (

13 3 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Bezwyarowa postać równana różncowego W oblczenach ożna stosować dowolną salę teperatury a węc zaps równana (4) w postac: ) ( ) ( Θ Θ Θ Θ srf srf Θ 0 srf srf Θ 0 gdze: ab ab Θ 0 ab ab Θ 0 srf ab teperatura powerzchn otoczena

14 Metoda różnc sończonych Równane różncowe dla warunu brzegowego Warune brzegowy 3-go rodzau Równane różncowe dla teperatury eleentu przy powerzchn cała wyprowadzć ożna w oparcu o etodę blansów eleentarnych. Blans ceplny zestawony dla eleentu przy powerzchn a postać (rys. 4): ab ( ) ( ) n τ τ cρ α n n n n (7) surface n- n ab gdze α - współczynn wyany cepła W/ K α Rys. 4 MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 4

15 Metoda różnc sończonych Warune brzegowy 3-go rodzau Wyrażene α w równanu (7) a sens oporu ceplnego poędzy środe eleentu a otoczene. Przeształcaąc równane (7) otrzyuey:: lecz dla n ( G) ab N G N G α N (8) Bezwyarowy paraetr N a sens ryteru Bota odnesonego do wyaru eleentu różncowego ożna go nazwać różncowy ryteru Bota. Welość G ożna natoast nazwać różncowy ryteru warunu brzegowego 3-go rodzau. MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 5

16 Metoda różnc sończonych Warune brzegowy 3-go rodzau Warune stablnośc oblczeń według równana (8) est aby: sąd N 0 N G 0 Z powyższe nerównośc wyna że: N 3 Przy wcześneszy założenu że </3 warune powyższy est zawsze spełnony bowe dla te wartośc prawa strona nerównośc przyue wartość ueną zaś lewa (ryteru N) z rac sensu fzycznego est dodatna. MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 6

17 Metoda różnc sończonych Warune brzegowy 3-go rodzau Równane (8) orzystne est przedstawć w postac bardze uogólnone: ( A B ) A Paraetry A oraz B odzwercedlaą (dla przyętego uładu współrzędnych) oddzaływane ceplne na eleent eleentu leżącego odpowedno z lewe prawe strony tego eleentu (przy uowne przyęty uładze współrzędnych). Równane (9) ożna tratować ao uogólnony zaps równana (4) przy czy ryteru A oraz B przyuą wartość zależną od położena eleentu w obszarze sat D: Kryteru/ Eleent nr A B 0 n ( ) n N N B (9) MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 7

18 Metoda różnc sończonych Uwzględnene przeany fazowe Cepło rystalzac stała teperatura przeany Nastotneszą przeaną fazową w odlewach est prześce etalu ze stanu cełego w stan stały połączone z uwalnane utaonego cepła przeany czyl cepła rystalzac. Na le est stotna ta przeana loścowo ocenć to ożna dzeląc wartość cepła rystalzac danego etalu lub stopu przez ego cepło wła-ścwe. Uzysue sę wówczas lczbę H wyrażoną w stopnach [K] tórą ożna tratować ao zapas teperaturowy cepła rystalzac. Dla typowego żelwa: cepło rystalzac L 70 J/g cepło właścwe c ( )/ J/g K (średne cepło właścwe dla stanu cełego stałego) otrzyuey: H L/c 70/ K. MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 8

19 Metoda różnc sończonych Cepło rystalzac Wartość H po podzelenu przez teperaturę przeany dae wsaźn stot-nośc tego cepła przeany. Istotność cepła przeany S L przy założenu teperatury rystalzac dla żelwa r : S L H/ r 0.9 Można przyąć że od oentu osągnęca przez stygnący w stane ceły etal teperatury przeany etal ten posada zapas teperaturowy cepła rystalzac. eperatura danego eleentu ne spada ponże teperatury rystalzac do oentu wyczerpana zapasu teperatury to znaczy dopó będze spełnony warune: H (0) gdze r - obnżene teperatury w dany rou czasowy ponże teperatury rystalzac. MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 9

20 Metoda różnc sończonych Cepło rystalzac Jeśl będze spełnony warune (0) wówczas teperatura pozostae na stały pozoe czyl ( r ). Czas zużywana zapasu teperatury H będze czase rystalzac etalu w obszarze danego eleentu różncowego. MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 0

21 Metoda różnc sończonych Cepło rystalzac Krystalzaca w zarese teperatury Cepło rystalzac w zarese teperatury uwzględnć ożna poprzez zastosowane poęca efetywnego cepła właścwego:: gdze l r sol l sol MERO MEtalurgczny Renng On-lne c ef c L Jeżel teperatura danego eleentu różncowego znadue sę w zarese r wówczas w esce w równanach różncowych należy wprowadzć (dla sol l ): aef τ ef () gdze a ef c ρ ef r r - teperatura lqudus soldus dla stopu Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH ()

22 Metoda różnc sończonych Cepło rystalzac Krystalzaca w zarese teperatury W przypadu gdy dysponuey funcą spetralnego cepła rzepnęca η wówczas równeż ożna sorzystać z poęca efetywnego cepła właścwego c ef (oraz odpowedno ef ) oblczaąc ego wartośc dla atualne teperatury etalu (teperatury danego przedzału różncowego) przy założenu że: c ef c η (3) gdze η A A 0 A A 0 A A regresson coeffcents Wprowadzene ryteru ef ne pogarsza stablnośc oblczeń ze względu na ego neszą wartość w porównanu z. MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH

23 3 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Uogólnona postać równana dla uładu ednowyarowego Przyey że eleenty różncowe ogą charateryzować sę odenny wyara właścwośca terofzyczny. Dla ednoerunowego przewodzena cepła (rys. 3) eleentarny blans cepła ożna zapsać: ) ( c ) ( ) ( ρ τ gdze ndes paraetru odnesonego do -tego eleentu Po przeształcenu otrzyuey postać równana (9): B A ) B A ( (4)

24 4 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Uogólnona postać równana dla uładu D A B gdze a τ c a ρ a warune stablnośc: (A B ) Jeśl założyy równoerny podzał różncowy wówczas stałe w równanu (4) przyuą postać: A B Jeśl eleenty różncowe będą dodatowo charateryzowały sę ednaowy współczynna przewodzena cepła (uład ednorodny) wówczas: B A równane (5) przye postać równana (4): ) ( ) (

25 5 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Uład dwuwyarowy (D) Dla uładu dwuwyarowego sat równane różncowe wyprowadzć ożna etodą eleentarnych blansów (rys. 5): y y y - τ τ τ y y ) ( y ) ( y ) ( ( ) ( ) y c y y ρ τ (Rys. 5)

26 Metoda różnc sończonych Uład D po przeształcenach względe teperatury w nowy rou czasowy: ( A B C D ) A B (5) C D gdze A B C y y y D y y y a τ ( ) y a τ a ( y ) c ρ MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 6

27 Metoda różnc sończonych Uład D Warune stablnośc rozwązana równana (5) est aby: A B C D Dla regularne sat różncowe ( A ) gdze est B C D ryteru wyznaczone równane (4) warune stablnośc wynos: 0.5 MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 7

28 Metoda różnc sończonych Uład trówyarowy (3D) Równane różncowe dla uładu 3D uzysać ożna poszerzaąc eleentarny blans ceplny w porównanu do uładu D o blans w erunu os z (rys. 6). Równane różncowe przyue wówczas postać z() z (Rys. 6) y() y MERO MEtalurgczny Renng On-lne () Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 8

29 9 Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH MERO MEtalurgczny Renng On-lne Metoda różnc sończonych Uład 3D Dla uładu 3D równane ożna zapsać: ( ) G E D C B A D C B A G E (6) y y y D A B y y y C gdze z z z G z z z E

30 Metoda różnc sończonych Uład 3D Warune stablnośc równana (6) est: A B C D E G Dla uładu ednorodnego (eleenty sześcenne z ta say współczynne przewodzena cepła) równane (6) przyue postać: ( 6) ( ) (7) gdze ryteru różncowe ourera zwązane z satą ednorodną. Warune stablnośc rozwązana powyższego równana est aby sę 3-rotne ostrzeszy warune nż w przypadu rozwązana D. / 6 czyl otrzyue MERO MEtalurgczny Renng On-lne Copyrght 005 W. Kapturewcz AGH 30