konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych), gdy dla dowolnych v, u V, a K spelnione sa naste puja ce warunki F (u + v) = F (u) + F (v), F (au) = af (u). Latwo udowodnić nastepuja cy fakt: Uwaga 6.2. Przeksztalcenie F : V W jest liniowe wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych wektorów v 1, v 2,... v n V oraz dowolnych a 1, a 2,... a n K, F (a 1 v 1 +... + a n v n ) = a 1 F (v 1 ) +... + a n F (v n ) Przyklady 1. F : K[x] K[x], w dw dx. 2. Niech B = (v 1,..., v n ) be dzie baza przestrzeni liniowej V nad cialem K. Definiujemy przeksztalcenie M B : V Mn(K), 1 M B (v) = x 1. x n v = x 1 v 1 +... + x n v n. Przeksztalcenie M B jest przeksztalceniem liniowym. Nazywamy je przeksztalceniem wspólrze dnych. 3. Niech X bedzie niepustym zbiorem, K cialem i x 0 X. Przeksztalcenie F : Map(X, K) K, f f(x 0 ) jest liniowe. 4. Niech V = V 1 V 2. Dla dowolnego wektora v V istnieja wtedy wyznaczone jednoznacznie wektory v 1 V 1, v 2 V 2, takie że v = v 1 + v 2. Przeksztalcenie P V1 : V V, v v 1 nazywamy rzutem na V 1 wdluz V 2. Symetria wzgledem V 1 wzdluż V 2 nazywamy takie przeksztalcenie S : V V, v v 1 v 2. Latwo pokazać, że oba te przeksztalcenia sa liniowe.
konspekt wykladu - 2009/10 2 Twierdzenie 6.3. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech B = (v 1,..., v n ) bedzie baza przestrzeni V oraz niech w 1,..., w n be dzie dowolnym ukladem wektorów w przestrzeni W. Istnieje dokladnie jedno przeksztalcenie liniowe F : V W, takie że F (v i ) = w i, dla i = 1,..., n. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Oznaczmy symbolem Hom(V, W ) zbiór wszystkich przeksztalceń liniowych z V w W. Przeksztalcenia liniowe z Hom(V, W ) mozemy dodawać i mnożyc przez elementy z ciala K. Dla F, G Hom(V, W ), a K (F + G)(v) := F (v) + G(v), (af )(v) := af (v). Zbiór Hom(V, W ) z tymi dzialaniami jest przestrzenia wektorowa nad cialem K. Wektorem zerowym w tej przestrzeni jest przeksztalcenie zerowe przyporzadkowuja ce dowolnemu wektorowi v z przestrzeni V wektor zerowy z przestrzeni W. Twierdzenie 6.4. Niech F : V W, G : W U be da przeksztalceniami liniowymi. 1. Przeksztalcenie G F : V U jest przeksztalceniem liniowym. 2. Jesli przeksztalcenie liniowe F jest odwracalne to F 1 : W V jet również przeksztalceniem liniowym. Definicja 6.5. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas 1. Ja drem przeksztalcenia F nazywamy zbiór kerf := {v V : F (v) = 0}. 2. Obrazem przeksztalcenia F nazywamy zbiór ImF := {F (v) : v V }. Przyklad 6.6. Niech V = V 1 V 2 oraz P V1 be dzie rzutem na V 1 wzdluz V 2. Wtedy KerP V1 = V 2 oraz ImP V1 = V 1. Ponadto P V1 V 1 = Id V1 oraz P V1 + P V2 = Id V. Uwaga 6.7. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas
konspekt wykladu - 2009/10 3 1. kerf jest podprzestrzenia liniowa V, 2. ImF jest podprzestrzenia liniowa W. Twierdzenie 6.8. Niech B = (v 1,..., v n ) be dzie baza przestrzeni V oraz niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas ImF = L(F (B)). Twierdzenie 6.9. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas dimv = dimkerf + dimimf. Definicja 6.10. Przeksztalcenie liniowe F : V W nazywamy monomorfizmem, jeśli F jest róznowartosciowe, epimorfizmem, jeśli F jest na, izomorfizmem, jesli F jest róznowartościowe i na. Twierdzenie 6.11. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Naste puja ce warunki sa równoważne: 1. F jest monomorfizmem, 2. kerf = {0}, 3. F przeprowadza dowolny liniowo niezależny uklad wektorów na uklad liniowo niezależny, 4. F przeprowadza dowolna baze na uklad liniowo niezależny, 5. F przeprowadza pewna baze na uklad liniowo niezależny. Wniosek 6.12. Niech F : V W be dzie przeksztalceniem liniowym. Naste puja ce warunki sa równoważne: 1. F jest izomorfizmem, 2. F przeprowadza każ baze przestrzeni V na baze przestrzeni W, 3. F przeprowadza pewna baze przestrzeni V na baze przestrzeni W.
konspekt wykladu - 2009/10 4 Niech F : V W bedzie izomorfizmem przestrzeni liniowych. Z powyższych wniosków wynika, że wtedy dimv = dimw. Ponadto, jeśli dimv = dimw = n to przestrzenie V oraz W sa izomorficzne. Oznacza to, że dwie przestrzenie wektorowe V, W sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy gdy dimv = dimw W szczególnosci wynika sta d, ze każda n wymiarowa przestrzeń wektorowa jest izomorficzna z przestrzenia K n. 7 Macierze przeksztalceń liniowych Definicja 7.1. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech F : V W be dzie przeksztalceniem liniowym. Ponadto niech uklad wektorów B = (v 1,..., v n ) bedzie baza przestrzeni V, a uklad C = (w 1,..., w m ) baza przestrzeni W. Macierza przeksztalcenia F w bazach B i C nazywamy macierz A = [a ij ] M n m(k) taka, że dla j = 1,..., n. c j (A) = M C (F (v j )), Macierz przeksztalcenia liniowego w bazach B oraz C oznaczamy MC B (F ). Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego j = 1,..., n F (v j ) = m a ij w i. i=1 Uwaga 7.2. Niech F : V W be dzie przeksztalceniem liniowym. DimImF = rz(m B C (F )). Twierdzenie 7.3. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Ponadto niech B bedzie baza przestrzeni V a uklad C = baza przestrzeni W. Przeksztalcenie M B C : Hom(V, W ) M n m(k), F M B C (F ), jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.
konspekt wykladu - 2009/10 5 Mnożenie macierzy Definicja 7.4. Iloczynem macierzy A = [a ij ] M k m(k) i macierzy B = [b ij ] M n k (K) nazywamy macierz C = [c ij] M n m(k), taka,że c ij = k a it b tj. t=1 Iloczyn macierzy A oraz B oznaczamy AB lub A B. Uwaga 7.5. Niech A Mm(K) k oraz B Mk n (K). Wtedy dla j = 1,..., n oraz dla i = 1,..., m c j (AB) = Ac j (B), r i (AB) = Ar i (B). Wniosek 7.6. Niech A Mm(K) k oraz B Mk n (K). Wtedy dla j = 1,..., n oraz dla i = 1,..., m: k c j (AB) = b tj c t (A) r i (AB) = t=1 k a it r t (B). Symbolem I n oznaczamy macierz kwadratowa n n taka że I n (i, j) = t=1 { 0 gdy i = j 1 gdy i = j. Macierz taka nazywamy macierza jednostkowa. Dla dowolnej macierzy A M n m(k) otrzymujemy I n A = A = AI m. Twierdzenie 7.7. Wlasności mnożenia macierzy Niech A, A, B, B, C be macierzami takimi, ze wszystkie mnożenia sa wykonalne oraz a K. Wtedy 1. (AB)C = A(BC), 2. (A + A )B = AB + A B oraz A(B + B ) = AB + AB,
konspekt wykladu - 2009/10 6 3. (aa)b = A(aB) = a(ab). Twierdzenie 7.8. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Ponadto niech B bedzie baza przestrzeni V a uklad C baza przestrzeni W. Macierz A = M B C (F ) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego wektora v V, M C (F (v)) = A M B (v). Niech B, B be bazami przestrzeni wektorowej V, a przeksztalcenie Id = Id V bedzie przeksztalceniem identycznosciowym przestrzeni V (tzn Id V (v) = v). Macierz M B B (Id) nazywamy macierza zmiany bazy z B do B. Macierz ta pozwala obliczyć wspólrze dne dowolnego wektora z V w bazie B, gdy znamy te wspólrzedne w bazie B. Prawdziwy jest naste puja cy wzór M B (v) = M B B (Id)M B(v). Twierdzenie 7.9. Jeśli V, U, W sa przestrzeniami liniowymi nad cialem K z bazami B, C, D odpowiednio a F : V W, G : W U sa przeksztalceniami liniowymi, to M B D(G F ) = M C D(G) M B C (F ). Twierdzenie 7.10. Jeśli F : V W jest przeksztalceniem liniowym a B i B sa bazami przestrzeni V oraz C i C sa bazami przestrzeni W, to M B C (F ) = M C C (Id)M B C (F )M B B (Id). 8 Macierze odwracalne Definicja 8.1. Macierz otrzymana w wyniku jednej operacji elementarnej na wierszach (lub kolumnach) macierzy I n nazywamy macierza elementarna. Operacje elemantarne na wierszach lub kolumnach dowolnej macierzy A moga być uzyskane przez mnożenie macierzy A przez macierze elementarne. Wynika to z nastepuja cego twierdzenia. Twierdzenie 8.2. Niech f bedzie operacja wierszowa, a g operacja kolumnowa. Ponadto niech A Mm(K) k i macierzy B Mk n (K). Wtedy f(ab) = f(a)b, g(ab) = Ag(B).
konspekt wykladu - 2009/10 7 Wniosek 8.3. Jeśli f jest operacja elementarna na wierszach macierzy A, a g operacja elementarna na kolumnach macierzy A, to f(a) = E 1 A, g(a) = AE 2, gdzie E 1 jest macierza elementarna równa f(i) oraz E 2 jest macierza elementarna równa g(i). Twierdzenie 8.4. Macierze A oraz A sa wierszowo równowazne wtedy i tylko wtedy gdy istnieja macierze elementarne E 1,..., E m, takie że A = E 1 E 2 E m A. Definicja 8.5. Macierz A M n n (K) nazywamy odwracalna, jeśli istnieje macierz B M n n (K), taka że AB = I n. Macierz B nazywamy wówczas macierza odwrotna do macierzy A i oznaczamy A 1. Pokazaliśmy, ze macierze (jeśli wybierzemy bazy) wyznaczaja jednoznacznie przeksztalcenia liniowe. Okazuje sie że macierze odwracalne odpowiadaja przy taki utozsamieniu izomorfizmom. Uwaga 8.6. Macierz A Mn n (K) jest macierza odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy przeksztalcenie liniowe F : K n K n takie, że MB B (F ) = A, gdzie B jest dowolna baza K n, jest izomorfizmem. Wniosek 8.7. Niech A Mn n (K). Jeśli istnieje B Mn n (K), takie że AB = I to zachodzi też BA = I. Ponadto taka macierz B jest wyznaczona jednoznacznie. Przyklady macierzy odwracalnych 1. Macierz jednostkowa I i macierze elementarne sa odwracalne.ponadto I 1 = I oraz jeśli E jest macierza elementarna to macierz E 1 odwrotna do niej jest tez macierza elementarna. 2. Macierze zamiany wpólrzednych sa odwracalne. Ponadto (M B B (Id)) 1 = M B B (Id). 3. Jeśli A, B sa macierzami odwracalnymi to AB jest macierza odwracalna i (AB) 1 = B 1 A 1.
konspekt wykladu - 2009/10 8 Lemat 8.8. Wierszowo zredukowana macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy A = I. Twierdzenie 8.9. Niech A M n n (K). Nastepuja ce warunki sa równoważne: Macierz A jest odwracalna, Macierz A jest wierszowo równowazna z macierza jednostkowa, Macierz A jest iloczynem macierzy elementarnych, Rza d macierzy A jest równy n Poniższe twierdzenie opisuje algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. Twierdzenie 8.10. Niech A M n n (K). Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy macierz A I jest wierszowo równoważna z macierza I B. Ponadto jeśli ten warunek jest spelniony to A 1 = B. 9 Wyznaczniki macierzy Niech A M n n (K). Symbolem A ij bedziemy oznaczali macierz powstala z macierzy A przez usunie cie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Dla kazdej macierzy A M n n (K) przyporzadkujemy element ciala K zwany wyznacznikiem macierzy. Definicja 9.1. Wyznacznikiem nazywamy funkcje, która przyporza dkowuje każdej macierzy kwadratowej o wyrazach z ciala K pewien element tego ciala, oznaczany deta, tak że 1. Jeśli A = [a] M 1 1 (K), to deta = a, 2. Jeśli A = [a ij ] M n n (K), gdzie n > 1, to deta = n j=1 ( 1)1+j a 1j deta 1j. Twierdzenie 9.2. (Wlasności wyznaczników) Niech A, B, C M n n (K). 1. Jesli c j (C) = c j (A) + c j (B) dla 0 j n oraz c i (A) = c i (B) = c i (C) dla i = j, to detc = deta + detb. 2. Jeśli macierz B powstala z A przez zamiane miejscami dwóch kolumn to detb = deta.
konspekt wykladu - 2009/10 9 3. Jeśli macierz B powstala z macierzy A przez pomnożenie jednej (dowolnej) kolumny przez element c K to detb = cdeta. W powyższym twierdzeniu możemy kolumny zasta pić wierszami. Wynika to natychmiast z jeszcze jednej wlasności wyznaczników. Aby ja sformulować wprowadźmy nowe oznaczenie. Dla dowolnej macierzy A Mm(K) n symbolem A T oznaczamy macierz należaca do Mn m (K) taka, ze r i (A T ) = c i (A) dla i = 1,..., n. Inaczej mówiac wiersze macierzy A T to kolumny macierzy A i odwrotnie. Oczywiste jest, że (A T ) T = A. Twierdzenie 9.3. Niech A M n n (K). Wówczas deta T = deta. Twierdzenie 9.4. Niech A Mn n (K). Wówczas dla każdego 1 i n, 1 j n n n deta = ( 1) i+j a ij deta ij = ( 1) i+j a ij deta ij. i=1 Wzory z powyższego twierdzenia nazywamy rozwinie ciem Laplace a, pierwszy wzgle dem j-tej kolumny, drugi wzgledem i-tego wiersza. Wniosek 9.5. Niech A M n n (K) 1. Jeśli w macierzy A wiersz (lub kolumna) jest zerowy to deta = 0. 2. Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa równe to deta = 0. Zbadamy teraz jak zmienia sie wyznacznik macierzy A gdy wykonujemy operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy. Przypomnijmy, ze mamy elementarne operacje trzech typów: typu 1: dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego (innej) pomnożonego przez stala. j=1 typu2: zamiana kolejności wierszy (kolumn) typu 3 : pomnożenie wiersza (kolumny) przez niezerowy element ciala K. Wniosek 9.6. Niech A M n n (K) 1. Operacje elementarne typu 1 nie zmieniaja wyznacznika macierzy A.
konspekt wykladu - 2009/10 10 2. Operacje elementarne typu 2 zmieniaja znak wyznacznika A. item Operacje elementarne typu 3 mnoża wyznacznik macierzy A przez element ciala K. Twierdzenie 9.7. (Twierdzenie Cauchy ego) Niech A, B M n n (K). Wówczas detab = detadetb. Twierdzenie 9.8. Niech A = [a ij ] M n n (K). 1. Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy deta = 0. 2. Niech A be dzie macierza odwracalna i ponadto niech B = [b ij ] M n n (K) oraz b ij = ( 1) j+i deta ji deta. Wówczas B = A 1. Twierdzenie 9.9. (Twierdzenie Cramera) Niech U be dzie ukladem n- równań z n-niewiadomymi o macierzy wspólczynników A i kolumnie wyrazów wolnych B. Zalóżmy, że deta = 0. Wówczas uklad ma dokladnie jedno rozwia zanie (x 1,..., x n ) takie że dla dowolnego i, x i = deta i deta, gdzie macierz A i powstala z macierzy A przez zasta pienie i-tej kolumny kolumna B.