Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys.. wyznaczyć siły wewnętrzne od podanego obciążenia. kn 2 kn 5 6 7 8 9 2 5 6 7 8 Rys... Zadana kratownica statycznie niewyznaczalna Dane geometryczne i fizyczne są takie same dla odpowiednich grup prętów. Po przyjęciu sztywności porównawczej sztywności poszczególnych prętów są następujące: dla pasa górnego G G = dla pasa dolnego D D = dla słupków S = dla krzyżulców S = ąt pochylenia krzyżulca wynosi 5 o, wobec tego: α sin = 2 = 2 2 cos = 2 = 2 2 ratownica jest dwa razy statycznie niewyznaczalna (SSN = 2), raz wewnętrznie i raz zewnętrznie. W celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys..2:
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 kn kn X X A B C X 2 Rys..2. Układ podstawowy który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. znacza to, że wzajemne zbliżenie przekroi w rozciętym pręcie, oraz przemieszczenie pionowe węzła C muszą być równe zero. = v c = (.) Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe sił Xi i obciążenie zewnętrzne. Równania kanoniczne przyjmują postać: = X X 2 2 P = v c = X 2 X 2 2 2 2 P = (.2) Przemieszczenia w kratownicy obliczamy ze wzoru uwzględniającego tylko siły normalne: n i N ik = k j N j l j= j (.) j gdzie: i N j k N j n - siła w pręcie j- tym w stanie Xi =, - siła w pręcie j- tym w stanie X k =, - liczba prętów w kratownicy. olejnym etapem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy od sił jednostkowych przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X i X 2, oraz od obciążenia zewnętrznego.
Część. METDA SIŁ - RATWNICA Stan od obciążenia X = X = X = Rys... Stan obciążenia X = bliczenie reakcji: X = X = Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..: N [ - ] 2 2 2 2 Rys... Rozwiązanie kratownicy w stanie X = Należy zwrócić uwagę na fakt, że w pręcie 8 tylko w stanie X = występuje siła normalna (N 8 () =).
Część. METDA SIŁ - RATWNICA Stan od obciążenia X2 = X 2 = Rys..5. Stan obciążenia X 2= bliczenie reakcji: 2 X 2 = Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..6: N 2 [ - ] 2 2 2 2 2 2 2 2 Rys..6. Rozwiązanie kratownicy w stanie X 2=
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 5 Stan od obciążenia P kn kn Rys..7. Stan obciążenia P bliczenie reakcji: kn kn kn 5 kn 5 kn Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..8: N P [kn] 5 5 2 5 5 2 5 5 5 5 Rys..8. Rozwiązanie kratownicy od stanu obciążenia zewnętrznego
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 6 W tabeli. zestawiono siły w prętach dla poszczególnych stanów obciążeń oraz iloczyny odpowiednich wielkości. Wielkości zsumowane w odpowiednich kolumnach dają wartości przemieszczeń zgodnie ze wzorem (.), (pomnożone przez sztywność porównawczą ): pręt l N P [kn ] N [kn ] Tabela.. Zestawienie wyników obliczeń N 2 [kn ] N N l N 2 N 2 l N N 2 l N N P l N 2 N P,,,,,,,,, 2, -5, -,7 -,,5, 2,2 7,25 5,, -,, -,,,,, 9,, -,,,,,,,, 5 2,,,,,,,,, 6 2,8-9,5, -,, 5,66,, 97,99 7 2, -5, -,7,, 2, -, 7,7 -, 8 2,8,,, 2,8,,,, 9 2,8 7,7, -, 2,8 5,66 -, 2, -28,28 2, -5, -,7 2,, 8, -2,8 7,7-2, 2,8,, -,, 5,66,,, 2 2,,,,, 2,,,, 2,8,, -,, 5,66,,, 2,,,,,,,,, 5, 5,,,,,,, 5, 6,, -,7 2,,5 2, -,2,, 7,,, 2,, 2,,,, 8,,,,,,,,, Suma:,66 7,6 -,6 8,9 9,7 l =,66 ; 2 =,6 ; 22 =7,6 ; P =8,9 ; 2 P =9,7 bliczone wartości przemieszczeń podstawiamy do układu równań kanonicznych: {X,66 X 2,6 8,9 = X,6 X 2 7,6 9,7 = Mnożymy przez sztywność
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 7 { X,66 X,6 8,9= 2 X,6 X 2 7,6 9,7= i obliczamy wartości niewiadomych sił: { X = 7,87 [kn ] X 2 = 7,566 [kn ] Po otrzymaniu wartości niewiadomych dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli obliczamy rzeczywiste siły wewnętrzne obciążając układ podstawowy siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi X i X2. kn kn 7,8 kn 7,8 kn A B C 7,52 kn Rys..9. Układ podstawowy obciążony zewnętrznie oraz przez siły X i X 2 Ponieważ obliczenie sił normalnych wymaga ponownego rozwiązania układu, wygodniej jest skorzystać z zasady superpozycji: N n j =N j P X N j j X 2 N 2 (.) gdzie: Nj (n) siła w j- tym pręcie w układzie statycznie niewyznaczalnym (j) N P siła w j- tym pręcie od obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym N (j) siła w j- tym pręcie w stanie X = (j) N 2 siła w j- tym pręcie w stanie X 2 = Dla ułatwienia obliczeń posłużymy się tabelą.2:
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 8 Tabela.2. Zestawienie obliczeń do wyznaczenia n N j l N P [kn ] N [ ] N 2 [ ],,,, 2, -5, -,7 -,, -,, -,, -,,, 5 2,,,, 6 2,8-9,5, -, 7 2, -5, -,7, 8 2,8,,, 9 2,8 7,7, -, 2, -5, -,7 2, 2,8,, -, 2 2,,,, 2,8,, -, 2,,,, 5, 5,,, 6,, -,7 2, 7,,, 2, 8,,,, X [kn ] X 2 [kn ] -7,8-7,52 N n [kn ], -5,2-22,8 -,, -8,87 -,6-7,8,22-7,67,6-7,52,6, -2,52-2,67-5, -7,52 Posługując się wartościami zawartymi w tabeli.2 możemy określić rozkład sił w prętach zadanej kratownicy statycznie niewyznaczalnej (rys..). N (n) [kn], 5,2 22,8, 7,8 8,87,6 7,67,6 7,52,6,22, 2,52 2,67 5, 7,52 27,8 2,, 7,52 Rys... Rozkład sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 9 Sprawdzenie kinematyczne: W celu wykonania sprawdzenia kinematycznego skorzystamy ze wzoru redukcyjnego: = j N n j j N k l j (.5) j gdzie: N k j - siła w j- tym pręcie w układzie statycznie wyznaczalnym od obciążenia wirtualnego. Musimy obliczyć znane przemieszczenie korzystając z innego układu podstawowego (rys..). Liczymy przemieszczenie pionowe w węźle nr (przykładamy wirtualną siłę pionową). W rzeczywistości jest tam podpora, tak więc przemieszczenie pionowe jest równe zero. Rys... Inny układ podstawowy Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..2: N k [ - ],5,5,5 2,5,5 2,5 2,5 2,5,5 B,5,5,5 Rys..2. Rozkład sił w prętach kratownicy od siły wirtualnej w nowym układzie podstawowym W tabeli. zestawiono wyniki kontroli kinematycznej sił z rys..2 oraz dla sił wyznaczonych w stanach X = i X 2 =.
Część. METDA SIŁ - RATWNICA Tabela.. Wyniki kontroli kinematycznej l N P [kn ] N [ ] N 2 [ ],,,, 2, -5, -,7 -,, -,, -,, -,,, 5 2,,,, 6 2,8-9,5, -, 7 2, -5, -,7, 8 2,8,,, 9 2,8 7,7, -, 2, -5, -,7 2, 2,8,, -, 2 2,,,, 2,8,, -, 2,,,, 5, 5,,, 6,, -,7 2, 7,,, 2, 8,,,, N n [kn ] N k N n N k l N n N N k =N l N n N N k =N 2 2,,,,,,, -5,2 -,5 22,68 -,7 2,8 -, 5,7-22,8 -,5,7,, -, 67,5 -,,,,,,,,,,,,,, -8,87 -,7 77,7,, -, 55,7 -,6,5 -,6 -,7,22, -, -7,8,,, -9,,,,22 -,7 -,,,62 -, -,88-7,67, -5, -,7,85 2, -,69,6 -,7-2,26,, -, -2,52-7,52,5-7,52,,, -5,,6 -,7-2,26,, -, -2,52,,,,,,, -2,52,5 -,77,,, -7,55-2,67, -8,2 -,7 5,67 2, -6, -5,, -5,,, 2, -9,2-7,52,5 -,27,,, -22,55 Suma: -,2,, l Dodatkowo obliczyć możemy jeszcze błędy, dzieląc wyniki przez sumy wartości bezwzględnych z poszczególnych kolumn. V =,2 =, 2 =, N n j N j k l=77,7 N n j N j l=9, N n j N j 2 l =55,7,2 %=, % 77,7, %=,2 % 9,, %=,2 % 55,7 Warto dodać tutaj, iż błędy wyliczone powyżej mieszczą się w dopuszczalnej granicy %, zadanie możemy więc uznać za rozwiązane prawidłowo.
Część. METDA SIŁ - RATWNICA Zadanie 2 Wyznaczyć linie wpływu sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej wykorzystując metodę ciężarów sprężystych. Dana jest kratownica: x P= G G 2 G G G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 n D D 2 D D D 5 D 6 D 7 Rys... Zadana kratownica statycznie niewyznaczalna Zależności między sztywnościami dla poszczególnych grup prętów są następujące: dla pasa górnego G dla pasa dolnego D dla słupków S dla krzyżulców 5 Celem zadania jest wyznaczenie linii wpływu siły w pręcie D od poruszającej się po pasie górnym siły jedynkowej. Zgodnie z zasadą superpozycji zapisujemy równanie linii wpływu w układzie statycznie niewyznaczalnym: lw D n X =lw D D = X lw X D = 2 lw X 2 (.6) Dobrano układ podstawowy:
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 x P= G G 2 G G G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 X X D D 2 D D D 5 D 6 D 7 X 2 Rys... Układ podstawowy który uzupełniamy układem równań kanonicznych: { X 2 X 2 P = 2 X 22 X 2 2 P = (.7) W celu obliczenia współczynników korzystamy z zależności: ik = m S i m S k m m l m (.8) gdzie: l m to długość pręta, Sim to siła w stanie Xi= w pręcie m, S Pm ip = m to siła w pręcie m od obciążenia zewnętrznego. S i m S Pm m l m (.9) Stan S (obciążenie X =) -.8 -.6 -.6 -.8 Rys..5. Stan obciążenia X =
Część. METDA SIŁ - RATWNICA Stan S2 (obciążenie X2=),67,,67 -,5 -,5,5,5.8.8 -.8 -,67 -, -,67 -.8 X 2 =,5,5 Rys..6. Stan obciążenia X 2= Do obliczenia przemieszczeń posłużono się tabelą: l Tabela.. Siły w prętach w stanach jednostkowych S S 2 S S l S S 2 l S 2 S 2 l D,,,,,, D 2,,,,,, D,, -,6(6),,,() D, -,8 -,(),92,2 5,() D 5,, -,6(6),,,() D 6,,,,,, D 7,,,,,, S,,,,,, S 2,,,,,, S,,,,,, S, -,6 -,5,8,9,75 S 5, -,6 -,5,8,9,75 S 6,,,5,,,75 S 7,,,5,,,75 S 8,,,,,,,,,,,, 2,,,,,,,,,8(),, 2,8(),,,8(), 2,5 2,8()
Część. METDA SIŁ - RATWNICA l S S 2 S S l S S 2 l S 2 S 2 l 5,, -,8(),, 2,8() 6,, -,8(),, 2,8() 7,,,,,, G,,,,,, G 2,,,,,, G,,,,,, G, -,8,6(6),92 -,6,() G 5,,,(),, 5,() G 6,,,6(6),,,() G 7,,,,,, n,,,,,, Suma: 2, 5,9 27,() Wyznaczone sumy oznaczają przemieszczenia: = m 2 = m 22 = m S S m l m =2 S S 2 m l m =5,9 S 2 S 2 m l m =27, [ ] m [ ] m [ ] m bciążeniem jest poruszająca się siła P=, zatem ΔP i Δ2P są wielkościami zmiennymi zależnymi od x. Zgodnie z twierdzeniem Maxwella (Δ ip = Δ Pi) możemy wyznaczyć Δ P i Δ P2, czyli linie ugięć pasa górnego kratownicy wywołane działaniem odpowiednio sił X i X 2. Do ich wyznaczenia zastosujemy metodę ciężarów sprężystych. Musimy wyznaczyć dwie grupy ciężarów sprężystych (siły w j () i w j (2) ) i obciążyć nimi belkę zastępczą. Wyznaczone od tych sił dwa wykresy momentów będą odpowiednio liniami ugięć Δ P i Δ P2. Wartości sił wyliczymy ze wzoru: i S w j = i m S j m l m m (.) m gdzie: i w j to ciężar sprężysty obliczony dla węzła j, dla obciążenia Xi =,
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 5 S j m to siła w pręcie m wywołana obciążeniem wirtualnym przyłożonym do węzłów j-, j i j+ w układzie podstawowym, S i m to siła w pręcie m w stanie Xi =. w (i) w 2 (i) w (i) w (i) w 5 (i) w 6 (i) 2 5 6 7 Rys..7. Belka zastępcza obciążona ciężarami sprężystymi Najpierw musimy wyznaczyć siły S jm przykładając obciążenie wirtualne do kolejnych węzłów. Siły S m otrzymamy przykładając obciążenie do węzłów, i 2 (m to numer pręta kratownicy):,25,5,25 -,,25 -,25 -.2.2, Dalej wyznaczamy siły S 2 m dla węzła j = 2:,25,5,25 -,,25 -,25 -.2.2,
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 6 Dla j = siły S m :,25,5,25 -,,25 -,25 -.2.2, Dla j = siły S m :,25,5,25 -,,25 -.2 -,25.2, Dla j = 5 siły S 5 m :,25,5,25 -,,25 -.2 -,25.2, Dla j = 6 siły S 6 m :
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 7,25,5,25 -,,25 -.2 -,25.2, Wszystkie wartości sił przedstawiono w tabeli uwzględniając ściskanie i rozciąganie prętów: Tabela.5. Siły w prętach od obciążeń wirtualnych S S 2 S S S 5 S 6 D,(),,,,, D 2,,(),,,, D,,,(),,, D,,,,(),, D 5,,,,,(), D 6,,,,,,() D 7,,,,,, S,25,,,,, S 2 -,25,25,,,, S, -,25,25,,, S,, -,25,25,, S 5,,, -,25,25, S 6,,,, -,25,25 S 7,,,,, -,25 S 8,,,,,, -,(6),,,,, 2,(6) -,(6),,,,,,(6) -,(6),,,,,,(6) -,(6),, 5,,,,(6) -,(6), 6,,,,,(6) -,(6) 7,,,,,,(6) G,,,,,, G 2 -,(),,,,,
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 8 S S 2 S S S 5 S 6 G, -,(),,,, G,, -,(),,, G 5,,, -,(),, G 6,,,, -,(), G 7,,,,, -,() n,,,,,, Wartości ciężarów sprężystych otrzymamy sumując odpowiednie iloczyny sił: i w j = m S i m S j m l m m Porównując rozkład sił w stanie X = i X2 = oraz przy obciążeniach wirtualnych zauważymy, że w niektórych przypadkach siły nie pokrywają się w żadnym pręcie. W tabeli.6 zestawiono tylko niezerowe iloczyny. Tabela.6. Iloczyny od obciążeń jednostkowych i wirtualnych S S l S S l S S 5 l S 2 S 2 l S 2 S l S 2 S l S 2 S 5 l S 2 S 6 l D,,,,,,,, D 2,,,,,,,, D,,,, -,6(6),,, D, -,8,,, -,(),, D 5,,,,,, -,6(6), D 6,,,,,,,, D 7,,,,,,,, S,,,,,,,, S 2,,,,,,,, S,,,,,,,, S,5 -,5,,,75 -,75,, S 5,,5 -,5,,,75 -,75, S 6,,,,,, -,75,75 S 7,,,,,,, -,75 S 8,,,,,,,,,,,,,,,, 2,,,,,,,,,,,,(6) -,(6),,,,25 -,25,,,(6) -,(6),, 5,,,,,,(6) -,(6),
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 9 S S l S S l S S 5 l S 2 S 2 l S 2 S l S 2 S l S 2 S 5 l S 2 S 6 l 6,,,,,,,(6) -,(6) 7,,,,,,,, G,,,,,,,, G 2,,,,,,,, G,,,,,,,, G,8,,, -,6(6),,, G 5,,,,, -,(),, G 6,,,,,, -,6(6), G 7,,,,,,,, n,,,,,,,, Suma: 2,5-2,5 -,5,(6) -,958() -,75-2,8(),(6) dpowiednie sumy z tabel. i.6 prowadzą do wartości: = 2 2 = 5. 22 = 27, dla obciążenia X = dla obciążenia X 2 = w = w 2 = w = 2,5 w = 2,5 w 5 =,5 w 6 = w = w 2 =, 6,958 w = w =,75 2,8 w 5 = w 6 =, 6
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w j () pokrywa się z linią ugięcia P 5,9 2,5 2,5,5 2,95,77,77 Rys..8. Belka zastępcza obciążona ciężarami sprężystymi w j () 5,9 M, 2,95 2,95 2,95 Rys..9. Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w j () Ponieważ siła porusza się po pasie górnym kraty należy w wykresie momentów uwzględnić w punkcie 7 wartość momentu wtórnego odpowiadającą rzeczywistemu skróceniu słupka S' 7 przy obciążeniu kratownicy X 2 =. M 7 =,5 =,5 trzymaliśmy wartość ujemną ponieważ słupek jest rozciągany oznacza to, że oś pasa górnego uniesie się w tym miejscu o wartość,5/. W stanie X = w słupku podporowym siła była równa zero co oznaczało, że pas górny nad podporą nie przemieszczał się.
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 2,,2,958,75 2,8,2,667 2,667 25,8 M 7 =,5, M 2,8 7,8,5,67 2, Rys..2. Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w j (2) Aby znaleźć linie wpływu X i X2 trzeba rozwiązać układ równań kanonicznych można to zrobić wyznaczając macierz odwrotną do macierzy podatności: A=[ 2 2 22] [ = 2 5,9 5,9 27, ] [ A][ X ]=[ P] [ X ]=[ A] [ P] (.) ażdy wyraz macierzy odwrotnej policzymy ze wzoru: A ij = det A i j A ij (.) Czyli odwrotność wyznacznika macierzy pomnożona przez - do potęgi (i+j) i pomnożona przez wyraz, który pozostał po skróceniu i-tego wiersza i j-tej kolumny: det [A]= 29,9 A = 29,9 27, =,9227725 A 2 = 29,9 2 5,9=,2269 A 22 = 29,9 2 2 2=,9299
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 22 trzymujemy macierz odwrotną, A =[,9227725,2269,2269,9299 ] która pomnożona przez macierz początkową musi dać macierz jedynkową: [ A],9227725,2269 [ A]=[,2269,9299 ] [ 2 5,9 5,9 27, ] [ = ] Biorąc pod uwagę fakt, że [ P]=col { P ; 2 P } wartości nadliczbowych wyliczamy z zależności: X =,9227725 P,2269 2 P X 2 =,2269 P,9299 2 P Wyrazy wolne ip a co za tym idzie siły nadliczbowe X i są funkcjami współrzędnej położenia siły P = (są inne dla każdego x). znacza to, że wyznaczyliśmy linie wpływu sił nadliczbowych (X i (x) = lw X i). Aby stworzyć linię wpływu dowolnej wielkości w układzie statycznie niewyznaczalnym (np. lw D ) korzystamy z zasady superpozycji: x lw D =lw D D = X lw X D = 2 lw X 2 Najpierw wyznaczymy wielkości w układzie statycznie wyznaczalnym (podstawowym). Przy obciążeniu kratownicy siłą X = otrzymaliśmy D = -,8, a przy obciążeniu siłą X 2 = było D = -,. Wobec tego: D X = =,8 D X 2 = =, Dalej wyznaczamy linie wpływu w układzie podstawowym. x P= α G G 2 G G M G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 D D 2 D D D 5 D 6 D 7 V A = 2 - x 6 α V B = x 6-2
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 lw V A 6 5 2 - lw V B - 2-2 5 lw D - -2 2 2-2 Rys..2. Linie wpływu w układzie podstawowym Po wykonaniu przekroju α-α równoważymy jedną z odciętych części zgodnie z metodą Rittera. Gdy siła P= jest w przedziałach: x,2 M M P = D = 8 V B x 6,28 M M L = D = 8 V A Na koniec w każdym węźle kratownicy policzono wartości nadliczbowych oraz siły w pręcie D (tab..7) Tabela.7. Linie wpływu sił x P 2 P lwx lwx 2 lwd lwd -5,9 2,,97928 -,99882 -, -,7929722-2,95,667,89679 -,9592 -,667 -,97866 8,,,,,, 2 2,95 -,8 -,575888,666798,667,2688 6 -, -25,8 -,7627,978286,,667 2-2,9-7,8 -,88779,675788,667 -,65655
Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 x P 2 P lwx lwx 2 lwd lwd 2, -,5 -,852,696, -,57775 28 2,95,6 -,69 -,7588 -,667 -,672786 oraz przedstawiono graficznie rezultaty obliczeń. Warto zwrócić uwagę na kształt funkcji P i 2 P, które przedstawiają postać odkształconą (linię ugięcia) pasa górnego kratownicy przy działaniu odpowiednio siły X = i X 2 =. x P= G G 2 G G G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 n D D 2 D D D 5 D 6 D 7-5,9 -, -2,95-2,95 Δ P = Δ P Δ 2P = Δ P2 -,8 2,95-25,8 2,95-7,8,5 lw X (n) 2,,67 -,57,6 -,8 -,8 -, -,6,979,9 lw X 2 (n) lw D (n) -,998 -,79 -,95 -,97,666,975,27, -,76,6,67 -,6 -,58 -,7