Liczby Stirlinga II rodzaju - definicja i własności

Podobne dokumenty
Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Podstawowe techniki zliczania obiektów kombinatorycznych. Szufladkowa zasada Dirichleta, Zasada włączeń i wyłączeń.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

IV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Krótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński

Twierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.

Zajęcia nr. 2 notatki

1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego

Równania rekurencyjne

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

I. Podzielność liczb całkowitych

INDUKCJA MATEMATYCZNA

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Kombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych

Rozkład normalny (Gaussa)

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

Wyższe momenty zmiennej losowej

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

Podprzestrzenie macierzowe

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Geometrycznie o liczbach

Podprzestrzenie macierzowe

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. Sprawdzian nr 4: (poniedziałek), godz. 10:15-10:35 (materiał zad.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

KOMBINATORYKA ZADANIA

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:

Podstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI

Statystyka opisowa - dodatek

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

P k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a)

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

Matematyka dyskretna Kombinatoryka

Wiadowmości wstępne z rachunku prawdopodobieństwa

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Sformułowanie zagadnienia aproksymacji w sensie najmniejszych kwadratów

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

i statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

Ekonomia matematyczna - 2.1

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Transkrypt:

Liczby Stirliga II rodzaju - defiicja i własości Liczby Stirliga II rodzaju ozaczae sybole S(, ) lub { oża defiiować jao współczyii w rozwiięciu gdzie { x x, 0 (1) 0 x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały oe wprowadzoe (raze z liczbai Stirliga I rodzaju) przez Jaesa Stirliga w dziele Methodus Differetialis wyday w Lodyie w rou 1730. Defiicja i iterpretacje obiatorycze Defiicja 1. { jest rówe liczbie - bloowych partycji zbioru - eleetowego. (Przypoijy, że partycją zbioru azyway rodzię jego iepustych, parai rozłączych podzbiorów, tóre w suie dają cały zbiór) Na przyład { 4 2 7 poieważ zbiór {1, 2, 3, 4 ożey podzielić a dwa bloi astępująco: { { { { {1, {2, 3, 4, {2, {1, 3, 4, {3, {1, 2, 4, {4, {1, 2, 3, { {1, 2, {3, 4, { {1, 3, {2, 4, { {1, 4, {2, 3. UWAGA: Ileroć poiżej będzie owa o przypisywaiu ludzi do stoliów lub do pooi, to przyjujey, że: osoby są rozróżiale; pooje są rozróżiale, p. pouerowae; 1

stolii są ierozróżiale (idetycze). Obserwacja 1. Liczba rozieszczeń różych przediotów (p. ule, ażda iego oloru) do idetyczych pudełe, gdy zajętych jest doładie pudełe rówa się {, (, ). Podobie : osób ożey rozsadzić przy doładie stoliach a { sposobów, jeśli przy stoliu oże siedzieć ieograiczoa liczba osób i sposób ich usadzeia przy day stoliu ie a zaczeia. Wyjaśieie: przeprowadź astępujące przyporządowaie: - eleety zbioru przedioty (osoby); - bloi podziału pudeła (stolii); sorzystaj z zasady bijecji i Defiicji 1. Obserwacja 2. Liczba sposobów uloowaia osób w poojach, gdy w ażdy z pooi jest co ajiej jeda osoba jest rówa! { (dzieliy osoby a grup, a astępie grupy przyporządowujey w sposób 1-1 do pooi) rówa Liczba sposobow uloowaia osób w doładie spośród pooi jest ( ) { {!. (3) Łatwo policzyć, że liczba wszystich rozieszczeń osób w poojach jest rówa. Z drugiej stroy ożey policzyć te rozieszczeia suując prawą stroę (3) po 0, 1, 2,...,. Otrzyujey więc: {, (4) 0 czyli rówaie (1) dla N. Obie jego stroy to wieloiay stopia rówe dla wszystich liczb N, a zate taże dla x R. Z powyższego rozuowaia wyia, że rówaie (1) i Defiicja 1 są sobie rówoważe. 2

Obserwacja 3. Liczba słów długości złożoych z doładie różych liter wybraych z - zaowego alfabetu rówa się {. Wyjaśieie: przeprowadź astepujące przyporządowaie: - ludzie litery w słowie; - pooje zai alfabetu; sorzystaj z zasady bijecji i rówaia (3). Obserwacja 4. Niech A, B będą zbiorai sończoyi taii, że A, B, ( ). Liczba suriecji f : A B rówa się! {. Wyjaśieie: przeprowadź astępujące przyporządowaie: - ludzie eleety zbioru A; - pooje eleety zbioru B; sorzystaj z zasady bijecji i Obserwacji 2. Obserwacja 5. Liczba będąca iloczye różych liczb pierwszych oże być przedstawioa w postaci iloczyu różych czyiów (ieoieczie będących liczbai pierwszyi) a { sposobów. Wyjaśieie:????? Obserwacja 6. W ryptografii i ryptoaalizie lasyfiuje się słowa wg ich tzw. ciągów odelowych. Polega to a ty, że litery słowa czytae od lewej do prawej są odowae liczbai 1, 2, 3,..., p.: słowo KOMBINA- TORYKA będzie odowae ciągie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 1, 7, a słowo MATEMATYKA ciągie 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 6, 2. Liczba ciągów odelowych odpowiadających słowo -literowy (czyli długości ) sładający się z różych liter jest rówa {. Wsazówa do wyjaśieia: powtarzające się litery właday do pudeła z liczbą. Niech strofa (zwrota) wiersza słada się z wersów. Możey podzielić zbiór jej wersów a lasy w te sposób, że w jedej lasie są wszystie wersy, tóre ryują się ze sobą. Liczba taich -wersowych strof, w tórych ay 3

różych ryowań się wersów jest rówa {. Wyjaśieie:????? Obserwacja 7. Rozważy perutacje liczb. Każda perutacja oże być przedstawioa w postaci iloczyu rozłączych cyli. Weźy tylo te perutacje, tórych cyle (a oretie eleety tych cyli) są uporządowae w pewie orety sposób, p. w porządu rosący. Perutacji liczb spełiających tę własość i rozładających się a cyli jest {. Wyjaśieie:????? Reurecja Rozważy usadzeia (+1) osób doooła stoliów (ta, by przy ażdy ze stoliów siedziała co ajiej jeda osoba). Wyróżijy jedą osobę, p. ostatią. Może oa siedzieć przy stoliu saa. Wtedy pozostałe osób będzie siedzieć przy ( 1) stoliach (wszystie zajęte) a { 1 sposobów. Alteratywa ożliwość polega a ty, że wyróżioa osoba dosiada się do toregoś z stoliów zajetych już przez pozostałe osób a { sposobów. Stosując zasady: ożeia i dodawaia, ay, że { + 1 { { + 1 Powyższe rówaie reurecyje, wraz z waruai brzegowyi: { 1, { δ,0, 0 { 0 δ 0,, staowi defiicję ciągu liczb Stirliga II rodzaju i uożliwia wypisaie tablicy ich wartości. (5) Ćwiczeie: Korzystając ze wzoru (5) sporządź tablicę wartości liczb Stirliga II rodzaju dla, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 4

Wzory Obserwacja 8. Usadzay osób przy stoliach ta, by przy ażdy ze stoliów siedziała co ajiej jeda osoba. Możey to zrobić a { sposobów. Postępujey w astepujący sposób: (1) ustawiay wszystie osoby w przypadowej olejości; (2) pierwsze r 1 osób siada przy pierwszy stoliu, oleje r 2 osoby - przy drugi, itd. do oetu aż ostatie r osób siądzie przy -ty stoliu. Wszystich ustawień osób jest!. Nie liczy się olejość osób siedzących przy ty say stoliu (dzieliy więc! przez r 1!r 2!...r!) oraz ie liczy sie olejość (uporządowaie, uerowaie) stoliów, gdyż założyliśy a początu, że stolii są idetycze (dziely więc jeszcze przez!). Liczby osób przy poszczególych stoliach, czyli ciąg r 1, r 2,..., r, wybieray w dowoly sposób byleby były spełioe warui: stąd ay, że r 1 + r 2 +... + r, r i 1, i 1, 2,...,, { r 1 +r 2 +...+r, r i 1! r 1!r 2!...r!! Obserwacja 9. Załóży, że przy usadzeiach opisaych wyżej przy a stoliach siedzi po jedej osobie, przy b stoliach- po dwie, przy c stoliach - po trzy, itd. W rówaiu (6) sładiów odpowiadajacych taiej sytuacji jest!/(a!b!c!...).wstawiając do (6) ay: {! (1!) a (2!) b (3!) c...!! a!b!c!..., gzie suowaie przebiega po wszystich całowitych liczbach a, b, c,... 0 taich, że a + b + c +..., a + 2b + 3c +.... 5 (6)

Otrzyujey więc astępujący wzór: { a+b+c+..., a, b, c,... 0 a+2b+3c+...! (1!) a (2!) b (3!) c...a!b!c!.... (7) Obserwacja 10. Rozważy iy iż wyżej algoryt rozsadzeia osób doooła stoliów (ażdy stoli a być zajęty). Ustawy wszystie osoby w pewy oreśloy porządu, p. w porządu alfabetyczy. Pierwszą osobę sadzay przy pierwszy z brzegu, woly stoliu. Koleje a 1 osób (0 a 1 ) usadzay przy ty say stoliu (a 1 a 1 sposobów). Osobę (a 1 + 2)-gą sadzay przy pierwszy z brzegu, woly stoliu. Koleje a 2 osób (0 a 2 ) usadzay w dowoly sposób przy dwóch zajętych już stoliach (oża to zrobić a 2 a 2 sposobów). Osoba (a 1 + a 2 + 3)-cia siada przy pierwszy z brzegu, woly stoliu, a oleje a 3 osób - przy trzech zajetych uprzedio stoliach (a 3 a 3 sposobów), itd. W te sposób przy ażdy ze stoliów usiądzie co ajiej jeda osoba (będą to : 1, a 1 + 2, a 1 + a 2 + 3, a 1 + a 2 + a 3 + 4,...). Liczby a 1, a 2,..., a 0 wybieray ta, by spełiały warue a 1 + a 2 +... + a. Otrzyujey zate astępujący wzór { a 1 +a 2 +...+a a 1, a 2,...,a 0 1 a 1 2 a 2 3 a 3... a. (8) Obserwacja 11. Jeżeli >, to (8) ożey zapisać w postaci : { i 1 i 2 i 3...i. (9) 1 i 1 i 1... i Dlaczego? Każdy sładi 1 a 1 2 a 2 3 a 3... a słada się z a1 +a 2 +...+a czyiów (liczb ze zbioru 1, 2, 3,..., ). Zastępujey ażdy z czyiów przez i j, j 1, 2, 3,...,, przy czy wartości i j ogą się powtarzać. 6

Obserwacja 12. Rozieszczay osób w poojach ta, by żade z pooi ie pozostał pusty. Wiey z Obserwacji 2, że ożey to zrobić a! { sposobów. Obliczyy te wyi w iy sposób. Liczba dowolych rozieszczeń osób w poojach jest rówa, ale zajdą sie w tej liczbie rozieszczeia z pewyi poojai pustyi. Musiy więć odjąć te rozieszczeia, w tórych i-ty poój jest pusty (i 1, 2,..., ). Jest ich ( ) 1 ( 1). Ale odjęliśy w te sposób dwurotie rozieszczeia, w tórych p. pooje i-ty i j-ty są puste (i, j 1, 2,...,, i j). Musiy więc sorygować swoje obliczeia dodając wszystie rozieszczeia w tórych oba pooje są puste, a jest ich ( ) 2 ( 2) przy dowoly wyborze liczb i, j. Postępując dalej zgodie z zasadą włączeń i wyłączeń ay, że {! ( ) ( 1) + 1 ( ) ( ) ( 2) +... + ( 1) ( ). 2 Upraszczając otrzyujey olejy wzór a liczby Stirliga II rodzaju: { 1 )! r0( 1) r( r ( 1) r r r r0 r!( r)!. (10) Źródło: D.Braso:Stirlig ubers ad Bell ubers: their role i cobiatorics ad probability, Math. Scietist 25, 1-31 (2000) 7