Zbiór zadań z badań operacyjnych Wydanie drugie

Adam Kucharski Zbiór zadań z badań operacyjnych Wydanie drugie Łódź 2012 ISBN 978-83-934591-1-7

Spis treści 1. Programowanie liniowe....................................... 3 2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych....................... 12 3. Zadanie transportowe........................................ 14 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka................. 17 5. Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero............................. 22 6. Zarządzanie projektami...................................... 24 Odpowiedzi do zadań.......................................... 35

1. Programowanie liniowe Zadanie 1 Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela: Halabarda A Halabarda B Zapas [t] Stal 1 2 20 Drewno 2 1 18 Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw. Zadanie 2 (Jędrzejczyk, Kukuła) Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl. Zadanie 3 Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować

4 1. Programowanie liniowe plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy wyprodukować wyłącznie duże wózki; 2. Zużyte zostanie 2240 kg prętów; 3. Zapas tworzywa sztucznego nie zostanie wykorzystany w całości; 4. Zwiększenie zapasu prętów o 1 tonę podniesie przychód maks. o 160 zł; 5. Zwiększenie proporcji na rzecz dużych wózków spowoduje wzrost przychodu; 6. Przy cenie dużych wózków wynoszącej 180 zł ilość wytworzonych małych wózków nie ulegnie zmianie; 7. Przy cenie za mały wózek równej 50 zł rozwiązanie może ulec zmianie; 8. Zwiększenie zapasu tworzywa sztucznego o 20 kg podniesie przychód o 320 zł. Zadanie 4 Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela: Składnik Vitarevival Komandirskaja S1 2 2 S2 1 2 S3 3 6 Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty zakupu. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy kupić tylko jedną odżywkę; 2. Składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej ilości; 3. Składnik S2 zostanie dostarczony w maksymalnej ilości; 4. Zwiększenie limitu składnika S1 o jednostkę podniesie koszt minimalny o 4 zł; 5. Dodatkowe 10 jednostek limitu S2 podniesie koszt minimalny o 10 zł; 6. Przy cenie Vitarevival wynoszącej 2,5 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 7. Potrzeba 15 jednostek limitu składnika S3 by otrzymać koszt minimalny; 8. Jeżeli limit S2 wynosić będzie 30 jednostek wycena dualna nie ulegnie zmianie.

5 Zadanie 5 Dwóch programistów pracuje nad kodem źródłowym modułu pewnego programu. Pierwszy z nich pisze 400 a drugi 300 linii kodu dziennie. Podczas pracy piją sporo kawy: odpowiednio 2 i 3 kubki dziennie. Aby utrzymać formę muszą wypić łącznie co najmniej 20 kubków. Za każdy dzień pracy dostają po 100 zł, przy czym ich całkowite wynagrodzenie nie może spaść poniżej 1500 zł i przekroczyć 4000 zł. Dodatkowo przygotowują procedury pozwalające włączyć tworzony przez nich moduł do większego systemu. Pierwszy przygotowuje 40 a drugi 60 linii dziennie. Łącznie procedury te mają zająć maksymalnie 700 linii. Ile dni potrzebuje pierwszy programista a ile drugi, aby napisać program przy założeniu, że długość otrzymanego kodu ma być jak najmniejsza? Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Obaj programiści poświęcą na program tyle samo czasu; 2. Minimalna długość kodu to 4000 linii; 3. W czasie pracy programiści wypiją łącznie 35 kaw; 4. Otrzymają wynagrodzenie w wysokości 2500 zł; 5. Dodatkowa złotówka dolnej granicy wynagrodzenia podniesie długość kodu o 6 linii; 6. Zwiększenie o 10 linii długości dodatkowych procedur skróci program główny o 50 linii; 7. Gdy drugi programista napisze 350 linii dziennie rozwiązanie optymalne zmieni się; 8. Gdy pierwszy programista napisze 350 linii dziennie rozwiązanie optymalne nie zmieni się. Zadanie 6 Fabryka farb produkuje 3 typy farb A, B i C. Do ich wyrobu potrzeba 3 składników c1, c2, c3, których zapasy wynoszą odpowiednio 8000, 9000, 10000 kg. Wykorzystanie poszczególnych składników (w kg) do wszystkich typów prezentuje tabela: Składnik Farba A Farba B Farba C C1 1 2 1 C2 2 0 2 C3 0 2 1 Zamówienia na typ A oznaczają, że produkcja nie może spaść poniżej 1100 kg. Jaka powinna być struktura produkcji aby fabryka osiągnęła maksymalny zysk jeżeli zysk jednostkowy na poszczególnych typach farb wynosi odpowiednio 3, 2, 5 PLN. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy produkować wyłącznie farby typu A i C; 2. Limit składnika C1 zostanie wykorzystany w całości; 3. Limit zamówienia na typ A nie zostanie przekroczony; 4. Zwiększenie limitu składnika C3 o jednostkę podniesie zysk maksymalny o 2 zł;

6 1. Programowanie liniowe 5. Dodatkowe 20 jednostek limitu C2 podniesie zysk maksymalny o 40 zł; 6. Przy zysku jednostkowym z typu A równym 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 7. Przy zysku jednostkowym z typu B równym 1 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 8. Jeżeli limit dla składnika C1 wynosić będzie 3000 jednostek wycena dualna ulegnie zmianie. Zadanie 7 Akwarysta amator rozważa zakup pokarmu dla rybek. Pod uwagę bierze trzy marki: Rybex, Babyshark i DXVC15. Dla właściwego rozwoju pupilów hobbysty znaczenie ma zawartość pewnych składników odżywczych oznaczonych jako S1, S2 i S3. W poniższej tabeli znalazły się: zawartość składników w każdym rodzaju pokarmu oraz cena jednego dekagrama. S1 S2 S3 Cena [zł] Rybex 5 0 3 5 Babyshark 1 2 4 4 DXVC15 3 1 5 3,5 Rybkom należy dostarczyć co najmniej 10 jednostek S1 oraz co najmniej 9 jednostek S3. Zawartość S2 powinna być nie większa niż 20 jednostek, ale jednocześnie nie może go być mniej niż 8 jednostek. Opracować plan zakupów pokarmów, tak aby łączny koszt zakupu był minimalny. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy kupić wszystkie marki pokarmu; 2. Limit składnika S1 zostanie dostarczony w minimalnej ilości; 3. Limit składnika S3 zostanie przekroczony; 4. Zwiększenie limitu składnika S3 o jednostkę podniesie koszt minimalny o 2 zł; 5. Dodatkowe 20 jednostek limitu S1 podniesie koszt minimalny o 12 zł; 6. Przy cenie Rybexu równej 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 7. Przy cenie Babyshark równej 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 8. Jeżeli limit dla składnika S3 wynosić będzie 30 jednostek wycena dualna nie ulegnie zmianie. Zadanie 8 Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela:

7 Herbata 1 Herbata 2 Herbata 3 Czas przebywania w komorze [min] 30 60 18 Zawartość garbnika [mg/100g] 15 13 20 Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Gotowy do sprzedaży produkt ma wyróżniać się specyficznym aromatem, który zapewnia obecność herbaty 1-go gatunku. Jej 100g zawiera 15 mg stosownej substancji zaś w mieszance powinno znaleźć się co najmniej 120 mg aromatu na 100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy kupić herbatę 1 i 2 gatunku; 2. Łączny koszt zakupu będzie niższy o 2550 zł od planowanego; 3. Zawartość garbnika w mieszance wyniesie 350 mg; 4. Zwiększenie wymaganej ilości garbnika podniesie koszt zakupu o 20 zł; 5. Dodatkowe 10 godz. limitu pracy komory obniży koszt o 20 zł; 6. Przy cenie herbaty 1 wynoszącej 300 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 7. Jeżeli wymagana zawartość aromatu wyniesie 240 mg limit garbnika będzie przekroczony; 8. Jeżeli cena herbaty 3 wzrośnie o 100 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie. Zadanie 9 Student ma rozwiązać podczas sprawdzianu 3 zadania. Decydujące znaczenie ma czas ich rozwiązania, który powinien być jak najkrótszy (tak, aby pozostał jeszcze czas na zinterpretowanie wyników). Wiadomo, że na cały sprawdzian przewidziano 60 minut. Rozwiązanie pierwszego zadania powinno zająć nie więcej niż 30 minut, lecz potrwa przynajmniej 20 minut. Rozwiązanie zarówno zadania drugiego jak i trzeciego zajmie za każdym razem co najmniej 10 minut. Ile czasu należy przeznaczyć na poszczególne zadania? Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Na rozwiązanie wszystkich zadań potrzeba 60 min.; 2. Rozwiązanie zadania 1 potrwa 15 min.; 3. Wykorzystano całkowicie czas przeznaczony na zadanie 1; 4. Dodatkowa jednostka czasu przeznaczona na zadanie 2 podniesie czas rozwiązywania sprawdzianu o 2 min.; 5. Wydłużenie czasu sprawdzianu o 2 min. spowoduje, że rozwiązanie zadań zajmie 2 min. więcej; 6. Dodatkowe 10 min. przeznaczona na zadanie 3 podniesie czas rozwiązywania sprawdzianu o 10 min.; 7. Jeżeli łączny czas sprawdzianu wyniesie 70 min. zmienna dualna nie ulegnie zmianie;

8 1. Programowanie liniowe 8. Jeżeli czas na zadanie 3 wyniesie 35 min. zmienna dualna nie ulegnie zmianie. Zadanie 10 Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji stanowią telewizory 32 i 36 oraz 42 calowe. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy specjalistycznej linii montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela: Telewizor 32 cale Telewizor 36 cali Telewizor 42 cale Czas pracy [min] 30 60 45 Zysk z 1 szt. [zł] 250 400 500 Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w analizowanym okresie nie spadnie poniżej 100 000 zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów 32 calowych powinien wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz tego modelu należy wytworzyć nie więcej niż 1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wyprodukować co najmniej 500 szt. odbiorników 36 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że sprzedana zostanie cała produkcja). Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy produkować wszystkie typy telewizorów; 2. Osiągnięty zysk przekroczy 1 mln zł; 3. Udział produkcji odbiorników 32 cal. wyniesie 20%; 4. Zwiększenie udziału produkcji odbiorników 32 cal. spowoduje spadek zysku; 5. Dodatkowe 100 godz. limitu pracy maszyn zwiększy zysk o 50 tys. zł; 6. Przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 500 zł struktura produkcji ulegnie zmianie; 7. Przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 300 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie; 8. Jeżeli limit produkcji telewizorów 32 cal. wzrośnie o 3000 szt. zmienna dualna ulegnie zmianie. Zadanie 11 Złożono zamówienie na 4 części po cenach odpowiednio: 85, 90, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny jest półfabrykat, którego zapas wynosi 1000 kg. Jednostkowe zużycie (w kg) tego półfabrykatu wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2. Łącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej 25 sztuk. Części 2 i 4 należy wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 4 ma powstać nie więcej niż 50% łącznej sumy części 1, 2 i 3. Opracować plan zamówienia gwarantujący jak najniższy koszt jego realizacji. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Czy uda się wyprodukować wszystkie części? 2. Zostanie zużyte 125 kg półfabrykatu; 3. Jeżeli suma części 1 i 3 wzrośnie o jednostkę koszt minimalny wzrośnie o 66,67 zł;

9 4. Jeżeli suma części 2 i 4 wzrośnie o 10 szt. koszt minimalny wzrośnie o 86,67 zł; 5. Przy cenie części 1 równej 75 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie; 6. Przy cenie części 2 równej 100 zł zmienne dualne mogą ulec zmianie; 7. Jeżeli zapas półfabrykatu spadnie o połowę produkowane będą te same typy części; 8. Jeżeli suma części 2 i 4 spadnie o 10 szt. zmienna dualna nie ulegnie zmianie. Zadanie 12 Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek wynieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien przekroczyć 20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 2 zł od każdego sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł. i nie ma zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100 arkuszy wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy papieru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakładamy, że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy wydać oba tytuły; 2. Autor pierwszej książki dostanie 8000 zł; 3. Osiągnięty zysk będzie równy zakładanym planom; 4. Zapas papieru nie zostanie wykorzystany w całości; 5. Dodatkowa tona zapasu papieru podniesie maksymalny zysk o 24 000 zł; 6. Przy cenie książki pierwszej wynoszącej 30 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 7. Jeżeli kwota przeznaczona dla autorów wyniesie 6000 zł zmienna dualna ulegnie zmianie; 8. Jeżeli zysk z 1 egz. drugiej książki spadnie o 2 zł wydane zostaną oba tytuły. Zadanie 13 Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce S1 i S2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela: Produkt Koszt [zł] Marża [zł] S1 [kg] S2 [litr] Czas pracy [min] A 11 3 8 3 5 B 8 2 1 0 10 C 15 2 5 4 6

10 1. Programowanie liniowe Zapas surowca S1 wynosi 3,3 t, surowca S2 100 hl. Normy technologiczne wymagają, aby S2 zużyć co najmniej 20 hl. Dostępny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 godzin. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy wyprodukować 800 szt. wyrobu C; 2. Surowiec S1 zostanie wykorzystany w całości; 3. Surowiec S2 zostanie wykorzystany w całości; 4. Zwiększenie limitu czasu pracy o 1 godz. podniesie zysk o 600 zł; 5. Przy przychodzie z wyrobu A równym 20 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie; 6. Jeżeli zapas S1 wzrośnie o 100 kg, optymalny zysk wzrośnie o 1000 zł; 7. Niewykorzystane pozostanie około 317 godzin czasu pracy; 8. Jeżeli zapas S2 wzrośnie o 10 hl zmienna dualna nie ulegnie zmianie. Zadanie 14 Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pralek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów nie dostarczy więcej niż 300 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypadnie 20 zł na promocję a drugiego 10 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów charakteryzujący się maksymalnym przychodem. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Należy sprowadzić 3000 pralek producenta pierwszego; 2. Maksymalny przychód nie przekroczy 400 tys. zł; 3. Budżet na promocję zostanie wykorzystany w całości; 4. Założenie odnośnie minimum sprzedaży pralek nie zostanie przekroczone; 5. Przy cenie pralek 1-go producenta równej 1500 zł należy nadal zamówić u niego 30 sztuk; 6. Przy cenie pralek 2-go producenta równej 1500 zł funkcja celu ulegnie zmianie; 7. Jeżeli minimum sprzedaży pralek wyniesie 300 szt., sprzedawane będą pralki obu producentów; 8. Jeżeli wydatki na promocję wzrosną o 1400 zł, zmienna dualna nie ulegnie zmianie. Zadanie 15 Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m 2, druga 490 m 2 a trzecia 450 m 2. Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m 2. Negocjacje prowadzono oddzielnie z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1m2 wynoszące odpowiednio: 200, 180, 170 zł. Opracować plan wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu był jak najmniejszy.

11 Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Działki druga i trzecia zostaną wykupione w całości; 2. Minimalny koszt zakupu przekroczy 150 000 zł; 3. Podniesienie dolnej granicy łącznej powierzchni do 1100 m 2 spowoduje wzrost kosztów o 200 zł; 4. Działka 1 zostanie wykupiona w całości; 5. Przy cenie za pierwszą działkę równej 250 zł/m 2 rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie; 6. Przy cenie równej 250 zł/m 2 za trzecią działkę, wykupimy tę działkę w całości; 7. Gdyby działka druga była większa o 50 m 2 zmienna dualna nie uległaby zmianie; 8. Gdyby działka pierwsza była większa o 50 m 2 należałoby wykorzystać wszystkie działki. Zadanie 16 Opracować strukturę produkcji lodów trzech rodzajów A, B i C zapewniającą maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że cała produkcja znajdzie nabywców). Jednostkowe zyski z 1 porcji danego rodzaju lodów oraz zużycie podstawowych składników czyli mleka i cukru zawiera poniższa tabela. Zapas mleka wynosi 5 litrów zaś cukru 5 kg. Rodzaj A Rodzaj B Rodzaj C Zysk jednostkowy [zł] 3 5 3,5 Zużycie mleka [ml] 20 40 30 Zużycie cukru [g] 14 18 16 Lody B i C zawierają w swoim składzie czekoladę (jej zapas wynosi 1 kg), przy czym na jedną porcję rodzaju B zużywa się 4 g a na jedną porcję rodzaju C 1 g tego składnika. Wymagane jest, aby lodów B sprzedać co najmniej 100 szt. Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Lody rodzaju A nie będą wytwarzane; 2. Maksymalny zysk przekroczy 500 zł; 3. Zapas mleka zostanie wykorzystany w całości; 4. Zapas cukru zostanie wykorzystany w połowie; 5. Zwiększenie wymagań co do produkcji lodów B o 10 szt. spowoduje wzrost zysku o 10 zł; 6. Zwiększenie zapasu czekolady o 0,5 kg spowoduje spadek zysku; 7. Jeżeli zysk jednostkowy z lodów B wzrośnie o 1 zł zysk maksymalny nie ulegnie zmianie; 8. Jeżeli zapas mleka wzrośnie o 1 litr struktura produkcji ulegnie zmianie.

2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych Każde zadanie rozwiązać jako zadanie programowania liniowego w liczbach całkowitych. Zadanie 1 Podjęto się realizacji zamówienia na 4 części, których jednostkowy koszt wytworzenia wynosi odpowiednio: 85, 70, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny jest półfabrykat, którego zapas wynosi 1000 kg. Jednostkowe zużycie tego półfabrykatu wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2 kilograma. Łącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej 25 sztuk. Części 2 i 4 należy wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 2 ma powstać nie więcej niż 30% łącznej wielkości produkcji. Opracować plan realizacji zamówienia gwarantujący jak najniższy koszt jego realizacji. Zadanie 2 Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek wynieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien przekroczyć 20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 7 zł od każdego sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł. i nie ma zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100 arkuszy wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy papieru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakładamy, że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży. Zadanie 3 Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pralek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów nie dostarczy więcej niż 250 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypadnie 16 zł na promocję a drugiego 11 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów charakteryzujący się maksymalnym przychodem.

13 Zadanie 4 Niewielki zakład produkuje torby sportowe trzech rodzajów. Łączny koszt wytworzenia wszystkich toreb nie może być większy niż 9000 zł. Po doliczeniu do kosztu marży otrzymamy przychód, którego całkowita wartość ma wynieść co najmniej 10 tys. zł. Dostępny czas pracy robotnic, które szyją torby wynosi łącznie 100 roboczogodzin. Tabela poniżej zawiera jednostkowe wartości kosztu, marży oraz czasu pracy potrzebnego do uszycia toreb. Torba 1 Torba 2 Torba 3 Koszt jednost. 50 55 52 Marża jednost. 10 5 8 Czas pracy [min.] 15 18 20 Wiadomo ponadto, że po analizie sprzedaży z okresów poprzednich podjęto decyzję, iż udział toreb drugiego rodzaju w ogólnej wielkości produkcji ma wynieść co najmniej 20%. Opracować strukturę produkcji pozwalającą na osiągnięcie jak najniższego kosztu produkcji przy podanych założeniach. Zadanie 5 Firma produkująca materiały szkolne i biurowe ma w swojej ofercie dwa rodzaje tradycyjnych kredek. Zysk osiągany z 1 pudełka kredek pierwszego rodzaju wynosi 5 zł, a z 1 pudełka kredek drugiego rodzaju 6 zł. Do produkcji wykorzystuje się dwa podstawowe surowce: drewno i wypełnienie grafitowe. Normy zużycia surowców oraz czas pracy maszyn w przeliczeniu na jedno pudełko kredek danego rodzaju wraz z dostępnymi limitami podaje tabela. Kredki rodz. 1 Kredki rodz. 2 Drewno [dag.] 5 8 Grafit [dag.] 1 2 Czas pracy [min.] 7 8 Firma dysponuje następującymi zapasami surowców: 120 kg drewna i 50 kg grafitu. Dostępny, maksymalny czas pracy maszyn wynosi 120 godzin. Dodatkowo wymaga się, aby kredek 2 rodzaju wyprodukować co najmniej 3 razy tyle co kredek 1 rodzaju. Opracować plan produkcji, zapewniający maksymalny łączny zysk.

3. Zadanie transportowe Zadanie 1 Trzy punkty skupu dostarczają złom do trzech hut. Punkty dysponują odpowiednio 25, 26 i 24 tonami złomu, podczas gdy huty mogą przyjąć: 29, 26 i 20 tony. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = 8 8 6 2 4 7 6 5 5 Opracować plan dostaw złomu minimalizujący łączne koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 2 Trzech rolników dostarcza mleko do trzech mleczarni. Rolnicy owi dostarczają odpowiednio 200, 150, 220 hl mleka. Poszczególne mleczarnie mogą przyjąć następujące ilości: 100, 300 i 150 hl. Koszty przewiezienia jednego hl mleka (zł) między rolnikami a mleczarniami przedstawia macierz: C = 2 3 1 4 2 2 2 3 3 Opracować plan dostarczenia całego mleka tak, aby łączny koszt przewozu był jak najmniejszy (wykorzystać metodę kąta północno-zachodniego). Zadanie 3 Trzy cementownie zaopatrują w cement cztery budowy. Cementownie dysponują odpowiednio 20, 30 i 40 tonami cementu, podczas gdy zapotrzebowanie na budowach wynosi: 15, 20, 20 i 30 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: 11 12 10 10 C = 14 8 9 20 13 13 15 10 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego

15 Zadanie 4 Czterech producentów dostarcza do 2 kontrahentów wyroby metalowe. Dysponują oni odpowiednio 50, 30, 45 i 23 tonami wyrobów, podczas gdy zapotrzebowanie wynosi u każdego z odbiorców po 60 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: 20 18 30 21 C = 21 13 19 16 Z powodu remontu, droga między drugim producentem a drugim odbiorcą jest całkowicie nieprzejezdna. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 5 Trzy autobusy muszą rozwieźć ludzi w trzy różne miejsca. Pojemności autobusów, liczbę osób mających znaleźć się w punktach docelowych oraz macierz kosztów jednostkowych (zł) podaje poniższa tabela: Miejsce 1 Miejsce 2 Miejsce 3 a Autobus 1 2,5 3,0 1,5 31 Autobus 2 1,2 1,3 3,0 30 Autobus 3 3,2 3,3 4,0 28 b 27 42 20 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 6 Dwa duże gospodarstwa rolne zaopatrują w buraki cukrowe cztery punkty skupu. W tym roku pierwsze gospodarstwo dostarczy 75 a drugie 60 ton buraków. Punkty skupu skłonne są przyjąć odpowiednio: 40, 30, 32, 29 ton buraków. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: Punkt skupu 1 Punkt skupu 2 Punkt skupu 3 Punkt skupu 4 Gospodarstwo 1 2,5 2,3 2,7 2,3 Gospodarstwo 2 2,9 3,0 2,1 2,1 Na trasie z gospodarstwa 2 do trzeciego punktu skupu zorganizowano objazd, w związku z czym można na tej trasie przewieźć do 25 ton ładunku. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.

16 3. Zadanie transportowe Zadanie 7 Konserwy z trzech wojskowych magazynów mają trafić do trzech jednostek. Z magazynu pierwszego wyjedzie 20, z drugiego 30, a z trzeciego 24 tony konserw. Do jednostek ma trafić odpowiednio: 28, 26, 20 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: 3 5 2 C = 4 3 1 6 7 9 Trasa z magazynu 1 do jednostki 3 jest całkowicie nieprzejezdna Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 8 Producenci serialu A jak alabaster zamówili u dwóch dostawców elementy dekoracji, które tymczasowo mają znaleźć się w jednym z czterech magazynów wytwórni. Dostawca 1 może zapewnić 200 a drugi 180 kg owych elementów. W pierwszym magazynie ma się znaleźć 120, w drugim 60, w trzecim 130 a w czwartym 70 kg elementów. Z powodu koczowania licznej grupy fanów, trasa od pierwszego dostawcy do trzeciego magazynu jest nieprzejezdna. Macierz jednostkowych kosztów przewozu jest następująca: [ 11 15 13 18 ] C = 12 12 14 19 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 9 W związku z oczekiwaną serią kontroli sanepidu właściciel zakładów mięsnych musi zabrać część wędlin z objętych kontrolą zakładów i zawieźć je do dwóch firm zajmujących się utylizacją. Pierwsza z nich jest w stanie przyjąć 16, a druga 17 ton wędlin. Z każdego zakładu należy usunąć po 11 ton wędlin. Na drodze z pierwszego zakładu do pierwszej firmy należy pokonać most, przez który na raz przejedzie tylko 5 ton wędliny. Macierz jednostkowych kosztów transportu jest następująca: C = 3 4 4 5 3 6

4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka Wszystkie zaprezentowanych poniżej zagadnienia przeanalizować pod kątem podejmowania decyzji w warunkach niepewności i ryzyka. Zadanie 1 Zarząd firmy musi podjąć decyzję odnośnie wielkości produkcji. Przeprowadzone analizy wskazują na możliwość wystąpienia jednego z trzech stanów rynku, rzutujących na wysokość osiąganego zysku (tys. zł). Stosowne dane zawiera poniższa tabela. Stany rynku Skłonność do S1 S2 S3 bycia optymistą Decyzja 1 30 45 20 0,4 Decyzja 2 5-10 50 0,4 P (s j ) 0,3 0,2 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium optymisty najlepsza jest decyzja 2. 2. Według kryterium minimalnego żalu najlepsza jest decyzja 1. Zadanie 2 Shrek wybiera się w odwiedziny do teściów, mieszkających w Zasiedmiogórogrodzie. Pogoda ma duży wpływ na szybkość podróżowania. Spodziewamy się trzech możliwych stanów warunków pogodowych, które przekładają się na liczbę pokonywanych dziennie mil. Stosowne dane zawiera poniższa tabela. Stany warunków pogodowych S1 S2 S3 Droga z zachodu 60 45 10 Droga z północy 30 32 50 P (s j ) 0,3 0,2 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody

18 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka UWAGA! Potraktować powyższą macierz jako macierz strat. Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium minimalnego żalu najlepszą decyzją jest droga z zachodu. 2. Według kryterium Laplace a najlepszą decyzją jest droga z zachodu. 3. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest droga z północy. Zadanie 3 Należy dokonać wyboru asortymentu stoiska cukierniczego oferującego jeden z trzech możliwych wypieków w zależności od sposobu reakcji konkurencji. Poniższa tabela zawiera dzienną [zł] wartość sprzedanych wyrobów. Konkurencja Skłonność do Asortyment S1 S2 S3 S4 bycia optymistą Pączki 120 100 95 130 0,3 Kremówki 110 110 120 80 0,3 Napoleonki 75 60 65 75 0,6 P (s j ) 0,2 0,1 0,5 0,2 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danej reakcji konkurencji Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest wybór pączków. 2. Według kryterium Hurwicza najlepszą decyzją jest wybór kremówek. 3. według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest wybór napoleonek. 4. OKPI wynosi 117 zł. Właściciel cukierni w związku ze zbliżającym się długim weekendem spodziewa się dodatkowego wzrostu popytu na swoje wyroby. W związku z tym rozważa dwa możliwe scenariusze: duży (o 40%) i mały (o 10%) wzrost popytu. Konkurencja również jednak również zamierza skorzystać na tej sytuacji. Dlatego oszacowane zostały prawdopodobieństwa zrealizowania się danego wariantu wzrostu popytu w zależności od reakcji konkurencji. Znalazły się one w poniższej tabeli. Wzrost popytu S1 S2 S3 S4 Duży (P D ) 0,3 0,8 0,4 0,1 Mały (P M ) 0,7 0,2 0,6 0,9 Ocenić wpływ dodatkowej informacji o zmianie popytu na podejmowanie decyzji dotyczącej asortymentu sprzedaży.

19 Zadanie 4 Inwestor planuje inwestycję w jedną z trzech akcji. W tym celu oszacował stopę zwrotu w zależności od jednego z przewidywanych stanów rynku. Stosowne wyniki zawiera tabela. Stany rynku Skłonność do Inwestycja S1 S2 S3 bycia optymistą Akcja A 10 9-3 0,3 Akcja B -5 18 18 0,3 Akcja C 12 15 15 0,6 P (s j ) 0,7 0,2 0,1 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest akcja A. 2. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest akcja A. 3. Według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest akcja C. 4. CGPI wynosi 13,8. Walne zgromadzenia akcjonariuszy wyżej wymienionych spółek podjęły decyzje o wypłacie dywidend. Ich wysokość uzależniają jednak od przewidywanej sytuacji rynkowej. Zakładając, że inwestora interesuje łączna kwota otrzymanych dywidend oszacowane zostały prawdopodobieństwa uzyskania jednego z trzech wariantów wypłaty w zależności od sytuacji rynkowej. Szacunki owe znalazły się w poniższej tabeli. Wysokość S1 S2 S3 wypłaty W1 0,1 0,5 0,6 W2 0,2 0,5 0,1 W2 0,7 0 0,3 Akcje której ze spółek będą najbardziej atrakcyjne po uwzględnieniu dodatkowej informacji na temat wypłaty dywidend? Przeprowadź stosowną analizę i zinterpretuj jej wyniki. Zadanie 5 Przygotowywane są obchody z okazji założenia miasta. Firma zainteresowana reklamowaniem się na tej imprezie musi zadecydować czy lepszym rozwiązaniem będzie rozdawanie ulotek przy głównym wejściu czy też hostessy powinny wręczać je krążąc po terenie obchodów. Liczba spodziewanych osób zależy od pogody. Poniższa tabela zawiera spodziewane ilości wręczonych ulotek w zależności od pogody i miejsca.

20 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka Stany warunków pogodowych S1 S2 S3 Wejście główne 120 260 150 Teren obchodów 190 220 150 P (s j ) 0,1 0,4 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest teren obchodów. 2. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest wejście główne. Firma postanowiła uwzględnić w analizie dodatkowe informacje dotyczące spodziewanej frekwencji na festynie. W zależności od warunków pogodowych rozważa trzy warianty frekwencji: małą (5 tys. osób), średnią (10 tys. osób) i dużą (25 tys. osób). W tabeli poniżej znalazły się oszacowane wartości prawdopodobieństw wystąpienia danej frekwencji w zależności od pogody. Frekwencja S1 S2 S3 Mała (F1) 0,6 0,2 0,1 Średnia (F2) 0 0,5 0,1 Duża (F3) 0,4 0,3 0,8 Przeanalizować wpływ informacji na temat frekwencji na decyzję o wyborze miejsca rozdawania ulotek. Zadanie 6 Zakład wodociągowy planuje uruchomienie dodatkowych ujęć wody. Do wyboru są cztery decyzje. Oszacowano zyski (w tys. zł) w zależności od przewidywanego zużycia wody przez klientów (stany natury). Wyniki zawarto w poniższej tabeli. Liczba Stany natury ujęć S1 S2 S3 Jedno -50 20 25 Dwa 40-10 40 Trzy 30 60-15 Cztery -10 10 20 P (s j ) 0,4 0,3 0,3 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu natury Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium pesymisty, najlepszą decyzją są dwa ujęcia.