Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ).

Transkrypt

1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). Problem. Przedsiębiorstwo przewozowe STAR zajmuje się dostarczaniem lodów do sklepów. Dane dotyczące kosztów przewozu jednostki z magazynu do sklepu oraz wielkości zapasów i zapotrzebowania zamieszczono w tabeli. Określić plan przewozu minimalizujący koszty. Magazyn Sklep M M M M Zapotrzebowanie w sklepie S S 6 5 S S 5 S Zapas w magazynie Problem. Zakład RURA ma wyprodukować rur o długości 5,5 m i 5 o długości 7,5 m. Zakład ma do dyspozycji rury o długości 7 m. Jak należy pociąć rury, aby odpad był najmniejszy? Pozostałe rury długości 5,5 i 7,5 stanowią odpad. Zapisz odpowiedni program liniowy. Problem. zadanie domowe Zakład dysponuje czterema typami koparek oraz ma wykonać usługi polegające na wykopaniu odpowiednich rowów. Tabela podaje liczby odpowiednich typów koparek w zakładzie, ich wydajności przy poszczególnych pracach, koszty eksploatacji oraz minimalne ilości m. Koparka Wydajność m / dzień Liczba koparek Koszty Rów Rów Rów w zakładzie eksploatacji A B C D Minimalna dzienna wydajność m 9 7 Zapisać program liniowy wyznaczający przydział koparek do prac minimalizujący koszty prac.

2 Problem. zadanie domowe Podjąć decyzję o zwolnieniu pracowników w fabryce. Strukturę zatrudnienia przedstawia tabela. wiek pracownika ilość pracowników w danej grupie średni wiek pracownika w danej grupie wiekowej średnie doświadczenie pracownika w danej grupie ( od do ) średnie koszty utrzymania pracownika danej grupy średni przychód od jednego pracownika danej grupy starsi średni młodzi Założono dodatkowo, że: nie można zwolnić więcej niż 5 % wszystkich pracowników. średni wiek pracowników nie powinien się zmienić o więcej niż %. średnie doświadczenie pracowników nie powinno być mniejsze niż 6.5. Jako jedyne kryterium postanowiono zastosować kryterium zysku przedsiębiorstwa. Problem 5. zadanie domowe Zakład produkuje rodzaje opon. Do ich wytworzenia można używać zamiennie czterech maszyn. Jedna opona produkowana jest tylko na jednej maszynie. Tabela podaje maksymalny czas pracy maszyn na zmianach oraz minimalne ilości opon, które mają być wyprodukowane podczas zmiany. Jak ustalić produkcję, aby wytworzyć maksymalną liczbę opon? Zużycie czasu pracy w [szt/h] Opona Czas pracy maszyny Maszyna Zima Sporting HighLife Super CX [ min] M M 6 5 M 5 7 M 6 Minimalne zamówienie 5 Problem 6. zadanie domowe Rafineria wytwarza trzy rodzaje olejów A, B, C z trzech surowców I, II, III, których może zamówić odpowiednio tys. ton, tys. ton i 5 tys. ton. Do produkcji oleju A należy użyć surowców I, II, III odpowiednio w proporcjach ::, do oleju B surowca II i III w proporcji :, do oleju C surowców I, II, III odpowiednio w proporcjach ::. Koszt jednej tony surowca I, II, III wynosi odpowiednio, 55, jp. Oleje A, B, C rafineria sprzedaje odpowiednio po 7, 5, 65 jp. Ustalić plan zamówień surowców oraz produkcji mający na uwadze maksymalizacje zysku i wyprodukowanie minimum po 5 tysięcy ton każdego oleju.

3 PROGRAMOWANIE SIECIOWE Problem. Mając dane zawarte w tablicy narysować wykres sieciowy oraz sporządzić wykres Gantta przedsięwzięcia (projektu), którego czynności i poszczególne czasy zamieszczono w tabeli. Ponadto obliczyć czas realizacji projektu (możliwie najkrótszy) oraz zaznaczyć i zapisać ścieżkę krytyczną. Czas trwania czynności Oznaczenie czynności Czynności poprzedzające 5 A 7 B C D A 8 E C F B, D, E G F 5 H F 6 I F J G K H L I Problem. Na podstawie danych w tabeli sporządzić siatkę zależności (zbudować model sieciowy). Jakie jest prawdopodobieństwo dotrzymania terminu realizacji przedsięwzięcia: a) dni b) dni. Ocena czasu trwania czynności Czynności i-j Najbardziej Optymistyczna prawdopodobna Pesymistyczna (modalna)

4 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Problem. Pewna firma chce opracować program produkcji elementów na kolejne miesiące. Znany jest popyt na te elementy wynoszący elementy w każdym z kolejnych trzech miesięcy. Firma może produkować maksymalnie 5 takich elementów miesięcznie. Koszty produkcji zależne od liczby wyprodukowanych elementów podano w tabeli: Liczba elementów 5 Koszty w [jp] Jednostkowy koszt przechowywania zapasów jest stały w okresie planistycznym i wynosi jednostkę pieniężną (koszty magazynowania w i-tym miesiącu obliczamy według stanu na koniec miesiąca). Maksymalnie magazyn może pomieścić elementy. W chwili obecnej w magazynie znajdują się elementy. Pod koniec trzeciego miesiąca magazyn ma pozostać pusty. Rozwiązanie. Przyjmijmy oznaczenia dla i=,,: s i - poziom zapasów na początku i-tego miesiąca, p i - popyt w i-tym miesiącu, h i (j) - koszt magazynowania j elementów ( j ) w i-tym miesiącu, K i (x i ) - koszt produkcji x i elementów ( x i 5) w i-tym miesiącu, f i (x i,s i ) - koszty produkcji i magazynowania w i-tym miesiącu. Zauważmy, że f i (x i,s i ) = K i (x i ) + h i (s i+ ), gdzie s i+ = s i + x i p i, i=,, oraz s =. Łączne koszty magazynowania i produkcji wynoszą f (x,s ) + f (x,s ) + f (x,s ). Koszty te mają być najmniejsze. Korzystając z równań funkcyjnych Bellmana możemy zapisać: Krok. (miesiąc ) g (s ) = min (f (x,s )) dla s x = p s Krok. (miesiąc ) g (s ) = min (f (x,s ) + g (s )) dla s p -s x +p s Krok. (miesiąc ) g (s ) = min (f (x,s ) + g (s )) dla s =. p s x +p s Z treści zadania wynika, że s =, p = p = p = s = s + x = stąd x = s.

5 Mamy zatem: Krok. (miesiąc ) g (s ) = min f (x,s ) x = s s x s f (x,s ) g (s ) Krok. (miesiąc ) g (s ) = min (f (x,s )+g (s )) dla s s x 7 s s x s f (x,s ) g (s ) f (x,s +g (s ) g (s ) Krok (miesiąc ) g (s ) = min (f (x,)+g (s )) = min (f (x,)+g (s )) - x +- x 5 s x s f (x,) g (s ) F (x,)+g (s ) g (s ) Optymalna strategia ma postać x =, x =, x =. Koszty poniesione przez firmę są wtedy najniższe i wynoszą jp.

6 GRY Z NATURĄ, ANALIZA DECYZJI Problem. Trzy typy hamulców tramwajowych I, II, III poddano próbom w trzech rodzajach warunków drogowych A, B, C. Procent zadowalających prób zawarto w tablicy. A B C I II III Wybrać jeden z trzech typów hamulców a. za pomocą kryterium Walda, b. za pomocą kryterium Hurwicza ze współczynnikiem pesymizmu α =,6, c. za pomocą kryterium Laplace a, d. za pomocą kryterium Savage a. Problem. Znany cukiernik mieszkający w dużym mieście wypieka co sobotę pewną niewielką liczbę bardzo poszukiwanych torcików z bitą śmietaną i owocami tropikalnymi. Torciki te są bardzo drogie i nie sprzedane w sobotę nadają się w poniedziałek do wyrzucenia. Niestety nie zawsze udaje mu się sprzedać wypieczoną liczbę torcików. W ciągu ostatniego roku cukiernik zapisywał ile torcików sprzedał każdej soboty (było ich razem 5), a wyniki zapisał w tablicy. Liczba sobót Liczba sprzedanych torcików 5 Ile torcików powinien wypiekać każdej soboty cukiernik aby zmaksymalizować swój oczekiwany zysk, jeśli. koszt przygotowania torcika wynosi,75 jp,. każdy torcik jest sprzedawany za, jp,. klient zamierza kupić torcik śmietanowy, a dowie się, że już wszystkie zostały sprzedane czuje się bardzo zawiedziony i w konsekwencji kupuje mniej ciastek. Cukiernik szacuje, że spowodowane tym straty wynoszą około, jp na jednym kliencie. Ponieważ cukiernik słynie w całym mieście ze swoich torcików, więc rozczarowanie z powodu brak torcików jakie spotkało klienta w poprzednim tygodniu nie ma wpływu na jego zakupy w przyszłym czasie.

7 ZAGADNIENIE PROJEKTOWE: ułożyć program + rozwiązać z wykorzystaniem narzędzia SOLVER lub podobnego. K jest parametrem zadania - wartością, która zostanie przydzielona każdej osobie na zajęciach. Fabryka mebli wytwarza dwa rodzaje szaf, dwa rodzaje regałów i jeden typ barku. Następnie składa je w trzy komplety mebli: Agata, Beata, Cecylia. Szafa Szafa Regał Regał Barek Agata Beata Cecylia Fabryka posiada dwa zakłady produkujące poszczególne elementy i dwa sklepy firmowe. W sklepach ogółem złożono zamówienia na zestawów Agata, 5 zestawów Beata i 5 zestawów Cecylia ( w sklepie pierwszym odpowiednio, 5, 5 ). Tabele przedstawiają zdolności produkcyjne poszczególnych zakładów koszty wytworzenie jednego elementu oraz ceny transportu poszczególnych elementów do poszczególnych sklepów. Zakład produkcja Koszt Zdolności produkcyjne do sklepu do sklepu Szafa 5+K 5 Szafa 6-K 7 Regał 9-K 7 5 Barek 65+K 6 Zakład produkcja Koszt Zdolności produkcyjne do sklepu do sklepu Szafa 75-K 5 7 Regał 55+K 5 Regał 8-K 7 5 Barek 6+K 5 5. Ustalić plan produkcji minimalizujący koszty produkcji oraz transportu.. Ustalić plan produkcji minimalizujący wyłącznie koszty produkcji.. Ustalić plan produkcji minimalizujący wyłącznie koszty transportu.