W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

Podobne dokumenty
Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,

Chemia Teoretyczna I (6).

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I. Podzielność liczb całkowitych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Definicja interpolacji

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.

Podprzestrzenie macierzowe

Rozdział 5: Drgania liniowych układów ciągłych. , częstości własnych

ENERGIA SPRĘŻYSTA 1 1. BILANS ENERGETYCZNY 2. RÓWNANIE STANU, POTENCJAŁ SIŁ WEWNĘTRZNYCH

MACIERZE STOCHASTYCZNE

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Podprzestrzenie macierzowe

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

DRGANIA BELKI NA DWUPARAMETROWYM PODŁOśU SPRĘśYSTYM VIBRATION OF BEAM WITH TWO-PARAMETER ELASTIC FOUNDATION

Ciągi liczbowe wykład 3

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

Rozpuszczalność gazów w cieczach. Prawo Henry ego

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

1 Układy równań liniowych

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 2

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

KOMBINATORYKA ZADANIA

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

Geometrycznie o liczbach

Numeryczny opis zjawiska zaniku

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Funkcje tworzące - przypomnienie

1. Granica funkcji w punkcie

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

Odbicie fali od granicy ośrodków

Rozdział 4 Model teoretyczny 40

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

Wykład 10 Wnioskowanie o proporcjach

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Prawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski

Model Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie

J. Szantyr Wykład nr 16 Przepływy w przewodach zamkniętych

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

Wykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Układy liniowosprężyste Clapeyrona

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Transkrypt:

Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi w jej łaszczyźie (or rys) Na owierzchiach i ± 0 gdyż te owierzchie są wole od obciążeń Wobec małej grubości możemy rzyjąć że są omalie małe wewątrz tarczy W dowolym ukcie tarczy mamy zatem astęujący sta arężeia 0 0 i ( ) 0 0 0 ie zależą więc od Jest to rzyadek łaskiego stau arężeia Różiczkowe rówaia rówowagi (rówaia Naviera) rzyjmą tu ostać taką albo o rozisaiu ' ' ' ' i j 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 0

Trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż X 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) Z dwóch ierwszych rówań dostaiemy ' ' ' ' Zaiszmy arężeiowe waruki brzegowe j i które o rozisaiu rzyjmują ostać 0 0 Tu także trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) a z dwóch ierwszych otrzymujemy Zaiszmy jeszcze związki geometrycze rówaia Cauchy ego z których o rozisaiu otrzymujemy ( u i' j + u j' i ) u ' u' ' u' ( u' + ' ) u Pozostałe 0 a wyika to ze związków fizyczych [( + δ ] ) W dowolym ukcie tarczy mamy zatem astęujący sta odkształceia 0 0 i ( ) 0 0 kk

Warto zwrócić uwagę że łaskiemu staowi arężeia towarzyszy rzestrzey sta odkształceia (tu ojawia się także ) Koleją gruą rówań są waruki ierozdzielości Sośród sześciu waruków ozostaje tu tylko jede dla ji e ikm e jl kl ' m 0 ' + ' ' Mamy jeszcze do dysozycji związki fizycze w ostaci uogólioego rawa Hooke a Roziszmy je + Zauważmy jeszcze że [( + δ ] ) ( ) ( ) [ ( )] + + 0 0 ( ) kk ( ) a korzystając z wyrażeia a sumę arężeń wyrowadzoego wyżej otrzymamy +

albo ( + ) Taką zależością związae są odkształceia z odkształceiami i Odwróćmy jeszcze związki fizycze otrzymae wyżej ( ) ( ) Po rozwiązaiu względem składowych stau arężeia otrzymamy oraz ( + ) ( + ) + Płaski sta odkształceia Przykładem ciała w którym wystęuje łaski sta odkształceia może być tuel rurociąg ia kostrukcja której wymiar wzdłuży zaczie rzewyższa ozostałe wymiary (or rys) Wszystkie obciążeia owiy działać rostoadle do osi wzdłużej i owiy być stałe a długości obiektu Waruki odarcia ie owiy się zmieiać w kieruku osi stąd u zależą tylko od Mamy zatem a u u 0 u( ) u u( ) u u Z rówań Cauchy ego 0

otrzymamy ( u i' j + u j' i ) u ' u' ' u' 0 ' ' ( u + u ) 0 5 W każdym ukcie takiego obiektu wystęuje astęujący sta odkształceia i wszystkie ( ) 0 Jest to rzyadek łaskiego stau odkształceia Ze związków fizyczych otrzymujemy 0 0 0 0 [( + δ ] ) + [ ( )] 0 ( ) kk skąd [ ( ) ] [ [ + ( )] ]

i ostateczie Aalogiczie [ ( ) ( + )] Z ozostałych związków fizyczych otrzymamy + 0 Wrowadźmy owe stałe materiałowe Wyrowadzoe owyżej związki fizycze rzyjmą ostać gdyż zachodzi zależość którą moża łatwo srawdzić + ( ) ( ) + + Są to związki idetycze ze związkami fizyczymi dla łaskiego stau arężeia Różica tkwi tylko w stałych materiałowych Tam wystęowały i a tu i Odwróćmy otrzymae związki Otrzymamy 0 6

oraz związek otrzymay orzedio + ( + ) ( + ) ( ) + W każdym ukcie obiektu mamy do czyieia z astęującym staem arężeia 0 0 i ( ) 0 0 Warto zwrócić uwagę że łaskiemu staowi odkształceia towarzyszy rzestrzey 7 sta arężeia (tu ojawia się także ) Mamy do dysozycji rówaia rówowagi (rówaia Naviera) albo o rozisaiu ' ' ' ' i j 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 0 Trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż X 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) a ie zależy od Z dwóch ierwszych rówań dostaiemy ' ' Narężeiowe waruki brzegowe: albo o rozisaiu ' ' j i 0 0

Tu także trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) i 0 Z dwóch ierwszych otrzymujemy W tym rzyadku także mamy do dysozycji jede waruek ierozdzielości ' + ' ' Aalizując wszystkie rówaia dla łaskiego stau arężeia i łaskiego stau odkształceia moża zauważyć że są oe idetycze Różica w stałych (w związkach fizyczych i w łaskim staie arężeia i i w łaskim staie odkształceia) jest bez zaczeia jeśli chodzi o matematyczą stroę roblemu Z tego owodu szczegóły rozwiązaia zagadieia łaskiego aalizować będziemy dalej tylko w odiesieiu do łaskiego stau arężeia 8 Zestawmy wszystkie rówaia dotyczące łaskiego stau arężeia ' ' ' ' 0 0 () () ' + ' ' () + ( ) ( ) Rozwiązaie otrzymamy w sosób astęujący Policzmy ochode wystęujące w () ()

i odstawmy to do () ' ' ' + ( ) ' ( ) ' ' ' ' ( ) ' ' ' ' ' + (6) Rówaia () i (6) staowią układ trzech rówań z trzema iewiadomymi Zróżiczkujmy () o i () o ' ' ' ' i dodajmy te rówaia stroami Otrzymamy ' ' 0 0 ' ' ' ' ' 0 (8) Weźmy stąd ' i odstawmy do (6) Otrzymamy (5) (7) ( + )( + ) ' ' ' ' ' ' ' X ' Możemy to dalej rzekształcić tak albo ( ) + ( ) ( + )( X + ) ' ' ' X ' gdzie () ( ) ( + )( X ) ' ' (9) to lalasja ( ) ( ) + Rówaie (9) osi azwę waruku Morisa Levy ego Mamy teraz układ trzech rówań w ostaci ' ' 0 0 ( ) ( + )( X ) ' ' + X Wrowadźmy fukcję Airy ego zdefiiowaą w sosób astęujący ' ' (0) ' ' ' X X () 9

0 Załóżmy że tarcza wykoaa jest z materiału jedorodego tz X cost X cost Podstawmy () do (0) Rówaia (0) i (0) będą sełioe tożsamościowo Z (0) otrzymamy ( + ) ' 0 0 ' 0 () ( ) ( ) ( ) + + to bilalasja gdzie () Rówaie () to rówaie tarczy Wyika z iego że oszukiwaa fukcja Airy ego musi być fukcją biharmoiczą (bilalasja takiej fukcji jest rówy zeru) Wyraźmy jeszcze waruki brzegowe rzez fukcję Airy ego ( ' ) ( ) ' () ' ' W te sosób roblem rozwiązaia tarczy w łaskim staie arężeia srowadziliśmy do rówaia różiczkowego () z warukami () Jeżeli uda się zaleźć fukcję Airy ego dla daego roblemu to arężeia w każdym ukcie tarczy obliczymy z zależości () Przykład Dla jakich wartości arametrów a i c odaa fukcja może być fukcją Airy ego? a c ( ) + ukcja Airyego musi być fukcją biharmoiczą musi sełiać rówaie albo o rozisaiu oeratora 0 + + ' + ' + ' Policzmy koleje ochode wystęujące w rówaiu 0

skąd ' ' ' ' ' a a a 0 a c + + c Podstawmy to do rówaia tarczy a + c ' ' ( ) + 0 0 a c c c Taki waruek owiy sełiać arametry a i c