Optyka wiąek - iąka Gaussowska
iąka Gaussowska Rokład espolonego pola optycnego } exp{ ik U jest espolonym okładem pola któy musi być owiąaniem ównania Helmholt a: Gdie k jest licbą alową chaakteyującą alę płaską } exp{ ik Zakładamy tu stały ośodek w któym U jest popagowane k πn/λ n współcynnik ałamania ośodka + k y x + + Gdie Laplacian: Dla ałożenia : << Otymujemy pyosiowe ównanie Helmholt a: k j T Gdie cęść popecna Laplacian u y x T +
Jednym postych owiąań pyosiowego ównania Helmholt a jest wiąka opisująca paabolicny ont alowy: exp{ ik } * x + y - stała Równanie jest pybliżeniem ali seycnej U exp{ ik} Inne owiąanie pyosiowego ównania Helmholt a * można otymać koystając własności że jeżeli pewien okład jest owiąaniem ównania alowego to także jest jego owiąaniem w innym miejscu pesuniętym. Sukając pesuniętego owiąania * pe podstawienie - ξ ξ stała otymujemy: exp{ ik q } q q ξ ξ gecka litea ksi
Dla pypadku gdy pesunięcie jest licbą espoloną: ξ i otymujemy owiąanie ównana nawanego w optyce wiąką Gaussowską: exp{ ik } q i akes Rayleigh a q q Rayleigh ange Dla otymania wygodniejsej postaci pepisujemy: q i q R λ i π Gdie ostały deiniowane nowe paamety R i któe opisują odpowiednio pomień ontu alowego i seokość okładu amplitudy wiąki
Po astosowaniu ależności na q otymujemy ównanie na wiąkę gaussowską: } }exp{ exp{ i R ik ik U ζ + Gdie ostały deiniowane własności wiąki Gaussowskiej / / tan + + π λ ζ R i - nowa stała ζ gecka litea eta
łasności wiąki Gaussowskiej Popecny Rokład Intensywności I I exp{ } I x + y / e e.37.3 Rokład popecny intensywności I/I dla i B. E.. Saleh: Fundamentals o Photonics
Rokład Intensywności - łasności: Poosiowy Rokład Intensywności I I I + łasności: -Maksimum: Znomaliowany poosiowy okład intensywności -połowa intensywności dla -Dla >> I I / wiąki paabolicnej seycnej intensywność spada tak samo jak dla
Rokład Intensywności - własności: Pomień popecnego ok. intensyw. + / pomień pewężenia wiąki Gaussowskiej Pomień popecnego okładu intensywności łasności: - -Dla >> θ θ Około 86% mocy wiąki jest awate w stożku deiniowanym pe λ π θ
Głębia ostości paamet konokalny Depth o ocus conocal paam. Głębia ostości: Głębia ostości wiąki Gaussowskiej π λ Można ównież wypowadić niemiennik wiąki Gaussowskiej: λ θ 4 π Pykład λ 633 nm dla cm głębia ostości km dla um głębia ostości mm
łasności: Rokład ay ϕ ik ik + iζ R Rokład ay ζ opóźnienie aowe w stosunku do ali płaskiej Pomień kywiny
łasności: Rokład ay cd. ϕ ik ik + iζ R Rokłady cół alowych łasności: - skok ay ζ mienia się od -π/ dla do π/ dla - pomień R R - dla >> pomień R -dla pomień R
łasności: Rokład ay cd. Fala płaska w pybliżeniu pybliżeniu ala seycna pesunięciem aowym Rokłady ontu alowego: a Fala płaska; b Fala seycna; c iąka Gaussowska
łasności wiąki Gaussowskiej w miejscach chaakteystycnych: Płascyna - Pomień okładu intensywności - intensywność na osi spada o ½ intensywności max. - opóźnienie aowe w stosunku do ali płaskiej wynosi π/4 - pomień ay jest najwięksy i wynosi Otocenie centum wiąki -dla << << otymujemy I R / ζ dlatego wiąka Gaussowska może być apoksymowana a pomocą ali płaskiej Daleko od pewężenia wiąki - Dla >> < wiąka Gaussowska może być pybliżona pe alę seycną
Pekstałcanie wiąki Gaussowskiej pe układ optycny Socewka dla pybliżenia TE ma tansmitancję: mienia jedynie okład ay wiąki Gaussowskiej: } exp{ k i y x T TE ζ ζ ϕ + + ' ' R k k k R k k gdie R R ' Równanie obaowania Pekstałcenie wiąki Gaussowskiej pe układ optycny
Podsumowując wiąka Gaussowska a socewką jest wiąką Gaussowską o nowych paametach: Pomień pewężenia Położenie pewężenia ' ' M M Głębia ostości Robieżność kątowa wiąki Powięksenie ' M θ θ ' M M M + / gdie M nioski: -Pewężenie jest powięksone o M -Głębia ostości jest powięksona o M -Robieżność kątowa wiąki jest mniejsona o M
Pekstałcanie wiąki Gaussowskiej dla optyki geometycnej Pekstałcenie wiąki Gaussowskiej pe ukł. Optycny dla optyki geometycnej Dla >> << więc powięksenie M M ' + ' M M M Stąd otymujemy nioski - Ponieważ M < M to maks. powięksenie jest uyskiwane dla optyki geom.
Kstałtowanie wiąki Gaussowskiej: Ogniskowanie Ogniskowanie wiąki Gaussowskiej dla socewki w pewężeniu wiąki Dla socewki najdującej się w pewężeniu otymujemy wiąkę o paam.: ' / ' + / + / [ ] Dla wiąki o głębi ostości >> otymujemy: Ogniskowanie skolimowanej wiąki Gaussowskiej λ ' θ ' π Takie ogniskowanie powstaje ponieważ w pesteni ogniskowania socewki wiąkę gaussowską można pybliżyć alą płaską
Kstałtowanie wiąki Gaussowskiej: Ogniskowanie Pypadek ogniskowania do wiąki o najmniejsym omiae ' λ π Zakładamy: - śednica wiąki oświetlającej: D - socewka ogniskująca ma ogniskową : F # /D -numbe 4 ' λf# π by uyskać najmniejsą możliwy omia skupionej wiąki stosujemy : -Najkótsą długość ali -Obiektyw o najmniejsej licbie otwou Uwaga: Powyżsa ależność jest watością pybliżoną
Kolimacja wiąki Gaussowskiej by uyskać najmniejsą możliwy omia skupionej wiąki stosujemy : Schemat kolimacji wiąki Gaussowskiej nioski: - Uyskujemy wiąkę będącą alą płaską w pybliżeniu - Maksymaliujemy i
Kstałtowanie wiąki Gaussowskiej: Odbicie od wieciadeł Podobnie jak w pypadku socewki wieciadło mienia tylko okład ay: R' + ' R R m R m / Odbicie od wieciadła o pomieniu R m ; a Rm ; b R ; c R-R m Pypadki o paktycnym astosowaniu: - Zwieciadło płaskie: R m ; R R - wieciadło jest położone w pewężeniu: pypadek ogniskowania wiąki podobny do ogniskowania pe socewkę tylko po peciwnej stonie - R R m : wiąka gaussowska ma ten sam pomień kywiny co wieciadło astosowanie w eonatoach laseowych
iąka Hemite a Gauss a okład modów wyżsego ędu Rokład intensywności wiąki Hemite a - Gaussa G G y x I m l m l m l Rokłady unkcji Hemite a - Gaussa Rokłady intensywności wiąki Hemite a - Gaussa } exp{ 4 unkcja paysta } exp{ unkcja niepa. Gaussian unction u u u G u G u u u G u G u G