Analiza uchybowa układów dyskretnych

Transkrypt

1 Akademia Moska w Gdyni ateda Automatyki Okętowej eoia steowania Analia uchybowa układów dysketnych Miosław omea. WPOWADZENIE Analia uchybowa eowadona w tym oacowaniu oganicona jest tylko do układów jednostkowym sężeniem wotnym. Sygnały wejściowy i wyjściowy tyowego układu steowania dysketnego są funkcjami ciągłymi w casie, tak jak okaano to na ysunku, (t) (s) e(t) E(s) e (t) E (s) ZOH G (s) Poces G (s) y(t) Y(s) G(s) ys.. Schemat blokowy układu steowania dysketnego wobec tego sygnał uchybu mógłby ostać definiowany nastęująco e ( t) ( t) y( t) () gdie (t) jest sygnałem wejściowym, natomiast y(t) sygnałem wyjściowym. W wiąku tym, że wewnąt układu ojawiają się dane dysketne to do oisu tych układów stosuje się tansfomatę lub ównania óżnicowe i sygnały wejściowy i wyjściowy eeentowane są w ostaci óbkowanej, odowiednio (k) oa y(k). Wobec tego sygnał uchybu e ( k) ( k) y( k) () Uchyb w stanie ustalonym w chwilach óbkowania definiowany jest jako e u lim e( t) lim e( k) () t k Pe astosowanie twiedenia o watości końcowej tansfomaty, uchyb w stanie ustalonym e u lim e( k) lim( ) E( ) (4) k y ałożeniu, że ( ) E( ) nie ma żadnego bieguna na ewnąt okęgu jednostkowego na łascyźnie. Należy anacyć, że awdiwym uchybem w układie jest e(t); e u okeśla uchyb tylko w chwilach óbkowania. Pe wyażenie E() w ależności od () oa ównanie uchybowe aisywane jest nastęująco: Ostatnia aktualiacja: M. omea

2 Analia uchybowa układów dysketnych ( ) e u lim e( k) lim( ) k G G ( ) (5) Wyażenie to okauje że uchyb w stanie ustalonym ależy aówno od sygnału odniesienia jak ównież od tansmitancji w toe beośednim G G ( ). ak jak w układie ciągłym oważane są h 0 ty odstawowe tyy sygnałów i owiąanych nimi stałych uchybowych oa tyów układów. Załóżmy, że tansmitancja ocesu steowanego w układie ysunku, ma ostać gdie N = 0,,,... ansmitancja G G ( ) a s)( b s)...( ms) (6) N s ( s)( s)...( ) h 0 ns a s)( b s)...( ms) ( ) Z (7) N s ( s)( s)...( s) n. UCHYB W SANIE USALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UŁADU EGULACJI SYGNAŁU ZADANEGO O POSACI FUNCJI SOOWEJ Dla sygnału adanego (t) o ostaci funkcji skokowej o amlitudie tansfomata ma ostać Podstawiając () do ównania (5), otymuje się ( t) ( t) (8) ( ) (9) e u lim( ) lim (0) G G ( ) G G ( ) lim G G ( ) Zakładając, że stała uchybu oycyjnego będie definiowana jako lim Gh 0 G () Widać stąd, że uchyb w stanie ustalonym układu steowania dysketnego jest odnosony do stałej uchybu skokowego w taki sam sosób jak w yadku układu ciągłego tą óżnicą, że jest wynacane w oaciu o ównanie (0). Można owiąać stałą tyem układu. Dla układu tyu 0, N = 0 w ównaniu (7), cyli a s)( b s)...( ms) ( ) Z () N s ( s)( s)...( s) Dokonując okładu na ułamki oste funkcji najdującej się w nawiasie ównania (), otymuje się ( ) Z oostale ( ) oostale () s W wiąku tym, że nieeowe bieguny nie awieają w mianowniku składnika ( ), stała uchybu skokowego aisywana jest jako lim G G ( ) lim( ) n (4) Ostatnia aktualiacja: M. omea

3 Analia uchybowa układów dysketnych Podobnie dla układu tyu, będie miało cynnik elementowi ( ). Powoduje to że stała uchybu skokowego samo będie dla układów tyu więksego od. s w mianowniku co odowiada będie nieskońconością. ak abela. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym o odaniu sygnału adanego o ostaci funkcji skokowej y układu e u 0 ( ) 0 0. UCHYB W SANIE USALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UŁADU EGULACJI SYGNAŁU ZADANEGO O POSACI FUNCJI LINIOWO-NAASAJĄCEJ Dla sygnału adanego (t) o ostaci funkcji liniowo-naastającej o nachyleniu tansfomata ma ostać ( t) t ( t) (5) ( ) (6) ( ) Podstawiając () do ównania (5), otymuje się ( ) e u lim( ) lim (7) G G ( ) ( )[ G G ( )] lim[( ) ] G G ( ) Zakładając, że stała uchybu ędkościowego będie definiowana jako v lim[( ) GG ] (8) Stała uchybu ędkościowego jest użytecna tylko wówcas gdy sygnał wejściowy (t) jest funkcją liniowo naastającą i jeśli funkcja ( ) w ównaniu (8) nie ma żadnych biegunów na ewnąt okęgu jednostkowego. Zależności omiędy uchybem w stanie ustalonym a tyem układu dla sytuacji w któej sygnał adany ma ostać sygnału liniowo-naastającego o nachyleniu awate są w tabeli. abela. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym o odaniu sygnału adanego o ostaci funkcji liniowonaastającej v e u, v, y układu v e u UCHYB W SANIE USALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UŁADU EGULACJI SYGNAŁU ZADANEGO O POSACI FUNCJI PAABOLICZNEJ Dla sygnału adanego (t) o ostaci funkcji aabolicnej i wsółcynniku Ostatnia aktualiacja: M. omea

4 Analia uchybowa układów dysketnych tansfomata ma ostać ( t) t ( t) (9) ( ( ) (0) ( Podstawiając () do ównania (5), otymuje się ( ) ( ) ( ) e u lim( ) lim () G 0 ( ) h G ( ) [ GG ] lim[( ) ] G G ( ) a Zakładając, że stała uchybu aabolicnego będie definiowana jako ) ) a lim[( ) G 0G ( )] h () Zależność omiędy uchybem e, (t) ma ostać funkcji aabolicnej ebany jest w tabeli. u a oa tyem układu dla yadku w któym sygnał wejściowy abela. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym o odaniu sygnału adanego o ostaci funkcji aabolicnej y układu a e u Pykład Schemat blokowy układu steowania imulsowego okaany jest na ysunku.. Okes óbkowania = 0. [s]. a) Wynac stałe uchybowe, v, a. b) Wynac akes stabilności dla stojonego aametu. (s) E(s) E (s) ZOH H(s) 5 s(s+) Y(s) ys... Schemat blokowy badanego układu owiąanie. W iewsej kolejności należy ekstałcić układ ysunku. do ostaci dysketnej. W tym celu należy wynacyć astęcą tansmitancję dysketną ołącenia kaskadowego ekstaolatoa eowego ędu i tansmitancji oeatoowej ocesu. Ostatnia aktualiacja: M. omea 4

5 Analia uchybowa układów dysketnych = ( ) Z s = ) = 0.04 ( )( 0.09) 0.887) (.) Po wynaceniu tansmitancji dysketnej ołącenia kaskadowego ekstaolatoa eowego ędu i ocesu, oatywany układ ysunku. można edstawić w ostaci układu okaanego na ysunku.. () E() Y() ys... Schemat blokowy badanego układu. Stałą uchybu skokowego wynaca się e wou (0) i w tym yadku ) lim GG lim (.) Stałą uchybu ędkościowego v wynaca się e wou (5) i w tym yadku v lim[( ) G G ( )] lim ( 0.04 ) ( )( 0.09) 0.887) 0.5 (.) Ze wou (.) widać, że watość stałej uchybu ędkościowego układie ysunku.. ależeć będie aówno od wmocnienia w układie jak i cęstotliwości óbkowania. Stałą uchybu yśieseniowego a wynaca się e wou (8) i dla oważanego w tym ykładie układu ( ) lim[( ) ( )] lim ( ) a G 0 0 h G (.4) ( )( 0.887) Poostaje do wynacenia akes stojonego aametu owalający na stabilną acę układu. ównanie chaakteystycne uyskane na odstawie tansmitancji dysketnej (.) M ( ) ( ) = 0 (.5) oystając waunku koniecnego kyteium Juy, uyskuje się nastęujące waunki stabilności M ( ) (.6) M ( ) (.7) a (.8) 0 0 a Na odstawie waunków stabilności (.6), (.7) oa (.8) wynaca się akes aametu owalający na stabilna acę układu. 0 < < (.9) Oblicenia wykonane w tym ykładie ostały uyskane y użyciu nastęującego kodu ogamu Matlaba. clea close all echo off clc Ostatnia aktualiacja: M. omea 5

6 Analia uchybowa układów dysketnych % Paamety tansmitancji ocesu numc = 5; denc = [ 0]; sysc = tf( numc, denc); %sisotool( sysc) = 0.; % Okes óbkowania % onwesja do ostaci dysketnej sysd = cd( sysc,, 'oh'); [numd, dend] = tfdata( sysd, 'v') % Wsółcynniki wielomianu licnika tansmitancji dysketnej b = numd(); b = numd(); b0 = numd(); % Wsółcynniki wielomianu mianownika tansmitancji dysketnej a = dend(); a = dend(); a0 = dend(); % Wsółcynniki ównania chaakteystycnego Ma = [b a]; Ma = [b a]; Ma0 = [b0 a0]; % yteium Juy % Wsystkie onieżse wsółcynniki musą % być dodatnie = ; M = Ma^ + Ma + Ma0 = oots(m) = -; M_ = Ma^ + Ma + Ma0 _ = oots(m_) M0 = [0 ]- Ma0 0 = oots(m0) Pykład Wynac uchyb w stanie ustalonym ojawiający się w układie egulacji ysunku.. Okes óbkowania = 0. [s]. Sygnał adany ma ostać funkcji ( t) 5 t ( t) (s) E(s) E (s) s + 5s + 0) ZOH s + 7s Y(s) ys... Schemat blokowy układu egulacji dysketnej jednostkowym sężeniem wotnym. Sawdź ównież akes stojonego aametu dla któego układ ten jest stabilny i uyskany wynik jest oawny. Dodatkowo wynac wmocnienie kytycne k oa ile óbek N osc mieści się w jednym okesie oscylacji. owiąanie. W iewsej kolejności należy wynacyć ostać dysketną ołącenia kaskadowego ekstaolatoa eowego ędu i tansmitancji ocesu w tym yadku = ( ) Z s = ) Dla oteb wynacania uchybu w stanie ustalonym wato aisać mianownik wynaconej tansmitancję dysketnej (.) w ostaci ilocynowej (.) Ostatnia aktualiacja: M. omea 6

7 Analia uchybowa układów dysketnych = 0.5 ( ) ( Sygnał adany ma ostać funkcji aabolicnej ) 0.05) (.) ( t) 5 t ( t) 0 t ( t) (.) cyli amlituda tego sygnału wynosi = 0. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów adanych o ostaci funkcji aabolicnej wynacany jest e wou (9), wymaga on jednak wceśniejsego wynacenia stałej uchybu yśieseniowego a e wou (0) ) a lim ( ). 486 ( ) ( ) (.4) i watość uchybu w stanie ustalonym e u a Uchyb w stanie ustalonym będie wynosił dokładnie tyle ile wynika e wou (.5) jeśli układ ysunku.. będie stabilny i dlatego też tea należy sawdić dla jakiego akesu aametu stojonego układ ten będie stabilny. Sawdenie to ostanie wykonane y użyciu kyteium outha. W tym celu najiew należy naleźć tansmitancję układu amkniętego ) ( ) (.6) ( ) ( ) ( ) ównanie chaakteystycne (.5) ( ) ( ) ( ) 0 (.7) Stabilność ostanie wynacona y użyciu kyteium outha o astosowaniu odstawienia będącego ekstałceniem okęgu jednostkowego na łascyźnie miennej esolonej na lewą ółłascynę miennej esolonej. Po tym odstawieniu ównanie chaakteystycne (.7) yjmuje ostać (.8) ( ) ( ) (.9) ablica outha ( ) Układ ten będie stabilny jeśli wsystkie elementy iewsej kolumny mają watość więkse od ea, daje to ctey waunki na aamet stojony : o o (.0) Ostatnia aktualiacja: M. omea 7

8 Analia uchybowa układów dysketnych o ) o Z owiąania układu ównań (.0) uyskuje się nastęujące cąstkowe akesy dla dobou odowiedniego wmocnienie o o (.) o 7. 0 lub 0 4 o 0 Po owiąaniu układu ównań (.) okauje się, że układ egulacji ysunku.. będie stabilny gdy (.) olejnym oblemem w tym adaniu jest wynacenie wmocnienia kytycnego. Wmocnienie kytycnym jest takie wmocnienie któe euje wsółcynnik w iewsej kolumnie y i najduje się na ganicy stabilności. W tym yadku nie ma takiego wmocnienia, dlatego też nie ma yadku w któym można by uyskać oscylacje o stałej amlitudie. Pomijam taki yadek w któym uyskuje się układ naemiennymi óbkami o stałej amlitudie ale o eciwnych nakach. Pykład Wynac uchyb w stanie ustalonym ojawiający się w układie egulacji ysunku.. Okes óbkowania = 0. [s]. Sygnał adany ma ostać funkcji ( t) 4 ( t) (s) E(s) E (s) s ) ZOH s 4 + 5s + s + 4s + 6 Y(s) ys... Schemat blokowy układu egulacji dysketnej jednostkowym sężeniem wotnym. Sawdź ównież akes stojonego aametu dla któego układ ten jest stabilny i uyskany wynik jest oawny. Dodatkowo wynac wmocnienie kytycne k oa ile óbek N osc mieści się w jednym okesie oscylacji. owiąanie. W iewsej kolejności należy wynacyć ostać dysketną ołącenia kaskadowego ekstaolatoa eowego ędu i tansmitancji ocesu w tym yadku = ( ) Z s = Sygnał adany ma ostać funkcji aabolicnej ) (.) ( t) 4 ( t) (.) cyli amlituda tego sygnału wynosi = 4. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów adanych o ostaci funkcji skokowej wynacany jest e wou (9), wymaga on jednak wceśniejsego wynacenia stałej uchybu oycyjnego e wou (0) Ostatnia aktualiacja: M. omea 8

9 Analia uchybowa układów dysketnych ) P lim (.) i watość uchybu w stanie ustalonym 4 e (.4) u P P Uchyb w stanie ustalonym będie wynosił dokładnie tyle ile wynika e wou (.4) jeśli układ ysunku.. będie stabilny i dlatego też tea należy sawdić dla jakiego akesu aametu stojonego układ ten będie stabilny. Sawdenie to ostanie wykonane y użyciu kyteium outha. W tym celu najiew należy naleźć tansmitancję układu amkniętego ) ( ) (.5) 4 ( ) ( ) ( ) ównanie chaakteystycne 4 ( ) ( ) ( ) (.6) Stabilność ostanie wynacona y użyciu kyteium outha o astosowaniu odstawienia będącego ekstałceniem okęgu jednostkowego na łascyźnie miennej esolonej na lewą ółłascynę miennej esolonej. Po tym odstawieniu ównanie chaakteystycne (.6) yjmuje ostać 4 M ( ) ( ) ( ) ( ). (.7) ablica outha ( ). ( ) 0 (.8) Układ ten będie stabilny jeśli wsystkie elementy iewsej kolumny mają watość więkse od ea, daje to ctey waunki na aamet stojony : o o (.9) o o o Ostatnia aktualiacja: M. omea 9

10 Analia uchybowa układów dysketnych Dla każdej nieówności (.9) akesy owiąań są nastęujące o 0. 9 o (.0) o lub o lub o 6 Po wynaceniu wsólnego akesu dla owiąań cąstkowych (.0) okauje się, że układ egulacji ysunku.. będie stabilny gdy < < 6 (.) olejnym agadnieniem do owiąania jest wynacenie wmocnienia kytycnego. oystając analiy tablicy outha, wmocnieniem kytycnym w oatywanym układie jest watość k = (.) Podstawiając watość ównania (.) do ównania (.6) wynacone ostanie ównanie chaakteystycne awieające iewiastki esolone najdujące się na okęgu jednostkowym (.) owiąania ównania (.) są nastęujące o j j0. e o j j0. e (.4) o j 0.56 j e o j 0.56 j e Dwa iewse bieguny oa najdują się dokładnie na okęgu jednostkowym. Do wynacenia osukiwanej licby óbek w tym okesie osłuży biegun Wynacona ulsacja Okes oscylacji j j e osc 6.09 [s].04 Posukiwana licba óbek w wynaconym okesie oscylacji Nosc 6.09 Nosc [óbek] 0. j j e e (.5) (.6) Oblicenia wykonane w tym ykładie ostały uyskane y użyciu nastęującego kodu ogamu Matlaba. clea close all echo off clc % Paamety tansmitancji ocesu Ostatnia aktualiacja: M. omea 0

11 Analia uchybowa układów dysketnych numc = [ -]; denc = [ 5 4 6]; sysc = tf( numc, denc) %sisotool( sysc) = 0.; % Okes óbkowania % onwesja do ostaci dysketnej sysd = cd( sysc,, 'oh'); [numd, dend] = tfdata( sysd, 'v') % = oots( dend) % Wynacenie stałej uchybu oycyjnego num = sum( numd) den = sum( dend) = num/den % Watość uchybu oycyjnego = 4; eu = /(+) % Wsółcynniki wielomianu licnika tansmitancji dysketnej b4 = numd(); b = numd(); b = numd(); b = numd(4); b0 = numd(5); % Wsółcynniki wielomianu mianownika tansmitancji dysketnej a4 = dend(); a = dend(); a = dend(); a = dend(4); a0 = dend(5); % Wynacenie wsółcynników ównania chaakteystycnego M() M4 = [b4 a4] M = [b a] M = [b a] M = [b a] M0 = [b0 a0] % Wynacenie wsółcynników ównania chaakteystycnego M() M4 = M4 - M + M - M + M0 M = 4M4 - M + M - 4M0 M = 6M4 - M + 6M0 M = 4M4 + M - M - 4M0 M0 = M4 + M + M + M + M0 % Wynacenie kolejnych wsółcynników % iewsej kolumny tablicy outha b4 = M4 b = M b = conv(m,m) - conv(m4,m) b = conv(conv(m,m),m) - conv(conv(m,m),m4)... conv(conv(m,m),m0) b0 = M0 % Wynacenie ganicnych watości aametów dla oscególnych % waunków stabilności a4k = b4(); b4k = b4(); g4 = b4k/a4k ak = b(); bk = b(); g = bk/ak b = oots( b); ga = b() gb = b() b = oots( b); ga = b() gb = b() gc = b() a0k = b0(); b0k = b0(); g0 = -b0k/a0k = b() M = [M4[ ]' M[ ]' M[ ]' M[ ]' M0[ ]'] Ostatnia aktualiacja: M. omea

12 Analia uchybowa układów dysketnych No = ; M = oots( M) M = abs( M No)) theta = angle ( M No)) w = theta/ osc = i/w Nosc = osc/ ĆWICZENIA W MALABIE M. Schemat blokowy układu steowania imulsowego okaany jest na ysunku M.Wynac uchyb w stanie ustalonym ojawiający się w tym układie egulacji. Sawdź ównież akes stojonego aametu dla któego układ ten jest stabilny i uyskany wynik jest oawny. Dodatkowo wynac wmocnienie kytycne k oa ile óbek N osc mieści się w jednym okesie oscylacji. (s) E(s) E (s) ZOH H(s) G (s) Y(s) ys. M. Schemat blokowy układu egulacji dysketnej jednostkowym sężeniem wotnym. a) b) c) d) e) f) g) h) i) s), (t) = 5 ( t ), okes óbkowania = 0. [s]. s 9s 7s s ), (t) = 4t ( t), okes óbkowania = 0.5 [s]. s( s s ) s s 0), (t) = t ( t), okes óbkowania = 0. [s]. s ( s 6) s ), (t) = ( t ), okes óbkowania = 0.5 [s]. s 7s 6s s ), (t) = 0 ( t ), okes óbkowania = 0.5 [s]. s( s 6s 4) s 4s 5), (t) = 0t ( t), okes óbkowania = 0. [s]. s ( s ) s ), (t) = 5 ( t ), okes óbkowania = 0.5 [s]. s s 4s 6 s s ), (t) = t ( t), okes óbkowania = 0.5 [s]. s ( s 5) s 5s ), (t) = 0t ( t), okes óbkowania = 0. [s]. s( s s 0) Ostatnia aktualiacja: M. omea

13 Analia uchybowa układów dysketnych s 8s 40) j), (t) = ( t ), okes óbkowania = 0. [s]. s 4s s 5 s ) k), (t) = 0 ( t ), okes óbkowania = 0.5 [s]. s 9s 0s 4 l) s 7s 4), (t) = 5t ( t), okes óbkowania = 0. [s]. s ( s 6) ODPOWIEDZI DO WYBANYCH ĆWICZEŃ M. a) ) 5, 0. 5, e u ; Zakes stabilności: < < ; Wmocnienie kytycne k = ; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = 5.64 b) c) d) e) ) 4, v, e u ; Zakes stabilności: 0 < < Wmocnienie kytycne k = 8.474; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = ). 6, a. 6667, e u ; Zakes stabilności: < < Wmocnienie kytycne k = 0.579; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = ),, e u ; Zakes stabilności: < < Wmocnienie kytycne k = 4.769; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = ),, e u 0 ; Zakes stabilności: 0 < < Wmocnienie kytycne k = 0.606; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = f) ) G 0G Zakes stabilności: 0 < < 0.0 Wmocnienie kytycne: bak h, v u, e 0 ; g) ) 5, , e u ; Zakes stabilności: < < 6 Wmocnienie kytycne k = 0.759; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc =.48 h) ) G 0G Zakes stabilności: 0 < < Wmocnienie kytycne: bak h, v u, e 0 ; Ostatnia aktualiacja: M. omea

14 Analia uchybowa układów dysketnych i) j) k) ) 00, v 0., e u ; Zakes stabilności: 0 < <.809 Wmocnienie kytycne k =.809; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = ), 8, e u ; Zakes stabilności: 0.09 < <.7899 Wmocnienie kytycne k =.7899; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = ) 0, 0. 75, e u ; Zakes stabilności:. < < Wmocnienie kytycne k = 5.678; Licba óbek w jednym okesie oscylacji N osc = l) ), a , Zakes stabilności: 0 < < 9.94 Wmocnienie kytycne: bak 5 e u ; LIEAUA. Fanklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Feedback Contol of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Comany, 986. uo B.C.: Automatic Contol of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 995. Ostatnia aktualiacja: M. omea 4