METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny rozwój narzędzi eoreycznych finansów. Doyczy o przede wszyskim ych narzędzi, kóre mają u podsaw zaawansowane meody maemayczne, w ym meody saysyczne. Efekywne zasosowanie ych meod sało się możliwe po pierwsze dzięki rozwojowi efekywnych narzędzi informaycznych (hardware i sofware), po drugie dzięki pojawieniu się zbiorów danych finansowych (np. długich szeregów czasowych), w odniesieniu do kórych meody e można sosować. Z jednej srony, rozwój meod saysycznych i wykorzysanie echnologii informaycznych umożliwiły rozwiązanie skomplikowanych problemów prakycznych z zakresu finansów, z drugiej srony wyzwania prakyki finansów spowodowały powsanie i rozwój niekórych meod saysycznych. W opracowaniu dokonujemy bardzo syneycznego przeglądu prakycznych problemów finansowych, w kórych kluczową rolę odgrywa zasosowanie meod saysycznych, wskazując na e meody. Na wsępie jednak poczynimy uwagę erminologiczną, doyczącą rozróżnienia między meodami saysycznymi i meodami ekonomerycznymi. Różnica między meodami saysycznymi i ekonomerycznymi doyczy u przypadku meod wywodzących się z podejścia sochasycznego. Te meody mają u podsaw jedno z dwóch pojęć: rozkład saysyczny; proces sochasyczny. W pierwszym pojęciu wymiar czasu jes do pewnego sopnia ignorowany i główny nacisk położony jes na analizę srukury zbioru danych. Zwyczajowo e meody nazywa się meodami saysycznymi. W drugim pojęciu główny nacisk położony jes na analizę dynamiki, a znacznie mniejszy (jeśli w ogóle) na srukurę. Zwyczajowo e meody nazywa się meodami ekonomerycznymi. W ym opracowaniu pojęcie meody saysyczne jes rozumiane szerzej, gdyż oprócz klasycznych meod saysycznych obejmuje również meody ekonomeryczne. 5

Dodajmy jeszcze, że najpełniejsza srukura danych finansowych, jaka może być analizowana za pomocą meod saysycznych, jes o koska danych. Koska a jes niczym innym jak wielowymiarowym szeregiem przekrojowo-czasowym i ma 3 wymiary: Obieky (w sumie n); Czas (w sumie N); Zmienne (w sumie m). Ogólnie zaem mamy do czynienia z N x n x m zmiennymi losowymi, przy czym dysponuje się ylko jedną obserwacją dla zmiennej losowej, dlaego eż czyni się pewne uproszczenia w celu umożliwienia przeprowadzania wnioskowania saysycznego. Analiza problemów prakycznych wysępujących w finansach, w kórych kluczową rolę odgrywa zasosowanie meod saysycznych, pozwala na wyodrębnienie nasępujących grup zagadnień: analiza i modelowanie finansowych szeregów czasowych; analiza dochodu i ryzyka inwesycji finansowych; modelowanie zależności między zmiennymi finansowymi; modelowanie ryzyka rynkowego za pomocą koncepcji Value a Risk (VaR); modelowanie ryzyka kredyowego. Zagadnienia e są syneycznie omówione w kolejnych częściach opracowania. Jes o oczywiście niepełna lisa zagadnień, obejmująca najważniejsze problemy, w kórych obserwuje się największy rozwój meod. Analiza i modelowanie finansowych szeregów czasowych Jes pewna liczba rodzajów finansowych szeregów czasowych, kóre zazwyczaj podlegają modelowaniu. Można je podzielić ze względu na dwa kryeria. 1. Zjawisko finansowe. Wyróżniamy uaj: szeregi czasowe sóp procenowych; szeregi czasowe kursów waluowych; szeregi czasowe cen akcji; szeregi czasowe warości indeksów giełdowych; szeregi czasowe cen owarów giełdowych (energii, meali, produków rolnych ip.). 2. Modelowana charakerysyka. Wyróżniamy uaj nasępujące szeregi czasowe: szeregi czasowe cen spo (cen naychmiasowych); 6

szeregi czasowe cen forward (cen erminowych); szeregi czasowe sóp zwrou; szeregi czasowe zmienności. Różnice między ymi szeregami najprościej jes przedsawić na przykładzie, w kórym modelowanym zjawiskiem finansowym jes kurs waluowy. 1. Szereg czasowy kursu waluowego spo (naychmiasowego). Jes o szereg, kórego elemenami są warości kursu waluowego w ransakcjach waluowych dokonywanych obecnie. 2. Szereg czasowy kursu waluowego forward (erminowego). Jes o szereg, kórego elemenami są warości kursu waluowego w ransakcjach erminowych, zn. akich, kóre są dokonywane w przyszłości (np. za rzy miesiące), lecz cena usalana jes dziś (oczywiście z reguły a cena różni się od ceny naychmiasowej). 3. Szereg czasowy sóp zwrou z rynku waluowego. Jes o szereg, kórego elemenami są sopy zwrou, określane na podsawie cen (zazwyczaj pod uwagę bierze się jedynie ceny spo). Sopa zwrou wyrażona jes w ym wypadku w skali pewnego okresu (dnia, miesiąca, roku) i określa procenowy dochód z ransakcji polegającej na zakupie waluy na począku okresu i sprzedaży waluy na koniec okresu. Przy ym sosowane są dwie konwencje wyznaczania sopy zwrou: prosa sopa zwrou, dana wzorem: P R = + 1 1 P logarymiczna sopa zwrou, dana wzorem: R = ln P + 1 ln P Przy ym R oznacza sopę zwrou, zaś P oznacza kurs waluowy, naomias indeksy oznaczają kolejne momeny czasowe. 4. Szereg czasowy zmienności kursu waluowego. Jes o szereg, kórego elemenami są paramery zmienności zazwyczaj odchylenia sandardowe wyznaczone w odniesieniu do sóp zwrou (prosych lub logarymicznych) z rynku waluowego. Oznacza o, że dla każdego momenu wyznaczane jes jedno odchylenie sandardowe, zazwyczaj na podsawie danych z okresu poprzedzającego en momen. Każda z ych warości może być inerpreowana jako przecięna zmienność sóp zwrou z ransakcji waluowych. Z powyższych rozważań wynika, że isnieją różne rodzaje szeregów czasowych, kóre podlegają modelowaniu. Najczęściej modelowaniu podlegają pojedyncze szeregi czasowe. Każdy z nich może być analizowany za pomocą wielu różnych meod saysycznych. 7

Analiza ych różnych możliwych meod doprowadziła nas do wyróżnienia nasępujących podsawowych grup: prose meody analizy dynamiki; meody wywodzące się z koncepcji procesu sochasycznego; meody sieci neuronowych. Należy również zwrócić uwagę, iż w finansach meody e zazwyczaj sosowane są w celach prognosycznych. 1. Prose meody analizy dynamiki. Do ej grupy zalicza się prose meody saysyczne, kórych głównym celem jes analiza dynamiki. Będą o przeo głównie różnego rodzaju modele rendu (liniowe i nieliniowe), w ym również modele adapacyjne. Środowisko finansowe obecnie sięga po zdecydowanie bardziej zaawansowane meody niż meody należące do ej grupy. Wydaje się jednak, że nie należy zapominać o ych prosych meodach, gdyż czasem mogą one prowadzić do dobrych rezulaów z punku widzenia skueczności prognozowania. 2. Meody wywodzące się z koncepcji procesu sochasycznego. Meody e w osanich kilkunasu laach zyskały bardzo dużą popularność w zasosowaniach finansowych. Punkem wyjścia w rozwoju ych meod jes koncepcja procesu sochasycznego w czasie dyskrenym. Liczba meod, a właściwie modeli, należących do ej grupy jes bardzo duża. Jak się okazuje, isona część proponowanych modeli może być zapisana w nasępującej ogólnej posaci (por. Tsay (2002)): X g( F h( F = g( F 1 1 1 ) = µ ) = σ ) + 2 h( F = E( X = V ( X W ej ogólnej posaci model składa się z dwóch części: warunkowej średniej oraz warunkowej wariancji (ściślej: warunkowego odchylenia sandardowego). Termin warunkowy oznacza uaj, że analizowany jes rozkład zmiennej losowej, będącej częścią składową procesu sochasycznego, w momencie, pod warunkiem rozkładu w przeszłych momenach. Jeśli weźmiemy pod uwagę fak, że każda część składowa może być modelem liniowym lub nieliniowym, wówczas orzymujemy nasępujące grupy: Modele liniowe średniej i liniowe wariancji; a grupa zawiera akie modele, jak: sacjonarne modele szeregów czasowych (ARMA), niesacjonarne modele zinegrowanych szeregów czasowych (ARIMA), modele sezonowe (SARIMA), niesacjonarne modele ułamkowo zinegrowanych szeregów czasowych (ARFIMA), modele rendowo-niesacjonarne ip. Modele liniowe średniej i nieliniowe wariancji; a grupa zawiera modele wymienione powyżej, w kórych część składowa wariancji jes modelowana osobno, za pomocą akich modeli, jak: ARCH, GARCH, SV, CHARMA, GARCH-M ip. 1 X ) ε 1 X 1,...),...) 8

Modele nieliniowe średniej i nieliniowe wariancji; a grupa zawiera m.in. modele: TAR, STAR, SETAR, dwuliniowe, przełącznikowe modele Hamilona ip. Najpopularniejszym modelem spośród wyżej wymienionych jes en, w kórym warunkowa średnia modelowana jes za pomocą procesu auoregresji, zaś warunkowa wariancja za pomocą procesu GARCH. Szczegółowy przegląd modeli wywodzących się z koncepcji procesu sochasycznego zawiera m.in. praca Tsaya (2002). 3. Meody sieci neuronowych. Jes o klasyczne zasosowanie sieci neuronowych, w kórym zmienna na wyjściu sieci neuronowej o zmienna w okresie, zaś zmienne na wejście są o zmienne z przeszłych okresów. Zadaniem sieci neuronowej jes wykorzysanie danych hisorycznych zawarych w szeregu czasowym do aproksymacji obecnej warości zmiennej za pomocą przeszłych warości ej zmiennej. Analiza dochodu i ryzyka inwesycji finansowych Wprowadzenie Analiza dochodu i ryzyka jes o klasyczne zagadnienie finansowe, kóre zosało sformułowane na gruncie eorii porfela (por. Markowiz (1952)). W sposób najbardziej ogólny zagadnienie o może być opisane nasępująco: Należy sworzyć porfel insrumenów finansowych, np. akcji, w aki sposób, że dochód z ego porfela jes jak największy, zaś ryzyko ego porfela jes jak najmniejsze. Przy ym z reguły ryzyko rozumiane jes jako możliwość osiągnięcia dochodu różniącego się od spodziewanego dochodu. Zagadnienie eorii porfela jes o zaem zagadnienie decyzyjne, wyrażone w dwóch nasępujących problemach, rozwiązywanych za pomocą meod opymalizacji warunkowej: minimalizacja ryzyka, przy zadanym poziomie dochodu; maksymalizacja dochodu, przy zadanym poziomie ryzyka. Kluczową rolę w ych zagadnieniach odgrywa określenie dochodu i ryzyka. To właśnie uaj sosowane są meody saysyczne, konkrenie meody analizy rozkładu saysycznego. Meody e sanowią isoną część analizy porfelowej, czyli prakycznego zasosowania eorii porfela na rynku finansowym. Rozkład saysyczny, kóry jes analizowany, jes o rozkład sóp zwrou (np. sóp zwrou akcji), przy czym mogą o być zarówno prose sopy zwrou, jak i logarymiczne sopy zwrou. W prakyce częso rozkład en określany jes na podsawie szeregów czasowych sóp zwrou, co oznacza, że ak naprawdę zakładamy implicie, że obserwacje pochodzące z kolejnych momenów można rakować jako pochodzące z populacji o ym samym rozkładzie. W prakyce o ym założeniu się z reguły nie mówi, przechodząc nad ym do porządku dziennego. 9

W zagadnieniu porfela mamy do czynienia z rozkładem wielowymiarowym, jes o rozkład sóp zwrou składników (np. akcji) wchodzących w skład porfela. Jeśli na przykład mamy do czynienia z porfelem złożonym z akcji 10 spółek, wówczas oczywiście rozparujemy rozkład 10-wymiarowy. Jednak na począku rozparzymy przypadek jednowymiarowy, zn. aki, w kórym każdy składnik porfela analizowany jes osobno. Analiza jednowymiarowego rozkładu sopy zwrou Rozkład sopy zwrou jes podsawą do określenia dochodu i ryzyka. Klasyczne podejście (zaproponowane jeszcze przez Markowiza) jes u bardzo prose i nauralne, mianowicie: dochód określony jes jako oczekiwana sopa zwrou, czyli warość oczekiwana rozkładu sopy zwrou; ryzyko określone jes jako odchylenie sandardowe (ewenualnie wariancja) sopy zwrou, czyli odchylenie sandardowe rozkładu sopy zwrou. Pozwala o na sformułowanie nasępującej zasady. Wyznaczanie charakerysyk dochodu i ryzyka w klasycznym podejściu sprowadza się do esymacji warości oczekiwanej i odchylenia sandardowego rozkładu sopy zwrou. W najprosszym zaem ujęciu: miarą dochodu jes średnia arymeyczna sóp zwrou; miarą ryzyka jes odchylenie sandardowe sóp zwrou. Takie ujęcie jes oczywiście uzasadnione w najprosszej syuacji, kóra może wysąpić, mianowicie akiej, gdy rozkład sóp zwrou jes normalny. Wedy wysarczy zwykła esymacja warości oczekiwanej i odchylenia sandardowego. W prakyce jednak jes o raczej rzadziej spoykana syuacja. Zaem zagadnienie określania dochodu i ryzyka należy rakować bardziej ogólnie, co prowadzi do nasępującej zasady: Wyznaczanie charakerysyk dochodu i ryzyka sprowadza się do esymacji parameru położenia (miara dochodu) i parameru skali (miara ryzyka) rozkładu sopy zwrou. W akim przypadku jako miarę dochodu można sosować dowolny esymaor parameru położenia, np. medianę sóp zwrou, modalną sóp zwrou, czy eż zw. punk środkowy (midrange średnia arymeyczna warości maksymalnej i minimalnej). Z punku widzenia eorii finansów bardzo isoną rolę odgrywa również zw. geomeryczna sopa zwrou, dana wzorem: 1/ N R = [(1 + R )(1 + R )...(1 + )] 1 1 2 R N Podobnie jako miarę ryzyka można sosować dowolny esymaor parameru skali (rozrzuu), np. odchylenie przecięne, odchylenie międzykwarylowe (lub odchylenie ćwiarkowe), rozsęp, średnie odchylenie od mediany, czy eż medianę bezwzględnych odchyleń od mediany. 10

Analiza inwesycji finansowych nie poprzesaje na analizie dochodu i ryzyka, podobnie jak analiza rozkładów saysycznych nie poprzesaje na analizie paramerów położenia i paramerów skali. Jak wiadomo, w analizie rozkładu saysycznego częso ineresuje nas również analiza skośności i analiza spłaszczenia. Jak się okazuje, akie podejście ma uzasadnienie w analizie inwesycji finansowych, gdyż rozkłady sóp zwrou nierzadko charakeryzują się skośnością oraz są lepokuryczne (wysępują w nich grube ogony). Dodakowo może do ego dojść analiza obserwacji nieypowych (ouliers). Oznacza o, że analiza inwesycji finansowych przeprowadzana meodami analizy rozkładu saysycznego obejmuje z reguły nasępujące zadania: esymacja paramerów położenia; esymacja paramerów skali (rozrzuu, rozproszenia); esymacja paramerów skośności; esymacja paramerów spłaszczenia (kurozy); analiza obserwacji nieypowych. Analiza wielowymiarowego rozkładu sóp zwrou W zagadnieniu worzenia porfela bardzo ważną rolę odgrywa jednak rozkład wielowymiarowy, gdzie liczba wymiarów jes równa liczbie składników (np. spółek) porfela. Wynika o z nasępujących podsawowych zasad sosowanych w klasycznej eorii porfela: dochód porfela określony jes jako oczekiwana sopa zwrou porfela, czyli ważona średnia oczekiwanych sóp zwrou składników porfela, kóre z kolei są składowymi wekora średnich rozkładu wielowymiarowego sóp zwrou; ryzyko porfela określone jes jako odchylenie sandardowe (ewenualnie wariancja) sopy zwrou porfela, kóre jes liniową funkcją elemenów macierzy kowariancji rozkładu wielowymiarowego sóp zwrou (odchyleń sandardowych oraz współczynników korelacji). Takie ujęcie jes oczywiście uzasadnione w najprosszej syuacji, kóra może wysąpić, mianowicie akiej, gdy rozkład wielowymiarowy sóp zwrou jes wielowymiarowym rozkładem normalnym, lub szerzej: gdy rozkład en należy do klasy wielowymiarowych rozkładów elipycznie symerycznych. Wedy wysarczy klasyczna esymacja wekora średnich i macierzy kowariancji. W prakyce jednak a syuacja może wysępować niezby częso. Zaem zagadnienie określania dochodu i ryzyka porfela należy rakować bardziej ogólnie, co prowadzi do nasępującej zasady: Wyznaczanie charakerysyk dochodu i ryzyka porfela sprowadza się do esymacji wekora położenia i macierzy rozrzuu wielowymiarowego rozkładu sopy zwrou. Oczywiście do ego mogą dojść bardziej skomplikowane zagadnienia analizy rozkładu, akie jak: analiza skośności wielowymiarowej, analiza kurozy wielowymiarowej, analiza wielowymiarowych obserwacji nieypowych, w odniesieniu do kórych sosuje się mniej znane narzędzia saysyczne. 11

Modelowanie zależności między zmiennymi finansowymi Innym, dość szerokim zagadnieniem finansowym rozwiązywanym za pomocą meod saysycznych, jes modelowanie zależności między zmiennymi finansowymi. W sposób bardzo ogólny zagadnienie o można zapisać nasępująco: Y = f X, X,...,, ) ( 1 2 X m ε Jak widać zaem jes o klasyczne zagadnienie modelowania zależności jednej zmiennej (zwanej objaśnianą) od zbioru innych zmiennych (zwanych objaśniającymi) z uwzględnieniem składnika losowego. Oznacza o, że właściwie można u sosować dowolne meody analizy regresji, ewenualnie meody sieci neuronowych. Z punku widzenia zagadnień finansowych isone jes naomias o, że: najczęściej jako zmienna objaśniana wysępuje cena lub sopa zwrou; jako zmienne objaśniające częso wysępują zmienne, kóre można inerpreować jako czynniki ryzyka; pochodne cząskowe zmiennej objaśnianej względem zmiennych objaśniających inerpreowane są jako współczynniki wrażliwości; ze względów inerpreacyjnych najczęściej przyjmowana jes liniowa posać funkcji określającej zależność. Przedsawimy eraz kilka modeli finansowych, sosowanych częso w prakyce, w kórych zasosowanie ma przedsawiona powyżej funkcja. 1. Model jednowskaźnikowy Sharpe a i współczynnik bea. Model Sharpe a ma nasępującą posać (por. Sharpe (1963)): R α + βr + ε = M W modelu ym zmienną objaśnianą jes sopa zwrou akcji spółki, zaś zmienną objaśniającą sopa zwrou indeksu rynku, zazwyczaj indeksu giełdowego. W modelu ym współczynnikiem kierunkowym jes właśnie współczynnik bea. Wskazuje on, o ile (w przybliżeniu) zmieni się sopa zwrou akcji (lub porfela akcji), gdy sopa zwrou indeksu rynku wzrośnie o jednoskę (jeden punk procenowy). 2. Model wyceny arbirażowej APT. Model en, zaproponowany przez Rossa (por. Ross (1976)), ma nasępującą posać: R = β 0 + β1f1 + β2f2 +... + βmfm + ε W ym modelu zmienną objaśnianą jes sopa zwrou akcji spółki, zaś zmiennymi objaśniającymi pewne inne zmienne, zwane czynnikami ryzyka. Współczynniki przy zmiennych objaśniających są o oczywiście współczynniki wrażliwości. Określają, jak sopa zwrou akcji reaguje na zmiany poszczególnych czynników ją kszałujących, przy założeniu, że pozosałe czynniki się nie zmieniają. 12

Przy wyznaczaniu powyższego modelu możliwe są dwie syuacje: czynniki ryzyka zosały zidenyfikowane za pomocą wiedzy meryorycznej wówczas mamy do czynienia ze zwykłym modelem regresji; czynniki ryzyka nie są znane wówczas sosowane są meody analizy czynnikowej; należy jednak zaznaczyć, iż wedy mogą się pojawić kłopoy z inerpreacją orzymanych wyników. 3. Model liniowy współczynnika zabezpieczenia dla konraku erminowego. Współczynnik zabezpieczenia dla konraku erminowego (hedge raio) jes również miarą wrażliwości. Współczynnik en w zagadnieniach finansowych sosowany jes w przypadku zabezpieczania insrumenu finansowego (np. akcji) konrakem erminowym (zwłaszcza konrakem fuures). Omawiany model liniowy, w kórym współczynnik zabezpieczenia jes dany jako współczynnik kierunkowy, ma nasępującą posać: S = α + βf + ε gdzie: S cena insrumenu podsawowego (cena spo), F cena konraku erminowego (cena fuures). Z powyższego wzoru wynika, iż współczynnik zabezpieczenia wskazuje, o ile (w przybliżeniu) zmieni się cena insrumenu podsawowego, gdy cena konraku erminowego wzrośnie o jednoskę. Może on być esymowany za pomocą sandardowej procedury, zn. analizy regresji zasosowanej w odniesieniu do hisorycznych cen insrumenu podsawowego i hisorycznych cen konraku erminowego. Modelowanie ryzyka rynkowego za pomocą koncepcji Value a Risk (VaR) Przy analizie dochodu i ryzyka inwesycji finansowych wskazywaliśmy już, iż ryzyko inwesycji może być mierzone za pomocą paramerów rozrzuu rozkładu saysycznego sóp zwrou. Obecnie przedsawimy zbliżone zagadnienie, w kórym rozparywany jes pomiar ryzyka rynkowego, na kóre narażony jes podmio gospodarczy (np. insyucja finansowa bądź przedsiębiorswo). Przy ym ryzyko rynkowe jes o ryzyko wynikające ze zmian warości pewnego indeksu ryzyka, np. zmian cen. Miary ryzyka rynkowego mają u podsaw właśnie rozkład saysyczny indeksu ryzyka. Są o (podobnie jak przy analizie ryzyka inwesycji finansowych) miary rozrzuu lub zw. miary zagrożenia. Określa się je również na podsawie rozkładu saysycznego, jako funkcje kwanyli (saysyk porządkowych) rozkładu. Są o przede wszyskim miary wywodzące się z koncepcji Value a Risk (VaR) zw. warości zagrożonej. Warość zagrożona jes o miara poencjalnej sray (zmniejszenia warości). Jes ona określona jako możliwa sraa (zmniejszenie warości), kóra powsanie w danym okresie przy zadanym z góry poziomie ufności (zazwyczaj 95% lub 99%). 13

Formalnie Value a Risk określa się za pomocą wzoru: P ( W W0 VaR) = α gdzie: W 0 obecna warość insyucji; W warość insyucji na końcu rozparywanego okresu, formalnie jes o zmienna losowa; α poziom olerancji (prawdopodobieńswo bliskie 0, z reguły 0,01 lub 0,05); 1-α poziom ufności (prawdopodobieńswo bliskie 1, z reguły 0,99 lub 0,95). Z powyższego wzoru wynika, że warość zagrożona jes niczym innym, jak różnicą między obecną warością, a kwanylem wyznaczonym dla rozkładu warości. Dodajmy u jeszcze, że do wyznaczania Value a Risk można wykorzysać rozkład sopy zwrou (zamias rozkładu warości). Z ych rozważań wynika również, iż do wyznaczenia VaR niezbędne jes sosowanie meod wyznaczania kwanyli rozkładu saysycznego. Modelowanie ryzyka kredyowego Ryzyko kredyowe jes drugim, obok ryzyka rynkowego, podsawowym rodzajem ryzyka finansowego. Jes ono określane jako ryzyko wynikające z możliwości niedorzymania warunków przez drugą sronę konraku finansowego. Najprosszym (ale nie jedynym) przypadkiem jes ryzyko wynikające z faku, iż podmio zaciągający kredy może nie spłacić kwoy ego kredyu i nie zapłacić odseek. Meody saysyczne odgrywają bardzo isoną rolę w pomiarze i modelowaniu ryzyka kredyowego. Ogół meod, a właściwie modeli sosowanych w ym zagadnieniu można podzielić na dwie grupy: modele niedorzymania warunków (defaul models), kóre mają za zadanie ocenę prawdopodobieńswa niedorzymania warunków bądź przydzielenie ocenianego podmiou do konkrenej klasy odzwierciedlającej możliwość niedorzymania warunków przez en podmio; modele rynkowe (marke models), kóre mają za zadanie oszacowanie sray wynikającej z możliwego niedorzymania warunków. W ym opracowaniu zajmujemy się jedynie ą pierwszą grupą modeli, gdyż w ej chwili w Polsce jes ona zdecydowanie częściej sosowana. Do podsawowych meod zaliczanych do ej grupy należą: meody skoringowe; meody analizy dyskryminacyjnej; meody sieci neuronowych. 14

1. Meody skoringowe. W ych meodach na począku określa się (na podsawie wiedzy meryorycznej) czynniki deerminujące prawdopodobieńswo niedorzymania warunków. Nasępnie wybiera się pewną funkcję, w kórej zmiennymi objaśniającymi są e czynniki, naomias zmienną objaśnianą jes aka zmienna zero-jedynkowa, kórej warości przyjmują warość 0 w przypadku niedorzymania warunków, zaś 1 w wypadku dorzymania warunków. Jes kilka możliwych meod skoringowych, przy czym ak naprawdę można u sosować każdy model regresji, w kórym zmienna objaśniana jes zmienną zero-jedynkową. Najprosszy jes model liniowego prawdopodobieńswa nasępującej posaci: Z = β 1 X 1 + β 2 X 2 +... + β m X m + β0 + ε gdzie: Z zmienna zero-jedynkowa, określająca niedorzymanie warunków; X i i-y czynnik deerminujący niedorzymanie warunków. Okazuje się, że warość oczekiwana zmiennej po lewej sronie ego modelu jes równa prawdopodobieńswu niedorzymania warunków, co jes zaleą ego modelu. Jednak jes eż isona wada: prawdopodobieńswa orzymane w wyniku zasosowania ego modelu mogą przyjąć warość spoza przedziału [0;1]. Drugim częso sosowanym modelem jes model logiowy, pozbawiony wyżej wymienionej wady. W ym modelu zasosowana jes zmienna znormalizowana, a posać modelu jes nasępująca: Z Z * * = β X 1 1 = (1 + e + β X Z ) 2 1 2 +... + β Oczywiście można sosować również inne modele z dyskreną zmienną objaśnianą, jak model probiowy. Wszyskie omawiane modele szacowane są z reguły za pomocą klasycznych procedur analizy regresji na podsawie danych z przeszłości doyczących podmioów, kóre dorzymywały i nie dorzymywały warunków umowy. 2. Analiza dyskryminacyjna. Jak wiadomo, analiza dyskryminacyjna polega na przydzieleniu obieków należących do zw. próby rozpoznawanej do z góry zdefiniowanych klas, przy czym klasy e określone są na podsawie danych z przeszłości, zawarych w zw. próbie uczącej. Meody analizy dyskryminacyjnej, sandardowo zaliczane do meod saysycznej analizy wielowymiarowej, mogą być przeo wykorzysane do oceny ryzyka kredyowego, poprzez wyznaczenie dwóch klas: jednej zawierającej podmioy niedorzymujące warunków umowy, zaś drugiej zawierającej podmioy dorzymujące warunków (możliwe jes uwzględnienie jeszcze rzeciej klasy, neuralnej, zawierającej podmioy, co do kórych nie można podjąć jednoznacznej decyzji). Jednym z pierwszych przykładów zasosowania m X m + β 0 + ε 15

analizy dyskryminacyjnej w ocenie ryzyka kredyowego jes znany model Almana (por. Alman (1968)). 3. Sieci neuronowe. W ych meodach wykorzysana jes dokładnie a sama idea co w analizie dyskryminacyjnej. Jednak jako funkcja dyskryminacyjna sosowana jes u (jak zwykle w sieciach neuronowych) bardzo skomplikowana funkcja nieliniowa, będąca funkcją aproksymującą na podsawie danych z przeszłości zależność między niedorzymaniem warunków umowy przez dany podmio (jes o zmienna zero-jedynkowa na wyjściu sieci neuronowej) od czynników wpływających na en fak (są o zmienne na wejściu sieci neuronowej). Czasami zmienną na wyjściu może być również prawdopodobieńswo niedorzymania warunków. Lieraura 1. Alman E.I. (1968), Financial raios, discriminan analysis and he predicion of corporae bankrupcy, Journal of Finance, 23, s. 589-609. 2. Markowiz H., Porfolio selecion, Journal of Finance, 7, s. 77-91. 3. Ross S.A. (1976), The arbirage heory of capial asse pricing. Journal of Economic Theory, 13, s. 341-360. 4. Sharpe W. (1963), A simplified model for porfolio analysis, Managemen Science, 19, s. 277-293. 5. Tsay R.S. (2002), Analysis of financial ime series, Wiley, New York. 16