ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA

Tadeusz Iglot ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA LISTA ZADAŃ NR 1 ( 1 2 3 4 5 1 Dae sa permutacje f = 3 1 4 5 2 permutacje f g 2 oraz f g f g g = ( 1 2 3 4 5 4 1 2 5 3 Wyzaczyć 2 Permutacja h azywa sie odwrota do permutacji f jeśli f h = h f = e gdzie e jest permutacja idetyczościowa Permutacje odwrota do f ozaczamy f 1 Dla f g z zadaia 1 wyzaczyć f 1 g 1 oraz g f 1 g 3 Roz lożyć a cykle roz l acze permutacje ( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 3 4 5 1 2 3 6 8 2 1 4 5 7 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 5 7 8 2 1 6 4 3 Określić rz edy tych permutacji 4 Nie wypisujac w postaci dwuwierszowej roz lożyć astepuj ace permutacje (bed ace z lożeiem cykli iekoieczie roz l aczych a cykle roz l acze (1 2(3 4 5(1 2 3(5 1 2 (3 1 4 5(1 2 3 4(3 1 4 2(1 2 3 5 Udowodić że (i 1 i 2 i k 1 = (i k i k 1 i 1 6 Roz lożyć a traspozycje permutacje h = ( 1 2 3 4 5 6 6 3 2 5 4 1 oraz f z zadaia 1 7 Udowodićże jeśli k jest liczba ieparzysta to kwadrat cyklu (i 1 i 2 i k jest cyklem a jeśli k > 2 jest liczba parzysta to kwadrat te jest z lożeiem dwóch cykli 8 Ile jest permutacji w S które rozk ladaja sie a k j cykli j-wyrazowych (j = 1 s k 1 + 2k 2 + + sk s =? 9 Wykazać że każda traspozycja jest z lożeiem ieparzystej ilości traspozycji liczb sasiedich 1

LISTA ZADAŃ NR 2 1 Rozwiać potegi (2x + 3y 4 2 W rozwii eciu pot egi zaleźć wskazay sk ladik ( ( x y 6 + 2 3 x 1 3 x 9 wprost proporcjoaly do x ( 12 3 2 x + wyraz sta ly x 3 Korzystajac ze wzoru Newtoa obliczyć ( ( ( ( + + + + 0 1 2 1 + ( ( ( ( ( ( + + ( 1 1 + ( 1 0 1 2 1 ( ( ( ( ( 2 + 2 1 + 2 2 + + 2 + 0 1 2 1 4 Prostokat podzieloo a miejsze prostokaty liiami poziomymi oraz k liiami pioowymi przeprowadzoymi w rówych odstepach Iloma sposobami moża dojść od jedego wierzcho lka prostokata do przeciwleg lego mu posuwajac sie po prostych liiach poziomo i pioowo tak aby suma przebytych odcików by la rówa sumie dwóch przyleg lych boków prostokata? 5 Ile jest liczb czterocyfrowych w których moga sie powtarzać dwukrotie jedyie cyfry 1 i 2? 6 Iloma sposobami moża rozdzielić cztery róże agrody miedzy trzech pracowików jeżeli awet wszystkie agrody moga przypaść jedemu pracowikowi? 7 Kostke do gry rzucoo 10 razy Tak otrzymay zbiór (ieuporzadkoway liczb azywamy losowaiem Ile jest różych losowań? W ilu losowaiach ie wystepuje liczba 6? W ilu wystepuje dok ladie 3 razy? W ilu co ajmiej 3 razy? W ilu losowaiach wystepuj a tylko liczby parzyste? 8 Zaleźć liczbe rozwiazań w liczbach ca lkowitych ieujemych a rówaia x 1 + x 2 + + x k = ; b ierówości x 1 + x 2 + + x k Dwa rozwiazaia różiace sie porzadkiem uważamy za róże 2

LISTA ZADAŃ NR 3 1 Dae sa wektory u = ( 2 1 v = (1 2 Wyzaczyć i arysować wektory u + v 1 2 (u v 2v u u u v v 2 Wektory u v sa przekatymi rówoleg loboku Wyrazić boki tego rówoleg loboku za pomoca u i v 3 Sprawdzić że (a pukty A(1 3 B(4 7 C(2 8 D( 1 4 sa kolejymi wierzcho lkami rówoleg loboku Wyzaczyć kat miedzy jego przekatymi (b pukty A( 1 0 B(3 4 3 C(7 0 D(3 4 3 sa kolejymi wierzcho lkami rombu Wyzaczyć jego katy 4 Napisać rówaia (ogóle i parametrycze prostych (a przechodzacej przez pukt A( 1 2 i rówoleg lej do wektora u = (3 4 (b przechodzacej przez pukt B(3 2 i prostopad lej do prostej y = 2x 1 5 Jakie jest wzajeme po lożeie podaych prostych? Jeśli przeciaja sie to wyzaczyć kat miedzy imi a jeśli sa rówoleg le to ich odleg lość 2x + y = 3 { x = 1 + t y = 1 2t 2x y = 3 3y = x 6 Dla jakich wartości parametru m proste x + my 2m = 0 3x (2 + my + m = 0 sa prostopad le? 7 Pukt A(2 1 jest wierzcho lkiem trójkata ABC pukt D(0 2 jest spodkiem wysokości CD wystawioej do boku AB a prosta x y 5 = 0 zawiera bok BC Obliczyć pole tego trójkata 3

LISTA ZADAŃ NR 4 1 Napisać rówaie okregu styczego do osi Ox w pukcie A(5 0 i odciajacego a osi Oy cieciw e d lugości 10 2 Wyzaczyć rówaie okregu przechodzacego przez pukt A(1 1 i styczego do prostych 7x + y 3 = 0 x + 7y 3 = 0 3 Daa jest elipsa x2 9 + y2 4 = 1 Przez pukt A(1 1 poprowadzić cieciw e tak aby by la w tym pukcie przepo lowioa 4 U lożyć rówaia styczych do elipsy x2 15 + y2 9 = 1 poprowadzoych z puktu B( 6 3 5 Na hiperboli x2 49 y2 16 drugiej = 1 zaleźć pukt który leży trzy razy bliżej jedej asymptoty iż 6 Na hiperboli x2 8 y2 9 = 1 zaleźć pukty w których stycze s a achyloe do osi odcietych pod katem 1π 3 7 Na paraboli y 2 = 8x zaleźć pukt którego odleg lość od ogiska jest rówa 20 8 Obliczyć parametr paraboli y 2 = 2px wiedzac że jest oa stycza do prostej x 2y+5 = 0 9 Określić typy astepuj acych krzywych (a x 2 2xy + 2y 2 4x 6y + 3 = 0 (b x 2 2xy 2y 2 4x 6y + 3 = 0 (c x 2 2xy + y 2 4x 6y + 3 = 0 (d x 2 + 6xy + y 2 + 6x + 2y 1 = 0 (e 3x 2 2xy + 3y 2 + 4x + 4y 4 = 0 (f 9x 2 + 6xy + y 2 6x + 2y = 0 4

LISTA ZADAŃ NR 5 1 Obliczyć wartość wyrażeia (2 3i 3 (1 + i 2 (5 i 4 3i (3 + 2i ( 2 + 3i +1 2 W zbiorze liczb zespoloych rozwiazać rówaia iz 2 + (2 + iz + 1 i = 0 5z + z 2 = z i z 2 + iz + 1 2 = 0 3 Narysować a p laszczyźie zespoloej zbiory spe liajace waruki z i = z+1 1 < z 2+i 3 2iz+1 > 1 z i + z+1 = 3 4 Napisać w postaci trygoometryczej liczby z 1 + i 2 + i ( z 1 + i = 2 + i 2 1+i 3 i ( 6+ 2+( 6 2i 1 cos α+i si α α [0 π] 1+ictg β β [π 2π] 4 5 Wykazać że dla dowolych liczb zespoloych u v spe lioa jest rówość u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 Podać iterpretacje geometrycza tej rówości 6 Pos lugujac sie postacia trygoometrycza obliczyć wartości wyrażeń ( 3 + i( 1 i 3 1 + i (1 + i 3 12 (1 i 7 (1 + itg α 5 (1 itg α 5 α (0 π 2 7 W zbiorze liczb zespoloych rozwiazać rówaia z z 2 = 2iz 2 z 7 + 2z 4 + 2z = 0 e z+i = 2( 3 i si 2z = 2i 8 Narysować a p laszczyźie zespoloej zbiory spe liajace waruki arg(iz 3 = 0 Re z 3 > 0 arg(z + 2 3i = π 6 9 Pukty 1 3i oraz 1 + 5i sa przeciwleg lymi wierzcho lkami kwadratu pozosta le wierzcho lki Wyzaczyć 10 Korzystajac ze wzoru de Moivre a lub wzorów Eulera wyrazić a cos 5x za pomoca si x oraz cos x b cos 4 x przez fukcje trygoometrycze wielokrotości kata x 11 Obliczyć pierwiastki zespoloe a ósmego stopia z liczby 1; b czwartego stopia z liczby i 12 Obliczyć sum e kwadratów i iloczy wszystkich pierwiastków zespoloych stopia z jedości 5

LISTA ZADAŃ NR 6 1 Nie wykoujac dzieleia zaleźć reszte z dzieleia wielomiau x 100 + 2x 40 x + 1 przez wielomia x 3 + x 2 + x + 1 2 Jedym z pierwiastków wielomiau x 4 x 3 + x 2 + 9x 10 jest z = 1 2i Zaleźć pozosta le pierwiastki i apisać rozk lad tego wielomiau a czyiki rzeczywiste 3 Zaleźć wielomia w(x o wspó lczyikach rzeczywistych możliwie ajiższego stopia spe liajacy waruki w(1 = 2 w(i = 10i w(1 i = 0 4 Liczby 1 + ai 3 + i b + i 3 c + di s a pierwiastkami wielomiau stopia 4 o wspó lczyikach rzeczywistych Zaleźć te wielomia 5 Jedym z pierwiastków wielomiau x 4 + px 2 + q jest liczba 2 + i gdzie p q R Zaleźć p q oraz pozosta le pierwiastki 6 Wykazać że wielomia (x + 1 + x + 1 jest podziely przez trójmia x 2 + x + 1 dla parzystych iepodzielych przez 6 Wywioskować stad że liczba 1 + 3 80 + 4 80 jest podziela przez 13 7 Roz lożyć a czyiki w zbiorach Q R C wielomiay 3x 3 5x 2 5x 1 3x 3 + 8x 2 + 10x + 4 x 6 + x x 6 2x 4 + 4x 2 8 8 Roz lożyć a czyiki rzeczywiste wielomiay x 4 + 324 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 9 Roz lożyć a u lamki proste rzeczywiste fukcje wymiere 4x 2 x 3 x 2 2x 9x 2 3x + 8 x 3 x 2 x + 1 3 x 4 + 5x 2 + 4 x + 1 (x 2 + 1 2 (x 1 6

LISTA ZADAŃ NR 7 1 Metoda Sarrusa obliczyć wyzaczik 1 + i 2 1 2i 1 i 2 1 0 3 2 Stosujac rozwiiecie Laplace a oraz operacje elemetare obliczyć wyzaczik 3 2 3 2 3 4 1 4 5 1 1 4 4 1 4 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 Obliczyć wyzaczik przez sprowadzaie do postaci trójkatej 3 0 1 0 0 1 1 2 1 2 2 1 2 3 0 1 4 Obliczyć wyzacziki a b b b a a b b a a a b a a a a 5 Dla wyzaczika J = a b b b b a b b b b a b b b b a 3 2 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 1 3 a astepie wyzaczyć J w jawej postaci 1 2 3 4 6 Rozwiazać rówaie: 1 x 3 x 1 2 x 4 = 0 1 x x x 7 Dae s a macierze A = [ 3 1 1 ] B = 2 6 3 C = a 1 + t a 2 a 3 a a 1 a 2 + t a 3 a a 1 a 2 a 3 + t a a 1 a 2 a 3 a + t wykazać że J = 3J 1 2J 2 4 2 0 1 5 1 Obliczyć wszystkie możliwe iloczyy par daych macierzy D = 3 0 1 1 2 0 0 1 2 8 Obliczyć [ 05 05 05 05 ] [ 2 3 1 2 ] a 1 0 0 a 1 0 0 a 7

LISTA ZADAŃ NR 8 1 Wyzaczyć macierze odwrote do podaych [ 1 2 3 5 ] 1 2 3 0 1 2 1 0 4 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 Wykazać że (A T 1 = (A 1 T dla dowolej macierzy ieosobliwej A [ ] 1 1 3 Niech A = Zaleźć wszystkie macierze B stopia 2 takie że AB = BA 2 1 4 Rozwiazać rówaie macierzowe [ ] [ 1 2 3 1 X 3 5 2 1 ] + [ 3 0 1 0 ] = [ 0 1 2 4 5 Obliczyć wyzaczik oraz macierz odwrota (o ile istieje do macierzy A spe liajacej rówaie A 3 A = 0 a b 1 1 6 Zaleźć rzad macierzy 1 ab 1 b w zależości od parametrów rzeczywistych a b 1 b a 1 7 Rozwiazać trzema sposobami uk lad rówań (wzory Cramera macierz odwrota metoda elimiacji Gaussa x y +z = 2 2x +3y 4z = 4 7x +3y z = 5 8 Metoda elimiacji Gaussa rozwiazać uk lady y z +t = 3 x 2y +3z 4t = 4 x +3y 3t = 1 7y +3z t = 3 9 Rozwiazać uk lad 10 Zbadać liczbe rozwiazań uk ladu rzeczywistych a b x +2y pz t = 1 x +y +z +3t = p px +5y 5z +t = 5 ] x +2y z t = 1 x +y +z +3t = 2 3x +5y z +t = a x 2y z = 1 2x +y +az = 2 bx +2y z = 0 3x 2y +z = 1 11 U lożyć uk lad rówań którego zbiór rozwiazań jest postaci dla a {3 4} w zależości od parametru p {(1 t + 2s 1 + 2t 2 + s t s : t s R} 12 Zaleźć uk lad fudametaly rozwiazań uk ladu jedorodego x 3y +2z = 0 x t = 0 x 3y +2z +2t = 0 w zależości od parametrów 8

LISTA ZADAŃ NR 9 1 Obliczyć pole trójkata o wierzcho lkach A(1 2 3 B(3 1 0 C(1 1 1 2 Obliczyć obj etość czworościau o kraw edziach (1 2 3 (3 1 1 (3 2 1 3 Zbadać czy pukty A(1 3 0 B(2 4 5 C(359 D(0 1 2 leża a jedej p laszczyźie 4 Trójkat ABC jest rozpiety a wektorach AB= (1 5 3 wysokość tego trójkata opuszczoa a bok AB AC= ( 1 0 4 Obliczyć 5 Dae sa wartości trzech si l F 1 = F 1 = 3 N F 2 = F 2 = 4 N F 3 = F 3 = 5 N Jak powiy być skierowae w przestrzei te si ly aby ich wypadkowa by la wektorem zerowym? 6 Zaleźć rówaie p laszczyzy przechodzacej przez pukt A(1 2 3 i prostopad lej do p laszczyz 6x 12y + 3z = 0 3x + 2y 6 = 0 7 Zaleźć rówaie kierukowe prostej przechodzacej przez poczatek uk ladu i rówoleg lej do p laszczyz 6x 12y + 3z = 0 3x + 2y 6 = 0 Obliczyć odleg lość tej prostej od każdej z daych p laszczyz 8 Napisać rówaie kierukowe prostej bed acej dwusiecza kata ostrego utworzoego przez proste x + 2 = y 4 3 1 = z 5 x + 2 = y 4 1 5 = z 3 { 2x + y z + 3 = 0 9 Zbadać czy prosta m : jest zawarta w p laszczyźie x 2y + z 5 = 0 π : 5y 3z + 13 = 0 10 Zbadać czy proste x 9 4 obliczyć ich odleg lość = y + 2 3 = z 1 x 2 = y + 7 9 11 Zaleźć pukt przebicia p laszczyzy x = s + t π : y = 1 + s + 2t z = 3 + 2s + 4t = z 2 2 sa skośe Jeśli tak to przez prosta x 1 0 = y + 2 3 = z 4 1 oraz k at achyleia tej prostej do p laszczyzy π 12 Obliczyć odleg lość puktu P (0 1 1 od prostej x 2 = y 1 = z 3 a p lasz- 13 Napisać rówaie kierukowe rzutu prostokatego prostej x 9 4 czyzȩ 6x 12y + 3z = 0 = y + 2 3 = z 1 14 Obliczyć obj etość i pole powierzchi bry ly ograiczoej p laszczyzami: x y = 1 x y = 5 x + 2z = 0 x + 2z = 3 z = 1 z = 4 9

LISTA ZADAŃ NR 10 1 Dobrać liczby p q R tak aby wektor (2 6 6 3 R 4 by l kombiacja liiowa wektorów (1 p 0 0 (1 0 q 1 2 Zbadać liiowa iezależość wektorów (0 1 2 (1 i i (i 1 1 w przestrzei C 3 3 Wektory u v w sa liiowo iezależe Zbadać liiowa iezależość wektorów a u + v v + w w + u; b u v v w w u 4 Które z podzbiorów przestrzei R 4 = {(x y z t : x y z t R} określoych poiższymi warukami sa podprzestrzeiami liiowymi a x = z = 0; b y = 1; c x = 0 lub t = 0; d x + y + z = 1; e x y < 0; f x = y = z ; g zbiór wektorów postaci (a a + 1 0 1 a; h zbiór wektorów postaci (a a+b b a b; j zbiór wektorów postaci (a ab b 0 W przypadku odpowiedzi pozytywej podać wymiar oraz przyk lad bazy tej podprzestrzei 5 Wykazać że W = {(x y z t : x = t x 3y + 2z = 0} R 4 jest podprzestrzeia liiowa rozpiet a a wektorach (0 2 3 0 (3 1 0 3 Dobrać baze W tak aby wektor (1 1 1 1 W mia l wszystkie wspó lrzede rówe 2 6 Uk lad wektorów (1 1 0 0 (0 1 1 0 uzupe lić do bazy przestrzei R 4 7 Wektor u ma w bazie {x 1 x 2 x k } przestrzei V wspó lrz ede 1 2 k Wyzaczyć wspó lrz ede tego wektora w bazie {x 1 x 1 + x 2 x 1 + x 2 + + x k } 8 Niech U V bed a podprzestrzeiami przestrzei R Wykazać że U V jest podprzestrzeia liiowa oraz dim U V dim U + dim V Podać iterpretacje geometrycza tej ierówości w przestrzei R 3 9 Określić wymiar podprzestrzei R 5 określoych astepuj aco a V = li{(1 2 1 0 1 (2 0 1 1 1 (1 1 0 1 0 ( 1 3 3 0 3 (0 1 0 4 0} b W = {(x y z u v : x z = 0 y + z + u v = 0} W każdym przypadku podać przyk lad bazy w której wspó lrzede wektora (1 0 1 2 1 V W sa kolejymi liczbami aturalymi 10 Dla daych poprzediego zadaia wyzaczyć podprzestrzeń liiowa V W jej wymiar i przyk lad bazy Zbiór R [x] wielomiaów stopia co ajwyżej moża utożsamiać z przestrzeia liiowa R +1 przyjmujac że wielomiaowi a x + a 1 x 1 + + a 1 x + a 0 odpowiada wektor (a a 1 a 1 a 0 R +1 W te sposób zbiór wielomiaów R [x] jest przestrzeia wektorowa wymiaru + 1 11 Wykazać że wielomiay xk 1 x 1 k = 1 2 + 1 s a liiowo iezależe Przestawić wielomia x 4 + x 2 + 1 jako kombiacje liiowa tych wielomiaów 12 W przestrzei R 2 [x] rozważamy zbiór U tych wielomiaów dla których liczba 1 jest pierwiastkiem Wykazać że U jest podprzestrzeia liiowa Wyzaczyć jej wymiar i podać przyk lad bazy 10

LISTA ZADAŃ NR 11 1 Napisać macierz przekszta lceia liiowego T : R 4 R 4 daego wzorem T (x y z t = (x 2y + 3z 4t 3x + 5z + 2t x + y + z + 3t 5x y + 9z + t w bazie stadardowej Zaleźć jadro i obraz tego przekszta lceia oraz ich wymiary oraz przyk ladowe bazy tych podprzestrzei 2 Zaleźć macierz przekszta lceia liiowego T (x y z = (x + y z 2x y + z w bazach v 1 = (1 1 0 v 2 = (1 0 1 v 3 = (0 1 1 oraz w 1 = (1 1 w 2 = ( 1 1 3 Podać przyk lady przekszta lceia liiowego spe liajacego waruki a A : R 4 R 4 A(1 1 1 1 = (1 1 1 1 dim Ker A = 3 b B : R 4 R 4 dim KerB = rz B = 2 c C : R 3 R 2 Ker C = {(x y z = x + y + z = 0} Im C = {(x y : x + 3y = 0} 4 Przekszta lceie liiowe D : R [x] R [x] dae wzorem Dw(x = w (x (pochoda wielomiau w Zaleźć jadro obraz i wartości w lase tego przekszta lceia oraz macierz w bazach stadardowych 5 Wykazać że rz(ab mi (rz A rz B gdzie A B sa macierzami 6 Zaleźć wektory w lase i wartości w lase macierzy a [ 2 4 1 3 ] b 1 2 1 1 1 1 1 0 1 Jaka postać maja macierze tych przekszta lceń w bazach wektorów w lasych? Napisać macierze sprowadzajace dae macierze do postaci diagoalej 3 2 1 7 Wykazać że wektory w lase przekszta lceia liiowego 3 4 3 tworza baze prze- 2 4 0 strzei R 3 Wyzaczyć macierz A 1 korzystajac z twierdzeia Cayleya-Hamiltoa Zauważyć że macierz tego przekszta lceia spe lia także rówaie x 2 +3x 10 = 0 i macierz odwrota moża wyzaczyć prościej Jak? 8 Za pomoca sprowadzaiado postaci diagoalej wyzaczyć ogóla postać macierzy A 1 1 1 gdzie A = 1 1 1 2 1 0 9 Wyzaczyć macierz e A jeśli A = [ 1 3 2 2 ] 10 Wykazać że orma operatorowa macierzy A stopia dla ormy supremum w przestrzei R (tj x = max 1 i a i ma postać 11 Obliczyć orme spektrala macierzy tej macierzy A = max 1 i 1 1 0 1 2 2 0 2 6 a ij j=1 i porówać z iymi zaymi ormami 11

LISTA ZADAŃ NR 12 1 Sprawdzić czy astepuj ace fukcje sa iloczyami skalarymi w przestrzei R 2 a (x 1 x 2 (y 1 y 2 = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 b (x 1 x 2 (y 1 y 2 = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 2 2 Niech b edzie iloczyem skalarym w przestrzei wektorowej V Wykazać że jeśli u v = w v dla wszystkich wektorów v to u = w 3 Zaleźć wartości parametru t przy których wektory x = (1 1 t 1 1 y = (0 1 2 1 0 tworza kat a 120 o b 45 o 4 Zaleźć wspó lrzede wektora (1 1 2 1 V = {(a 1 a 2 a 3 a 4 : a 2 + a 3 + a 4 = 0} w bazie ortogoalej x 1 = (1 1 0 1 x 2 = ( 1 0 1 1 x 3 = (2 2 2 0 ( 2 5 Wektor u = 3 1 3 0 2 uzupe lić do bazy ortoormalej podprzestrzei 3 U = {(a 1 a 2 a 3 a 4 : a 1 = a 4 2a 2 + 3a 3 a 4 = 0} Otrzymay uk lad ortoormaly uzupe lić do bazy ortoormalej przestrzei E 4 6 Zaleźć rzut ortogoaly wektora v = (1 0 0 0 a podprzestrzeń liiowa li{(1 1 0 0 (0 2 5 0 (0 0 3 4} Obliczyć cosius kata pomiedzy v i jego rzutem ortogoalym 7 Udowodić metod e ortogoalizacji Grama-Schmidta (każdy uk lad ortoormaly w podprzestrzei V E moża uzupe lić do bazy ortoormalej V 8 Obliczyć cosius kata pomiedzy wielomiaami u(x = x 2 + x + 1 v(x = x 2 w przestrzei R 2 [x] z iloczyem skalarym u v = 1 1 u(xv(xdx 12