Obroty w zadaniach geometrycznych

Transkrypt

1 Obroty w zadaniach geometrycznych Piotr Grzeszczuk piotrgr@pb.bialystok.pl Wydzia l Informatyki Politechnika Bia lostocka Spotkania z matematyka SIGNUM, Centrum Popularyzacji Matematyki Bia lystok, 15 stycznia 2009

2 Plan wyk ladu

3 Plan wyk ladu 1 Trochȩ teorii

4 Plan wyk ladu 1 Trochȩ teorii 2 Zastosowania w zadaniach

5 Plan wyk ladu 1 Trochȩ teorii 2 Zastosowania w zadaniach 3 Zadania do samodzielnego rozwiazania

6 Troch e teorii Sk ladanie symetrii osiowych S l2 S l1 = OO α obrót o k at α wokó l punktu O

7 Trochȩ teorii O α A = S l S la, O β B = S l B S l. O β B Oα A = (S l B S l ) (S l S la ) = S lb (S l S l ) S la = S lb S la O β B Oα A = Oα+β X.

8 Trochȩ teorii Podsumowanie. Jeżeli niezerowe katy α, β sa takie, że α + β nie jest ca lkowita wielokrotnościa 360 oraz A B, to O β B Oα A jest (*) obrotem O α+β X, gdzie X jest wierzcho lkiem trójkata XAB takiego, że XAB = α/2 i XBA = β/2; (**) w szczególności jeśli α + β = 180, to O β B Oα A jest symetri a środkowa wzgledem punktu X (wyznaczonego w analogiczny jak wyżej sposób).

9 Zadanie 1. Wewnatrz trójkata równobocznego ABC obrano punkt P taki, że AP = a, BP = b, CP = c. Wiedzac, że a 2 + b 2 = c 2 wyznaczyć d lugość boku trójkata ABC. Rozwiazanie Rozważmy obrót OA 60 oraz punkt P = OA 60 (P). Zauważmy, że OA 60 (B) = C. Tak wiec OA 60 (BP) i w szczególności CP = b. Trójkat APP jest równoboczny, wiec PP = a. Z za lożeń wynika, iż PP C = 90, czyli AP C = 150. Stosujac twierdzenie cosinusów do trójkata ACP uzyskujemy AC 2 = a 2 +b 2 2ab cos 150 = a 2 +b 2 +ab 3.

10 Zadanie 2. Na p laszczyźnie dane sa dwa trójkaty równoboczne ABC i CDE (majace wspólny wierzcho lek C) oraz punkty F i G takie, że AD = AF, BE = BG i DAF = EBG (jako katy skierowane). Wykazać, że trójkat CFG jest równoboczny. Rozwiazanie Rozważmy obrót OC 60. Zauważmy, że OC 60 (A) = B, OC 60 (D) = E, czyli OC 60 (AD) = BE. St ad w szczególności AD = BE. Na postawie za lożeń (AD = AF, BE = BG oraz DAF = EBG) trójkaty AFD i BGE sa przystajace. Tak wiec OC 60 ( AFD) = BGE, czyli OC 60 (F ) = G. Trójkat CFG jest zatem równoboczny.

11 Zadanie 3. [Twierdzenie Napoleona] Wykazać, że środki cieżkości trójkatów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkata (na zewnatrz) sa wierzcho lkami trójkata równobocznego.

12 Rozwiazanie Rozważmy z lożenie dwóch obrotów OR 120 OP 120. Wiemy, że OR 120 OP 120 = OX 240, gdzie X jest takim punktem, że XPR = 60 oraz XRP = 60. Wtedy trójkat PXR jest równoboczny. Mamy OX 240 (B) = OR 120 ( O 120 P O 120 R (A) = C. ) (B) = Stad X jest środkiem cieżkości trójkata równobocznego zbudowanego na boku BC, a wiec X = Q.

13 Zadanie 4. Boki BC i AC trójkata ABC sa jednocześnie bokami kwadratów BKLC i CMNA (leżacych na zewnatrz trójkata ABC). Punkty Q i S sa odpowiednio środkami odcinków AB i LM, zaś P i R środkami kwadratów CMNA i BKLC. Wykazać, że czworokat PQRS jest kwadratem.

14 S = OP 90 OR 90 jest symetria środkowa wzgledem punktu X takiego, że XRP = 45, XPR = 45. Z drugiej strony ( ) S(L) = OP 90 OR 90 = OP 90 (C) = M. Tak wiec środek X symetrii S pokrywa sie ze środkiem S odcinka LM. W szczególności PRS jest równoramiennym trójkatem prostokatnym.

15 Zadanie 5. Punkty K, L, M sa środkami kwadratów zbudowanych zewnetrznie na bokach AB, BC, CA trójkata ABC. Wykazać, że (a) odcinki KM i AL sa prostopad le, (b) środki odcinków AB, AL, AC i MK sa wierzcho lkami kwadratu.

16 (a) Na podstawie zadania 4 stwierdzamy, że MNL jest prostokatnym trójkatem równoramiennym, przy czym LNM = 90. Zauważmy, że ON 90 (A) oraz ON 90 (L) = M. Tak wiec ON 90 (AL) = KM. W szczególności odcinki AL i KM sa prostopad le.

17 (b) ON 90 P jest symetria środkowa S X. Ponieważ ON 90 OP 90 (M) środek X tej symetrii pokrywa sie ze środkiem R odcinka KM. Ponadto PRN jest prostokatnym trójkatem równoramiennym. Z zadania 4 wynika, że KPL = 90 oraz PK = PL. Tak wiec OP 90 ON 90 (A) ad OP 90 ON 90 jest symetria środkowa wzgledem środka O odcinka AL oraz tak jak poprzednio NOP jest prostokatnym trójkatem równoramiennym. Ostatecznie czworokat NOPR jest kwadratem.

18 Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie 1. Dany jest trójkat ostrokatny ABC. Rozważamy wszystkie takie trójkaty równoboczne XYZ, że punkty A, B, C sa punktami wewnetrznymi odcinków YZ, ZX, XY. Dowieść, że środki cieżkości wszystkich rozważanych trójkatów leża na jednym okregu. Zadanie 2. Punkty A i B poruszaja sie z jednakowymi i sta lymi predkościami katowymi po okregach O 1 i O 2 odpowiednio (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Wykazać, że wierzcho lek C trójkata równobocznego ABC także porusza po pewnym okregu.