RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile <,>. Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie S,,,...,, jes długością przedziłu,.,
,,,...,, m. y
Deiicj Ciąg podziłów przedziłu <,> pumi... zywmy ormlym, jeżeli gdzie lim, m. Deiicj Jeśli dl żdego ormlego ciągu podziłów przedziłu <,> iezleżie od wyoru puów, ciąg sum S dąży do ej smej gricy, o gricę ę zywmy cłą ozczoą ucji w przedzile <,> i ozczmy symolem Czyli d lim d.
Twierzeie Newo-Leiiz Jeżeli ucj jes ciągł w przedzile <,> orz gdy C F d F F d o Dowód szic Wyierzmy pewie ormly ciąg podziłów przedziłu <,> orz przyjmijmy: d lim De Sąd: Zuwżmy, że: F F F,,...,, lim '... F F lim F F F F
c c d d d d d d d c d d d d g d d g d c d c 6. 8. 5. 7. 4.,. ] [.. gdy, gdy, Włsości cłi ozczoej jes przys jes ieprzys
d 6 9. Przyłdy d 9 9 9 6 d 6 9 9 d 6 9 9 6 6 9 9 d d 6 6 Leiiz Newo Tw. 9 9 6 9 9 6 7 4 5 7 6 9 5 7
Przyłdy. d d d d d 6 d, d d 6 d d d d d d d 8
Przyłdy. rcg d rcg rc g rc g N mocy włsości 8: rcg d
Przyłdy 4. l d Zuwżmy, że dl > mmy: l orz Podoie, dl < mmy: Niech l l l l orz l l Sd: Wiose: l 7 d l d
d l d d d l g g ' ' l d l C l C l C l Wrcjąc do szej cli ozczoej : d d 7 l l l l l l
Twierdzeie o cłowiu przez podswieie dl cłi ozczoej Jeśli ucj g m ciągłą pochodą g', i przeszłc go przedził oreślo jes ciągł ucj g orz g, o, podo w przedzile,, órym g g' d g g' d d d g g g d
Przyłdy jeszcze rz przyłd 4. z podswieiem l l g' g 7 d ' l d d d g d l l l l l d l d
Cł ozczo-zsosowi. Oliczie pól oszrów płsich Z deiicji cłi ozczoej i jej ierprecji griczej wyi że: D g d Gdzie D jes polem oszru, ogriczego liimi: y, y g,,
Cł ozczo-zsosowi. Oliczie pól oszrów płsich Z deiicji cłi ozczoej i jej ierprecji griczej wyi że: D g d RYSUNEK Gdzie D jes polem oszru, ogriczoego liimi: y, y g,,
. Oliczie długości łuu Twierdzeie Jeżeli ucje i są ciągłe w przedzile <,>, o długość łuu rzywej wyzczoej rówiem y= w przedzile <,> jes d wzorem: l ' d Jeżeli rzyw d jes prmeryczie: = i y=y gdzie є <α,β>, o długość łuu rzywej jes d wzorem: ' y' d l
l l l o dl dużego l
Przyłdy:. Oliczyć owód oręgu o promieiu r.. Oliczyć długość cyloidy: r si, y r cos, cos si d l r r cosd r si d r cos r 4 4rcos cos 8r Cyloid rzyw, opisując or puu leżącego owodzie oł, óre oczy się ez poślizgu po prosej. cos d
. Oliczie ojęości rył oroowych Twierdzeie Jeżeli ucj jes ciągł w przedzile <,>, o ojęość ryły powsłej przez oró doooł osi X rzywej wyzczoej rówiem y= w przedzile <,> oreślo jes wzorem: V d Jeżeli rzyw d jes prmeryczie: = i y=y gdzie є <α,β>, o : V y ' d L4.Prz 6 od ońc
V P P
4. Oliczie pól powierzchi rył oroowych Twierdzeie Jeżeli ucje i są ciągłe w przedzile <,>, o pole powierzchi powsłej przez oró doooł osi X rzywej wyzczoej rówiem y= w przedzile <,> oreślo jes wzorem: P ' d Jeżeli rzyw d jes prmeryczie: = i y=y gdzie є <α,β>, o : P y y d ' ' L4.Prz,5 od ońc
V P P
Ie zsosowi cłi ozczoej: wrości średie środe cięzości łuu środe cięzości oszru
Twierdzeie o wrości średiej Jeżeli ucj jes ciągł w przedzile <,>, o isieje licz c є <,>, że: c d Liczę c zywmy średią wrością ucji w przedzile <,>. Będziemy j ozczć symolem śr
Oliczyć wrość średią ucji..,64. cos si,, si d śr,. 6,, d śr
Deiicj Cłą iewłściwą ucji w przedzile zywmy d lim d, A A, omis cłą iewłściwą ucji w przedzile, zywmy d lim d. B B Cłi ie zywmy zieżymi, gdy isieją grice włściwe wysępujące w ich oreśleich, w przeciwym przypdu cłi e zywmy rozieżymi.
Przyłdy:. Oliczyć pole między osią OX rzywą w przedzile <, > y 5 P d 5 lim 5 d... lim l 5 lim l 5 l 5 l 6
Deiicj Cłą iewłściwą ucji w przedzile <,>, ieogriczoej w prwosroym sąsiedzwie puu, zywmy d lim d, omis cłą ucji w przedzile <,>, ieogriczoej w lewosroym sąsiedzwie puu, zywmy d lim d Cłą iewłściwą ucji w przedzile <,>, ieogriczoej w dołdie jedym pucie c,, d lim c d lim c d zywmy Cłi iewłściwe -go rodzju zywmy zieżymi, gdy isieją grice włściwe wysępujące w ich oreśleich, w przeciwym przypdu cłi e zywmy rozieżymi