KINEMATYKA Niekóre powody dla kórych dział en, mimo że na oół jes nielubiany, może być fascynujący wyrabia absrakcyjne myślenie i wyobraźnie, zawiera wiele prosych a jednocześnie efekownych doświadczeń, ma bardzo mocne odniesienie; zarówno do życia codzienneo jak i w innych działach fizyki, czy echniki, opisuje najbliższą człowiekowi rzeczywisość, Kinemayka zajmuje się opisem ruchu bez pyania o jeo przyczyny. Na począku jednak kilka oólnych pojęć, zaczniemy oczywiście od definicji pojęcia ruchu; jes ona bardzo prosa: Ruch o dokonująca się w czasie zmiana położenia daneo ciała wzlędem inneo, zwaneo układem odniesienia Układ odniesienia o ciało, lub układ ciało wzlędem kóreo opisujemy ruch lub spoczynek Ponado obowiązuje zasada wzlędności ruchu w myśl kórej: ciało będące w ruchu wzlędem jedneo układu odniesienia może być w spoczynku wzlędem inneo układu odniesienia, zaś same układy odniesienia można sklasyfikować nasępująco: Układy odniesienia: ze wzlędu na ruch układu odniesienia wyróżniamy: układy inercjalne będące w spoczynku (wzlędem układu inercjalneo) lub poruszające się ruchem jednosajnym, prosoliniowym, układy nieinercjalne poruszające się (wzlędem układu inercjalneo) ruchem zmiennym ze wzlędu na warość prędkości układu odniesienia wyróżniamy: układy nierelaywisyczne poruszające się z prędkością dużo mniejszą niż prędkość świała ( << c, c = 3 10 8m s ) układy relaywisyczne poruszające się z prędkością porównywalną z prędkością świała ( c) 1
ze wzlędu na eomerie układu odniesienia wyróżniamy: układy karezjańskie w kórych współrzędne usalamy wzlędem prosopadłych do siebie osi i dzielą się one na: jednowymiarowe posiadające jedną oś liczbową, dwuwymiarowe posiadające prosopadłe do siebie dwie osie liczbowe, rójwymiarowe posiadające prosopadłe do siebie rzy osie liczbowe, układy niekarezjańskie np. bieunowy, sferyczny, walcowy kórych używa się dy zaadnienie ma odpowiednią symerię, co mocno upraszcza rozważania Dokonamy w ym miejscu klasyfikacji rodzajów ruchu: ruch posępowy każdy z punków poruszająceo się ciała ma ą samą prędkość liniową, i dzieli się on na: ruch po lini prosej (prosoliniowy) ruch jednosajny, prosoliniowy ruch niejednosajny (zmienny), prosoliniowy ruch jednosajnie zmienny, prosoliniowy (czyli jednosajnie przyspieszony i jednosajnie opóźniony), ruch niejednosajnie zmienny, prosoliniowy ruch po krzywej (krzywoliniowy), kóry zawsze jes ruchem zmiennym, ze sałą WARTOŚCIĄ prędkości po krzywych owarych po krzywych zamknięych (okrą, elipsa ip.) u znajduje się ruch jednosajny po okręu, kóry będziemy omawiać ze zmienną WARTOŚCIĄ prędkości po krzywych owarych po krzywych zamknięych (okrą, elipsa ip.) ruch obroowy każdy z punków poruszająceo się ciała (oprócz punków leżących na osi obrou, o ile przechodzi ona przez rozważane ciało) ma ą samą prędkość kąową. Doyczy on przede wszyskim bryły szywnej i zosanie sklasyfikowany dy będą omawiane zaadnienia związane z bryłą szywną.
Jedną z najważniejszych do zrozumienia rzeczą przy omawianiu np. mechaniki jes pojęcie idealizacji. Polea ono na ym, że odrzucamy nieisone na danym poziomie rozważań rzeczy, co przyczynia się niejednokronie do radykalneo uproszecznia opisu daneo zjawiska. W przypadku mechaniki owa idealizacja polea np. na ym, że możemy przyjąć, że ciało jes punkem, co okazuje się bardzo przydane np. dy nie ineresują nas obroy rozważaneo ciała. Mamy wówczas zw. mechanikę punku maerialneo i ym będziemy się zajmować dokładnie w dziale MECHANIKA. Kinemayka punku maerialneo. Jak już powiedziano wcześniej kinemayka zajmuje się opisem ruchu bez pyania o jeo przyczyny, w ramach kinemayki omówimy nasępujące zaadnienia: 1. Podsawowe pojęcia,. Prędkość i przyspieszenie, 3. Ruch jednosajny prosoliniowy, 4. Ruch jednosajnie przyspieszony i jednosajnie opóźniony, prosoliniowy, 5. Rzuy pionowe, 6. Ruchy krzywoliniowe, ruch jednosajny po okręu, 7. Ruchy złożone: (a) Rzuy poziomy, (b) Rzu ukośny, Ad. 1 Rozważmy ciało poruszające się, dla uproszczenia rozważań na płaszczyźnie. Wybierając karezjański (prosokony, zwykły ) układ współrzędnych do jeo opisu (problem odpowiednieo wyboru układu odniesienia jes jednym z kluczowych zaadnień mechaniki, wiele problemów zosało w efekywny sposób rozwiązanych dzięki wprowadzeniu odpowiednieo układu odniesienia) możemy określić podsawowe pojęcia związane z ruchem, co przedsawiono na poniższym rysunku: 3
y P r A A s r B K Ruch rozważaneo ciała odbywa się po pwenej krzywej płaskiej o począku w punkcie P i końcu w punkcie K. Umieszczając całe zaadnienie w prosokąnym, dwuwy- r B miarowym ukłądzie odniesie- nia wyróżniamy: Tor ( PK ) krzywa po kórej porusza się rozważane ciało (cała), Ślad ( PA ) część oru kórą ciało już przebyło, Droa (s = AB ) dłuość odcinka oru na kórym badamy ruch, Położenie począkowe wekor r A, Położenie końcowe wekor r B, Przemieszczenie wekor r = ra r B, Dłuość przemieszczenia dłuość wekora r, czyli liczba r Ad. Prędkość i przyspieszenie Określenie prędkości jes dość rudne i o z dwóch powodów, po pierwsze isnieją aż rzy w oólności różne rodzaje prędkości (a na dodaek są one różnie inerpreowane w różnych częściach Polski), po druie zaś najważniejsza z nich prędkość chwilowa, jes definiowana w oparciu o rachunek różniczkowy. Prędkość średnia (wekor) jes o sosunek przemieszczenia, do czasu w kórym owo przemieszczenie nasąpiło: r < > = Wekor prędkości średniej ma en sam kierunek i zwro co wekor przemieszczenia, przeo nie będziemy o przedsawiali na rysunku, Wyznaczając dłuość wekora < > orzymamy warość prędkości średniej (liczba < >= < > ), jes o jednocześnie sosunek dłuości wekora 4
przemieszczenia do czasu w kórym przemieszczenie nasąpiło: < >= r I u pojawia się pierwsza rudność ponieważ warość prędkości średniej mylona jes z szybkością określoną nasępująco: Szybkość (liczba) jes o sosunek droi (pamięamy, że jes o liczba) do czasu w kórym owa droa zosała przebya: sz = s W przypadku, dy or ruchu jes linią prosą, dłuość przemieszczenia jes ym samym co droa a zaem dla ruchów prosoliniowych szybkość jes równa warości prędkości średniej: < >= r = s = sz I najrudniejszy do zrozumienia rodzaj prędkości: Prędkość chwilowa (wekor) prędkość średnia na coraz o kószym odcinku przemieszczenia, czyli dy czas porzebny na przebycie odcinka droi zmierza do zera: ( r ) = lim 0 Powyższa definicja pozornie wydaje się zła, ponieważ jeśli będący w mianowniku czas ( ) dąży do zera o mamy sprzeczność. Waro jednak zauważyć że skoro czas przebycia danej droi dąży do zera o i warość przemieszczenia dąży do zera a wówczas okaże się, że zero podzielone przez zero może dać konkreną liczbę. Trochę o pokręcone ale dy dy w ym momencie myślisz sobie nie jes o akie łupie o nie powinieneś mieć kłopoów ze zrozumieniem rachunku różniczkoweo. O ym, że prędkość chwilowa o konkrena wielkość fizyczna można przekonać się akże parząc na poniższy rysunek: 5
y P 0 3 r( ) 0 r( ) 3 r( ) 1 r( 1) Aby wyznaczyć prędkość chwilową w punkcie P bierzemy najpierw dowolną chwilę czasu 1 > 0 i obliczamy prędkość średnią ( 1 ) w czasie 1 0. Biorąc nasępnie chwile czasu (, 3...) coraz o bliższe 0 i obliczając kolejne średnie prędkości (, 3...) orzymamy coraz o lepsze przybliżenie prędkości chiwlowej w punkcie ( ). Z powyższeo rysunku widać ponado, że prędkość chwilowa jes syczna do oru co jes bardzo ważną własnością prędkości chwilowej. Ponado prędkość chwilowa jes ak ważną wielkością fizyczną, że pomijamy na oół przymionik chwilowa. Warość prędkości chwilowej (liczba) jes o oczywiście dłuość prędkości chwilowej. Jednoską prędkości w układzie SI jes mer na sekundę : [] = m s W życiu codziennym częściej używa się jednoski: kilomer na odzinę, pomiędzy obiema jednoskami zachodzi związek: 1 km h = 11000m 3600s = 5 m 18 6 s 1 m s = 18 5 km h
W przypadku, dy chcemy wyznaczyć prędkość jedneo ciała wzlędem druieo sosujemy pojęcie prędkości wzlędnej: Prędkość wzlędna 1 wzlędem prędkości jes określona nasępująco: w = 1 W przypadku dy ruch nie jes jednosajny, przyczym owa niejednosajność może wynikać nie ylko ze zmian warości prędkości ale również ze zmiany jej kierunku (a będzie o miało miejsce np. dy ruch odbywa się po jakiejś krzywej), wprowadza się pojęcie przyspieszenia jes ono definiowane nasępująco. Przyspieszenie średnie (wekor) sosunek zmiany prędkości do czasu w kórym a zmiana nasąpiła. a = [a] = m s Przyspieszenie chwilowe (wekor) warość raniczna przyspieszenia śrenieo na nieskończenie kórkim odcinku czasu. ( ) a = lim 0 Dla ciała poruszajceo się po krzywej wyróżnia się przyspieszenie syczne do oru ( a s ) i normalne ( a n, prosopadłe do oru). Suma obu ych wekorów daje przyspieszenie wypadkowe co pokazano na rysunku: a n a Jednoską przyspieszenia w ukłądze SI jes mer na sekundę do kwadrau a s [a] = m s s = m s 7
Poocznie używa się jeszcze jednoski czyli określa się dane przyspieszenie jako wielokroność przyspieszenia ziemskieo ( = m s ). Ad. 3 Ruch jednosajny, prosoliniowy Najprosszy z omawianych przez nas rodzajów ruchu jes określony nasępująco: Ruch jednosajny, prosoliniowy ruch w kórym or jes linią prosą i warość prędkości w każdej chwili pozosaje sała (oszczędniej można napisać: że jes o ruch w krórym prędkość pozosaje sała, jako wekor) = cons Z uwai na sałość warości prędkości i prosoliniowość oru, okazuje się że: szybkość jes równa warości prędkości, prędkość chwilowa jes równa prędkości średniej, Ponado wybierając układ odniesienia w en sposób, że będzie o oś liczbowa, o okaże się że zamias wekorów położenia wysarczą współrzędne na osi liczbowej. Rozważmy nasępujący przypadek, ciało poruszając się ruchem jednosajnym, prosoliniowym, w chwili począkowej jes w położeniu 0 naomias w chwili końcowej w położeniu k, i zbliża się do począku układu odniesienia: 0 k 0 s Spróbujemy napisać równania ruchu. Przedsawiają one zależność położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu i mając dane akie równania jeseśmy w sanie przewidywać co będzie działo się z badanym ciałem, dlaeo eż jeśli uda nam się napisać równania ruchu poprawnie, o jeseśmy o krok od rozwiązania. W naszym przypadku są one bardzo prose: () = 0 () = = cons a() = 0 8
zaś wykresy zależności = (), = () są nasępujące: 0 0 k Droa przebya w czasie od chwili poczakowej do koncowej jes rowna emu polu powierzchni (liczbowo) 0 k Podsawiając do równania ruchu położenia; począkowe i końcowe mamy: (0) = 0 ( k ) = k = 0 k Dłuość odcinka oru o droa; w naszym przypadku wynosi ona: s = (0) ( k ) = 0 ( 0 k ) s = Z równań ruchu można wyznaczyć czas ( k ) po kórym ciało powróci do położenia (() = 0) 0 = 0 k k = 0 Teraz, naomias, rozważmy syuację, dy ciało będąc na począku w położeniu 0 oddala się od począku układu odniesienia: 0 0 Tym razem równania ruchu są nasępujące: k s () = 0 + () = = cons a() = 0 a wykresy zależności = (), = () są nasępujące: 9
0 Droa przebya w czasie od chwili poczakowej do koncowej jes rowna emu polu powierzchni (liczbowo) 0 k 0 k Podsawiając do równania ruchu położenia; począkowe i końcowe mamy: (0) = 0 ( k ) = k = 0 + k Dłuość odcinka oru o droa; eraz wynosi ona jednak: s = ( k ) (0) = 0 + k 0 s = Proszę zwrócić uwaę, że niezależnie od wyboru układu odniesienia mamy zawsze: s = Ad. 4 Ruch jednosajnie przyspieszony i jednosajnie opóźniony (czyli jednosajnie zmienny), prosoliniowy Ruch jednosajnie zmienny, prosoliniowy o aki ruch w kórym or jes linią prosą, zaś prędkość zmienia się w sposób jednosajny czyli przyspieszeniepozosaje sałe (a = cons) W zależności czy nasępuje przyros czy spadek prękości wyróżniamy: ruch jednosajnie przyspieszony, ruch jednosajnie opóźniony, Z uwai na prosoliniowość oru szybkość jes równa warości prędkości a ponado można, podobnie jak dla ruchu jednosajneo prosolinioweo, wprowadzić oś liczbową jako układ odniesienia, co pozwoli na uproszczenie analizy wekorowej. W ruchu jednosajnie przyspieszonym przyspieszenie jes skierowane zawsze zodnie z prędkością dzięki czemu jej warość ulea zwiększeniu 10
a a Równania ruchu są u nasępujące (zakładamy, że w chwili począkowej ciało znajdowało się w począku układu odniesienia) a() = a = cons, () = + a, () = + a Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(), = (), = () mają posać: a spadek predkosci w czasie od 1 do 1 W ruchu jednosajnie opóźnionym przyspieszenie jes skierowane zawsze przeciwnie do prędkości dzięki czemu jej warość ulea zmniejszeniu, a a Równania ruchu są u nasępujące: a() = a = cons, () = a, () = a Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(), = (), = () mają posać: 11
a 1 spadek predkosci w czasie od 1 do droa hamowania h Ad. 5 Rzuy pionowe. Rzuem pionowym nazywamy aki rodzaj ruchu w kórym ciało porusza się ruchem prosoliniowym, prosopadle do powierzchni Ziemi. Ponado zakładamy, że ruch odbywa się bez żadnych oporów; jedyną działającą na ciało siłą jes siła ciężkości o kórej z koleji zakładamy, że jes sała. Wyróżniamy nasępujące rodzaje rzuów pionowych: spadek swobodny, rzu pionowy w órę, rzu pionowy w dół, Spadek swobodny W położeniu począkowym ciało znajduje się na wysokości h i zosaje puszczone swobodnie, czyli baz nadawania mu prędkości począkowej. Pod wpływem siły ciężkości zaczyna ono poruszać się ze sałym przyspieszeniem równym przyspieszeniu ziemskiemu (). Analizując powyższy ruch wybierzemy układ odniesienia oś liczbową o począku w położeniu począkowym ciała i skierowaną w dół, całą syuację przedsawiono na rysunku: o = 0 =0 h =0 (1) () k (3) 1 k
Rysunek (1) przedsawia położenie począkowe (czyli akie w czasie = 0) i wówczas zarówno położenie jak i prędkość wynosi zero. Rysunek () pokazuje położenie w dowolnym momencie rwania ruchu (e czasie ) i wedy ciało posiada jakąś prędkość i jes w pewnej odlełości od począku układu odniesienia. Na rysunku (3), naomias, przedsawiono położenie w chwili końcowej ruchu ( k ), czyli uż przed uderzeniem o Ziemie; ciało jes w odlełości h od począku układu odniesienia i posiada maksymalną prędkość k. Założenia wsępne i wybór układu odniesienia powodują, że w powyższym przypadku ciało porusza się ruchem jednosajnie przyspieszonym; ruch zaczyna się od położenia zeroweo i ciało nie posiada prędkości począkowej, a zaem równania ruchu będą bardzo prose: () = () = a() = = cons Mając dane np. wysokość h z kórej rozpoczyna się spadek możemy obliczyć prędkość końcową i czas rwania ruchu. W czasie = k ciało przebywa droę równą wysokości h a zaem: ( k ) = h = k k = h Skoro znamy już czas rwania ruchu o możemy obliczyć prędkość końcową: k = ( k ) = h = h Rzu pionowy w órę W położeniu począkowym ciało znajduje się na powierchni Ziemi i zosaje rzucone pionowo do óry z pewną prędkością. W ym przypadku przyspieszenie ziemskie skierowane jes przeciwnie do ej prędkości więc rozważane ciało będzie poruszało się ruchem jednosajnie opóźnionym prosoliniowym, aż do momenu 13
dy zawiśnie na chwilę i w ym momencie skończymy analizę ponieważ dalej ciało poruszałoby ak jak w przypadku spadku swobodneo, kóry analizowaliśmy. k = 0 o h (1) () =0 =0 k (3) Podobnie jak w przypadku spadku swobodneo rysunek(1) przedsawia syuację począkową, rysunek (), syuację w dowolnej chwili czasu, naomias na rysunku (3) przedsawiono końcowy momen ruchu. Zwro osi liczbowej, będącej układem odniesienia, skierowany jes przeciwnie niż w przypadku spadku swobodneo, co uławi o rozważania, a ko nie wierzy niech preanalizuje rzu pionowy w órę dy oś układu odniesienia zwrócona jes przeciwnie. Równania ruchu w ym przypadku mają posać: () = () = a() = = cons Wysępujący w powyższych równaniach znak jes konsekwencją faku, że przyspieszenie ziemskie () jes skierowane przeciwnie niż zwro osi układu odniesienia. Mając daną prędkość począkową ( ) można z powyższych równań obliczyć maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało i czas wznoszenia. Czas wznoszenia o czas do momenu dy ciało zarzyma się a więc ( k ) = 0 = k k = W czasie ym ciało osiąnie wysokość maksymalną równą: ( k ) = h = k k = ( ) ( ) 14 = 1 0 =
Rzu pionowy w dół W położeniu począkowym ciało znajduje się na wysokości h i zosaje mu nadana prędkość, skierowana pionowo w dół. Zaem w ym przypadku mamy do czynienia z ruchem jednosajnie przyspieszonym z prędkością począkową. o =0 h (1) () (3) =0 k k Poszczeólne eapu ruu pionoweo w dół przedsawiono na rysunkach (1)-(3). Równanie ruchu w ym przypadku ma posać: () = + () = + a() = = cons Mając dane warunki począkowe (prędkość i wysokość h) możemy obliczyć prędkość końcową ( k ) i czas rwania ruchu ( k ). W czasie rwania ruchu k ciało usyskało prędkość k, zaem: ( k ) = k k = + k k = k W ym czasie ciało przebywa droę równą wysokości z kórej o rzucamy, więc: ( k ) = h h = k + k = k 0 + ( k ) = k 0 + 1 k k + 0 Możemy zaem wyznaczyć prędkość końcową: h = k k = + h k = 15 = k 0 + h
Porównując ą warość z prędkością końcową w spadku swobodnym ( k = h) widzimy że w rzucie pionowym w dół prędkość końcowa jes większa, czeo należało się spodziewać Ad. 5 Ruchy krzywoliniowe, ruch jednosajny po okręu W przypadku, dy or ruchu nie jes linią prosą, syuacja się komplikuje. Niezależnie bowiem od rodzaju ruchu krzywolinioweo prędkość chwilowa jes syczna do oru i dy or jes krzywoliniowy będzie zmieniać swój kierunek i choćby miała sałą warość o zawsze ruch krzywoliniowy będzie ruchem zmiennym. Ponado ze wzlędu na krzywoliniowość oru droa będzie inna niż przemieszczenie i należy rozróżniać pojęcia szybkości i warości prędkości. Jeśli chodzi o opis jakościowy ruchu krzywolinioweo o układem odniesienia bądzie układ współrzędnych; dwuwymiarowy lub rójwymiarowy. Gdy zachowany jes momen pędu o ruch krzywoliniowy odbywa się w jednej płaszczyźnie (o akim ruchu mówimy: ruch płaski) i do jeo opisu wysarczy wziąć dwuwymiarowy układ współrzędnych. Przykładem akieo ruchu jes obie plane wokół Słońca; ich ory leżą w jednej płaszczyźnie eklipyce. Ruch jednosajny po okręu Ruchem jednosajnym po okręu nazywamy aki ruch w kórym orem jes okrą i warość prędkości pozosaje sała. Z uwai na krzywoliniowość oru ruch po jednosajny po okręu jes ruchem zmiennym; ilusruje o poniższy rysunek: = 1 ALE = 1 1 Mimo iż warość prędkości pozosaje sała o jes ona syczna do oru a zaem zmienia się nieusannie jej kierunek i zwro i dlaeo ruch jednosajny po okręu jes ruchem zmiennym Zaem możemy wyznaczyć przyspieszenie, zazywa się ono przyspieszeniem do- 16
środkowym, ponieważ jak się okaże skierowane jes ono do środka okręu po kórym porusza się ciało. 1 R s = = 1 R 1 RRS ~ Podobieńswo rójkąów na rysunku (kóre są równoramienne i do ich podobieńswa wysarczy odpowiednia równość ylko jedneo z kąów) wynika z faku że 1 R i R zaem na mocy wierdzenie o kąach o ramionach prosopadłych (R,R) = ( 1, ) = (,). Ponado należy zauważyć, że dy czas między położeniami odpowiadającymi prędkościom 1 i jes coraz krószy o s i wekor (a ym samym i ad ) jes coraz bardziej równoleły do R. Z podobieńswa rozważanych rójkąów wynika nas. zależność: = R Korzysając z faku, że = s oraz z definicji prędkości liniowej: = R Mnożąc sronami przez i korzys. z def. przyspieszenia: a d a d = R 17
Z uwai na o, że warość prędkości pozosaje sała, o czas jedneo obieu również jes sały; nasywamy o okresem (T). Ilość okresów (obieów) w jednosce czasu nazywamy częsoliwością ruchu po okręu (f); zależkość między częsoliwością a okresem jes nasępująca: f = 1 T [f] = 1 s = Hz Kąem obrou (w mierze łukowej) nazywamy sosunek dłuości odcinka okręu przebyeo przez ciało do czasu w kórym o nasapiło: α = l R [α] = rad Jednoską kąa obrou jes radian, warość eo kąa jes równa jeden dy ciało pokona aki ką, że przebya przez nieo droa będzie równa promieniowi okręu po kórym się porusza (w mierze sopniowej jes o ok 57 o ) Sosunek kąa obrou do czasu o prędkość kąowa (ω): ω = α [ω] = rad s Podsawiając definicję kąa obrou orzymamy zależność pomiędzy prękością liniową a prędkością kąową: ω = l R = 1 l R = R = ωr W oólności zależność a jes iloczynem wekorowym: w w R R = ω R 18
W czasie jedneo okresu ciało przebywa droę równą dłuości okręu, a zaem można obliczyć warość prędkości bardzo proso: = ΠR T = ΠRf a korzysając z zależności między prędkością liniową i kąową mamy: = ωr ω = ΠR R = T R = Π T = Πf Rozważmy ruch jednosajny po okręu o promieniu R = 1m w kórym ciało przebyło połowę dłuości okręu w czasie = 1s, wyznaczymy prędkość (jako wekor) i szybkość. Analizując ruch po okręu dobrze jes wybrać układ współrzędnych o środku w środku okręu; wówczas całą syuację da się przedsawić na nasępującym rysunku: s r r Warość prędkości wynosi: r 1 Ciało poruszając się po okręu przebyło droę s między położeniem począkowym r 1 a położeniem końcowym r. Przemieszczenie ciała w ym ruchu wynosi r, a jeo prędkość. Dłuość przemieszczenia wynosi R, a droi ΠR, zaem: = = r = R = 1 = m s Zaś szybkość o: s = s = ΠR = 3.14 1 = 3.14m s Widać więc, że wruchu krzywoliniowym warość prędkości nie pokrywa się z szybkością. Ad 7. Ruchy złożone 19
Ruchem złożonym nasywamy aki ruch kóry jes złożeniem (superpozycją) przynajmnniej dwóch rodzajów ruchu (np. poruszające się po okręu ciało spada swobodnie). Okazuje się jednak, że mimo iż sam ruch złożony może mieć skomplikowaną formę, o zawsze da się o rozłożyć na ruchy składowe i analizować je niezależnie, co mocno uprości nasze rozważania. Przeanalizujemy dwa rodzaje ruchów złożonych: rzu poziomy rzu ukośny Oczywiście, pdodbnie jak dla rzuów pionowych, będziemy pomijali wszelkie opory i założymy, że siła ciężkości jes sała. Rzu poziomy Rozważmy ciało znajdujące się na pewnej wysokości H kóremu zosaje nadana, w kierunku poziomym, pewna prędkość począkowa, a ponieważ pominęliśmy opory o w poziomie ciało będzie poruszało się ruchem jednosajnym prosoliniowym z prędkością. W kierunku pionowym nasępuje oczywiści spadek swobodny. Złożenie ych obu ruchów pokazuje poniższy rysunek: 0
m 0 y H p α () r Z α k p ma ( ) r W chwili począkowej = 0 ciało znajduje się na wysokościhi posiada prędkość w kierunku poziomym. w chwili jeo prędkość jes wypadkową prędkości poziomej ( ) i prędkości pionowej spadku swobodneo. W chwili końcowej ( r ) prędkość ciała worzy z poziomem ką α k Na wsępie, mając daną wysokość H i prędkość począkową obliczymy zasię (Z) i czas rwania ruchu ( r ). Czas rwania ruchu o czas spadku swobodneo z wysokości H zaem: H = r r = H W czasie ym ciało poruszając się ruchem jednosajnym, prosoliniowym przebywa droę Z, a zaem: H Z = r = Prędkość ciała w dowolnej chwili czasu rwania ruchu, jes wekorem będącym 1
sumą prędkości poziomej i pionowej, zaem: = [, p ] = [,] Dłuość eo wekora wynosi więc: = = 0 + ( ) zaś ką jaki worzy on z poziomem można obliczyć np. z def funkcji anens: an(α) = p = ( ) Aby znależć równanie droi (rajekorii) w rzucie poziomym należy zapisać jak zmieniają się współrzędne poruszająceo się ciała w przyjęym do rozważań układzie odniesienia. W naszym przypadku będzie o: () = (1) y() = H () Powyższe równania nazywają się paramerycznym równaniem oru (pokazują jak zmieniają się współrzędne poruszająceo się ciała w zależności od czasu). Obliczając czas z równania (1) i podsawiając o do równania () orzymamy: = y() = H ( ) y() = + H 0 Orzymaliśmy równanie paraboli, a dokładniej mówiąc wycinka paraboli, ponieważ (0,Z). Współczynnik przy jes ujemny zaem nasza parabola pokrywa się z orem na rysunku przedsawiającym rzu poziomy. Pouczającym jes jeszcze wyznaczyć prędkość ciała w momencie uderzenia o ziemie; ponieważ o wekor o oprócz warości należy wyznaczyć np. ką jaki worzy z poziomem; wykorzyaamy w ym celu wzory ( ) i ( ) podsawiając
H w nich za czas rwania ruchu ( r = ) orzymujemy, warość prędkości... k = ( k ) = ( H 0 + ) k = 0 + H i anens kąa jaki worzy prędkość w momencie uderzenia o ziemie: an(α k ) = k = H an(α k ) = Rzu ukośny H Ruch en przypomina rochę srzelanie z armay. W chwili począkowej ciało zosaje wysrzelone z prędkością począkową pod kąem α do podłoża, w sposób jak pokazano na rysunku: y 0Y y() () α( ) 0X H 0X y() 0X () α( ) α 0X 0X Z 0Y α k Rzu ukośny jes superpozycją ruchu jednosajne, prosolinioweo w poziomie, zaś w pionie mamy najpierw rzu pionowy w órę, a poem spadek swobodny, widać więc, że prędkość począkową musimy rozłożyć na składową poziomą i pionową wynoszą one: = cosα = cosα y = sinα y = sinα Składowa pozioma podczas całeo ruchu jes sała, ponieważ pominęliśmy opory, naomias składowa pionowa jes prędkością począkową w rzucie pionowym w órę. 3
Mając daną prędkość począkową (jej warość i ką jaki worzy z podłożem) obliczymy: czas rwania ruchu, zasię (Z) i maksymalną wysokość (H). Najprościej jes zacząć odwyliczenia czasu wznoszenia; po jeo upływie składowa pionowa prędkości będzie równa zeru, a opisuje ją równwnie: y () = y, zaem: y ( w ) = 0 0 = y w w = y Czas wznoszenia na wysokość H jes równy czasowi spadku z ej wysokości (jako ćwiczenie proszę o sprawdzić) a zaem czas rwania rzuu ukośnieo wynosi: w = s r = w + s = w r = y Podsawiając za składową y mamy: r = sinα Mając czas rwania ruchu bardzo szybko znajdziemy zasię (Z) ponieważ jes o droa przebya w ym czasie z prędkością poziomą ( ), zaem: Z = r = y = sinαcosα Z = sinα Przy czym skorzysaliśmy jeszcze z ożsamości ryonomerycznej na sinus kąa podwojoneo sinα = sinαcosα. Zbadajmy, jaki musi być ką wyrzuu, aby przy danej prędkości wyrzuu zasię był największy. Sanie się ak, dy sinus będzie miał warość 1, zaem: sinα = 1 α = 90 o α = 45 o Co zadza się ze zdrowym rozsądkiem, ponieważ rzucając ciało pod zby dużym, lub zby małym kąem upadnie ono blisko. Trochę rudniej jes wyznaczyć wysokość na jaką wzniesie się ciało. Najprościej od srony obliczeniowej będzie dy zauważymy, że po osiąnięciu wysokości maksymalnej ciało przez druą połowę ruchu (a więc w czasie 1 r = y 4 ), w
pionie, spada swobodnie z wysokości H zaem przebywana przez nieo droa wynosi: H = (1 r) = (y ) H = y H = sin α Aby wyznaczyć równanie oru posąpimy podobnie, jak w przypadku rzuu poziomeo, napiszemy najpierw równania pokazujące jak zmieniają się współrzędne ciała podczas rwania jeo ruchu. W poziomie jes o ruch jednosajny, prosoliniowy więć: () = () = cosα Naomias w pionie, mamy rzu pionowy w órę i spadek swobodny, ale okazuje się, że można je opisać jendym równaniem: y() = y y() = sinα Obliczając czas z równania na ()... = cosα... i podsawiając o do równania na y() mamy: y() = cosα sinα ( cosα ) Po przekszałceniu i wyciąnięciu kolejnych poę przed nawias dosajemy równanie oru; jes o parabola z ramionami skierowanymi w dół (a < 0) y() = 0 cos α + (anα) Miejscami zerowymi ej paraboli są, 1 = 0 mający inerpreacje fizyczną jako 5
miejsce w kórym rozpoczyna się rzu ukośny i druie miejsce zerowe: = anα 0 cos α = sinα 0 cos α cosα = sin α kóre inerpreujemy jako miejsce dzie ciało upada i jes o jednocześnie zasię rzuu ukośneo. Pouczającym byłoby jeszcze udowodnienie, że wierzchołek ej parabolii wyznacza maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało ale niech będzie o zadaniem domowym. 6