Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M azywamy ograiczeiem górym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z dołu, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M azywamy ograiczeiem dolym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym, jeżeli jest jedocześie ograiczoy z dołu i z góry. Defiicja: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to kresem górym zbioru Z azywamy jego ajmiejsze ograiczeie góre i stosujemy ozaczeie supz. Istieie takiego ajmiejszego ograiczeia wyika z zasady ciągłości Dedekida. Jeżeli zbiór Z jest ieograiczoy z góry, przyjmujemy supz = +. Poadto przyjmujemy sup =. Aalogiczie określamy kres doly zbioru, ozaczay przez if Z. Wiosek: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to liczba G jest jego kresem górym wtedy i tylko wtedy, gdy oraz Zadaia. ε>0 x Z x Z x G x > G ε. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 197. { x R : x 2 < 2 { 37 198. : N { 1 199. m +1 : m, N 200. { x R : x 4 5 { m 2 + 2 { 201. 2m : m, N, m < mk 202. m 3 + 3 +k : m,,k 3 N Niech A i B będą iepustymi ograiczoymi zbiorami liczb rzeczywistych. Niech a 1 = ifa, a 2 = supa, b 1 = ifb, b 2 = supb. Co moża powiedzieć o astępujących kresach: Lista 5-23 - Stroy 23-38
203. if{ a : a A 204. sup{a 2 : a A 205. if{a 2 : a A 206. sup{a b : a A, b B 207. sup{ab : a A, b B 208. if{ab : a A, b B 209. Zbiory A i B są iepuste i ograiczoe. Zbiór B jest skończoy i wszystkie jego elemety są róże od 0. Czy zbiór { a : a A, b B musi być ograiczoy? Odpowiedź b uzasadić. 210. A jest takim iepustym zbiorem ograiczoym liczb rzeczywistych, że ifa = 3, supa = 2. Jakie wartości mogą przyjmować kresy zbioru { a : a A? Odpowiedź uzasadić przykładem lub dowodem. 211. Podać przykład takich zbiorów A, B, że ifa = 2, supa = 7, ifb = 3, supb = 10, ifa B = 4, supa B = 6, A N = B N =. Niepotrzebe skreślić. W każdej parze ramek tylko jeda zawiera sesowe uzupełieie tekstu matematyczego. Twierdzeie 212. Niech A i B będą iepustymi zbiorami ograiczoymi. Niech C = {a b : a A b B. Wtedy ifc = ifa supb supb ifa. Dowód: Niech d = ifa i g = supb. Wtedy z waruku d = ifa wyika, że 1 oraz 2 ε>0 ε>0 a d a d a < d+ε a > d ε. Podobie z waruku g = supb wyika 3 oraz b B b B b g b g 4 b < g +ε b > g ε. ε>0 ε>0 b B b B Chcemy wykazać, że ifc = e, gdzie e = d g g d, czyli, że 5 oraz c C c C c e c e 6 c < e+ε c > e ε. ε>0 ε>0 c C c C W dowodzie waruku 5 skorzystamy z 1 i 3. Zakładając 5 wykażemy prawdziwość waruków 1 i 3. Dowola Istieje liczba c C jest będąca postaci c = a b, gdzie a A i b B. Z ierówości a d a d i b g b g otrzymujemy a b e a b e, co dowodzi 5. Lista 5-24 - Stroy 23-38
Załóżmy Wykażemy teraz prawdziwość waruku 6. Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Wtedy Zajdziemy taką liczbę dodatią ε, dla której istieje a A takie, że a > d ε a < d+ ε oraz b B takie, że 2 b < g +ε b > g ε. Zatem liczba c = a b spełia ierówość 2 c < e+ε c > e ε, co kończy dowód waruku 6. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 213. { x 2 : x 4, 9 { 214. 2+3 : N { { 2009 215. 5 : N 216. : N 2009 { { 1 217. +m : m, N 218. 2 2 : N 3 219. { 2 + : N 220. { 3 m 2 : m, N { { 7 m 2 221. 3m : m, N +4 2 222. : m, N m { m 2 +5 2 { 3m 2 +7 2 223. : m, N 224. : m, N m m 225. { 37 5 : N 226. { 37 6 : N 227. { 37 7 : N 228. { 37 8 : N { m 229. m 2 + 2 +1 : m, N Kowersatorium Przeczytaj poiższe waruki. Które z ich są rówoważe temu, że g = supa? 230. a g a < g +ε ε>0 231. a g a g < ε ε>0 232. a g a > g 2ε ε>0 233. a g > g ε>0a ε 2 234. a g > g Na 1 Lista 5-25 - Stroy 23-38
235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 242. 243. 244. 245. 246. 247. a g N 2 g a < 1 a < g a g 2 < ε ε>0 a g a g 2 < ε ε>0 a g a > ε ε<g a g a > g ε ε<g a g a > g ε 0<ε<1 a g a g ε ε>0 a g a g ε a g ε 0 a > g ε ε 0 a g b g+a 2 b A a g a g a 2 0 a g a g a > g ε ε>0 b A b A b g+a 2 b g+a 2 Zadaia do samodzielego rozwiązaia. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji. 248. W każdym z zadań 248.1-248.13 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. 248.1. A = {x 2 : x 3, 2 ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... 248.2. B = {x 3 : x 3, 2 ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... Lista 5-26 - Stroy 23-38
{ 1 248.3. C = 5 13 : N N = {1,2,3,4,5,... ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { 2 248.4. D = : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... 248.5. E = { 2 5 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... { 13 248.6. F = : N iff =... supf =... Czy kres doly ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F... { 248.7. G = 2 1 : N ifg =... supg =... Czy kres doly ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G... { 1 248.8. H = +1 1 m+2 : m, N ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H... m 248.9. I = : m, N 2m2 < 3 2 ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m 248.10. J = : m, N 2m > 3 ifj =... supj =... Czy kres doly ależy { do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J... m 248.11. K = m 2 +9 : m, 2 N ifk =... supk =... Czy kres doly ależy { do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K... 248.12. L = 7+ +2009 +1 + 2009 +4 : N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy { do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... m+ 248.13. M = : m,,p N m 2 > 2p 2 2 > 3p 2 p ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M... Lista 5-27 - Stroy 23-38
249. W każdym z zadań 249.1-249.13 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być{ liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. 3 249.1. A = 5 m : m, 2 N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly{ ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... 1 249.2. B = 2 7 : N ifb =... supb =... Czy kres doly{ ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... 249.3. C = x : x 1 2, 1 N 5 ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... 249.4. D = { 2 +3 : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... 249.5. E = {log 2 2 1 log 2 : N ife =... supe =... Czy kres doly{ ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... 249.6. F = 3+7 : N iff =... supf =... Czy kres doly{ ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F... 249.7. G = 3 7 : N ifg =... supg =... Czy kres doly{ ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G... 100 249.8. H = : N ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H... 100 249.9. I = 2! : N ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m 2 249.10. J = m 2 + : m, 4 N ifj =... supj =... Czy kres doly ależy do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J... 249.11. K = { x+y x y : x,y R ifk =... supk =... Lista 5-28 - Stroy 23-38
Czy kres doly ależy do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K... { 1 249.12. L = 5 3 : m, m N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... { 249.13. M = 1+ 1 : N ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M... Szeregi liczbowe. Ćwiczeia 28.11.2011: zad. 250-275 Kolokwium r 8, 29.11.2011: materiał z zad. 1-275 Ćwiczeia 5.12.2011: zad. 276-301 Kolokwium r 9, 6.12.2011: materiał z zad. 1-339 Obliczyć S = a k, a astępie zaleźć S : k=1 250. a k = 1 7 k 251. a k = 2k +5 k 252. Dowieść, że 4 < 127 10 k =1 1 < 7. 1 253. Dowieść, że szereg jest zbieży, a jego suma jest miejsza od 2. =1 2 1 Rozstrzygąć, czy astępujące szeregi są zbieże 1 1 1+ 2 5 8... 3 1 254. 255. 256. 257. =1 2 +1 =2 2 1 =1 2 +1 =1 1 5 9... 4 3 5 2 1 1 258. 259. =1 3 +6 2 +8+47 =1 2 1 2 2 1 1 1 1 260. 261. 262. =1 3 1 =1 2 +2 =1 +1+4 1 2 2 1!! 263. 264. 265. 266. =1 2+1! =1 3 =1 3 =1 2+1 1 +1 267. =2 1 2 268. 269. +1 =1 =1 2 1 270. 271. 272. =1 2 1 =1 4 =1 2 + 1000 273. 3 3 +π 10 274. 275. 2 2 π +e =1 =1 =1 Które z astępujących szeregów są bezwzględie zbieże, które warukowo zbieże, a które rozbieże: Lista 5-29 - Stroy 23-38
276. 279. =1 =1 1 +1 2 1 1 +1 +1 277. =1 280. 1 +1 2 3 278. =1 1 +1 2 1 3 =1 1 +4+9 281. 1 2 10 =1 3 2 282. 1 1+1 1 2 1 2 +1 1 3 1 3 1 3 +...+1 1 k 1 k... 1 +... k razy k 283. 1 1+ 1 2 1 4 1 4 + 1 3 1 9 1 9 1 9 +...+ 1 k 1 k 1 2 k... 1 +... k razy 2 k2 1 +1 3 1 284. 285. =1 2 =2 1 +1 2 2 286. =1 2 +17 +1 1 2 +2 287. 288. 289. 290. =1 3 =1 =1 +3 1/4 =1 +1 1 1 291. 1+ 1 2 292. =1 =1 1 293. 4 +3 =1 +5 +27 2 1 294. 295. 296. +2 1 1/ =1 =1 =1 297. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że Uzasadić poprawość podaego przykładu. a = a 2. =1 =1 298. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 5 =1 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz =1 =1 a =1 2 = 2. 299. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że dla dowolej liczby aturalej k zachodzi rówość a k = 2 a. Uzasadić poprawość podaego przykładu. =k+1 300. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1 =1 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz =1 =1 a 2 = 1 =1 4. Lista 5-30 - Stroy 23-38
301. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1, =1 =1a 2 = 1 2 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz =1 =1 a 4 = 1 5. Kryteria zbieżości szeregów - co każdy studet wiedzieć powiie. 1. Waruek koieczy zbieżości. Jeżeli szereg a jest zbieży, to a = 0. =1 Iymi słowy, jeżeli ciąg a jest rozbieży lub zbieży do graicy różej od zera, to szereg a jest rozbieży. =1 2. Zbieżość szeregu ie zależy od pomiięcia lub zmiay skończeie wielu początkowych wyrazów. Oczywiście zmiaa lub pomiięcie tych wyrazów ma wpływ a sumę szeregu zbieżego. 3. Kryterium porówawcze. Niech a i b będą szeregami o wyrazach ieujemych, przy czym dla każdego =1 =1 N zachodzi ierówość a b. Jeżeli a =, to b =. Jeżeli =1 =1 =1 b <, to a <. =1 4. Kilka szeregów. q jest zbieży dla q < 1, rozbieży dla pozostałych q. =1 a jest zbieży dla a < 1, rozbieży dla pozostałych a. =1 1 log =2 a podstawę większą od 1. jest zbieży dla a > 1, rozbieży dla pozostałych a. Logarytm ma dowolą 5. Kryterium d Alemberta. Jeżeli a jest ciągiem o wyrazach iezerowych oraz istieje graica a +1 a = g < 1, to szereg a jest zbieży. =1 Lista 5-31 - Stroy 23-38
Jeżeli istieje graica to szereg a jest rozbieży. =1 a +1 a = g > 1, 6. Zbieżość bezwzględa. Jeżeli a <, to szereg a jest zbieży. =1 7. Szeregi aprzemiee. =1 Jeżeli a jest ciągiem ierosącym zbieżym do 0, to szereg a 1 +1 jest zbieży. =1 Kowersatorium Czy istieje ciąg a taki, że podać przykład lub dowieść, że ie istieje : 302. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 303. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. =1 304. a 2 = 1 N, a = 0. =1 305. a Z, a = dla 100, szereg a jest zbieży. N =1 306. a = 1 dla ieskończeie wielu, szereg a jest zbieży. =1 307. Szereg a jest zbieży, szeregi a 2 1 i a 2 są rozbieże. =1 =1 =1 308. Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży. =1 =1 309. Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży, a = 0. =1 =1 310. Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 +a 2 +1 +a 2 +2 +...+a 2 +1 1 jest zbieży, =1 =0 a = 0. 311. Szeregi a 2 1 +a 2 i a 1 + a 2 +a 2+1 są zbieże, ale mają róże sumy. =1 =1 312. Szereg a jest zbieży, szereg a 2 jest rozbieży. =1 =1 Lista 5-32 - Stroy 23-38 =1
313. Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 jest zbieży. =1 =1 314. Szereg a jest zbieży, a jego suma jest rówa S. Czy stąd wyika, że zbieży =1 jest ciąg a, jeżeli a S = 0 b 0 < S < 1 c S = 1 d S > 1 315. Czy możemy stwierdzić, że szereg a jest rozbieży, jeżeli wiemy, że =1 a a = 3 b a = 7 a +1 c = 1 4 4 a 4 316. Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieży. 1 1 1 a b c 6 6 =1 =1 317. Zbadać zbieżość szeregu 2 a =1 =1 8 d a +1 d = 5 a 4 1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi. 318. Zbadać zbieżość szeregu 319. Zbadać zbieżość szeregu Obliczyć sumę szeregu 2+1 1 320. +1 =1 =1 { 321. =1 +2. =1 +2. +2 =1 +1! Wyzaczyć kresy zbiorów { N 322. 2 1 { N : N N 323. 324. =M 2 1 : M N =M 1 : M,N N M < N 2 =1 8 Lista 5-33 - Stroy 23-38
Zadaia do samodzielej powtórki. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji. 325. Rozstrzygąć zbieżość szeregu 3 +64 3 +1. =1 326. Rozstrzygąć zbieżość szeregu 9 4 7 3 +1 19 5 13 2 +1. =1 327. Rozstrzygąć zbieżość szeregu 9 4 7 3 +1 19 6 13 2 +1. =1 328. Rozstrzygąć zbieżość szeregu 3 a =1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi. 329. a Udowodić zbieżość szeregu 1. 2 b Obliczyć jego sumę. 330. Obliczyć graicę =1 331. Rozstrzygąć zbieżość szeregu 2 +k. k=1 k =1 332. a Rozstrzygąć zbieżość szeregu 2009 2 2. =1 4 + 2 +1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego p. p b Obliczyć sumę szeregu w podpukcie a dla jedej spośród tych wartości parametru p, dla których szereg jest zbieży. Lista 5-34 - Stroy 23-38
333. W każdym z poiższych zdań w miejscu kropek postaw jedą z liter Z, R, N: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży a Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a... =1 b Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a... =1 c Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a... =1 d Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a... =1 =1 =1 =1 =1 e Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a 2... =1 =1 f Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a 2... =1 g Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a 2... =1 h Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a 2... =1 i Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1+a 2... =1 j Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1+a 2... =1 334. Dae są takie ciągi a i b, że ε>0 =1 =1 =1 =1 =1 a +5 < ε oraz b +3 < ε. 20/ε ε>0 30/ε Niech c = a 2b. Wskazać odpowiedią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę aturalą P i udowodić, że ε>0 c +r < ε. P/ε 335. Obliczyć graicę 1 + 1 2 2 +1 + 1 2 +2 + 1 2 +3 + 1 2 +4 +...+ 1. +1 2 Lista 5-35 - Stroy 23-38
336. W każdym z zadań 336.1-336.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru.. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { 1 336.1. A = 3 2 + 1 2m 3 : m, N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... 336.2. B = {log 2 +7 log 2 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... { 2 336.3. C = 2 : 5 N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { m+ 336.4. D = : m, N m ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... { 1 336.5. E = 2 +1 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... 337. W każdym z zadań 337.1-337.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { 1 337.1. A = 2 22 : N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... { 2+1 337.2. B = 3+1 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... Lista 5-36 - Stroy 23-38
{ 2+1 337.3. C = 3+2 : N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... 337.4. D = {x 2y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... 337.5. E = { x y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... 338. Podaj wartości graic. a =... +1 b +2010 =... c =... 2010+1 2010 d =... +1 2010 e =... +2010 2010 f =... 2010+1 g =... +1 2010 h =... +1 /2010 i =... +1 2010 j =... +1 Lista 5-37 - Stroy 23-38
339. W każdym z 5 poiższych zadań udziel czterech iezależych odpowiedzi: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży 339.1 Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a+1 339.2 O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu jeżeli wiadomo, że =1 a a, =1 a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a 339.3 O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest a +1 zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, =1 jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g 339.4 Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. a+1 Co moża wywioskować o zbieżości ciągu, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g 339.5 O ciągu a liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg a jest zbieży i jego =1 sumą jest liczba rzeczywista g. Co moża wywioskować o zbieżości ciągu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a Lista 5-38 - Stroy 23-38