METODA USTALANIA LICZBY POWTÓRZE EKSPERYMENTU SYMULACYJNEGO O SKOCZONYM HORYZONCIE CZASOWYM KRZYSZTOF JURCZYK, WOJCIECH WONIAK Streszczeie Symulacja komputerowa staowi doskoałe arzdzie słuce aalizie złooych procesów czy systemów logistyczych. Zajduje zastosowaie w sytuacjach, gdy zawodz dostpe metody aalitycze jedoczeie dostarczajc jak ajwikszej liczby iformacji o aalizowaym procesie. Ze wzgldu a aaliz wyików uzyskaych z eksperymetów symulacyjych rozróia si dwie kategorie symulacji symulacj o skoczoym horyzocie czasowym oraz symulacj o ieskoczoym czasie trwaia. W iiejszej pracy zwrócoo uwag a problem ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego w skoczoym horyzocie czasowym. Stosujc metody bezwzgldej oraz wzgldej precyzji ustaloo liczb powtórze przykładowego eksperymetu. Poadto zapropoowao autorski sposób ustalaia liczby powtórze polegajcy a odrzucaiu kolejych obserwacji majcych zikomy wpływ a uredioe wyiki kocowe. Słowa kluczowe: aaliza daych wyjciowych, harmoogramowaie, symulacja Wprowadzeie Wród ajczciej stosowaych w praktyce arzdzi wspomagajcych procesy podejmowaia decyzji zwizaych z idetyfikacj, aaliz oraz optymalizacj i plaowaiem systemów logistyczych metody bazujce a modelowaiu symulacyjym bez wtpieia staowi ajwikszy udział. Symulacja komputerowa ma zastosowaie w sytuacjach, gdy dokłade zbadaie wybraego procesu czy systemu przy wykorzystaiu metod matematyczych czy arzdzi aalityczych z obszaru bada operacyjych jest zbyt uciliwe i skomplikowae [4]. Celem symulacji jest dostarczeie jak ajwikszej liczby iformacji o aalizowaym procesie oraz umoliwieie dokoaia aalizy wraliwoci tego procesu a zmiay parametrów im sterujcych. Łatwo wysu wiosek, e arzdzie jakim jest symulacja komputerowa wymagało bdzie od modelujcego wprowadzeia preceyzyjych daych wejciowych. Problem te szeroko opisao w dostpej literaturze przedmiotu. Doskoał taksoomi modeli daych wejciowych przedstawił L.M. Leemis w [7] oraz w [8]. Ie aspekty zwizae z przygotowaiem daych do modeli symulacyjych, tz. aspekty zwizae z odpowiedim doborem, poprawoci, spójoci czy kompletoci daych wejciowych do modeli symulacyjych poruszaj w swoich pracach chociaby N. Robertso i T. Perera w [r], S. Robiso w [11], A. Skoogh i i. w [1] i [13], czy P. Haczar i i. w [3]. W pracy M. Karkuli i i. zwrócoo z kolei uwag a uwzgldieie czyików iedetermiistyczych w modelach symulacyjych procesów logistyczych [5]. W iiejszym artykule uwag skupioo jedak a kompleksowej aalizie wyików uzyskaych z eksperymetów symulacyjych dla symulacji o skoczoym horyzocie czasowym. 78
Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 1. Sposoby ustalaia liczby powtórze eksperymetów symulacyjych Aaliza daych wyjciowych podobie jak aaliza daych wejciowych do modeli symulacyjych musi by przeprowadzoa przy wykorzystaiu odpowiedich techik walidacyjych i statystyczych, tak aby w oparciu o uzyskae rezultaty moa było podejmowa odpowiedie decyzje. Na problem te zwracaj uwag w swoich pracach m. i. C. Alexopoulas i A. Seila w [1], N. Nakayama w [9], A. Law w [6], czy M. Karkula w [4]. Ostati z wymieioych autorów, podobie jak Ch.A. Chug w [] zwracaja uwag ustaleie liczby powtórze eksperymetu symulacyjego. Poiej zaprezetowao procedur ustalaia liczby powtórze eksperymetów symulacyjych przedstawio w [4]. Eksperymet symulacyjy powiie zosta powtórzoy okrelo liczb razy. Liczba powtórze powia zosta ustaloa w taki sposób, aby zapewi wymagay przez modelujcego poziom wiarygodoci modelu. Wstpe ustaleie liczby powtórze eksperymetu symulacyjego oraz aaliza uzyskaych w te sposób wyików pozwala stwierdzi, czy koiecze jest zwikszeie liczby iteracji czy te ie. Zbyt mała wyjciowa liczba powtórze zwiksza ryzyko uzyskaia iewystarczajcych iformacji, z kolei zbyt dua liczba iepotrzebych powtórze eksperymetu wydłua czas potrzeby a zakoczeie przedsiwzicia i podosi jego koszty. Pierwszym etapem ustaleia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego jest obliczeie wartoci rediej oraz odchyleia stadardowego wyików uzyskaych z iezaleych powtórze eksperymetu ( ozacza ustalo wyjciow liczb powtórze). Załómy, e wykoao iezaleych powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym i uzyskao iezaleych rozwiza X i, gdzie i ozacza ideks daego powtórzeia. Nastpie wg wzorów opisaych rówaiami 1 oraz obliczoo wartoredi oraz odchyleie stadardowe tych wyików: X i i= X ( ) = 1 (1) [ X X ( ) ] i i= 1 S( ) = () 1 Obliczoewartoci rediej oraz odchyleia stadardowego słu ustaleiu przedziału ufoci dla wartoci oczekiwaej. Wykorzystuje si statystyk t odczytywa z tablic rozkładu t-studeta z -1 stopiami swobody przy załooym poziomie istotoci. Prawdopodobiestwo tego, e uzyskay wyik mieci si w zadaym przedziale wyosi 100(1 ) %: S ( ) S ( ) PX ( ) t < X < X ( ) + t = α α α 1 1 /, 1 k 1 /, 1 (3) Warto błdu stadardowego SE jakom obarczoe s wyiki eksperymetu wysacza si astpie według rówaia 4. SE S ( ) t1 α /, 1 (4) = 79
Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym Istiej dwa podstawowe sposoby ustaleia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego: metoda bezwzgldej precyzji oraz metoda wzgldej precyzji. W przypadku metody bezwzgldej precyzji [9] aley ustali akceptowaly poziom błdu SE. Liczba iteracji potrzeba do osigicia zakładaego poziomu precyzji jest obliczaa wg wzoru opisaego rówaiem: ( ) S t 1 α /, 1 i = AP (5) gdzie AP ozacza przyjty poziom precyzji. Alteratyw metod jest metoda wzgldej precyzji. Polega a ustaleiu, ie jak w przypadku metody bezwzgldej precyzji akceptowalego poziomu błdu SE, ale a przyjciu dopuszczalej wartoci błdu procetowego PE: t1 α /, 1 PE = X Liczb iteracji oblicza si astpie wg wzoru: t i = 1 α /, 1 X RP S ( ) S ( ) gdzie RP ozacza przyjty wzgldy poziom precyzji.. Przykłady eksperymetów symulacyjych i ich aaliza Rozwamy sytuacj, w której jede podajik obsługuje dwa staowiska motaowe dedykowae dla dwóch róych kompoetów, które ozaczymy jako A oraz B. Czasy midzy przybyciami oraz czasy motau kadego z kompoetów s liczbami losowymi o rozkładzie jedostajym i parametrach: dla kompoetu A odpowiedio 10 i 390 sekud oraz 10 i 360 sekud oraz dla kompoetu B odpowiedio 16 i 34 sekud oraz 138 i 318 sekud. Czasy trasportu kompoetów przez podajik z wejcia systemu a staowisko motaowe oraz ze staowiska motaowego do wyjcia podlegaj rówie rozkładowi jedostajemu, którego parametry wyosz odpowiedio 10 i 156 sekud oraz 84 i 96 sekud. Przeaalizowae zosta dwa wariaty w pierwszym mamy do czyieia z sytuacj, w której kompoety pojawiajce si a wejciu systemu układaj si w jede strumie wejciowy, atomiast w wariacie drugim utworzoo osobe strumieie wejciowe dla kadego z kompoetów A oraz B. Omawiae wariaty obrazuje rysuek 1. (6) (7) 80
Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 ródło: opracowaie włase. Rysuek 1. Wariaty aalizowaego eksperymetu symulacyjego Badaia rozpoczto od wykoaia pojedyczego eksperymetu symulacyjego dla obu przedstawioych wariatów dla przykładowej liczby 0 kompoetów wejciowych (10 typu A oraz 10 typu B). Jako zmiee wyjciowe zdefiiowao sumaryczy astpujce charakterystyki: redi czas oczekiwaia kompoetu a podajik T ocz, redi czas przebywaia kompoetu w systemie T prz, całkowit długo harmoogramu produkcyjego T sum oraz sumaryczy czas bezczyoci podajika T bcz. Zestawieie wyików zamieszczoo w tabeli 1, atomiast a rysuku zaprezetowao harmoogramy obsługi kolejych kompoetów. Zmiea wyjciowa Tabela 1. Wyiki pierwszego eksperymetu symulacyjego T ocz Wariat I 1543 s. 1985 s. 606 s. 1706 s. Wariat II 1478 s. 191 s. 539 s. 89 s. ródło: opracowaie włase. 81
Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym Rysuek. Harmoogramy produkcyje sporzdzoe a podstawie wyików pierwszego eksperymetu symulacyjego ródło: opracowaie włase. Łatwo zauway, e zastosowaie osobych strumiei wejciowych dla kompoetów A i B wpływa a otrzymae rezultaty, w szczególoci a długo harmoogramu oraz sumaryczy czas bezczyoci podajika. Naley si jedak zastaowi, czy uzyskae wyiki s poprawe. Powtarzajc eksperymet symulacyjy koleje 8 razy uzyskujemy zupełie ie i zaczco od siebie odbiegajce rozwizaia, które zestawioo w tabeli. Wariat I II Tabela. Wyiki pierwszego eksperymetu symulacyjego Koleje powtórzeie ródło: opracowaie włase. Tocz 8 Zmiea wyikowa 1 1543 s. 1985 s. 606 s. 1706 s. 1361 s. 1797 s. 644 s. 1948 s. 3 1678 s. 160 s. 684 s. 76 s. 4 1394 s. 1856 s. 6387 s. 181 s. 5 1669 s. 139 s. 693 s. 85 s. 6 1317 s. 1785 s. 6680 s. 078 s. 7 1555 s. 01 s. 6396 s. 1968 s. 8 180 s. 53 s. 6845 s. 333 s. 1 1478 s. 191 s. 539 s. 89 s. 116 s. 1654 s. 5330 s. 788 s. 3 143 s. 1906 s. 5798 s. 1196 s. 4 150 s. 1714 s. 5514 s. 91 s. 5 1404 s. 1876 s. 5683 s. 1003 s. 6 15 s. 1719 s. 5691 s. 115 s. 7 195 s. 1758 s. 5585 s. 1031 s. 8 1313 s. 1765 s. 550 s. 97 s.
Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 Symulowae harmoogramy produkcyje te bd si midzy sob rói w zaleoci od kolejego powtórzeia eksperymetu. Pojawia si zatem pytaie, który z otrzymaych wyików jest prawidłowy. Eksperymet symulacyjy powiie zosta powtórzoy okrelo liczb razy co zazaczoo a wstpie iiejszej pracy. W aalizowaym przypadku wstpa liczba powtórze eksperymetu symulacyjego została ustaloa jako 100. Rozkłady uzyskaych w te sposób rozwiza zamieszczoo a rysuku 3. Rysuek 3. Histogramy obrazujce rozkłady wyików stu pierwszych powtórze eksperymetu symulacyjego ródło: opracowaie włase. Kolejy etap bada polegał a obliczeiu wartoci redich (rówaie 1) oraz odchyle stadardowych (rówaie ) uzyskaych wyików, a astpie wyzaczeiu przedziałów ufoci dla wartoci oczekiwaych a poziomie istotoci = 0,05 (rówaie 3) oraz wartoci błdów stadardowych (rówaie 4) i procetowych (rówaie 6) jakimi s obarczoe wyiki eksperymetów, co zobrazowao tabelami 3 i 4. Tabela 3. Wybrae miary statystycze wyików uzyskaych z przeprowadzoych eksperymetów symulacyjych wariat I Metryka T ocz 83 Zmiea wyikowa redia 1503 s. 1964 s. 6655 s. 094 s. Odchyleie stadardowe 14 s. 130 s. 31 s. 307 s. Dola graica przedziału ufoci 1483 s. 1944 s. 664 s. 064 s. Góra graica przedziału ufoci 153 s. 1984 s. 6686 s. 16 s. Warto błdu stadardowego SE 0 s. 0 s. 31 s. 31 s. Warto błdu procetowego PE 1,33 % 1,0 % 0,47 % 1,48 % ródło: opracowaie włase.
Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym Tabela 4. Wybrae miary statystycze wyików uzyskaych z przeprowadzoych eksperymetów symulacyjych wariat II Metryka T ocz Zmiea wyikowa redia 183 s. 1744 s. 567 s. 1067 s. Odchyleie stadardowe 118 s. 19 s. 35 s. 31 s. Dola graica przedziału ufoci 164 s. 174 s. 5600 s. 1040 s. Góra graica przedziału ufoci 130 s. 1764 s. 5654 s. 1094 s. Warto błdu stadardowego SE 19 s. 0 s. 7 s. 7 s. Warto błdu procetowego PE 1,48 % 1,15 % 0,48 %,53 % ródło: opracowaie włase. Nastpie obliczoo liczb powtórze eksperymetu symulacyjego stosujc przytoczoe a wstpie metody bezwzgldej oraz wzgldej precyzji uzyskujc wyiki jak w tabeli 5. Tabela 5. Obliczoa liczba powtórze w zaleoci od aalizowaych zmieych wyikowych oraz przyjtych poziomów precyzji Wariat W iiejszym podrozdziale zaprezetowao alteratywe podejcie do problemu ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego. Propoowae podejcie polega a sukcesywym zwikszaiu liczby iteracji, a do mometu, w którym kady kolejy wyik ie bdzie miał zaczcego wpływu a rozkład wczeiejszych wyików. Od modelujcego zaley zdefiiowaie dokładoci oczekiwaych rezultatów w aalizowaym przypadku załooo stopie dokładoci a poziomie rówym 1%. Na rysuku 4 zaprezetowao zmiay redich wartoci aalizowaych zmieych wyikowych w zaleoci od wykoaej liczby powtórze eksperymetu symulacyjego. 84 Tocz Zmiea wyikowa Przyjty poziom precyzji AP 10 s. 10 s. 10 s. 10 s. Liczba powtórze wg metody bezwzgldej precy- 400 400 961 961 I Przyjty poziom precyzji RP 0,01 0,01 0,01 0,01 Liczba powtórze wg metody wzgldej precyzji 134 10 47 149 Przyjty poziom precyzji AP 10 s. 10 s. 10 s. 10 s. Liczba powtórze wg metody bezwzgldej precy- 361 400 79 79 II Przyjty poziom precyzji RP 0,01 0,01 0,01 0,01 Liczba powtórze wg metody wzgldej precyzji 149 115 48 54 ródło: opracowaie włase. W przypadku metody bezwzgldej precyzji obliczoa liczba powtórze wyiesie 961, atomiast w przypadku metody wzgldej precyzji bd to 54 powtórzeia. 3. Metoda ustaleia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego
Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 Rysuek 4. Zmiay redich wartoci aalizowaych zmieych wyikowych w zaleoci od wykoaej liczby powtórze eksperymetu symulacyjego ródło: opracowaie włase. Na podstawie przeprowadzoych bada ustaloo, e wymagaa liczba powtórze aalizowaego eksperymetu symulacyjego wyoisi 71 i jest determiowaa przez zmie T bcz. Kade koleje powtórzeie ie ma zaczcego wpływu a rozkład uzyskaych wyików (tabela 6). Tabela 6. Obliczoa liczba powtórze w zaleoci od aalizowaych zmieych wyikowych Wariat ródło: opracowaie włase. 4. Podsumowaie Tocz Zmiea wyikowa Zastosowaie osobych strumiei wejciowych dla dwóch róych rodzajów kompoetów w systemie dwóch staowisk motaowych obsługiwaych przez jede podajik zaczco wpływa a skróceie wartoci takich parametrów jak długo harmoogramu produkcyjego, czas bezczyoci podajika, czas oczekiwaia kompoetu a podajik oraz czas przebywaia kompoetu w systemie. Zbudowaie odpowiediego modelu symulacyjego i aaliza wyików uzyskaych z przeprowadzoych eksperymetów umoliwiła dokłade porówaie obu aalizowaych wariatów. redi czas oczekiwaia kompoetu a podajik w systemie z jedym strumieiem wejciowym jest o 17,15 % dłuszy i w przypadku systemu z osobymi strumieiami wejciowymi. 85 I 303 303 497 71 II 19 51 660 66
Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym redi czas przebywaia kompoetu w systemie z jedym strumieiem wejciowym jest o 1,6 % dłuszy i w przypadku systemu z osobymi strumieiami wejciowymi. Podobie wygldaj wyiki dotyczce rediej długoci harmoogramu i całkowitego czasu bezczyoci podajika. W systemie z jedym strumieiem wejciowym wartoci tych parametrów s wiksze o odpowiedio 18,7 % i 96,5 % i w przypadku systemu z osobymi strumieiami wejciowymi. Takie miarodaje rezultaty mogły zosta uzyskae tylko pod warukiem powtórzeia eksperymetu symulacyjego okrelo liczb razy a co zwrócoo uwag w iiejszym artykule. Bibliografia [1] Alexopoulas C., Seila A., Advaced methods for simulatio output aalysis. Proceedigs of the 1998 Witer Simulatio Coferece, 1998, s. 113 10. [] Chug Ch.A., Simulatio modelig hadbook: a practical approach. CRC Press, Boca Rato, 004. [3] Haczar P. i i., Quatititative methods i logistics maagemet. AGH, Kraków 014. [4] Karkula M., Modelowaie i symulacja procesów logistyczych. AGH, Kraków 013. [5] Karkula M., Jurczyk K., Bukowski L., Nodetermiistic factors i simulatio models of logistics processes. CLC 01: Carpathia Logistics Cogress, November 7th-9th 01, Jaseik, Czech Republic, Cogress proceedigs (reviewed versio), TANGER Ltd., Ostrava, Czech Republic, 013, s. 59 535. [6] Law A., Statistical aalysis of simulatio output data: the practical state of art. Proceedigs of the 010 Witer Simulatio Coferece, 010, s. 65 74. [7] Leemis L.M., Buildig credible iput models. Proceedigs of the 004 Witer Simulatio Coferece, 004, s. 9 40. [8] Leemis L.M., Seve habits of highly successful iput modelers. Proceedigs of the 1997 Witer Simulatio Coferece, 1997, s. 39 46. [9] Nakayama N., Statistical aalysis of simulatio output. Proceedigs of the 008 Witer Simulatio Coferece, 008, s. 6 7. [10] Robertso N., Perera T., Automated data collectio for simulatio? Simulatio Practice ad Theory, Vol. 9, 00, s. 349 364. [11] Robiso S., Simulatio: The practice of Model Developmet ad Use. Joh Wiley & Sos Ltd., Chicester, 004. [1] Skoogh A., Johasso B., A methodology for iput data maagemet i discrete evet simulatio projects. Proceedigs of the 008 Witer Simulatio Coferece, 008, s. 177 1735. [13] Skoogh A., Perera T., Johasso B., Iput data maagemet i simulatio Idustrial practices ad future treds. Simuatio Modellig Practice ad Theory, Vol. 9, 01, s. 181 19. 86
Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 METHOD OF DETERMINATION OF NUMBER OF REPLICATIONS OF TERMINATING SIMULATION EXPERIMENTS Summary Computer simulatio is a excellet tool for the aalysis of complex logistics processes ad systems. It ca be used i situatios where the available aalytical methods ca ot be implemeted. There ca be listed two mai categories of simulatio termiatig simulatio ad steady state simulatio. I this study the problem of determiatio of umber of replicatios of simulatio experimet i a fiite time horizo has bee highlighted. Usig the methods of absolute ad relative precisio the umber of replicatios of the exemplary experimet has bee determied. Moreover, the origial method of determiatio of umber of replicatios has bee itroduced. Keywords: output data aalysis, schedulig, simulatio Praca realizowaa i fiasowaa w ramach gratu dziekaskiego r 15.11.00.39 Krzysztof Jurczyk Katedra Iyierii Zarzdzaia Wydział Zarzdzaia AGH Akademia Góriczo-Huticza im. Staisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków e-mail: kjurczyk@zarz.agh.edu.pl Wojciech Woiak Katedra Iyierii Zarzdzaia Wydział Zarzdzaia AGH Akademia Góriczo-Huticza im. Staisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków e-mail: wojciech.woziak.93@zarz.agh.edu.pl 87