TEST SYMETRYCZNO CI LI

Transkrypt

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 7, 0 Aleksadra Baszczyska TEST SYMETRYCZNOCI LI Streszczeie. Test symetryczoci rozkadu zmieej losowej zapropooway przez Li w 997 roku jest testem wykorzystujcym metod jdrow. Dlatego te w procedurze wioskowaia statystyczego pojawia si problem wyboru odpowiedich parametrów metody jdrowej: fukcji jdra i parametru wygadzaia. Autorka aalizuje wpyw wyboru fukcji jdra i parametru wygadzaia a procedur weryfikacji hipotezy o symetryczoci rozkadu zmieej losowej. Test symetryczoci Li jest wykorzystay w aalizie wskaika rozwoju spoeczego (Huma Developmet Idex). Sowa kluczowe: test symetryczoci, metoda jdrowa. I. WPROWADZENIE Symetryczo rozkadu zmieej losowej moe podlega weryfikacji przy wykorzystaiu, midzy iymi, ieparametryczych testów statystyczych. Aaliza symetryczoci rozkadu staowi moe odrbe zagadieie badawcze, jak rówie moe by elemetem aalizy wstpej zwizaej ze sprawdzaiem zaoe wymagaych przy wyborze metody badawczej. Gdy symetryczo rozkadu zmieej losowej jest wymagaa w wielu procedurach wioskowaia statystyczego (por. Hollader, 976). Test statystyczy zapropooway przez Li w 997 roku jest jdrowym testem symetryczoci. Metoda jdrowa, zastosowaa po raz pierwszy w estymacji fukcji gstoci, jest metod zajdujca zastosowaie rówie, a przykad, w estymacji dystrybuaty zmieej losowej, estymacji kwatyli, oraz w weryfikacji hipotez statystyczych (zgodoci rozkadu, iezaleoci dwóch lub wicej zmieych losowych). W metodzie jdrowej koieczy jest wybór odpowiediej fukcji jdra oraz parametru wygadzaia. Hardle (990) przedstawia astpujce fukcje jdra K (u) : Fukcja jdra K( u ) Jedostaja I u Trójkta u I u Dr, Katedra Metod Statystyczych, Uiwersytet ódzki [99]

2 00 Aleksadra Baszczyska gdzie A Epaeczikowa 3 ui u 4 Kwadratowa 5 u I u 6 3 Trójkwadratowa 35 u I u 3 Gaussowska exp u Kosiusowa cos 4 u I u I jest idykatorem: IA gdy A zachodzi, atomiast IA 0 gdy A ie zachodzi. Powysze fukcje jdra s symetrycze i speiaj waruek K( u) du. S to tzw. klasycze fukcje jdra. Metodami wyboru parametru wygadzaia h ajczciej stosowaymi w praktyce ze wzgldu a ich prostot s zasady praktycze Silvermaa (por. Silverma, 996): Praktycza zasada Praktycza zasada I h Rˆ,06mi ˆ,,34 5 Zmodyfikowaa praktycza zasada I z,06 ˆ gdzie: ˆ jest odchyleiem stadardowym szacowaym z próby X,..., X, ˆR jest rozstpem midzywiartkowym szacowaym z próby X,..., X, z jest dowola liczb atural, X,..., X jest próba prost wylosowa z populacji o iezaej fukcji gstoci.

3 Test symetryczoci Li 0 II. TEST SYMETRYCZNOCI LI Niech x,..., x bdzie realizacj -elemetowej próby prostej X,..., X wylosowaej z populacji o iezaej fukcji gstoci f (x). Hipoteza zerowa oraz hipoteza alteratywa w tecie symetryczoci Li sformuowae s w astpujcy sposób: Li zapropoowa astpujc miar dopasowaia: H : f ( x) f ( x) 0, () H : f ( x) f ( x). () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) I f x f x dx f x f xdf x Jako estymator miary (3) wykorzystyway jest: ( ) ˆ xi x j xi x j I f x f ( x) df( x) K K h i j, ji h h (4) x i K0 K I I h i h x gdzie ˆ( ) i x f x K h i h jest estymatorem jdrowym gstoci z fukcj jdra K (u) i parametrem wygadzaia h. Statystyki testowe w tecie symetryczoci Li s astpujce: K(0) I h T h, (5) ˆ I T h ˆ (6)

4 0 Aleksadra Baszczyska gdzie: ˆ ˆ ( ) ( ) i f x K u du Moa wykaza (por. Paga, 999), e przy prawdziwoci hipotezy zerowej statystyki (5) i (6) maj rozkad ormaly stadaryzoway. W celu zbadaia wasoci testu symetryczoci Li przeprowadzoo badaie symulacyje. Rozwaao astpujce wariaty populacji, z której pochodzi próba prosta: wariat I: rozkad ormaly N(0,) rozkad symetryczy, wariat II: rozkad gamma (0.5, ) rozkad asymetryczy J-ksztaty, wariat III: rozkad gamma (5, ) rozkad umiarkowaie asymetryczy, wariat IV: rozkad gamma (3, ) rozkad silie asymetryczy, wariat V: rozkad gamma (00, ) rozkad o sabej asymetrii. Z powyszych populacji losowao w sposób iezaley próby o liczebo- ciach 0, 0, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 oraz 00. Na podstawie próby wyzaczao wartoci statystyki testowej (5) i (6). Losowaie powtarzao 000 razy. Zliczao te przypadki gdzie a poziomie istotoci =0. oraz =0.05 odrzucao hipotez zerow o symetryczoci rozkadu populacji. Liczb powtórze w badaiu ustaloo a 000. W statystyce testowej wykorzystao 7 fukcji jdra (jedostaj, trójkt, Epaeczikowa, kwadratow, trójkwadratow, Gaussowsk i kosiusow) oraz z parametr wygadzaia,06ˆ dla z=5 i 8. Przykadowe wyiki dla próby 30 elemetowej s astpujce: I Tablica. Liczba odrzuce hipotezy zerowej o symetryczoci rozkadu zmieej losowej dla próby 30-elemetowej oraz dla =0. Wariat II III IV V Parametr Fukcja jdra wygadzaia JED TKT EPA KW TKD GAU KOS z = z = z = z = z = z = z = z = z = z = gdzie: JED ozacza fukcj jdra jedostaj, TKT ozacza fukcj jdra trójkt, EPA ozacza fukcj jdra Epaeczikowa, KW ozacza fukcj jdra kwadratow, TKD ozacza fukcj jdra trójkwadratow, GAU ozacza fukcj jdra Gaussowsk, KOS ozacza fukcj jdra kosiusow. ródo: Obliczeia wase.

5 Test symetryczoci Li 03 Aalogicze wyiki otrzymao dla iych wielkoci prób. Na podstawie powyszych wyików moa stwierdzi, i w rozwaaych wariatach badaia symulacyjego zastosowaie fukcji jdra Gaussowskiej i Epaeczikowa daa przyblioe wyiki. Moe to ozacza podobe wasoci wygadzaia w przypadku tych dwóch fukcji jdra. W rozwaaych sytuacjach fukcje jdra ie i Gaussowskia i Epaeczkowa spowodoway miejsze liczby odrzucoych hipotez o symetryczoci rozkadu populacji, z której losowae byy próby. Ozacza to moe lepsze wasoci testu wykorzystujcego metod jdrow (z fukcj jdra i jdro ajczciej stosowae w praktyce, czyli Gaussowskie i Epaeczikowa. Dla rozkadu silie asymetryczego (wariat IV) w kadym przypadku odrzucao hipotez zerow o symetryczoci. Wystpieie sabej asymetrii (wariat V) spowodowa jedyie w przypadku fukcji jdra Gaussowskiej i Epaeczikowa odrzuceie hipotezy o symetryczoci. Wybór parametru wygadzaia ma rówie wpyw a wyik weryfikacji hipotezy (). Dla zmodyfikowaej praktyczej zasady Silvermaa dla z=8 obserwujemy miejsz liczb odrzuce hipotez i w przypadku z=5. W przypadku kadej rozwaaej w badaiu fukcji jdra praktycza zasada (dla z=8) daa lepsze wyiki i klasycza zasada (dla z=5). III. WERYFIKACJA HIPOTEZY O SYMETRYCZNOCI ROZKADU WSKANIKA ROZWOJU SPOECZNEGO (HUMAN DEVELOPMENT INDEX) Test Li zastosowao do badaia symetryczoci rozkadu wskaika rozwoju spoeczego (HDI) dla 006 roku. Wskaik rozwoju spoeczego opracoway zosta przez Prof. Mahbuba ul Haqa w 990 roku. Od 993 roku wykorzystyway jest przez ONZ (Program Narodów Zjedoczoych do spraw Rozwoju UNDP). Okrela o poziom ycia, uwzgldia zarówo poziom ubóstwa, stopie aalfabetyzmu oraz poziom opieki zdrowotej. W 006 roku do obliczeia sytetyczego wskaika HDI wykorzystywae byy astpujce wskaiki czstkowe: oczekiwaa dugo ycia przy arodzeiu, redia waoa odsetka dorosych umiejcych czyta i pisa oraz odsetka skolaryzacji a wszystkich poziomach edukacji. produkt krajowy brutto per capita. Liderami rakigu w poprzedich latach byy pastwa wysoko rozwiite (Norwegia, Kaada, Japoia).

6 04 Aleksadra Baszczyska Wskaik Rozwoju Spoeczego w 006 roku wyzaczoo dla 77 pastw: 75 czoków ONZ oraz Hogkog i Autoomi Palestysk. Nie wszystkie pastwa dostarczyy odpowiedich daych, dlatego w rakigu zabrako 6 pastw czokowskich ONZ, m.i. Afgaistau, Adory, Iraku, Korei Póocej, Liechtesteiu, Moako, Serbii i Czarogóry, Somalii. W rakigu Polska zaja 36. miejsce, w grupie krajów wysoko rozwiitych. Nasi ssiedzi: Niemcy 0., Czechy 3., Sowacja 4., Ukraia 78., Biaoru 67., Litwa 39., Rosja 6. miejsce. Sporód 3 pastw sabo rozwiitych, 30 ley w Afryce. W badaiu przyjto zaoeie, e warto HDI jest zmie losow. Aalizujc dae dotyczce bada HDI w okresie kilkuastu lat, moa zauway, e liczba pastw biorcych udzia w badaiu ulega zmiaom. Jest to spowodowae, midzy iymi, zmiaami polityczymi (powstaie owych pastw) oraz tym, e iektóre pastwa rezyguj z udziau w badaiach. Naley spodziewa si rówie zmia w liczbie i strukturze pastw biorcych udzia w badaiu w przyszoci. Coroczy raport dotyczcy rakigu pastw z puktu widzeia wielkoci HDI wskazuje a brak symetrii rozkadu aalizowaej zmieej losowej. Odrzuceie hipotezy zerowej o symetryczoci rozkadu HDI jest, zatem oczekiwa decyzj w procesie wykorzystaia testu symetryczoci Li w aalizie HDI. W celu weryfikacji hipotezy o symetryczoci rozkadu wskaika rozwoju spoeczego w 006 roku losowo pobrao próby o liczeboci 0, 30, 50, oraz 00. Przy liczbie powtórze 000 zliczao liczb przypadków kiedy test symetryczoci Li odrzuca hipotez o symetryczoci rozkadu. Dla badaych liczeboci prób liczba odrzucoych hipotez wyosia 000. Rówie gdy 77 pastw traktowaa bya jak próba, weryfikacja hipotezy o symetryczoci bya odrzucoa a poziomie istotoci 0,05. Powysza aaliza przeprowadzoa przy zastosowaiu metod symulacyjych oraz przykad zastosowaia testu Li w badaiu symetryczoci HDI wiadczy o bardzo dobrych wasociach aalizowaego testu. Moe o by traktoway jako wygode arzdzie statystycze w aalizach zwizaych z badaiem rozkadu zmieej losowej. Metoda jdrowa staje si coraz bardziej populara, szczególie w badaiach ekoomiczo-spoeczych i fiasowych, a co za tym idzie, istieje oprogramowaie zwizae z metod jdrow. Warte podkreleia jest zarówo: atwo oblicze oraz uiwersalo metody jdrowej. BIBLIOGRAFIA Hardle W., (990), Smoothig Techiques with Implemetatio i S, Spriger-Verlag Hollader M., Wolfe D., (976), Noparametric Statistical Methods, Wiley Series i Probability ad Statistics Paga A., Ullah A., (999), Noparametric Ecoometrics, Cambridge Uiversity Press Silverma B. W., (996), Desity Estimatio for Statistics ad Data Aalysis, Chapma & Hall

7 Test symetryczoci Li 05 Aleksadra Baszczyska SYMMETRY TEST LI Abstract Symmetry test proposed by Li i 997, is a test that uses kerel method. I the statistical iferece usig kerel methods, we eed to determie the kerel fuctio ad the smoothig parameter. The author aalyzes the ifluece of choice of the kerel fuctio ad smoothig parameter for a procedure of verificatio the hypothesis of radom variable distributio symmetry. Li symmetry test is also used i the aalysis of Huma Developmet Idex.