Macrzowa wrsja mtody przmszczń - b. Wstęp. Koncpcja mtody Macrzow ujęc mtody przmszczń stanow jj wrsję ułatwającą omputryzację agorytmu obczń. W odnsnu do zastosowana w obczanu b, wszyst założna asycznj mchan pozostają w mocy. W porównanu z asyczną mtodą przmszczń zasadnczą różncą jst zastosowan zapsu macrzowgo. Podstawowa oncpcja mtody sę n zmna. Uład bowy złożony z u przęsł dzony jst na mnty, punty łącząc mnty to węzły. Podstawowym nwadomym pozostają przmszczna węzłow ugęca ąty obrotu przrojów. W najprostszym ujęcu mtody w węzłach przgubowych n wprowadza sę ątów obrotu przrojów (rducja statyczna). W onswncj w baz podstawowych mntów bowych naży uwzgędnć trzy typy: obustronn utwrdzony, z przgubm na wym ońcu z przgubm na prawym ońcu.,, numry mntów,,, numry węzłów W przyładowj bc węzły, mają po dw nwadom - ugęc obrót, natomast przgubowy węzł tyo ugęc. Emnt jst obustronn utwrdzony, mnt z przgubm na prawym ońcu, mnt z przgubm na wym ońcu.. Emnt obustronn utwrdzony ozważamy płas mnt bowy o długośc sztywnośc gętnj. przmszczna węzłow ϕ ϕ v v racj węzłow M M Przmszczna węzłow tworzą wtor przmszczń węzłowych mntu, a racj węzłow wtor racj węzłowych mntu v ϕ v ϕ Zwąz mędzy tym dwoma wtoram ma postać M M K [ j ] K, j,,,
gdz K jst macrzą sztywnośc mntu obustronn utwrdzongo o wymarz. Każdy sładn tj macrzy to współczynn sztywnośc dfnowany, ta ja r w asycznj mtodz przmszczń. o znaczy, ż j przdstawa wartość racj w runu wywołaną jdnostowym przmszcznm j w runu j. Wartośc tych współczynnów można orść na podstaw wzorów transformacyjnych asycznj mtody przmszczń. Da momntów węzłowych mamy: M ψ ( ϕ ϕ ) M ψ ( ϕ ϕ ) Wyorzystując warun równowag racj w rozważanym mnc, wobc brau obcążna słam zwnętrznym, można wyrazć sły poprzczn węzłow jao M M co pozwaa zapsać ( ϕ ) ϕ ψ Każdy z wyprowadzonych wzorów na racj, zgodn z dfncją współczynnów sztywnośc, zawra mnty ojnych wrszy macrzy sztywnośc. W zwązu z tym K Naży stwrdzć, ż zażność K stanow macrzowy zaps wzorów transformacyjnych na momnty zgnając sły poprzczn. Warto tż zwrócć uwagę na symtrę macrzy K. a ccha wyna wprost z twrdzna aygha o wzajmnośc racj, tór wymaga, aby zawsz spłnona była zażność j j. Emnty z przgubam W przypadu mntów z przgubam wyorzystujmy fat, ż momnt zgnający w przgub jst równy zro, co pozwaa pomnąć wpływ ąta obrotu przroju przy przgub. W wynu tzw. rducj statycznj wyprowadzon w tam przypadu wzory transformacyjn n zawrają tych ątów obrotu. W tj sytuacj zmnjsza sę wymar wtora przmszczń węzłowych, racj węzłowych macrzy sztywnośc. W przypadu pręta z przgubm z wj strony mamy oraz v v ϕ K [ j ] M K, j,,
przmszczna węzłow racj węzłow Wyorzystując wzór transformacyjny na momnt utwrdzna otrzymujmy ( ) M ψ ϕ Podobn ja w mnc obustronn utwrdzonym warun równowag daj M co pozwaa zapsać ( ) ψ ϕ Ostatczn macrz sztywnośc pręta z przgubm z wj strony ma postać K W przypadu pręta z przgubm z prawj strony mamy przmszczna węzłow racj węzłow v v ϕ M oraz K [ ] j K, j,, Po wyorzystanu właścwych wzorów transformacyjnych otrzymuj sę macrz sztywnośc mntu z przgubm z prawj strony w postac v v ϕ M v v ϕ M
K. Obcążna przęsłow Podobn ja w przypadu mtody asycznj, wpływ obcążń przęsłowych na momnty węzłow pownn być uwzgędnony w wzorach transformacyjnych. W ujęcu macrzowym wymagan jst węc uwzgędnn dodatowych racj węzłowych w wtorz. dodatow racj są zbran w mntowym wtorz dodan do równań mntu. Otrzymujmy K Wartośc tych racj, podobn ja w ujęcu asycznym, zażą od rodzaju obcążna przęsłowgo oraz od typu mntu. W ażdym przypadu można posłużyć sę wynam przdstawanym w tabcach nżynrsch, można tż rozwązać statyę dango pręta statyczn nwyznaczango mtodą sł. Warto podrść, ż nformacja o wartoścach racj węzłowych stosowanych typów mntów pochodzących od oddzaływań zwnętrznych mus stanowć fragmnt podstawowj bazy danych mtody przmszczń, łączn z wzoram transformacyjnym (macrzam sztywnośc), bz tórj stosowan mtody, zarówno w ujęcu asycznym, ja macrzowym jst nmożw. Przyładowo, w mnc obustronn utwrdzonym obcążonym równomrn M M M M Wyorzystując dan z tabc nżynrsch znajdujmy: M M ostatczn Podobn w przypadu pręta z przgubm z prawj strony, obcążongo słą suponą w środu rozpętośc M / P / M
W tym przypadu na podstaw tabc mamy P 5 M P P 6 6 6 ostatczn P 6 P 5 6 P 6 Naży zwrócć uwagę, ż w ażdym przypadu wymar wtora jst dntyczny z wymarm wtorów. 5. Gobana numracja przmszczń węzłowych. ównana anonczn W anaz b woprzęsłowj złożonj z dowonj czby mntów, oprócz numracj przmszczń węzłowych zwązanych z poszczgónym mntam, naży wprowadzć numrację gobaną przmszczń. Na tym tap rozwązywana zadana n uwzgędna sę podpór, wszyst przmszczna węzłow tratowan są równorzędn. W zwązu z tym w przypadu b przdstawonj na początu mamy 7 5 6 Naży zwrócć uwagę, ż goban numry przmszczń n mają nc wspóngo z numracją węzłów an mntów. Ponadto warto wdzć, ż zachowan ojnośc przmszczń w uładz: ugęc, ąt obrotu przroju, ojno węzłam od wj do prawj strony n jst onczn, a zdcydowan upraszcza ops obczna. Wprowadzon sdm przmszczń węzłowych tworzy gobany wtor przmszczń węzłowych da całj b co[ 5 6 7 ] Każdmu z przmszczń w wtorz odpowada racja. acj t występują abo w rzczywstych podporach b, abo w podporach fcyjnych, tór dodaj sę do uładu w cu zbudowana uładu podstawowgo mtody przmszczń. W wrsj macrzowj, na tym tap rozwązywana, n rozróżna sę tych typów podpór. Otrzymujmy węc wtor racj co[ 5 6 7 ] Pomędzy wtoram zachodz zwąz anaogczny do zwązu na pozom ażdgo mntu, czy K Macrz K jst gobaną macrzą sztywnośc b. Jj wymar jst równy czb nwadomych przmszczń b, w rozważanym przypadu wynos on 7 7. W przypadu stnna obcążń przęsłowych powyższ równan naży uzupłnć o wpływ tych obcążń na goban racj, podobn ja na pozom mntu. Wprowadzamy węc gobany wtor racj węzłowych wywołanych obcążnm przęsłowym K Na współczynn sztywnośc w gobanj macrzy K sładają sę współczynn sztywnośc macrzy K poszczgónych mntów. Podobn, na racj goban w wtorz sładają sę racj z wtorów mntowych. Procs sładana macrzy K wtora nazywa sę
agrgacją. W cu jgo automatyzacj tworzy sę tabcę powązań. W tj tabcy zapsan są powązana pomędzy mntową numracją przmszczń, oddzn da ażdgo mntu, a gobaną numracją przmszczń da całj b. Aby wypłnć tabcę powązań rozważa sę "nałożn" poszczgónych mntów z ch numracją przmszczń, na całą bę z numracją gobaną. W naszym przypadu mamy 7 5 6 Istotn jst, by numracja na pozom ażdgo mntu była dntyczna z przdstawoną wczśnj przy wyprowadzanu macrzy sztywnośc mntowych! raz możmy zauważyć, ż w przypadu mntu, ojn przmszczna mntow,,, odpowadają cztrm przmszcznom z numracją gobaną,,,. W przypadu mntu trzm przmszcznom,, odpowadają przmszczna goban,, 5. W mnc, trzm przmszcznom,, odpowadają przmszczna goban 5, 6, 7. wyn można zstawć w tabcy powązań Numr mntu Numry przmszczń 5 5 6 7 numry przmszczń mntu ub, ndsy,j goban numry przmszczń 7, ndsy m,n Przdstawmy macrz sztywnośc trzch mntów b w postac: [ ] [ ] [ ] K, j,,, j K, j,, j K, j,, j Sładn macrzy sztywnośc K mntu j odpowadają sładnom gobanj macrzy sztywnośc K całj b mn o przypsan odbywa sę przz zamanę ndsów,j na ndsy m,n wdług ucza z tabcy powązań. I ta sładn macrzy K stan sę sładnm macrzy K,,, ta daj aż do. W przypadu mntu, sładn macrzy K stan sę sładnm macrzy K,, 5, ta daj aż do 55. W przypadu mntu, sładn macrzy K stan sę sładnm 55 macrzy K, 56, 57, ta daj aż do 77. W tn sposób poszczgón sładn macrzy mntowych wypłnają macrz sztywnośc gobaną K. Obowązuj przy tym zasada sumowana jś do jdngo sładna macrzy gobanj przypada węcj sładnów mntowych. Poza tym naży prznść do macrzy gobanj wszyst sładn wszystch macrzy mntowych.
Postępując w tn sposób doonano następującj agrgacj macrzy sztywnośc anazowanj b. ( ) ( ) K ( ) ( ) ( ) Pust poa macrzy pozostają zram. W anaogczny sposób sładn mntowych wtorów racj węzłowych wywołanych obcążnm przęsłowym (racj mntow z ndsam ) [ ] [ ] [ ],,,,,,, tworzą gobany wtor (racj goban z ndsam m) przz zamanę ndsów na m Wobc tgo macrzowy uład równań b K ma postać ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 6 6 7 7 6. Uwzgędnn warunów podparca b. Zrduowana postać uładu równań anoncznych Po zbudowanu gobango uładu równań b naży uwzgędnć warun podparca. W rozpatrywanym przyładz utwrdzn w węź, podpora przgubowa w węź utwrdzn w węź powodują, ż następując przmszczna są równ zru 6 7 Oznacza to, ż przy wyonywanu mnożna K wszyst mnty macrzy sztywnośc K w oumnach,,, 6 7 są mnożon przz zro. Oznacza to, ż można ch n uwzgędnać w równanu. Jao właścw nwadom mtody przmszczń pozostają: ąt obrotu przroju ugęc 5. Z tgo wyna, ż po runach 5 naży w uładz podstawowym mtody przmszczń wprowadzć fcyjn podpory. Ponważ tych podpór w rzczywstośc n ma, to racj goban 5 są równ zru. dwa warun pozwaają zapsać dwa właścw równana anonczn. Pozostał racj są różn od zra są nznan. Datgo zażnośc zapsan da nch w płnym
uładz równań są nprzydatn na tap budowana ońcowych równań anoncznych Ostatczn węc można zapsać goban równana anonczn mtody przmszczń w postac rd Krdrd rd a w rozważanym przypadu b ( ) ( ) 5 5 Podsumowując można stwrdzć, ż macrz K rd powstaj przz wyrśn z macrzy K wrszy oumn o numrach odpowadających zrowym przmszcznom węzłowym, w tym przypadu,,, 6 7. Podobn wtor rd powstaj przz wyrśn mntów o tych numrach z wtora. 7. Obcążna węzłow W przypadu gdy na bę dzałają obcążn węzłow, naży j uwzgędnć bzpośrdno w zrduowanym uładz równań gobanych. Sła przyłożona do węzła, w tórym występuj nwadom przmszczn, zastępuj zrową wartość gobanj racj. Jś sła ma zwrot zgodny z zwrotm ugęca (w dół) to jj wartość po prawj stron uładu równań ma zna dodatn. Podobn, momnt supony przyłożony w węź z nwadomym ątm obrotu pojaw sę jao dodatn po prawj stron uładu równań, jś jgo zwrot jst zgodny z dodatnm zwrotm ąta (zgodn z wsazówam zgara). Przyładow obcążna węzłow anazowanj b ch fty w wtorz prawych stron uładu równań poazano ponżj. M przcwny do M P wsazów zgara ujmny P w dół dodatna 7 5 6 5 ( ) ( ) 5 M P W ogónośc ostatczny uład równań mtody przmszczń można przdstawć w postac Krdrd Prd rd gdz wtor P rd jst wtorm zrowym w przypadu brau obcążń węzłowych, a w przypadu ch obcnośc zawra wartośc przyłożonych uogónonych sł węzłowych. 8. Obczn nwadomych przmszczń oraz ońcowych sł wwnętrznych w bc Uład równań w postac ostatcznj można rozwązać obczyć wartośc gobanych przmszczń węzłowych. W anazowanj bc obczymy w tn sposób wartośc ąta obrotu przroju ugęca 5. Na podstaw tabcy powązań można stwrdzć, ż jst czwartym przmszcznm węzłowym mntu drugm przmszcznm węzłowym mntu. Z o 5 jst trzcm przmszcznm węzłowym mntu prwszym przmszcznm węzłowym mntu. Wszyst pozostał przmszczna węzłow są równ zru. W tn sposób można zbudować płn wtory przmszczń węzłowych mntów b
5 5 Następn orzystając z równań mntów, do tórych naży podstawć obczon wczśnj macrz sztywnośc mntów K oraz wtory racj węzłowych wywołanych obcążnm przęsłowym mntów, można obczyć ch wtory racj węzłowych K K K Wartośc racj zawartych w tych wtorach można ntrprtować jao asyczn sły węzłow, momnty zgnając sły poprzczn zgodn z zażnoścam podanym wczśnj przy omawanu poszczgónych typów mntów. Na ch podstaw można obczyć racj podporow w bc, co pozwaa na wyonan gobanj ontro statycznj, ja w asycznj wrsj mtody przmszczń. Po tam wyazanu poprawnośc obczń, dysponując wartoścam węzłowym momntów zgnających sł poprzcznych, można sporządzć ostatczn wyrsy sł wwnętrznych w bc.
Przyład czbowy 6 N/m 6 N N 5,,, 6, [m] Uwaga obczna będą przprowadzon da wośc wyrażonych w spójnym systm jdnost: N, Nm, m, rad Nwadom przmszczna węzłow 7 5 6 5,,, 6, [m] Pręty - mnty 6 N/m 5, Macrz sztywnośc ( ) 6 6 6 K 6 6 6 6,9,8 6,9,8,8,6,8,8,9,8,9,8,8,8,8,6 Wtor racj węzłowych od obcążna przęsłowgo 5,,5 5,,5
6 N,, Macrz sztywnośc,688 K,875,688,875,75,875,688,875,688 Wtor racj węzłowych od obcążna przęsłowgo P, 6 P, 5, 5 6 P 6 6, Macrz sztywnośc,89 K,89,8,89,89,8,8,5 Wtor racj węzłowych od obcążna przęsłowgo abca powązań Numr mntu Numry przmszczń 5 5 6 7
Agrgacja gobanj macrzy sztywnośc ( ) ( ) K ( ) ( ) (,9,8,9,8,9,8,9,8,8,6,8,8,8,6,8,8,9,8,8,8 (,9,688) (,8,875),688 (,8,875) (,6,75),875,688,875 (,688,89),89,8,9,8,89,95,688,8,8,95,5,875 ),688,875,677,89,8,89,89,8,8,5,89,89,8,8,5 Agrgacja gobango wtora racj węzłowych od obcążń przęsłowych 5, 5,,5,5 5,, 6,,5,,5 5, 5, Agrgacja gobango wtora sł węzłowych (sła węzłowa N w runu 5, dodatna) P, Uwzgędnn warunów podparca b zrow przmszczna o numrach,,, 6, 7. Wyrśamy wrsz oumny o tych numrach z macrzy K oraz mnty o tych numrach z wtorów P. Ostatczny zrduowany uład równań ma postać,5,875,5,875,677 5,, 5
Po jgo rozwązanu otrzymujmy,6 5,9 5 Na podstaw tabcy powązań orśamy wtory przmszczń mntowych,6 5 5 6 7,6 5,9 5,9 Wtory ońcowych racj węzłowych obczamy z równań mntów:,9,8,9,8 5, 5,765,8,6,8,8,5, K,9,8,9,8 5, 5,76,8,8,8,6,6,5 8,7 K,688,875,688,875,75,875,688, 8,,875,6, 8,7,688 5,9 5,, K,89,89,8,89,89,8,8 5,9 7,569,8 7,569,5 5, Na podstaw tych wtorów orśamy wartośc sł węzłowych na ońcach prętów 5,76 M, 5,76 M 8,7 M M 8, 8,7, 7,57 7,57 5, raz można obczyć racj podporow oraz naszcować wyrsy momntów sł poprzcznych w bc (z uwzgędnnm typów obcążń przęsłowych na prętach )
, Nm 5,76 N 6 N/m 6 N N 6,9 N 7,57 N 5,,, 6, [m] 5, Nm 8, 5,76, -7,57 [N] 5,76 8,7 5,,86 M [Nm], Wyonan gobanj ontro statycznj (suma rzutów sł na run ponowy suma momntów wzgędm dowongo puntu na płaszczyźn) oraz ontro nmatycznj pozostawa sę czytnow.