Metoda różnic skończonych i metoda elementów skończonych w zagadnieniach mechaniki konstrukcji i podłoża

Transkrypt

1 Studa Monogra z. 58 Lanna Sadca Mtoda różnc sończonch mtoda mntó sończonch zagadnnach mchan onstrucj podłoża

2 SPIS TREŚCI Przdmoa. 5. Wstęp 7. Mtoda różnc sończonch..... Wproadzn..... Oprator różnco.... Ocna doładnośc opratoró różncoch.. Zastosoan MRS anaz statcznj b... Przład ba obcążona słą suponą.... Przład ba obcążona momntm suponm Zastosoan MRS anaz statcznj płt Przład płta obcążona rónomrn na całm obszarz.6. Waracjn ujęc mtod różnc sończonch WMRS Przład ba obcążona słą suponą 6. Mtoda mntó sończonch 5.. Wproadzn Ida mtod mntó sończonch Dsrtzacja Kasacja mntó sończonch Rónana mtod mntó sończonch.. 6

3 Sps trśc.6. Funcj ształtu Agrgacja Przład rónan różnczo podłoża Własoa Ogón sormułoan MES da zagadnń mchan cała stałgo 88. Charatrsta branch mntó sończonch Uag stępn Emnt bo Przład ba z przgubm Izoparamtrczn mnt płt śrdnj grubośc ższgo rzędu... Ząz podstao modu płt ższgo rzędu Spcacja mntu płt ższgo rzędu. 6.. Emnt nsończon..... Zasadncza oncpcja mntó nsończonch.... Dumaro mnt nsończon..5. Maromnt podłoża arstogo Ząz podstao modu podłoża arstogo Spcacja maromntu podłoża Uag dotcząc abracj paramtró modu podłoża arstogo 8 5. Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj onstrucj posadoonch na podłożu sprężstm Uag stępn Ba spoczająca sobodn na podłożu Wnra WMRS Ba spoczająca sobodn na podłożu Własoa WMRS Ba na podłożu Wnra z ęzam jdnostronnm WMRS Ba na podłożu duarstom MES Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom MES Płta obcążona rónomrn na całm obszarz Płta obcążona cntrczn na małm obszarz Płta undamntoa na podłożu doon uarstonm MES.. 76 Ltratura. 8

4 PRZEDMOWA Mtoda mntó sończonch mtoda różnc sończonch stanoą obcnj dob potężn narzędz obczno poszchn orzstan anaz u zagadnń tchn. Ltratura omaająca torę obu mtod ch apacj do onrtnch zagadnń jst bardzo obszrna. Spośród pozcj sążoch arto tu mnć pracę O.C. Zncza R.L. Taora Mtoda mntó sończonch vo. pracę pod rdacją M. Kbra Komputro mtod mchan cała stałgo 995 cz sążę E. Rusńsgo J. Czmochosgo T. Smoncgo Zaaansoana mtoda mntó sończonch onstrucjach nośnch. Ogón śród pozcj sążoch dają sę zauażć da trnd. Jdn objmuj prac omaając spomnan mtod ścsłm ujęcu matmatcznm magając dobrj znajomośc tor rónań różnczoch rachunu aracjngo anaz uncjonanj drug torzą prac przdstaając szczgół agortmó mtod na grunc mchan onstrucj. W nnjszj sążc tórj przdstaono zars tor mtod różnc sończonch mtod mntó sończonch autora starała sę njao t da głón nurt zrónoażć dając ogón ops mtod nonczn zązan z dzdzną mchan onstrucj jao przład ustrując zaart tj częśc sąż odnoszą sę do zagadnń mchan budo. Druga część sąż chocaż n odrębnona orman ujmuj charatrstę branch mntó sończonch zaróno tch znanch poszchn stosoanch tach ja mnt bo ja tż szczgónch tach ja mnt płt ższgo rzędu cz mnt nsończon da tórch trudno znaźć nat obszrnjsz omón traturz przdmotu. Dotcz to płn sormułoango opsango maromntu podłoża sprężstgo tór stano łasną autorsą apację mtod do zagadnń spółprac onstrucj

5 6 Przdmoa z podłożm doon uarstonm. Zastosoanu MRS MES do tgo rodzaju zagadnń pośęcon jst ostatn rozdzał sąż. Zaart nm przład stopnoan z zgędu na przjętą dazację masu gruntogo zagadnnach ontatoch onstrucja podłoż sprężst obrazują onrtn sposób zastosoan rozażanch mtod zagadnnach z pograncza dóch dzdzn: mchan onstrucj gomchan. W c uazują on ostatn przład możość anaz tch zagadnń prz jdnoczsnm dostatczn doładnm modoanu obu substrutur: budo podłoża uarstongo a zarazm prz stosunoo małm słu obcznom. Jst to stotn cąż poszchnm użcu są bom program omputro do anaz onstrucj na sprężstm podłożu opsanm za pomocą najbardzj dazoango modu-anaogu Wnra. Lżąc u podsta tgo podjśca założn ż osadan podłoża danm punc zaż to od artośc obcążna porzchnogo tm punc ograncza możość uzsana rastcznch nó anaz do podłoża postac cnj arst. zażn od tgo poażn trudnośc spraa argodn oszacoan spółcznna Wnra da podłoża uarstongo. W tm zars sąża płna pną uę mędz nadmrn uproszczonm tratoanm podłoża a jgo zbt ranoanm modoanm starzającm poażn trudnośc pratcznm stosoanu. Proponuj agortm obczń stanoąc omproms pomędz doładnoścą a czasochłonnoścą obczń. Ksąża adrsoana jst do praconó nauoch orzstującch MRS MES do torzna modu numrczngo dango zagadnna; szczgónośc zagadnna spółprac onstrucj z podłożm gruntom. Sroana jst rónż do studntó dzałó potchn pragnącch usstmatzoać soją dzę z zarsu znanch stosoanch mtod obcznoch. Stanołob ogromną satsację da autor gdb żj spomnanm zars sąża oazała sę pomocna. Korzstając z sposobnośc autora pragn razć dzęczność Rcnzntom: Panu prosoro Jrzmu Gołaso a szczgónośc Panu prosoro Macjo Grczmańsmu za żczość cnn uag pomocn uporządoanu trudnjszch ragmntó sąż. Słoa podzęoana ruj rónż autora pod adrsm Pana Artura Łożńsgo za znaczącą pomoc prz omputrom opracoanu rsunó stotn sazó dotcząc sładu tstu.

6 Rozdzał WSTĘP Zagadnna z matmatcznj cz tchn ta na przład ja poszuan rozładu pó tmpratur przmszczna naprężna odształcna to zagadnna brzgo ub brzgoo-począto. Zagadnna ta opsan są najczęścj uładm rónań różnczoch arunam na brzgu obszaru przpadu zagadnna brzgogo oraz dodatoo arunam danj ch t t da zagadnń brzgoo-początoch zażnch od czasu. Każd zagadnn brzgo można sposób ogón opsać rónanm opratorom: orśonm obszarz V z arunam brzgom A u. F u p G u q danm na częśc odpodno S S brzgu S S S. W rónanu. A oznacza pn oprator różnczo. Moż to bć np. oprator Lapac a: A bądź oprator bharmonczn: z

7 8 Wstęp A. Przz u oznaczono uncję będącą doładnm rozązanm rónana. natomast jst uncją daną obszarz V. W ogónośc zagadnn brzgo moż mć charatr no ub nno odpodno A będz opratorm nom ub nnom. Orśn uncj u jao doładngo rozązana rónana. dotcz z rguł ąsj as zagadnń da tórch oprator A jst no obszar u jst rguarn a arun brzgo cągł mntarn. Uzsan rozązana są ścsł sns matmatcznm często naza sę j rozązanam zamnętm. Z chą pojana sę obszaró o złożonch ształtach cz ncągłch arunach brzgoch mtod ścsł nu stosoana tórch uzsuj sę uncję u jao doładn rozązan rónana opratorogo. proadzą do długch żmudnch obczń często tż tach przpadach n ma rozązań as uncj mntarnch. Pozostają óczas do dspozcj mtod przbżon rozązana rónana. tór osztm zmnjszonj doładnośc obczń proadzą szbcj ub ogó umożają uzsan rzutatu. Gnran prz przbżonm rozązanu rónana. można różnć da podjśca. Prsz z nch bazuj na orgnanm rónanu opratorom drug na arunu mnmum uncjonału zagadnna. W mś trdzna Wnbrga anaz uncjonanj podjśc drug jst moż td gd oprator A jst potncjan. Istnj td uncjonał gradntm tórgo jst orgnan oprator różnczo. W tam przpadu zamast poszuać rozązana rónana. poszuuj sę puntu rtczngo uncjonału. Zachodz bom óczas rónoażność pomędz rónanm opratorom a stoarzszonm z nm uncjonałm. Oznacza to ogón rzcz borąc ż rozązanm rónana. jst uncja tóra mnmazuj uncjonał odrotn: znaczn uncj tóra mnmazuj uncjonał stano rozązan rónana.. Podjśc bazując na uncjona jst często łatjsz nż rozązan rónana opratorogo. Jst tż bardzj dogodn z puntu dzna zastosoań pratcznch. zażn od podjśca mtod przbżon można podzć na mtod anatczn cz ta prz użcu tórch uzsuj sę rozązan rónana. postac uncj oraz numrczn d rozązan jst zborm artośc uncj u branch puntach obszaru V. W obu przpadach rozązan jst onstruoan przstrzn sończn maroj. Jż mar tj przstrzn zostaj sucsn zęszan óczas błąd aprosmacj uga zmnjszanu rozązan przbżon zmrza do rozązana doładngo. W ramach spomnango żj podzału asację poszczgónch mtod przbżonch przdstaono schmatczn na rs...

8 Wstęp 9 W mtodach anatcznch tratuj sę cało jao contnuum trójmaro cz rozpatruj sę mod ontnuan cała. W mtodach numrcznch cało tratuj sę jao sończon zbór puntó mędz tórm załada sę uncjn ops zmnnośc poszuango poa. Rozpatruj sę zatm mod dsrtn. Procs dojśca do modu dsrtngo zan dsrtzacją moż odbać sę abo na drodz matmatcznj tz. dsrtzacja matmatczna abo na drodz zcznj przz podzał rozpatrango contnuum na sończoną czbę częśc tz. dsrtzacja zczna. Rs... Mtod przbżon rozązana rónana A u

9 Wstęp W rozażanach zaartch nnjszj sążc przdstaon będą podsta tortczn oraz bran aspt dóch mtod numrcznch: mtod różnc sończonch MRS raz z jj aracjnm ujęcm WMRS mtod mntó sończonch MES. Mtod t są ta sonstruoan ż ab osągnąć odpodną doładność rozązań magana jst duża czba potarzającch sę obczń przz co nzbędnm staj sę zastosoan omputra. Stąd tż mtod t nazać można mtodam omputrom. jst moż podan jdnotgo rtrum użtcznośc zastosoana ażdj z żj mnonch mtod omputroch do dango zagadnna. W dużj mrz jst to uarunoan spcą rozpatrango probmu ja rónż dośadcznm ntucją tgo to dcduj sę na bór tj a n nnj mtod numrcznj. Strdzć można ż najbardzj unrsaną spośród mnonch mtod jst mtoda mntó sończonch. Jst ona czrpująco omóona traturz przdmotu podobn ja mtoda różnc sończonch całoc opracoana soch podstaach tortcznch. Mtoda mntó brzgoch tóra nnjszj sążc n została omóona cąż jst az rozojoj znajduj coraz szrsz zastosoan do rozązana u zagadnń nauoch nżnrsch. Warto rónż podrść ż prz zastosoanu danj mtod omputroj n odnoszą sę n do uładu rzczstgo a do modu obcznogo dsrtngo tór to tę rzczstość moduj. Mając bom uład rzczst tórgo zachoan chcm zbadać torzm najpr zbór założń dotczącch procsó zjas tór tm uładz zachodzą cz mod zczn. W daszj ojnośc ormułujm rónana tór rażają zasadncz łasnośc modu zczngo sposób matmatczn. To dopro staj sę podstaą utorzna modu obcznogo rzczstgo obtu prz uzgędnnu łasnośc danj mtod numrcznj. Schmatczn przdstaa to rs... Właśca ntrprtacja nó obczń programu omputrogo jst moża jdn prz znajomośc zastosoango tm program modu obcznogo. Ocna adatnośc otrzmanch rzutató moż odbć sę abo na drodz porónana z rozązanm ścsłm zazczaj ndostępnm abo na drodz racj dośadczanj. trzba chba podrśać ż program tórch użto różnch mod obcznoch tgo samgo obtu rzczstgo proadzć będą do różnącch sę od sb nó. at jdna prz tch samch modach obcznoch mogą pojaać sę rozbżnośc nach nając z stosoana różnch tchn numrcznch na przład różnch procdur rozązana uładu rónań.

10 Wstęp Rs... Schmat torzna mod obtu rzczstgo

11 Rozdzał METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH.. Wproadzn Mtoda różnc sończonch jst jdną z najstarszch mtod przbżonch stosoaną jszcz przd postanm troncznch maszn croch jao dsrtna mtoda rozązana probmó brzgoch opsanch rónanam różnczom. Mtodę tę rozszrzono następn na zagadnna sormułoan postac aracjnj stąd postała odmana tj mtod aracjn ujęc mtod różnc sończonch WMRS. Mtoda różnc sończonch oparta jst na dsrtzacj matmatcznj rónań różnczoch opsującch contnuum. Jj stotą jst zastąpn opratoró różnczoch odpodnm opratoram różncom orazam różncom orśonm na dsrtnm zborz puntó zanm satą dsrtzacjną. Emnt tgo zboru nazan są ęzłam. W nu tago podjśca zagadnn brzgo sproadzon zostaj do uładu rónań agbracznch tórm nadomm są artośc poszuanj uncj ęzłach sat dsrtzacjnj. W sojj rsj podstaoj MRS dotcz rguarnj sat ęzłó co stano znaczn ogranczn zastosoanu do obszaró o złożonj gomtr. Do manamntó mtod zacza sę rónż bra możośc oango zagęszczna sat trudność łącznu obszaró o różnch marach na przład D z D. ątpą zatą mtod jst jj prostota oraz duża sutczność da obszaró rguarnch. D - jdnomaro ang. - dmnsona D - dumaro

12 Mtoda różnc sończonch Uogónna podstaoj rsj MRS opracoan ostatnch atach umożając uzgędnn podzału nrónomrngo poazują duż możośc mtod zęszają jj obszar zastosoań tór staj sę porónan z obszarm odącj mtod omputroj mtod mntó sończonch. Często stosoana jst ombnacja MRS MES anazach zagadnń brzgoo-początoch. Prsza użana jst td do dsrtzacj zmnnj czasoj druga do dsrtzacj pó przstrznnch... Oprator różnco Oprator różnco stanoąc punt jśca mtod można otrzmać chodząc z dncj pochodnj uncj punc. W tm cu rozpatruj sę dooną uncję cągłą rs... Rs... Funcja cągła jj artośc orśonch puntach Pochodną uncj punc n tóra oznaczona zostan przz ' ' naza sę grancę orazu różncogo n d n n n n ' n m m. d

13 .. Oprator różnco 5 Wrażn poższ można zapsać następującj orm: d d n n n n m m. Przbżnm tgo rażna jst rónan: d n. d tór naza sę prszą różncą przdną uncj punc n. Odpodno prsza różnca stczna uncj punc n raża sę następująco: d d n n n n. Prsza różnca cntrana zara punt smtrczn położon zgędm puntu n : d d n n n n.5 Wadomo ż pochodna ma soją ntrprtację gomtrczną. Pochodna ' jst róna tangnso ata nachna stcznj do os OX punc rs.. Jż przjm sę ż punc n sczna b jst rónogła do stcznj n óczas tg β można zapsać następująco: n n tgβ ' n.6 a to jst łaśn prsza różnca cntrana. n n

14 6 Mtoda różnc sończonch Rs... Stczna sczna do rzj Oczśc m mnjsz tm bardzj ąt nachna stcznj zbża sę do ąta nachna scznj tm bardzj zmnjsza sę błąd tórm obarczon są oraz różnco. W ogónośc pochodna danm punc aprosmoana jst najpj przz odpodną różncę cntraną ponaż tn schmat różnco uzgędna artośc uncj puntach smtrczn położonch zgędm dango puntu. T smtrczn położon punt dają pszą śrdną artość pochodnch. Stąd tż daszch rozażanach uzgędnona zostan jdn prsza różnca cntrana. Pochodn uncj ższch rzędó zastąpon zostaną orazam różncom następując sposób: d d n n n n n.7 n n n n n n n n n n n

15 .. Oprator różnco 7 d d n n n n n n.8 n n n n n n n n n 6 n n n n n Odpodn schmat różnco można zustroać graczn rs... Rozaża sę obcn uncję dóch zmnnch. W tm przpadu obszar zmnnośc uncj pora sę z satą o boach rs.. orśa artośc dsrtn jj ęzłach. Rozpatrując doon przrój. const otrzmuj sę:.9 Rs... Oprator różnco uncj jdnj zmnnj

16 8 Mtoda różnc sończonch Rs... Obszar zmnnośc uncj raz z satą dsrtzacjną Z o da przroju. const uzsuj sę: j. Odpodno tż zachodz:. oraz : j. Da pochodnj mszanj odpodn oraz różnco otrzmuj sę anaogczn sposób:

17 .. Oprator różnco 9 j j j j j. podobn da pochodnj czartgo rzędu: j j j. j j j Schmat poższ można zustroać graczn rs..5. Postępując tn sposób można napsać schmat różnco doonj pochodnj złj ub mszanj. Rs..5. Oprator różnco uncj dóch zmnnch

18 Mtoda różnc sończonch.. Ocna doładnośc opratoró różncoch Rozpatruj sę dooną uncję cągłą rs..6. Rs..6. Stczna sczna do rzj punc n Przjęt schmat różnco jdn aprosmują rzczstą artość pochodnj: d Rzczsta artość pochodnj: tgβ n d d Aprosmacja: tgβ b tgβ n d Rozbżność pomędz rzczstą artoścą pochodnj a aprosmacją maj raz z zmnjszanm sę odgłośc. Ab ocnć tę rozbżność cz błąd nając z zastąpna pochodnj orazm różncom rozja sę daną uncję szrg Taora. W tm cu rozpatruj sę uncję jdnomaroą rs..7. Szrg Taora uncj ξ ma postać: n n d ξ ξ.5 n n n! d gdz pochodna zrogo rzędu jst róna!.

19 .. Ocna doładnośc opratoró różncoch Rs..7. Funcja cągła Zgodn z rs..7 da mam: {!!! d d d d d d ξ ξ ξ ξ K K! d d d d d d d d ξ ξ ξ K 6 d d d d d d.6 {!!! d d d d d d ξ ξ ξ ξ! d d d d d d K ξ.7 K 6 d d

20 Mtoda różnc sończonch d Schmat różnco da pochodnj d przdstaa sę następująco: d d.8 Odjmując stronam rażna na uzsuj sę: d d d d d K 6 d.9 d Z poższgo rażna można znaczć. Otrzmuj sę: d d d d d d 6 d K d d K d 6 d R. d Prsz człon rażnu. na pochodną. d to przjęt schmat różnco.8. Pozostał człon stanoą rsztę tórą odrzuca sę zastępując pochodną jj schmatm różncom. Ta ęc przbżon rażn na pochodną d d dan orazm różncom obarczon jst błędm: d d R K. d 6 d

21 .. Zastosoan MRS anaz statcznj b W przpadu gd podzał nrónomrn R gd a ęc błąd maj raz z zmnjszanm sat podzału. Da podzału rónomrngo cz gd R gd. Błąd opratora różncogo n jst jdnm źródłm postaana błędu rozązana zagadnna mtodą różnc sończonch. Dochodzą tu podobn ja nnch mtodach numrcznch błęd nając z żądana spłnna rónań różnczoch branch a n ażdm punc obszaru oraz błęd zaorągń artmtcznch... Zastosoan MRS anaz statcznj b... Przład ba obcążona słą suponą Dana jst ba obustronn utrdzona obcążona słą suponą ja na rs..8. Do orśna jst rozład momntó zgnającch bc. Rozązan doładn tgo zagadnna przdstaa rs..9. Zadan rozązan zostan sposób przbżon prz zastosoanu mtod różnc sończonch. Puntm jśca jst rónan różnczo os odształconj pręta: d EJ q. d tórm: uncja ugęca b q ntnsność obcążna rónomrn rozłożongo EJ sztność b. Rs..8. Ba obustronn utrdzona obcążona środu słą suponą

22 Mtoda różnc sończonch Rs..9. Rozład momntó zgnającch rozązan doładn Rozpatruj sę ęc zagadnn brzgo opsan ogón rónanm. tórm obcn: d A d u. q EJ Warun brzgo nając z sposobu podparca b są następując: d ϕ d d ϕ d. Ząz pomędz uncją momntó zgnającch M a uncją ugęca ma postać: d M EJ.5 d

23 .. Zastosoan MRS anaz statcznj b 5 W cu uzsana rozązana zadana mtodą różnc sończonch doonuj sę podzału b rónomrną satą dsrtzacjną o bou ocza rs... Rs... Przjęta dsrtzacja b W ażdm ęź sat podzału naż napsać odpodn rónana różnco. Rónana t nają z zastąpna stępującj rónanu opsującm zagadnn. pochodnj czartgo rzędu przz odpodn oraz różnco. Otrzmuj sę następując rónana różnco: ęzł : ęzł : ęzł : q EJ 6 q 6 EJ q EJ 6.6 W rónanach poższch ośc oraz są ugęcam ęzłó cjnch. Ab bom napsać schmat różnco odpoadając czartj pochodnj da ęzła oraz naż przdłużć bę o da odcn o długośc uzsując po da dodato ęzł nzbędn czartj różnc sończonj. Z o borąc pod uagę arun brzgo.7

24 6 Mtoda różnc sończonch oścą poszuaną będz jdn ugęc ęzła. Ugęc to można obczć z rónana.6 : q EJ 6.8 rażon Wstępując poższm rónanu ugęca cjn oraz zostaną poprzz ugęca ęzłó rzczstch prz orzstanu arunó brzgoch: ϕ ϕ d d d d.9 Zastępując rónanu.9 prszą pochodną odpodnm orazm różncom otrzmuj sę: d d d d : :. Prz uzgędnnu zązó.7. rażnu.8 rónan różnco da ęzła przjm postać: q 8. EJ W rónanu. q jst ntnsnoścą obcążna rónomrn rozłożongo przpadającgo na ęzł. Ponaż ęź dzała sła supona ab orść q naż zastąpć obcążn rzczst obcążnm rónoażnm statczn zgodn z rs...

25 .. Zastosoan MRS anaz statcznj b 7 Rs... Obcążn rónomrn rozłożon przpadając na ęzł Ta ęc P q. Rónan. przbra zatm postać: 8 P P. EJ 8EJ Stąd otrzmuj sę: P 6EJ. Momnt zgnając branch ęzłach obcza sę na podsta zażnośc.5 tórj drugą pochodną zastępuj sę odpodnm orazm różncom. Postępując tn sposób uzsuj sę: M M EJ EJ. Uzgędnając zorz. ząz.7. oraz uzsan rozązan. ostatczn otrzmuj sę następując artośc momntó utrdzna M M :

26 8 Mtoda różnc sończonch M M P 8 P 8.5 Ja dać uzsan tm przpadu rozązan prz orzstanu mtod różnc sończonch jst dntczn ja rozązan doładn.... Przład ba obcążona momntm suponm Do orśna jst rozład momntó zgnającch bc obustronn utrdzonj obcążonj środu momntm suponm rs... Rs... Ba obustronn utrdzona obcążona środu momntm suponm Rozązan doładn przdstaa rs... Rs... Rozład momntó zgnającch rozązan doładn Podobn ja przładz... puntm jśca jst rónan różnczo os odształconj pręta.. Warun brzgo orśają ząz..

27 .. Zastosoan MRS anaz statcznj b 9 Przjętą mtodz różnc sończonch dsrtzację b przdstaono na rs... Rs... Przjęta dsrtzacja b Anaogczn ja przładz... ojnm ęzłom sat podzału przpsan są następując rónana różnco: ęzł : ęzł : ęzł : ęzł : ęzł 5 : q '' ' 6 EJ q ' 6 EJ q 6 5 EJ q ' EJ q ' 5 '' EJ.6 Wośc ' ' ' oraz 5 ' 5 ' ' stępując poższch rónanach są ugęcam ęzłó cjnch. Z uag na arun brzgo: 5.7 nzro ugęca stąpą jdn ęzłach. Będą on obczon prz orzstanu rónań.6 odnsonch do odpodnch ęzłó. Uład rónań na znaczn poszuanch ośc ma zatm postać:

28 Mtoda różnc sończonch q ' 6 EJ q 6 5 EJ q ' EJ.8 Ugęca cjn ' oraz 5 ' znacza sę z arunó brzgoch: d ϕ d d 5 ϕ d.9 Uzgędnając zażnośc.9 rónanach.8 ostatczn otrzmuj sę q 7 EJ q 6 EJ q 7 EJ. Obcążn przłożon jst ęź natomast q q. Obcążn to zastępuj sę obcążnm rónoażnm statczn zgodn z rs..5. W nu zastąpna momntu supongo parą sł tórą następn zapsano postac statczn rónoażngo obcążna rónomrn rozłożongo uzsuj sę: P M q P M q q. Rónana. przborą zatm postać:

29 .. Zastosoan MRS anaz statcznj b M 7 EJ 6. M 7 EJ Rs..5. Obcążn statczn rónoażn obcążnu danmu Po rozązanu uładu. otrzmuj sę: M 9EJ M 9EJ. Momnt utrdzna M M 5 obcza sę na podsta zażnośc.5 rażonj różncach sończonch: M M 5 EJ EJ 5 5.

30 Mtoda różnc sończonch Uzgędnając poższm ząz.7 oraz.9 otrzmuj sę: M M EJ 6 M M 5 EJ 6.5 Odpodn artośc doładn momntó noszą: M M M M 5.6 Rozbżnośc ja pojaają sę tm przpadu pomędz rozązanm doładnm a rozązanm mtodą różnc sończonch nają głón z zbt rzadj sat dsrtzacjnj co szczgón odzrcda sę prz zastąpnu momntu supongo parą sł..5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt Obczna statczn płt zotropoj o stałj grubośc małch ugęcach sproadzają sę do znaczna uncj ugęca spłnającj rónan różnczo: Eh ν q.7 oraz arun brzgo zażn od sposobu podparca płt. W rónanu.7 przz E oznaczono moduł sprężstośc podłużnj h jst gruboścą płt ugęcm porzchn środoj ν spółcznnm Possona natomast q obcążnm przpadającm na jdnostę porzchn płt. Rozpatruj sę zatm zagadnn brzgo. tórm:

31 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt A u q D.8 Eh gdz D jst sztnoścą płt na zgnan. W cu zastosoana ν MRS do rozązana płt rozpatruj sę płtę prostoątną doonuj podzału jj obszaru na mntarn podobszar o marach rs..6. Rs..6. Płta z nansoną satą dsrtzacjną Rónan porzchn ugęca płt.7 można zapsać następującj postac: q.9 D gdz: oprator różnczo zan bapasjanm podójn oprator Lapac a. Zastępując poższm rónanu pochodn cząsto odpoadającm m orazam różncom otrzmuj sę rónan różnco ugęca płt ęź :

32 Mtoda różnc sończonch 6 D q n m 6.5 Worzstano tutaj czśnj proadzon oraz różnco da pochodnj IV rzędu. Oznaczając stosun przz µ można przdstać rónan.5 postac: 6 µ µ m 6 D q m µ.5 W przpadu podzału rónomrngo otrzmuj sę rónan różnco: 8 D q n m.5 Schmatczn zaps tgo rónana przdstaa rsun.7. Rónana tgo tpu naż napsać da ażdgo ęzła sat podzału. W ęzłach położonch na raędz płt pobżu tj raędz oprócz ugęć puntó rzczstch pojaą sę jszcz poższch rónanach cjn ugęca ęzłó poza płtą. Ugęca t znacza sę na podsta arunó brzgoch. Warun brzgo Rónan.7 ugęca płt jst cząstom rónanm różnczom IV rzędu rozązan można ęc znaczć to da dóch arunó brzgoch na ażdj raędz. Wstępują tam jdna trz sł przrojo: momnt zgnając momnt sręcając sła poprzczna. Sł t ponn bć zrónoażon odpoadającm m słam znętrznm.

33 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt 5 W cu otrzmana to dóch arunó brzgoch dodaj sę do sł poprzcznch rónoażn momntó sręcającch otrzmując zastępcz sł poprzczn: D Q ν D Q ν.5 Rs..7. Oprator bharmonczn Odpodn rażna na momnt zgnając oraz momnt sręcając mają postać: D M ν D M ν D M ν.5

34 6 Mtoda różnc sończonch Rozpatrzon będz obcn rónan różnco.5 da ęzłó położonch pobżu ub na raędz płt przpadu różnch sposobó podparca płt. Kraędź const. całoc sobodna rs..8 a raędz sobodnj muszą zanać: momnt zgnając M zastępcza sła poprzczna Q. Zgodn zatm z zażnoścam.5.5 otrzmuj sę: M ν Q ν.55 Rs..8. Kraędź sobodna płt z nansoną satą dsrtzacjną W rónanu.5 da ęzła : 8 m n q D ugęca oraz są obcn ugęcam cjnm ęzłó położonch poza płtą. Ugęca t raża sę poprzz ugęca ęzłó położonch obszarz płt orzstując arun brzgo.55 odnson do odpodnch ęzłó. Warun t mają postać:

35 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt 7 M M M Q.56 Wrażna na momnt M oraz zastępczą słę poprzczną Q zastępuj sę przz odpodn schmat różnco. Przładoo da ęzła uzsuj sę: D D M ν ν ] [ D ν D D Q ν [ D ν ] ν.57 Postępując tn sposób z arunó.56 otrzmuj sę następując rażna da ugęć ęzłó cjnch: m ν ν ν ν ν ν n ν ν ν 6 ν ν ν n m ν ν ν ν ν.58

36 8 Mtoda różnc sończonch Uzgędnając poższ ząz rónanu różncom da ęzła uzsuj sę ostatczn rónan różnco da ęzła położongo na raędz sobodnj płt: 8 ν ν ν ν ν q ν ν m n D.59 Schmatczn zaps tgo rónana przdstaa rsun.9. Rs..9. Współcznn rónanu różncom ęzła położongo na raędz sobodnj

37 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt 9 Kraędź const. sobodn podparta rs.. Rs... Kraędź sobodn podparta płt z nansoną satą dsrtzacjną Warun brzgo: M ν.6 Z rażna.6 otrzmuj sę:.6 Ponaż zgodn z zażnoścą..6 zachodz:.6 Postępując anaogczn ja poprzdno uzsuj sę rónan różnco da ęzła żącgo pobżu raędz sobodn podpartj. Rónan to przjm postać zapsaną schmatczn na rsunu..

38 Mtoda różnc sończonch Rs... Współcznn rónanu różncom ęzła położongo pobżu raędz sobodn podpartj płt Kraędź const. utrdzona zupłn rs.. W tm przpadu arun brzgo są następując: ϕ.6 Z arunu.6 otrzmuj sę:.6 Rs... Kraędź zamocoana płt z nansoną satą dsrtzacjną

39 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt Schmatczn zaps rónana różncogo ugęca płt ęź po uzgędnnu zażnośc.6 przdstaa rsun.. Rs... Współcznn rónanu różncom ęzła położongo pobżu raędz zamocoanj.5.. Przład płta obcążona rónomrn na całm obszarz Dana jst płta o schmac statcznm obcążnu ja na rs... Do znaczna są ugęca płt. Rs... Płta obcążona rónomrn na całm obszarz

40 Mtoda różnc sończonch W cu rozązana zadana mtodą różnc sończonch dz sę obszar płt satą dsrtzacjną o bou ocza a rs..5. Rs..5. Przjęta dsrtzacja płt Z uag na smtrę gomtr obcążna obczna ogranczon będą do ćart płt zgodn z rs..6. Warun brzgo Kraędź sobodn podparta a M ν a zdłuż raędz ęc.65

41 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt Rs..6. Przjęt do obczń obszar płt Z zażnośc.65 nają następując rónośc: & Kraędź zamocoana a ϕ.67

42 Mtoda różnc sończonch Zatm: & & & && && & && && & && && &.68 Rónana różnco Węzł D q & & & Węzł D q && & & & Węzł 5 D q & Węzł 6 D q & &

43 .5. Zastosoan MRS anaz statcznj płt 5 Po uzgędnnu poższch rónanach arunó brzgoch rónana różnco poszczgónch ęzłach przjmą ostatczną postać: Węzł Węzł Węzł Węzł ' ' '' '5' '6' q D q D q5 D q6 D.69 gdz: q q q q q 5 6 Po rozązanu uładu.69 otrzmuj sę: q 5 D 5 6 q 8 D q 67 D q 86 D.7.6. Waracjn ujęc mtod różnc sończonch WMRS W odróżnnu od ascznj mtod różnc sończonch ujęc aracjn bazuj n na danm rónanu różnczom a na odpodnm uncjona. Istota mtod poga traz na zastąpnu stępującch uncjona pochodnch odpodnm orazam różncom. W tn sposób uncjonał zostaj sproadzon do uncj u zmnnch tórj argumntam są dsrtn artośc poszuanj uncj branch puntach sat podzału.

44 6 Mtoda różnc sończonch W przpadu zagadnń jdnomaroch -D dan odcn dz sę na rótsz odcn natomast zagadnnach dumaroch -D dan obszar na podobszar. Całoan uncjonału odnosząc sę do całgo obszaru zamna sę na odpodn sum. Uład rónań agbracznch znaczając artośc uncj poszczgónch ęzłach sat otrzmuj sę z arunu strmum uncj u zmnnch: F u u K n.7 gdz F u uncja u zmnnch otrzmana przz zastąpn uncjona F u pochodnch odpodnm orazam różncom u poszuan ośc dsrtn n czba nadomch uładu..6.. Przład ba obcążona słą suponą Dana jst ba obustronn utrdzona ja przładz... rs..8. Do znaczna jst ugęc b. Zadan rozązan będz prz orzstanu aracjngo ujęca mtod różnc sończonch. Puntm jśca jst uncjonał nrg sprężstj b: E b d EJ d.7 d tórm EJ oznacza sztność b - uncję ugęca b. Przjęto anaogczną ja Przładz... dsrtzację b rs... Przjęto ponadto ż EJ const. na całj długośc b. Funcjonał.7 przjm óczas postać: E b d EJ d.7 d Wstępująca rażnu.7 druga pochodna zastąpona zostaj da ażdgo puntu podzału odpodnm orazm różncom. Ioraz t da ojnch ęzłó przdstaono na rs..7. W aracjnm ujęcu mtod różnc sończonch naż spłnć przjętm uładz nadomch to gomtrczn arun brzgo

45 .6. Waracjn ujęc mtod różnc sończonch WMRS 7 arun statczn spłnon są sposób naturan przz sam uncjonał. Da rozażango sposobu podparca arun brzgo są następując: 5 d d d d ϕ ϕ.7 Rs..7. Ioraz różnco da ęzłó sat podzału Po uzgędnnu zązó.7 ojnch ęzłach rs..7 schmat różnco przjmą rzutac postać przdstaoną na rs..8. Rs..8. Ioraz różnco po uzgędnnu arunó brzgoch

46 8 Mtoda różnc sończonch Całota nrga potncjana uładu jst sumą nrg sprężstj b prac sł znętrznch: Π L.75 C E b gdz L jst potncjałm sł znętrznch. Potncjał tn raża sę następująco: L z q d.76 gdz q jst ntnsnoścą obcążna rónomrn rozłożongo. W anazoanm przładz słę suponą zastępuj sę rónoażnm obcążnm cągłm ja Przładz... Zatm q P a praca obcążna znętrzngo ns: P q d d.77 L Zapsując rażn.75 sposób dsrtn otrzmuj sę: Π C EJ P q W rażnu poższm przz oraz q oznaczono umon sumoan odpodno po długośc b długośc obcążna cągłgo. Rónana agbraczn znaczając ugęca ojnch ęzłó otrzmuj sę z arunu.7 tór obcn przbrz postać: Π C K n.79 gdz n jst czbą ęzłó o nzroch ugęcach.

47 .6. Waracjn ujęc mtod różnc sończonch WMRS 9 W rozażanm przładz n zażność.79 sproadz sę do jdngo rónana na znaczn ugęca. Rónan to ma postać: Π C EJ 6 P.8 Stąd: P P.8 8EJ 6EJ Warto zrócć uagę ż oczśc uzsuj sę tn sam ja prz zastosoanu ascznj mtod różnc sończonch n przład.. jdna prz znaczn mnjszm naładz prac rachunoj.

48 Rozdzał METODA ELEMETÓW SKOŃCZOYCH.. Wproadzn Mtoda mntó sończonch MES postała atach pęćdzsątch ubgłgo stuca choć jj począt można odnść do prac Couranta z 9 rou. Zars zastosoań mtod oncntroał sę początoo głón oół zagadnń mchan onstrucj oraz probmó nżnr ądoj przmsłu otnczgo. Ważnm przcznm tortcznm do rozoju mtod bło azan ż jst ona rzczstośc pną odmaną znanj procdur Ragha-Rtza bazującj na mnmazacj uncjonału. Worzstan procdur mnmazacj umożło zastosoan mtod nnch nż mchana onstrucj dzdznach. Zaczęto ją stosoać do probmó opsanch rónanam Lapac a Possona tj. mchanc ccz zagadnnach przpłu cpła nnch. MES nabrała znamon ogónj mtod numrcznj rozązana rónań cz uładu rónań różnczoch zczajnch ub cząstoch. Szczgón dnamczn rozój MES datuj sę od poło at 8. ubgłgo u głón zązu z szbm rozojm troncznj tchn obcznoj. W ch obcnj MES jst poszchn stosoaną mtodą numrczną a zagadnnach mchan onstrucj odącą na tórj bazuj zdcdoana ęszość prosjonanch programó omputroch na przład ASYS COSMOS/M ABAQUS ADIA. O ta dużj popuarnośc mtod zadcdoała zaróno prostota jj postac matmatcznj ja rónż szrg orzstnch cch rażającch sę m.n.: możoścą obczana obszaró o złożonch a taż rzonoch brzgach

49 5 Mtoda mntó sończonch stosoana różnch gęstośc podzału na mnt cz tż automatczngo uzgędnana arunó brzgoch. Z matmatczngo puntu dzna MES stano uogónn mtod Garna bazującj na rónanu różnczom Rtza bazującj na uncjona. W obu tch mtodach przjmuj sę przbżon rozązan rónana opratorogo. postac zązu: u z uˆ z aϕ z. gdz K. W mtodz mntó sończonch ząz poższ orśon jst obszarz mntu a uncj bazo ϕ dobra sę ta ab zapnona została cągłość poszuanj uncj zdłuż brzgó mntó. ajczęścj uncj t przjmuj sę postac omanó. Zapna to raz z zastosoanm jao mntó prostch brł czoroścan szścoścan ub prostch gur gomtrcznch trójąt czoroąt prostotę tność obczń mtod... Ida mtod mntó sończonch Zasadncza oncpcja MES dotcząca standardogo sormułoana mtod bazuj na założnu ż doona uncja cągła moż bć aprosmoana przz mod dsrtn sładając sę z zboru aałam cągłch uncj orśonch na sończonj czb podobszaró. Funcj aałam cągł orśa sę orzstując artośc uncj cągłj sończonj czb puntó nątrz obszaru jj orśonośc. Procs torzna modu dsrtngo można przdstać następująco: obszar jst podzon na podobszar zan mntam sończonm tór połączon są z sobą ęzłach spón odzrcdają ształt rozpatrango obszaru artośc poszuanj uncj ęzłach uznaj sę jao nadom tór mają bć znaczon rónan różnczo opsując probm brzgo odnson zostaj do mntu a jgo rozązan aprosmoan obszarz mntu za pomocą cągłj uncj prz użcu artośc ęzłoch. W daszj ojnośc ormułuj sę rónana da mntó. Z chą d są on orśon mnt zostają scaon z sobą co od stron zcznj proadz do odtorzna ształtu rozpatrango obszaru a od stron matmatcznj do uormoana gobango uładu rónań umożającgo znaczn artośc poszuanj uncj branch puntach ęzłach obszaru. Rozązan probmu staj sę c aałam cągłą

50 .. Ida mtod mntó sończonch 5 aprosmacją uzsaną przz połączn rozązań na szstch mntach. Tpoą aprosmację MES da probmu jdnomarogo przdstaono na rs... Rs... Tpoa aprosmacja MES rozązana zagadnna jdnomarogo Ogón to postępoana MES można ująć następując sposób:. Podzał obszaru na mnt połączon z sobą puntach ęzłoch.. Spcacja mntu. Przbżon rozązan zagadnna da ażdgo mntu: bór mtod przbżonj Rtza Garna dobór uncj ntrpoującch sormułoan da branj mtod ntrpoacj uładu rónań agbracznch mntu. Agrgacja. Budoa na podsta rónań mntó jdngo da całgo obszaru uładu rónań agbracznch z uzgędnnm arunó cągłośc mędz mntam.. Uzgędnn gobanm uładz rónań arunó brzgoch. 5. Rozązan otrzmango uładu rónań. Uzsan dsrtnch artośc poszuanj ośc. 6. Obczn na podsta znaczonch artośc dsrtnch nnch ośc od nch zażnch. Przdstaon sposób postępoana można sposób schmatczn zobrazoać ja na rs...

51 5 Mtoda mntó sończonch Rs... To postępoana MES

52 .. Dsrtzacja 55.. Dsrtzacja Dsrtzacja objmuj podzał obszaru na podobszar zan mntam sończonm przpsan m zboru ęzłó. Emnt sończon jst całoc zdnoan jż jdnoznaczn orśona jst jgo gomtra ość ształt zbór ęzłó oraz paramtr ęzło nadom ęź. Podzału na mnt sończon doonuj sę sposób schmatczn przdstaon na rs... Rs... Sposób doonana podzału na mnt Podzał obszaru na mnt uarunoan jst gomtrą obszaru oraz przdanm przbgm poszuanj uncj. Tradcjn mjscach tórch stnj możość stąpna nagłch zman poszuanj uncj otor brzg obszaru rgon oan obcążon st matrałó o różnch łasnoścach naż zagęścć satę podzału na mnt. Ta podjśc

53 56 Mtoda mntó sończonch najczęścj stosoan znan jst jao tz. rsja h mtod. Bardzj nooczsn podjśca do tgo probmu pogają na podższnu rzędu omanu aprosmacjngo mntó mtoda p ub na zman ustuoana ęzłó mnc mtoda r. Moż są taż ombnacj żj mnonch mtod cz stosoan rjonach nagłch zman poszuanj uncj MES ujęcu mtod hp hr ub hpr. Uzsanmu nu podzału obszaru na podobszar mnto przpsuj sę zbór puntó ęzłoch tór MES n mają charatru puntu gomtrczngo. Węzł moż przmszczać sę przstrzn a taż doznaać obrotu. W ęź soncntroana jst njao płna normacja o zachoanu sę mntu jgo łasnoścach. Tortczn mtoda n narzuca żadnch ogranczń odnośn umjscona ęzłó mnc. Pratczn jdna z uag na racjonazację obczń stosuj sę ojnośc ęzł: rzchoło stosoan zasz raędzo ścnn nętrzn Prz rozsparoanu mntó ęzł rzchoło raędzo ścnn zostają rozdzon na ęzł prznażn do poszczgónch mntó. Montaż mntó maga ab zachodzła zgodność ośc ęzłoch szstch mntó ęź spónm z uag na onczność zapnna cągłośc uncj ntuan jj pochodnch mędz mntam. Obrazoo przdstaa to rs... Montaż mntó maga ęc rs.. spłnna arunó: u u u u u5 v v v v5 v. Kojnm rom do zdnoana mntu jst orśn nadomch ęź cz przpsan ęzło ośc uogónonch poszuanj uncj. Lczba nadomch ęź orśana jst manm stopn sobod ęzła SSW zązana jst z przjętm modm zcznm matmatcznm rozpatrango zagadnna. Istotnm asptm dsrtzacj jst rónż numracja ęzłó mntó. Tortczn moż ona przbgać sposób doon. Da dango obszaru podzału szst moż numracj ęzłó proadzą do gobango uładu rónań o tch samch marach o tj samj czb członó nzroch. Jdna numracja ęzłó mntó pła na szroość pasma gobanj macrz uładu na rozład mntó zroch

54 .. Dsrtzacja 57 paśm a ęc zaróno na rzrację pamęc ja na czas rozązana uładu rónań. Rs... Rozsparoan montaż mntó sończonch prz uzgędnnu arunó zszca mntó Ogón można sazać ż numracja ęzłó przbgająca zdłuż rótszgo maru dango obszaru proadz do zmnjszna szroośc pasma macrz

55 58 Mtoda mntó sończonch gobanj. Wpł numracj ęzłó na rozład mntó gobanj macrz uładu szroość półpasma przdstaono przładoo da obszaru prostoątngo na rs..5. Wspomnan probm posada jdna szrsz aspt najczęścj prz rozązanu dużch zadań buduj sę spcjan program gnrując satę podzału na mnt tz. pr-procssng. Rs..5. Wpł numracj ęzłó na struturę gobanj macrz sztnośc uładu: a numracja doona b numracja zdłuż dłuższgo bou c numracja zdłuż rótszgo bou shov G. P.

56 .. Kasacja mntó sończonch 59.. Kasacja mntó sończonch Z czbą ęzłó mnc ąż sę stopń omanu użtgo do aprosmacj poszuanj ośc obszarz mntu. Im ęsza czba ęzłó tm ższ stopń omanu a tm samm doładnjsza aprosmacja. Zarazm jdna ęsza gobana czba ęzłó uładu sposób bzpośrdn rzutuj na mar otrzmango uładu rónań. Stopń użtgo omanu dtrmnuj podzał mntó sończonch na: smps oman słada sę z członu stałgo oraz członó noch; czba spółcznnó omanu nos n gdz n oznacza czbę maró przstrzn omps oman posada stał no człon oraz człon ższch rzędó; mnt tgo tpu mogą mć tn sam ształt ja smps posadają jdna dodato ęzł brzgo ub nętrzn; czba ęzłó omps LW > n mutps oman zara człon stał no ższgo rzędu; cu zapnna cągłośc uncj mędz mntam brzg mntu muszą bć rónogł do os uładu odnsna Zastosoan mntó ższgo rzędu omps mutps proadz do pszgo odzrcdna rzczstgo rozładu poszuanj uncj prz mnjszj stosunu do mntó prostch smps czb mntó na tór zostaj podzon dan obszar. W mntach czorobocznch szścoścnnch stępują da nzażn zbor ęzłó jdn orśa transormację spółrzędnch ształt mntu drug oman ntrpoacjn. Oznaczając czbę ęzłó tch zborach odpodno LWK oraz LWW mnt sończon można sasoać następująco: mnt subparamtrczn LWK > LWW mnt zoparamtrczn - LWK LWW mnt suprparamtrczn LWK < LWW ajczęścj stosuj sę odzoroan zoparamtrczn tór ma na cu psz zbżn sę do rozązań ścsłch umoża ponadto uzgędnn zarzongo ształtu gomtrczngo rozpatrango obszaru. Emnt zoparamtrczn można stosoać do zagadnń opsanch uncjonałm tórm stępują co najżj prsz pochodn poszuanj ośc. Emnt subparamtrczn mogą bć stosoan do szrszj nż zoparamtrczn as zagadnń uncjona mogą stępoać doon pochodn gomtra jdna mntu jst ogranczona do moż prostch ształtó. Odzoroan suprparamtrczn ma charatr tortczn tgo

57 6 Mtoda mntó sończonch rodzaju mnt znajdują tż sporadczn zastosoan na przład modoanu poło śrdnj grubośc. Z zgędu na czbę stopn sobod ęź mnt można podzć na d as: Lagrang osa mnt posada n stopn sobod ęź. Stosoana jś oścam ęzłom są artośc poszuanj uncj zagadnnach mchan onstrucj na przład mnt rato Hrmt osa mnt posada ęcj nż n stopn sobod ęź; stosoana jś oścam ęzłom są n to artośc poszuanj uncj a taż jj pochodn mchanc onstrucj na przład mnt bo. Z puntu dzna zastosoań mchanc onstrucj mnt można rónż sasoać następująco: mnt podstao rato pręto bo ramo mnt cągł płto tarczo połoo mnt spcjan na przład mnt umożając uzgędnn pęnęć mnt nsończon mnt umożając uzgędnn strutur pastra modu maromnt złożon z mntó prostch. Przłado mnt z żj mnonch grup zostaną omóon rozdza 5. Emnt można rónż uszrgoać z zgędu na ch sposób ormułoana spcczn łasnośc: zabooan zoparamtrczn proadzon cu mnoana norzstnch zjas pojaającch sę mntach zoparamtrcznch szczgón nższgo rzędu na przład ocngu strmanj sztnośc; paramtram ęzłom są jdn przmszczna mszan onstruoan na baz uncjonału Hngra-Rssnra. Paramtram ęzłom są przmszczna naprężna proadzon głón da modoana matrałó nścśch oraz popszna zachoana sę mod przmszcznoch nższgo rzędu hbrdo z dntacją poa naprężń nątrz przmszczna na brzgach ormułoan oparcu o nrgę ompmntarną szczgón użtczn przpadach tórch stępują trudnośc osągnęcu cągłośc założongo poa przmszczń mędz mntam na przład cn płt poło o założonch odształcnach rozład poa odształcń nątrz mntu założon dług pnj uncj ęszośc onstruoan na baz trdzna Lagrang a o mnmum nrg potncjanj uładu szczgón przdatn prz anaz płt poło.

58 .5. Rónana mtod mntó sończonch 6 Program prosjonan soch patach orują szrg tpó mntó sończonch. Przładoo program COSMOS/M zara ooło rodzajó mntó sończonch. Warto podrść ż bór mntu do anaz dango zagadnna ąż sę bzpośrdno z acptacją modu matmatczngo na baz tórgo mnt został sonstruoan ma bzpośrdn mpacj odnsnu do uzsanch rozązań..5. Rónana mtod mntó sończonch Puntm jśca do uzsana rónań MES jst transormoan opsu probmu brzgogo postac rónań różnczoch sormułoan mocn do sormułoana całogo gobango. Przształcna tgo można doonać prz orzstanu odpodnj zasad aracjnj ub mtod ażonch rsduó. W prszm przpadu bazuj sę na słabm sormułoanu anatcznm ub dnuj sę probm mnmazacj pngo uncjonału. Mtoda ażonch rsduó przształca natomast oan sormułoan zagadnna brzgogo całoą postać słabą. Odpodn sormułoana probmu brzgogo a ęc sormułoan mocn rażon poprzz rónana różnczo arun brzgo sormułoan aracjn rażon przz uncjonał oraz sormułoan słab orśon jao uśrdnon ażon rónan cało da obszaru dtrmnują zastosoan odpodnch mtod przbżonch rozązana rónań różnczoch. Do przbżongo rozązana zagadnna sormułoango jao probm mnmazacj uncjonału orzstuj sę mtodę Ragha Rtza a przpadu probmu sormułoango postac orm słabj stosuj sę najczęścj mtodę Garna. W obu mtodach prz podjścu anatcznm postuuj sę rozązan przbżon postac zązu. tórm ϕ są uncjam bazom tórch dobór zązan jst z daną mtodą. Funcj t rozpęt na całm anazoanm obszarz muszą spłnać arun brzgo dan na jgo brzgu. Prz podjścu numrcznm MES zaróno prz orzstanu sormułoana Ragha Rtza ja Garna zażność. odnos sę do pozomu mntu: u ˆ z u z aiϕ I. I gdz I oznacza czbę ęzłó mnc LWE. Przbżn ma tm ujęcu postać oanj ntrpoacj jst zązan z standardom sposobm ormułoana mtod.

59 6 Mtoda mntó sończonch Dobór odpodnch uncj bazoch zązan jst traz z mntm a ęc jdn z podobszarm rozpatrango obszaru. Funcj bazo mają zatm charatr oan tzn. są różn od zra rozażanm obszarz przjmują artość zro pozostałch. Starza to możość bardzo tnj aprosmacj rozązana na obszarz o pratczn doonj gomtr. Rónana MES mntu da odpodnch mtod można uzsać następując sposób: da mtod Rtza z arunu stacjonarnośc uncjonału do tórgo podstaono rozązan przbżon. da mtod Garna stosując następując agortm: mnożn rónań różnczoch przz tz. uncj tsto całoan po obszarz zastosoan całoana przz częśc cu zrduoana masmango stopna pochodnj rónanu proadzn arunó brzgoch do sormułoana Dsrtzując daszj ojnośc poszuaną ość zgodn z zażnoścą. oraz przjmując ta sam uncj tsto bazo rzutac na podsta uzsanj orm słabj otrzmuj sę rónana MES ujęcu Garna. Warant tn ma charatr ogónjsz nż podjśc Rtza pozaa bom rozązać taż ta zagadnna da tórch n stnj sormułoan aracjn.6. Funcj ształtu Chcąc znaźć zażność uncjną mędz na przład dma oścam prz znajomośc n artośc tch ośc orzstuj sę mtod aprosmacjn. Prz sompoanm rozładz poszuanj uncj podższa sę stopń omanu aprosmacjngo uzsując coraz to psz dopasoan rzj do artośc danch. Wzrost jdna stopna omanu pooduj ż pnm momnc pojaają sę sn oscacj rzj uncja uzsana nu aprosmacj znacząco odbga od rozładu rzczstgo. Korzstnj jst óczas aprosmoać uncję n całm zadanm obszarz a podobszarach. ch u będz poszuaną uncją jdnj zmnnj a U U 5 znanm jj artoścam przdza. Dząc obszar orśonośc uncj na podobszar doonując nch aprosmacj uncj omanam o nsm stopnu na przład nom uzsuj sę ońcoą aprosmację ja na rs..6. Ta jdna podjśc pooduj ż na granc podobszaró mntó stępują ncągłośc aprosmoanj uncj. cągłośc t

60 .6. Funcj ształtu 6 można mnoać orzstując na przład uncj sjan. Ab jdna znaczć nadom spółcznn tch uncj nażałob rozązać uład ośmu rónań; ogón da n przdzałó uład n rónań przpadu aprosmacj noj. Rs..6. Poszuana uncja u aprosmoana omanam nom u ˆ cztrch podobszarach Zdcdoan prostszm sposobm jst ops uncj û obszarz mntu prz użcu artośc u na jgo ońcach zgodn z ponższą zażnoścą: u uˆ ξ u ξ ξ u ξ. gdz ξ jst spółrzędną oaną oanm uładm odnsna zązaną z danm podobszarm mntm u są artoścam ęzłom uncj u mnc natomast są pnm uncjam omóonm daszch rozażanach. Pomędz oanm uładm odnsna a uładm gobanm spónm da szstch mntó zachodz zażność tórą obrazuj rs..7. Zażność tę opsują zor: ξ ξ ξ.5 Z o rozład uncj û uładz oanm przdstaa rs..8.

61 6 Mtoda mntó sończonch Wstępując rażnu. oraz na rs..8 ośc u ξ u ξ odpoadają da ojnch mntó artoścom gobanm: da mntu prszgo U U da mntu druggo U U td. W uładz oanm odpoadają artoścom ęzłom u u. Rs..7. Ząz mędz uładm oanm a gobanm Rs..8. Aprosmacja uncj û obszarz mntu prz użcu artośc ęzłoch oraz uncj W tn sposób uzsuj sę aprosmację poszuanj uncj u tóra na granc mntó spłna arun cągłośc rs..9. Funcj ξ zan są uncjam ształtu opsują ształt rozązana obszarz mntu odgrają MES zasadnczą roę. Charatr uzsango rozązana stopń aprosmacj rozązana doładngo zażą n to od maru czb mntó a znacząco od przjętch uncj ształtu. W uładz gobanm uncj t zobrazoano na rs..9. Prz ch orzstanu goban rozład uncj uˆ można przdstać następującj orm:

62 .6. Funcj ształtu 65 u ˆ U.6 co stano podstao ząz mtod mntó sończonch. W zażnośc.6 przz oznaczono czbę ęzłó uładu LWU. Rs..9. Końcoa aprosmacja uncj u obszarz prz użcu artośc ęzłoch U U 5 uncj... LWU 5 W zaps oanm rs..8 uncj orśon są zoram: ξ ξ ξ ξ ξ ξ.7 Funcj ształtu n są z dnoan bzpośrdno. Zamast postac uncj ształtu orśa sę tz. ansatz uncj najczęścj postac omanó noch ub adratoch. W rozażanm przpadu uncja ansatz moż bć to omanm nom o następującj postac: uˆ ξ aξ b.8

63 Mtoda mntó sończonch 66 Podstaając do zażnośc.8 spółrzędn puntó ęzłoch mntu otrzmuj sę: b a u u b u u.9 Stąd natomast na: u u a u b. Zatm: ˆ u u u u u u u u ξ ξ ξ ξ ξ. W zaps macrzom zażność poższa przbra ormę: [ ] u ˆ u u u ξ. a podobnj zasadz onstruuj sę uncj ształtu prz aprosmacj omanam ższch rzędó. a rs.. przdstaono aprosmację ˆ η ξ u da uncj ansatz będącj omanm adratom. Rs... Emnt trójątn przjęta aprosmacja uncj ˆ η ξ u omanm adratom

64 .6. Funcj ształtu 67 Funcj ształtu posadają pn charatrstczn łasnośc: ażd ęzł posada zązaną z nm uncję ęź jst nzroa to ęzłach połączonch z ęzłm suma uncj ształtu mntu jgo doonm punc róna jst jdnośc Funcj ształtu ponn taż spłnać arun cągłośc zupłnośc: n cągłość: cągłość C na grancach mędz mntam n zupłność: cągłość C poszuanj ośc obszarz mntu gdz n jst najższm rzędm pochodnj stępującj rónanu całom. Zapnn cągłośc jst ażn zaróno z zczngo ja matmatczngo puntu dzna. W prszm przpadu chodz o unmożn postaana szczn mędz mntam ch naład. Można azać ż prz spłnnu arunó cągłośc zupłnośc rozązan MES zbga sę do rozązana ścsłgo marę zagęszczana sat podzału na mnt rsj h mtod. ajczęścj uncj ształtu przjmuj sę postac omanó Lagrang a Hrmt a ub uzsanch na podsta trójąta Pascaa. a rs. przdstaono przładoo no uncj ształtu Lagrang a. Rs... Lno uncj ształtu Lagrang a: a uładz gobanm b uładz oanm

65 Mtoda mntó sończonch 68 Funcj t opsan są następującm zażnoścam: pozostałch przdzałach. Ogón da omanu n -tgo stopna: n j j j j... LW. Kadrato uncj ształtu Lagrang a zobrazoano z o na rs... Rs... Kadrato uncj ształtu Lagrang a: a uładz gobanm b uładz oanm

66 .6. Funcj ształtu 69 W przpadu zagadnna dumarogo da mntu prostoątngo uncj ształtu Lagrang a da -tgo ęzła obcza sę z zażnośc: gdz: I J.5 I W j j I j j W j J j j J j.6 są omanam da n poproadzonch przz ęzł j rs.. rónogłch do os uładu odnsna. Rs... Emnt prostoątn z czbą ęzłó W runu os W runu os.. Funcj ształtu Lagrang a da mntu trójątngo obrazuj rsun Rs... Lno uncj ształtu Lagrang a da mntu trójątngo: a uładz oanm b uładz gobanm

67 7 Mtoda mntó sończonch Omóon uncj ształtu Lagrang a zapnają cągłość poszuanj ośc cągłość C na granc mntó. zażn jdna od stopna przjętgo omanu cągłość pochodnj n moż bć osągnęta. W przpadach tórch zachodz onczność cągłośc taż pochodnj stosuj sę uncj ształtu opart na omanach Hrmt a. Przdstaon uncj ształtu są tz. standardom uncjam ształtu zązanm z ntrpoacją obszarz mntu prz orzstanu artośc ęzłoch poszuanj ośc. Ich stosoan ogranczon jst do rsj tradcjnj h MES tórj do aprosmacj orzstuj sę najczęścj oman nsgo stopna no ub adrato a popraę doładnośc rozązana uzsuj sę przd szstm poprzz zagęszczan sucsn sat podzału. Popraę tę można rónż uzsać poprzz zęszn rzędu omanu aprosmacjngo co rsj h ąż sę z proadznm dodatoch ęzłó mnc a co za tm dz ronstrucją stnjącch już prz mnjszj czb ęzłó uncj ształtu. a nnj nż standardo uncj ształtu oncpcj opart są natomast tz. hrarchczn uncj ształtu. Stosoan są on rsj p MES. W rsj tj popraę doładnośc rozązana uzsuj sę przz zęszan sucsn rzędu aprosmacj poszuanj ośc obszarz mntu prz stałj satc podzału na mnt. Ta ęc odróżnnu od rsj h rsj p załada sę ż mnt sat pozostaj nzmnon zaróno co do maru ja ustuoana natomast rząd aprosmacj nątrz ażdgo mntu moż ugać zman. W prszj ojnośc przjmuj sę aprosmację rozązana rzędu p na przład p aprosmacja noa prz użcu standardoch uncj ształtu. Popraę doładnośc rozązana otrzmuj sę przz dodan do stnjącch noch uncj ształtu ta sposób ż zrost z p do p rzędu aprosmacj n zmna an uncj ształtu da rzędu p an stopn sobod mntu a ęc n zmna czb ęzłó mnc. Funcj ształtu spłnając tn arun nazan są hrarchcznm. Podgają on zażnośc: Φ p Φ p... Φ p.7 p gdz Φ oznacza zbór uncj ształtu rzędu p. Użając hrarchcznch uncj ształtu otrzmuj sę aprosmację nznango rozązana orm anaogcznj ja przpadu standardoch uncj ształtu por. zażność.6:

68 .6. Funcj ształtu 7 u ˆ U.8 prz czm n jst traz zązan ja przpadu rsj h z czbą ęzłó uładu LWU. Poza tm stopn sobod U odpoadając uncjom ształtu ższch rzędó n mają obcn znaczna zango to znacz n mogą bć ntrprtoan jao artośc rozązana ęzłach. Są on natomast artoścam pnch ższch pochodnch rozązana mędz ęzłam mntu. Przładoo da zagadnna jdnomarogo mntu o dóch ęzłach rs..5 uncj ształtu mają postać: ξ ξ ξ ξ p p S ξ ξ p! p S ξ ξ p! p ξ da p 6... da p Rs..5. Emnt jdnomaro duęzło o paramtrach ęzłoch u u oanm uładz odnsna ξ Poszuaną uncję u można obszarz mntu przdstać następująco: p d u u ξ uˆ ξ u ξ u S. p p... dξ p

69 7 Mtoda mntó sończonch gdz: są standardom Lagrang osm por. zażność..7 p uncjam ształtu u u są paramtram ęzłom uncj S są uncjam ształtu ższch rzędó odnsonm do środa mntu. Przłado hrarchczn uncj ształtu przdstaono na rs..6 na tórm taż cm porónana zobrazoano standardo uncj ształtu. Wrsja p z hrarchcznm uncjam ształtu orzstana jst jao podstaa adaptacjnj orm MES. Podjśc adaptacjn moż taż oparcu o rsję h urunoan jst na osągnęc dużj założonj doładnośc rozązana moż najrótszm czas. Wmaga to stosoana zaaansoanch tchn zązanch z ontroą błędu zautomatzoanm procsu zman modu MES tch rjonach anazoango obszaru tórch błąd tn przracza artość założoną.. Rs..6. Funcj ształtu da mntu jdnomarogo: a standardo opart na omanach Lagrang a b hrarchczn opart na omanach Lgndr a.7. Agrgacja Goban uład rónań MES umożając znaczn dsrtnch artośc poszuanj uncj ntuan jj pochodnch ęzłach można zapsać postac: gdz K jst tz. macrzą sztnośc uładu: K uˆ Q.

70 .7. Agrgacja 7 K n L n K. sm. O M nn prz czm n jst rón czb stopn sobod uładu SSU; tor u ˆ [ u u L u ] T n jst torm tórgo słado są poszuanm artoścam ęzłom uładu nadomm ęzłach a Q [ Q Q L Q ] T n torm obcążń ęzłoch ośc znanch. Procs agrgacj stano aspt stron matmatcznj montażu mntó por. rs... Po spcacj mntu znan są por. rozdzał.5 macrz opsując łasnośc mntu: macrz sztnośc mntu tor obcążń mntu F. a ch podsta prz zapnnu arunó zgodnośc ęzłach mchanc onstrucj da nadomch ęzłach będącch uogónonm przmszcznam arun tn dotcz zgodnośc przmszczń ęzłoch rónoag sł ęzłach budoana jst gobana macrz sztnośc goban tor obcążń ęzłoch da całgo dsrtzoango obszaru. Zachodz zażność: K Q Q. Wstępując zażnośc. sumoan n ma charatru agbraczngo a umon. Gobaną macrz sztnośc K oraz goban tor obcążń ęzłoch Q otrzmuj sę przz odpodn dodaan macrz tora obcążń mntó tór to procs nazan jst agrgacją. Schmatczn procs agrgacj można zobrazoać na przładz uładu złożongo z dóch mntó rs..7.

71 7 Mtoda mntó sończonch Rs..7. Uład dóch mntó sończonch z zaznaczoną numracją gobaną oaną ęzłó Załadając stopń sobod ęzła SSW poszuaną uncją jst uncja saarna tor paramtró ęzłoch uładu û ma następując słado: [ u u u u u ] T u ˆ. u 5 6 gdz u u6 są artoścam ęzłom poszuanj uncj u. Emnt jst spcoan oanm uładz spółrzędnch tór przdstaono na rs..8. Rs..8. Cztroęzło mnt prostoątn uładz oanm Macrz sztnośc mntu ma budoę:

72 .7. Agrgacja 75 sm..5 Odpodno tor F można zapsać następująco: Q Q Q Q F.6 Wtor paramtró ęzłoch mntu: [ ] T u u u u ˆ u. Goban uład rónań przdstaając udzał poszczgónch mntó można przdstać schmatczn postac: [ ] [ ] 6 5 F F u u u u u u u u u u u u u u.7 prz czm uzgodnono tu artośc ęzłach spónch uładu zgodn z ponższą zażnoścą por. zażność.: 6 5 u u u u u u u u u u u u u u.8 gdz nds górn oznacza numr mntu.

73 76 Mtoda mntó sończonch Ta ęc uład rónań sstmu będz mał postać:.9 Ogón prz SSW stopnach sobod ęzła czb ęzłó mnc LWE czb ęzłó uładu LWU gobana macrz sztnośc ma mar gdz SSW LWU SSU. Jst ona smtrczna rzada dodatno orśona da standardoch uncj ształtu ma budoę schmatczn przdstaoną na rs..9. Gobana macrz sztnośc programoanu mtod mntó sończonch budoana jst bzpośrdno na podsta tz. tabc ncdncj tórj orśona zostaj racja mędz numracją oaną mntó a numracją gobaną uładu. Da rozpatrango uładu dóch mntó rs..7 tabca ta ma postać: Loan goban numr ęzłó mntó Emnt Emnt Tabca.. oan goban oan goban 5 6

74 .7. Agrgacja 77 Rs..9. Schmatczna postać gobanj macrz sztnośc. LE czba mntó a SSW LWE Procs agrgacj można óczas zapsać: K j Α a b K Q Q. Α gdz: Α smbo procdur agrgacj goban numr rónana j goban numr sładoj tora û a numr rónana mntu b numr stopna sobod mntu Przładoo można zatm prost napsać: a

75 78 Mtoda mntó sończonch K K 5. aż zaznaczć ż przpadu gd os uładó oango gobango n są rónogł przd agrgacją zachodz onczność transormoana macrz sztnośc mntó tora obcążń ęzłoch mntó do uładu gobango. Bz uzgędnna arunó brzgoch otrzmana na drodz agrgacj gobana macrz sztnośc jst macrzą osobą a ęc uład rónań sstmu n ma rozązana. Istnj zatm onczność proadzna arunó brzgoch. Dotcz to arunó brzgoch podstaoch Drchta mchanc: nmatcznch arunó brzgoch. aturan arun brzgo umanna mchanc: statczn arun brzgo są łączon zasz do uncjonału prz mnmazacj uncjonału mtoda Rtza spłnon są sposób automatczn MES sposób przbżon rsj przmszcznoj. W mtodz ażonch rsduó mtoda Garna naturan arun brzgo proadzon są prz przształcanu rónań całoch trdzn Grna. Uzgędnna podstaoch arunó brzgoch gobanj macrz sztnośc można doonać przz podzał tora paramtró ęzłoch uładu u ˆ na zbór paramtró ęzłoch poszuanch û p oraz zbór paramtró znanch zadanch û z orśonch przz arun brzgo. Prz tam podza uład rónań. sstmu można zapsać następującj postac: K K p p z p K K p z z z uˆ uˆ p z Q Q p z. Załadając ż zadan są jdnorodn arun brzgo a ęc u ˆ z z rónań poższch uzsuj sę: Q p p p p p p p K uˆ uˆ K Q. p Procs agrgacj da mntó hrarchcznch przbga zasadnczo ta samo ja da mntó o standardoch uncjach ształtu. Macrz sztnośc mntu hrarchczngo ma budoę ja na rs.. macrz mntu rzędu p zara macrz rzędu p.

76 .7. Agrgacja 79 Rs... Budoa macrz sztnośc mntu hrarchczngo rzędu Macrz rzędu p jst macrzą sztnośc mntu da standardoch uncj ształtu. Odpoadając jj tor nadomch ma słado będąc ęzłom stopnam sobod mntu. Pozostał słado tora nadomch odpoadając hrarchcznm stopnom sobod n są artoścam rozązana ęzłach na brzgu cz środu mntu. Stąd tż agrgacja do macrz gobanj dotcz głón podmacrz macrz sztnośc mntu odpoadającj rzędo p. W przpadu gd p pochodn uncj ształtu są ortogonan a ta najczęścj są on dobran mntach hrarchcznch cz: j d Ω j n p. macrz sztnośc p zara mnt zro rs... Macrz ta jst pra dagonana jż pochodn uncj ształtu są omanam Lgndr a: dξ ξ ξ p.5 p p! P p p d gdz: Pp ξ p p dξ p - oman Lgndr a stopna p.

77 8 Mtoda mntó sończonch Rs... Macrz sztnośc mntu prz ortogonanch uncjach ształtu Gobana macrz sztnośc prz stosoanu tj samj rodzn mntó hrarchcznch ma postać przdstaoną schmatczn na rs... Rs... Gobana macrz sztnośc da mntó hrarchcznch

78 .8. Przład rónan różnczo podłoża Własoa 8.8. Przład rónan różnczo podłoża Własoa Dan jst rónan różnczo opsując mod podłoża Własoa: d t q Ω.6 d gdz: uncja ugęca q uncja obcążna gruntu t spółcznn podłoża paramtr Dan są następując arun brzgo:.7 Do rozązana mtodą mntó sończonch jst zagadnn brzgo opsan rónanam.6.7 Transormoan rónań do postac słabj mtoda ażonch rsduó Jż v jst uncją agoą óczas słaba orma rónana.6 ma postać: d t q ] v d.8 d [ Ab otrzmać smtrczną ormę słabą dogodną do zastosoań numrcznch do prszgo członu rónana.8 zostan zastosoan całoan przz częśc: d d dv d [ t v d t [ d v ].9 d d d d

79 8 Mtoda mntó sończonch Uzgędnając poższm rażnu arun brzgo.7 otrzmuj sę: d d dv [ t v d t d. d d d Zażność.8 przbrz ęc postać: d dv t v d q v d. d d Waracjna zatm słaba postać rónana różnczogo.6 jst następująca: Wznaczć V gdz V { v H Ω : v v } taą ż: d dv v d q v d d d t v V. Ω H jst przstrzną uncj rzczstch orśonch na Ω tór są całoan adrac tórch prsz pochodn są rónż całoan adrac. W szczgónośc: R H Ω { v : Ω v H Ω Γ v } a uncję v nałożon jst ęc mnman ogranczn: prsza pochodna uncj całoana adrac. Formę dsrtną zażnośc. można zapsać postac: Wznaczć V gdz V h V taą ż: h h dv d < d d dv h h t h vh d q vh d vh Vh. d d

80 .8. Przład rónan różnczo podłoża Własoa 8 Rozązana przbżongo poszuuj sę zatm przstrzn sończn maroj V tóra jst podprzstrzną przstrzn rozązań doładnch. Przjmuj sę uncję próbną h h h postac: LWU a. gdz LWU jst czbą ęzłó uładu. Zgodn z podjścm Garna uncja agoa opsana jst anaogczn: h LWU v b.5 j j j gdz są uncjam bazom ształtu tór naż dobrać. Podstaając rprzntacj..5 do zażnośc. otrzmuj sę: LWU [t LWU b j j a j d d d LWU j b j d j d LWU LWU a b ] d j j j.6 Po przształcnu poższa zażność przbrz postać: d a t d LWU Przjmując oznaczna: d j j d q d j... LWU j d.7 K d d j : t j d Q : q j d d d j.8 ząz.7 można zapsać zorm: LW K a Q.9 j j

81 8 Mtoda mntó sończonch ub przdstać postac macrzoj: Dsrtzacja MES K a Q.5 Obszar Ω zostaj podzon na podobszaró mntó < <... < < zgodn z rs... Rs... Podzał obszaru na mnt sończon Dobór przstrzn sończn maroj V h tórj poszuuj sę rozązana przbżongo Przjmuj sę jao przstrzń noch: h h h V h przstrzń aałam cągłch uncj V { :[] R : jst cągła ] jst noa h [...LW } h h.5 Przstrzń V h jst przstrzną sończn maroą a zatm posada bazę. Baza tj przstrzn {... LW } da przjętj dsrtzacj orśona jst następująco:

82 .8. Przład rónan różnczo podłoża Własoa 85 j j j j j j j j j j j pozostałch przdzałach.5 Są to ęc no uncj ształtu Lagrang a por. zażność. nazan tż uncjam apuszom. Każdą uncję nażącą do V h można przdstać jao noą ombnację uncj bazoch spółcznnó szczgónośc rozązana przbżongo poszuuj sę zgodn z zażnoścą.5. Da mntu rs.. zażność ta przbra postać: h a a.5 gdz: j j j j j j są oanm uncjam ształtu da mntu zarającgo ęzł aładając na rozązan h móg j j j. j j j otrzmuj sę: a j oraz a j. Stąd rozązan obszarz mntu przbra postać: h j j.5 Rónana MES da mntu Borąc pod uagę ząz orśając K j zażność.6 stępującą tam całę można przdstać postac sum cał obszarz mntó:

83 86 Mtoda mntó sończonch K j d d t d d K LW LW j d d d j d t [ d d j d] d d j K d.55 gdz j są numram ęzłó. Podobn: Q j LW q j d q j d... q jd.56 LW Uzgędnając oan uncj ształtu mntu można przdstać następująco: zażność K Q j j Ω q Ω d d j d d j d d Q j j.57 W zażnośc poższj przjęto oznaczna: d d j j d Ω d d.58 Q j q j d gdz j Ω Q j są odpodno macrzą sztnośc torm obcążń mntu. Zażność.7 można zatm zapsać zorm: LW a Q j j.59 Żądając ab artośc uncj nosł... LW cz: ojnch ęzłach uładu... LWU h

84 .8. Przład rónan różnczo podłoża Własoa 87 otrzmuj sę: h h... h a LW a... a LW LW LW.6.6 Zatm zażność.6 przbrz postać: LW Q j j.6 W zaps macrzom ząz poższ przdstaa sę następująco: K Q.6 gdz: K gobana macrz sztnośc j... ] [ LW T tor paramtró ęzłoch uładu Q Q j ęzłoch. Zażność.6 odnsona do mntu ma postać: goban tor obcążń LW j Q j.6 gdz: LW czba ęzłó mntu. W zaps macrzom otrzmuj sę ząz: Q.65

85 88 Mtoda mntó sończonch gdz: macrz sztnośc mntu tor paramtró ęzłoch mntu Q tor obcążń ęzłoch mntu. Da przjętgo mntu nogo duęzłogo zażność poższa przdstaa sę następująco: Q Q.66 gdz raz Q j j - macrz sztnośc oraz słado Q tora obcążń opsan są zażnoścą.58. Rónana.66 są rónanam MES mntu. Da onrtnj dsrtzacj rónana t orśa sę da ażdgo mntu. Są on podstaą do utorzna rónań uładu.6. Postępując zatm daszj ojnośc dług agortmu przdstaongo rozdza. otrzmuj sę rozązan MES rozpatrango zagadnna..9. Ogón sormułoan MES da zagadnń mchan cała stałgo W mchanc cała stałgo mtoda mntó sończonch moż bć ormułoana ujęcu przmszcznom naprężnom ub mszanm hbrdom. Poszchn stosoana jst MES ujęcu przmszcznom można ją uznać za podstaę zagadnnach mchan onstrucj. W rsj tj aprosmacj obszarz mntu podga po przmszczń stąd nadomm ęzłach paramtram ęzłom są uogónon przmszczna. Po naprężń orśan jst na podsta obczongo poa przmszczń. Rónana rónoag arun brzgo naprężnach spłnon są to przbżnu da całgo uładu. W naprężnoj rsj MES stosoanj na przład do zagadnń opsanch uncjonałm Rssnra paramtram ęzłom są naprężna. Do aprosmacj przjmuj sę to ta poa naprężń mnc tór a pror spłnają rónana rónoag. Rónana MES da zagadnń mchan cała stałgo ormułuj sę na ogónch zasadach przdstaonch rozdza.. Da rsj przmszcznoj MES będącj przdmotm rozażań rónana t można uzsać sposób następując:

86 .9. Ogón sormułoan MES da zagadnń mchan 89 podjścu bzpośrdnm orzstując dncję macrz sztnośc użaną mtodz przmszczń oparcu o zasadę prac rtuanch. W przpadu stosoana zasad prac rtuanch ma sę do cznna z słabm sormułoanm rónań rónoag. Mnożąc bom rónana onsttutn przz uncj tsto tór tm przpadu są przjmoan jao aracj uncj przmszczń ntrprtoan jao przmszczna rtuan prz orzstanu ormuł Grna całoan przz częśc otrzmuj sę ormę całoą tóra mchanc znana jst jao zasada prac rtuanch oparcu o nrgę potncjaną uładu sormułoan probmu mnmazacj uncjonału na baz trdzna Lagrang a o mnmum nrg potncjanj uładu. Rónana rónoag MES da zagadnń mchan zostaną przdstaon prz orzstanu ostatngo z mnonch podjść. Tn tż sposób będz orzstan rozażanch rozdza 5 przładach. W cu sormułoana rónań rozaża sę artzjańsm uładz spółrzędnch z cało o objętośc V brzgu S ogranczon ęzam poddan dzałanu sł masoch porzchnoch rs... Rs... Cało trójmaro poddan dzałanu sł masoch porzchnoch W zaps rónań zostan orzstana notacja macrzoa bardzj nż saźnoa dogodna prz ormułoanu agortmó numrcznch. W notacj tj tnsor rzędu druggo tnsor naprężna odształcna są odzoroan przz tor oumno tórch słado są nzażnm sładom tnsoró umszczonm doonj jdna onsntnj ojnośc.

87 9 Mtoda mntó sończonch Odształcając sę pod płm poo zrastającch obcążń cało gromadz pn zasób nrg zanj nrgą potncjaną. Da cała przdstaongo na rs.. rażn na całotą nrgę potncjaną Π c moż bć przdstaon postac: Π c T T ~ T σ ε dv u B dv u S ds V V S EERGIA DEFORMACJI SPREZYSTEJ POTECJAŁ SIŁ ZEWETRZYCH.67 gdz: T σ σ z τ z τ z ] σ [ σ τ tor stanu naprężna T ε ε z γ z γ z ] ε [ ε γ tor stanu odształcna T u [ u u uz ] tor stanu przmszczna u ~ [ T u ~ u ~ u ~ ] tor stanu przmszczna porzchn B B S z B S z T B z T S [ ] tor sł masoch [ ] tor sł porzchnoch. S W arunach rónoag statcznj cała prz nmatczn dopuszczanch poach przmszczna uncjonał nrg potncjanj osąga mnmum. Warunm oncznm stnna strmum uncjonału jst zroan sę aracj uncjonału zgodn z zażnoścą: δ.68 Π c W cu orzstana uncjonału.67 do proadzna rónań MES dsrtzuj sę obszar V dząc go na n porającch sę mntó. Funcjonał.68 jao saar moż bć óczas przdstaon postac sum odpodnch sładnó: c c c Π Π Π... Π.69 c Π [ ] u otrzmuj sę odnosząc tor stępując zażnośc.67 do mntu przjmując standardoą aprosmację MES poa przmszczna obszarz mntu: u z z δ.7

88 .9. Ogón sormułoan MES da zagadnń mchan 9 gdz: z V H u oraz: z macrz uncj ształtu o marz SSE T SSE ]... [ δ δ δ δ tor paramtró przmszczń ęzłoch mntu. Ząz gomtrczn zczn noj tor sprężstośc odnson do mntu mają postać: ε D σ Lu ε.7 gdz L D są macrzam odpodno opratoró różnczoch modułó sprężstośc. Uzgędnając zażnośc.7 ząz.7 otrzmuj sę: δ B δ L ε.7 gdz B jst macrzą odształcń opsuj odształcna ażdm punc mntu spoodoan jdnostom przmszcznm ojnch stopn sobod ęzłó. Podstaając do uncjonału.67 odnsongo do mntu c Π ząz.7.7 otrzmuj sę: Π S S T T V B T T V T T S S T V B T V T S S T V B T V T c ds dv dv ds dv dv ds dv dv δ δ δ B D B δ δ δ δ B δ B D u u ε σ ~ ~ ~.7 Gd na dsrtzoan uład dzałają sł przłożon ęzłach [ ] T P LWU P P K P rażn.69 można zapsać postac:

89 9 Mtoda mntó sończonch gdz δ [ δ δ K ] T Π C Π C P.7 δ SSU tor przmszczń ęzłoch uładu. Warun.68 można obcn zapsać następującj postac: δ T Π C Π C Π C δ Π C δ δ δ δ K.75 δ δ δ SSU Róność poższa zachodząca da doonch aracj proadz do uładu rónań: δδ δδ... δδ SSU Π c δ Π δ M Π δ c c SSE.76 Ponaż Π C jst uncjonałm orm adratoj można zapsać pochodn da mntu następującj postac: Π δ C δ F.77 Mnmazując uład rónań.76 można zatm zapsać postac: gdz: Π C δ K Kδ F F F P.78.79

90 .9. Ogón sormułoan MES da zagadnń mchan 9 a podsta zażnośc.7 otrzmuj sę ęc: gdz: Π δ c V S [ B ~ T T S ds D B ] δ dv δ V F B D B dv jst macrzą sztnośc mntu V V T B T ~ T F [ dv ]ds tor rónoażnch sł S ęzłoch od obcążń masoch porzchnoch mntu S T B dv.8.8 Rónana.78 są rónanam MES rónoag uładu. Warto zrócć jszcz uagę na aprosmację poa przmszczna opsaną zażnoścą.7. Wstępując nj uncj ształtu ponn ja to zostało omóon rozdza.6 spłnać arun cągłośc zupłnośc. W odnsnu do rozażango probmu arun cągłośc oznacza ż przmszczna nątrz mntu na jgo brzgach ponn bć cągł. Dotcz to przmszczń uogónonch a ęc zaróno przsuó transacjn stopn sobod cągłość as C ja rónż obrotó rotacjn stopn sobod cągłość as C jż ąt obrotu rażają sę jao pochodn uncj przmszczń. Warun zupłnośc ąż sę natomast z mogm ab uncj przmszczń mntu mogł rprzntoać jgo ruch sztn oraz stan stałch odształcń. Emnt spłnając poższ rtra nazan są mntam dostosoanm przcńst do mntó ndostosoanch da tórch n jst spłnon arun cągłośc na przład ntór mnt płto a tór taż są z poodznm stosoan.

91 Rozdzał CHARAKTERYSTYKA WYBRAYCH ELEMETÓW SKOŃCZOYCH.. Uag stępn W rozdza.. omóono ogóną asację mntó sończonch. Przdstaono rónż podzał mntó z puntu dzna zastosoań mchanc onstrucj. Podzał tn objmoał mnt podstao cągł spcjan maromnt. W nnjszm rozdza scharatrzoan będą spcoan przłado mnt sończon z poszczgónch żj mnonch grup. Odpodno omóon będą: mnt bo zoparamtrczn mnt płt ższgo rzędu mnt nsończon oraz maromnt podłoża arstogo. Emnt t stanoć będą bazę rozażanch rozdza 5 przładach... Emnt bo Rozaża sę prostonoą bę o długośc stałm przroju poprzcznm A modu sprężstośc E zgnaną płaszczźn o rs... Załada sę ż ba spłna założna tor Eura-Brnougo a ęc pomja sę pł sł poprzcznch na odształcna. Rónan os odształconj b ma znaną postać:

92 96 Charatrsta branch mntó sończonch d EJ q. d gdz: J momnt bzładnośc uncja ugęca przmszczń ponoch Rs... Ba poddana dzałanu obcążna rozłożongo q prostopadłgo do os obojętnj: a stan dormacj b uogónon sł przmszczna brzgo Ząz noj tor sprężstośc.75 przborą obcn da całgo uładu postać jdnooso stan naprężna: du ε L u d σ Dε E ε. gdz u jst uncją przmszczń pozomch zązaną z uncją ugęca poprzz zażność: d u. d Enrga dormacj sprężstj b por. zażność.68 przjmuj obc zązó.. postać:

93 .. Emnt bo 97 Π d T T σ ε dv ε Dε dv Eε V d E d da A V A d EJ d dad d. gdz: J da. Prz założnu stałgo na długośc b modułu sprężstośc podłużnj E cz E const. zażność. przbrz postać: EJ d d d d Π.5 Potncjał sł znętrznch zażność..68 można zapsać następująco: T L u ~ ds.6 W anazoanm zagadnnu raża sę on następująco: S S L q d.7 Ta ęc całotą nrgę potncjaną rozpatranj b opsuj zażność: Π c Π d L EJ d d d q d.8 Funcjonał nrg potncjanj b można rónż zapsać rozszrzonj postac rs..: Π C Π d EJ L M d d d d T d q d T M d d.9

94 98 Charatrsta branch mntó sończonch Ząz.8 ub.9 stanoą podstaę do uzsana rónań rónoag MES mntu oparcu o trdzn Lagrang a o mnmum nrg potncjanj uładu prz zastosoanu podjśca Rtza por. rozdzał.9. Rónana t można rónż uzsać mtodą ażonch rsduó anaogczn ja to przdstaono przładz.8. Anazując zęź tn sposób otrzmana rónań ograncza sę rozażana do proadzna orm słabj rónana.. Da uncj agoj v słaba orma rónana. ma postać por. rozdzał.8: EJ d q v d d. Całując rónan. durotn przz częśc otrzmuj sę następując rażn: d d v EJ d q v d d d d d dv EJ v d d d. W rozpatranm zagadnnu naturan statczn arun brzgo opsan są zażnoścam: EJ EJ EJ EJ d d d d d d d d M M T T momnt zgnając sł poprzczn. Warun brzgo podstao gomtrczn mają natomast postać:

95 .. Emnt bo 99 d d d d przmszczna pono ugęca ąt obrotu. Uzgędnając zażnośc. arun statczn. otrzmuj sę: d d v EJ d q v d d d dv T v T v M M d dv d. a uncję oraz v nałożon są ogranczna: d d < d v <.5 d cz druga pochodna uncj v całoan adrac. Ta ęc słaba aracjna postać rónana os odształconj b. jst następująca: Wznaczć V dv dv gdz V v H Ω : v v } d d taą ż: d d v EJ d q v d T v d d dv dv T v M M v V d d.6 Ω prz czm Ω H jst przstrzną uncj rzczstch orśonch na Ω tór są całoan adrac aż do drugj pochodnj.

96 Charatrsta branch mntó sończonch Zażność.6 można zapsać następującj orm: Wznaczć V taą ż: B v v v V.7 gdz: d d v B v EJ d d v q v d T v T v M dv d M dv d.8 Wobc smtrcznj orm bnoj B v można zdnoać uncjonał: F d EJ d d T M d d q d T M d d.9 Funcjonał.9 odpoada całotj nrg potncjanj rozpatranj b opsanj zażnoścą.9. W cu spcacj mntu bogo doonuj sę dsrtzacj obszaru Ω b na mnt sończon zgodn z schmatm przdstaonm na rs.. anazuj sę zooan z uładu mnt. Emnt tn jst mntm prostonom duęzłom. Z anaz uncjonału nrg potncjanj b.8 tórm stępują. pochodn uncj ugęca na ż ab zachoana bła cągłość uncj obszarz zdłuż brzgu mntu zaróno uncj próbn h por. zażność. tór są aprosmacją poszuanj uncj ja rónż ch prsz pochodn muszą bć cągł obszarz zdłuż brzgu mntu. Potrdza to taż orma słaba.5 tóra sazuj ż modu sończn mntom uncj aprosmacjn muszą bć z przstrzn V h H. Oznacza to ż uncj ształtu mntó muszą bć as C. Ab spłnć tn móg naż jao nadom ęź mntu stopn sobod ęzła przjąć zaróno uncję ugęca ja rónż jj d prszą pochodną. Z drugj stron rozpatrując mod zczn d zagadnna doczn jst rs.. ż przmszczna doongo puntu b można opsać przz przmszczn pono ugęc ąt obrotu tór jst prszą pochodną ugęca. Ta ęc ażdm ęź mntu naż

97 .. Emnt bo przjąć da uogónon przmszczna: przmszczn pono ąt obrotu ϕ uzsując mnt o cztrch stopnach sobod SSE rs... Rs... Emnt bo oanm uładz spółrzędnch ξ Zażność mędz spółrzędną gobaną oaną ξ rs.. raża sę zorm: 5. ξ Wtor przmszczń ęzłoch mntu [ ϕ ] T ϕ δ ma następując słado: δ. Przmszczna pono aprosmuj sę obszarz mntu omanm. stopna: ξ α α ξ α ξ α ξ. Ta ęc przmszczna uogónon opsan są następująco: ϕ ξ ξ ξ α 6 M P α ξ α. gdz α jst torm nznanch spółcznnó a P tz. macrzą uncjną. W rażnu. orzstano ząz:

98 Charatrsta branch mntó sończonch d d d d d d ξ ξ. Zażność. słuszną obszarz mntu ponn spłnać tż spółrzędn puntó będącch ęzłam mntu: 6 6 α α ϕ ϕ M M.5 cz: α C δ.6 gdz C jst tz. macrzą spółrzędnch. a podsta zązu.6 otrzmuj sę: δ C α.7 Zgodn z podjścm Rtza przjmuj sę aprosmację poszuanj uncj następującj postac: δ.8 Z zażnośc. na: [ ] α P α α ξ ξ ξ M.9 gdz: [ ] ξ ξ ξ P. Podstaając do zązu.9 rónan.7 otrzmuj sę:

99 .. Emnt bo δ C P. Porónan zażnośc.8. proadz do następującgo rażna: C P. Ząz. jst podstaą do znaczna macrz uncj ształtu [ ]. Macrz odrotna do macrz spółrzędnch C jś macrz C jst nosoba ma postać: C. a podsta zażnośc. otrzmuj sę zatm: [ ] [ ] C ξ ξ ξ. gdz: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ. Uzsan uncj ształtu są uncjam ształtu Hrmt a rs... Odnosząc rażn na całotą nrgę potncjaną b.8 do mntu uzgędnając przjętą obszarz b aprosmację uncj ugęca.8 otrzmuj sę:

100 Charatrsta branch mntó sończonch [ ] Π c d q d d d EJ δ δ.5 [ ] [ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ d q d d d EJ d q d d d EJ δ δ δ δ W zażnośc poższj orzstano następując ząz: ξ ξ ξ ξ ξ ξ d d d d d d d d d d d d.6 a podsta rażna.5.77 otrzmuj sę: c c c c c d d d d d d d d d d F δ Π Π Π Π Π ϕ ϕ δ.7

101 .. Emnt bo 5 Rs... Funcj ształtu mntu bogo Wraz j macrz sztnośc oraz słado F tora F stępującch zażnośc.7 przdstaają sę następująco: ξ ξ ξ ξ d q F d d d EJ j 8.8 Obczając raz j otrzmuj sę znaną postać macrz sztnośc mntu bogo: sm K.9 a podsta zażnośc.8 da. const q ξ sroango dół uzsuj sę następującą postać tora rónoażnch sł ęzłoch mntu:

102 6 Charatrsta branch mntó sończonch q q q q F. T.. Przład ba z przgubm Do orśna jst rozład momntó zgnającch sł tnącch bc obcążonj ja na rsunu.. Rs... Ba przguboa obcążona obcążnm cągłm Do rozązana zadana zastosoano mtodę mntó sończonch. Przjęt podzał b na mnt sończon przdstaono na rs..5 na tórm zaznaczono rónż stopn sobod uładu gobanm uładz odnsna XOY. Wtor przmszczń ęzłoch uładu anazoanm zagadnnu ma następującą postać: [ ϕ v ϕ ϕ v ϕ v ] T v ϕ δ. Słado ϕ ϕ tgo tora są rotacjnm stopnam sobod ęzła. Wnają on z stnna tm ęź przgubu co mpuj nróność ϕ. ϕ

103 .. Emnt bo 7 Anaza na pozom mntu Rs..5. Podzał b na mnt sończon Macrz sztnośc poszczgónch mntó przborą zgodn z zażnoścą.9 ormę: 6 6 a a a a 6 K K K EJ a a a 6. a a sm a Wtor rónoażnch sł ęzłoch ma da mntu na tórm jst przłożon obcążn rónomrn rozłożon następując słado por. zażność.: qa qa qa qa F. T

104 8 Charatrsta branch mntó sończonch Słado toró rónoażnch sł ęzłoch da pozostałch mntó a ęc toró F oraz F są nu brau obcążna na odpodnch mntach rón zro. Zgodn z zażnoścą.7 da poszczgónch mntó otrzmuj sę: ELEMET Π qa qa qa qa v v d d C ϕ ϕ δ. ELEMET Π ϕ ϕ v v d d C K δ.5 ELEMET Π ϕ ϕ v v d d C K δ.6 W poższch zażnoścach saźn górn stępując po j stron sum odnoszą sę do numru mntu. Anaza na pozom uładu Rónana rónoag uładu zgodn z zażnoścą.78 mają postać: F δ K.7

105 .. Emnt bo 9 Macrz sztnośc uładu oraz tor sł ęzłoch uładu otrzman na drodz agrgacj K F F przdstaają zażnośc T qa qa qa qa F.9 W zażnośc.8 uzgędnono arun zgodnośc przmszczń: ' ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v v v v v v v v v v.5 W anazoanm zadanu arun brzgo nając z sposobu podparca są następując:

106 Charatrsta branch mntó sończonch v v v.5 Uzgędnn poższch arunó zażnośc.9.5 proadz rzutac do ostatcznj postac rónań rónoag uładu:.5 Po przjęcu danch: a m q K / m oraz po rozązanu uładu.5 otrzmuj sę następując artośc przmszczń ęzłoch: ϕ 798 v ϕ 968 δ ' ϕ 667 EJ ϕ ϕ.5 Obczn sł nętrznch Sł nętrzn obcza sę na pozom mntu zgodn z zażnoścą: F F δ.5

107 .. Emnt bo Emnt : EJ v v a sm a a a a a a a a a EJ qa qa qa qa M T M T ϕ ϕ.55 Emnt : ' EJ v v a sm a a a a a a a a a EJ M T M T ϕ ϕ.56 Emnt : EJ v v a sm a a a a a a a a a EJ M T M T ϕ ϕ.57 Obczon uogónon sł ęzło przdstaono da poszczgónch mntó na rs..6 natomast ońco rozład momntó zgnającch sł tnącch bc zobrazoano na rs..7. Cm porónana otrzmanch mtodą mntó sończonch rzutató obczń na rsunu tm zamszczono naasach odpodn artośc rozązana doładngo anazoanj b.

108 Charatrsta branch mntó sończonch Rs..6. Uogónon sł ęzło da mntó Rs..7. Rozład momntó zgnającch sł tnącch bc

109 .. Izoparamtrczn mnt płt śrdnj grubośc.. Izoparamtrczn mnt płt śrdnj grubośc ższgo rzędu Cchą mntó zoparamtrcznch jst to ż t sam uncj ntrpoacjn użt są do opsu zaróno gomtr mntu ja rozładu poa nątrz mntu. Lno mnt zoparamtrczn tórch do aprosmacj zastosoano uncj no mają brzg prostono. Brzg mntó z adratoą zmnnoścą uncj ształtu mntó ższch rzdó są zarzon co umoża orzstan ch do modoana obszaró o brzgach rzonoch. Ważną cchą mntó zoparamtrcznch jst taż to ż uncj ształtu można znaczć sposób bzpośrdn bz oncznośc ja mntach subparamtrcznch C obczana macrz odrotnj do macrz spółrzędnch cz macrz por. zażność.. Worzstan mntó zoparamtrcznch obcznach płt moż jst zasadnczo da płt śrdnj grubośc cz płt tórch uzgędna sę pł sł poprzcznch odształcń postacoch z nm zązanch na dormację płt. Da płt cnch cz spłnającch założna tor Krchhoa zastosoan mntó zoparamtrcznch jst pratczn nmoż co na z trudnośc zązanch z transormacją spółrzędnch da tórj przpadu płt cnch magana jst cągłość as C. Do obczń płt śrdnj grubośc mtodą mntó sończonch storzono szrg mntó głón na baz tor Mndna rzadzj tor Rssnra. W ch obcnj mnt sończon dsrtzując płtę Mndna torzą bbotę szrgu prosjonanch programó MES. aż podrść ż zars rozładu poa przmszczna zdłuż grubośc płt zaróno tora płt cnch Mndna Rssnra są toram o tm samm rzędz aprosmacj. W torach tch przjmuj sę bom ż spomnan po przmszczna zmna sę sposób no. Uścśn stanu płtogo pojaa sę tz. torach ższgo rzędu []. Przjmuj sę nch ż przmszczna zmnają sę zdłuż grubośc płt nnoo co jst zgodn z ch rzczstm rozładm o dzałają sł tnąc. Jdną z tor ższgo rzędu ntrsującą z puntu dzna zastosoań pratcznch jst tora płt śrdnj grubośc Kujasgo [8]. Ponżj przdstaon będą ząz podstao tgo modu płt a następn spcoan będz mnt sończon dsrtzując płtę śrdnj grubośc Kujasgo.

110 Charatrsta branch mntó sończonch... Ząz podstao modu płt ższgo rzędu Rozpatruj sę jdnorodną zotropoą płtę o stałj grubośc poddaną dzałanu obcążna porzchnogo p rs..8. Rs..8. Dormacja przroju poprzczngo płt W tor Kujasgo po przmszczna orśon jst następująco: u u α z α zϕ p ϕ α α.58 gdz u α natomast p u są jgo sładom odpodno runu os z ϕ oraz α z[ 5z / h ]. z ϕ α są nadomm uncjam zmnnch ; Po przmszczna orśon jst ęc jao suma przmszczń zrogo zϕ α prszgo pϕ α rzędu. Można zauażć ż przjmując rażnu.59 ϕ α otrzmuj sę po przmszczna anaogczn do założń tor Rssnra zrogo rzędu. a podsta zażnośc.58 oraz zązó Cauch go otrzmuj sę następując rażn na słado poa odształcna:

111 .. Izoparamtrczn mnt płt śrdnj grubośc 5 z z p z z z p z ε ϕ ϕ ε ε ε ϕ ϕ ϕ ϕ ε ε ε α α α α α α α β β α α β β α αβ αβ αβ.59 gdz h z p 5 β. Po naprężna przjmuj natomast postać zązó: [ ] [ α α α α α α α β γ γ α β α β β α γ γ α β α β β α α β α β αβ ϕ ϕ ν σ σ σ σ δ ν ν ν ϕ δ ν ν ϕ ϕ ϕ δ ν ν ϕ ϕ ν σ σ σ p z z z z z p p E E z z E.6 Sładoą z z σ tnsora naprężna można otrzmać z uładu różnczoch rónań rónoag contnuum trójmarogo. W tor Kujasgo przjmuj sę anaogczną ja tor Rssnra postać rażna orśającgo naprężna z z σ : ] [ h z h z p z z σ.6 W zażnoścach.59.6 przcnm oznaczono pochodn cząsto przz β α δ oznaczono dtę Kroncra natomast γ. Enrga dormacj sprężstj płt por. zażność.67 przjmuj obc zązó następującą postać rażoną przmszcznach: Π Ω ] [ { β α γ γ α β α β α β β α β α β α γ γ α β α β α β β α β α ϕ ϕ ν δ ϕ ϕ ϕ ϕ ν ϕ ϕ ν δ ϕ ϕ ϕ ϕ ν p K D.6

112 6 Charatrsta branch mntó sończonch ν ν ϕ α α ϕ α ϕ α ϕ α α h h ν 6 pν ν ϕ } dω α ϕ α δα β ϕ α β ϕ α β h 5Eh Eh gdz D Ω p obszar płt. ν Potncjał sł znętrznch anazoanm zagadnnu raża sę następująco por. zażność.68: p L p dω Ω p p.6 Całotą nrgę potncjaną rozpatranj płt opsuj ęc zażność: gdz Π Π L.6 C K Π K L orśon są odpodno przz ząz Spcacja mntu płt ższgo rzędu Wrażn.6 stano podstaę do uzsana rónań rónoag mntu sończongo. Rónana t zostaną proadzon na baz trdzna Lagrang a oraz prz zastosoanu podjśca Rtza. W tm cu obszar płt Ω podzon zostaj na mnt sończon a anaz poddan p zostaj zooan z uładu mnt. Ja na z uncjonału.6 nrg dormacj sprężstj płt ższgo rzędu tórm stępują. pochodn uncj ugęca ątó obrotu modu sończn mntom uncj aprosmacjn muszą bć z przstrzn V H Ω. Oznacza to ż uncj ształtu mntu ponn h p bć as C Ω a to umoża zastosoan da płt ższgo rzędu p mntu zoparamtrczngo. Wobc poższgo jao mnt sończon przjęto ośmoęzło mnt z srndposj rodzn mntó zarzonch rs..9. Jao stopn sobod ęzła przjęto ugęc porzchn środoj oraz cztr ąt obrotu: da zrogo rzędu ϕ ϕ da prszgo rzędu ϕ ϕ. Ta ęc tor przmszczń r -tm ęź mntu ma postać:

113 .. Izoparamtrczn mnt płt śrdnj grubośc 7 T [ ϕ ϕ ϕ ϕ ]... 8 δ r.65 r r r r r r Wtor przmszczń nątrz mntu orśon jst natomast następująco: [ ϕ ϕ ϕ ϕ ] T u.66 Rs..9. Przjęt mnt sończon da płt ższgo rzędu ξ η spółrzędn oan z spółrzędn goban Gomtrę mntu zoparamtrczngo opsują zażnośc:.67 gdz: [ L ] natomast sładom toró są odpodn spółrzędn goban puntó ęzłoch mntu. 8 Funcj ształtu da mntu o 8 ęzłach opsan są zażnoścą: r 5 ξ η ξ η da r r r 5 ξ η da r 57 5 ξ η da r 68.68

114 8 Charatrsta branch mntó sończonch gdz ξ ξ ξ r η ηη r są nom zmnnm za pomocą tórch szst uncj ształtu można opsać jdnot sposób. Zgodn z podjścm Rtza ząz mdz przmszcznam nątrz mntu a przmszcznam ęzłom ma postać: ϕ ϕ [ K ] δ u 8 ϕ ϕ.69 prz czm: r.7 r I 5 gdz I 5 jst macrzą jdnostoą o marz 5 5. Odnosząc rażn na całotą nrgę potncjaną płt.6 do mntu prz uzgędnnu zązó.69 oraz zażnośc ξ η d d [ ξ η ]dt J Ω J tórj J jst macrzą Jaobgo: uzsuj sę: J ξ η [ ] dξ dη.7.7

115 .. Izoparamtrczn mnt płt śrdnj grubośc 9 K C C C C C C F δ δ Π Π Π Π Π Π ϕ ϕ ϕ ϕ.7 gdz macrz sztnośc mntu płt ższgo rzędu K można przdstać następującj orm: K K K K K K K M Y S M O L L.7 Przłado mnt podmacrz 5 5 r m K orśają ząz:...8 Ω Ω Ω Ω m r d D d h D m r m r m r K m r m r m r m r K ν ν ν ν.75 Wtor F zażność.7 przdstaa sę następująco: [ ] T 8 F F F F K.76 gdz: [ ] T r r F F.77

116 Charatrsta branch mntó sończonch oraz: F r p Ω p r dω p.78 z z aż nadmnć ż cchą charatrstczną sormułoanch da płt śrdnj grubośc mntó sończonch tórch do aprosmacj poa przmszczna zastosoano uncj spłnając cągłość as C jst nadmrna sztność przpadu nj grubośc płt. Et tn znan traturz pod nazą ocngu zązan jst z oncznoścą spłnna prz małj grubośc płt arunó ε ε odpoadającch założnom płt cnch Krchhoa. W przpadu natomast mnonch mntó raz z zmnjszanm sę ch grubośc stępując macrz sztnośc raz odpoadając dormacj stcznj płt stają sę coraz bardzj domnując co pooduj ż otrzman n numrczn są błędn. W cu ogranczna tgo norzstngo zjasa sazuj sę na onczność stosoana tchn ogóngo ub stngo zrduoango całoana. Warto podrść ż przdstaon mnt płt ższgo rzędu n maga stosoana żj spomnanch tchn azując prz płnm całoanu puntó Gaussa małj grubośc płt dobrą zgodność z odpodnm rzutatam uzsanm da płt Krchhoa... Emnt nsończon W u probmach nauoch nżnrsch pojaa sę potrzba anazoana poa obszarach nogranczonch. Zastosoan MES jj ascznj postac do tgo tpu zagadnń sproadza sę do znaczna dsrtnch artośc poa odpodno dużm jdna sończonm obszarz przjętm prz założnu ż poszuan artośc poa na jgo brzgach pratczn zanają. Proadz to do rozbudoanj sat mntó dużj czb nadomch uładu rónań MES. Z drugj stron przjęc a pror sończonch rozmaró anazoango obszaru przpadu jgo nogranczonośc moż znacząco płać na otrzman n obczń. W cu rozszrzna możośc zastosoana MES do anaz poa obszarach nogranczonch bz oncznośc dsrtzoana dużgo obszaru stąpna zązanch z tm ndogodnośc sormułoano mnt nsończon. Emnt t chocaż utorzon stosunoo ndano został już umszczon z poodznm orzstan ntórch prosjonanch programach MES na przład ABAQUS.

117 .. Emnt nsończon.. Zasadncza oncpcja mntó nsończonch W znaczanu poa obszarach nogranczonch szczgón przdatn z uag na łatość mpmntacj numrcznj uzsan n są odzoroan mnt nsończon mappd nnt mnts [9]. Ida tch mntó poga na tm ż gomtra mntu jst orśona przz paramtrczn odzoroan mntu rodzmgo prz użcu uncj ształtu azującch osobość da ξ ub η przpadu mntu pojdnczo nsończongo ub da ξ η przpadu mntu podójn nsończongo. Przmszczna natomast obszarz mntu są aprosmoan przz standardo uncj ształtu da mntu zoparamtrczngo. Idę odzoroanch mntó nsończonch można zobrazoać proadząc rozażana na przładz jdnomarogo mntu nsończongo rs... Emnt tn można odzoroać na mnt opsan oanm uładz spółrzędnch ξ. Zażność mędz spółrzędnm gobanm oanm przdstaa sę następująco: ξ [ M M ].79 Rs... Jdnomaro mnt nsończon Wstępując rażnu.79 uncj odzoroując M M opsan są następująco:

118 Charatrsta branch mntó sończonch M M ξ ξ ξ ξ.8 natomast są odpodnm spółrzędnm gobanm puntó ęzłoch mntu. W mntach nsończonch gomtra oraz rozład poa przmszczna są odnson do tgo samgo puntu ub zboru puntó zanch bgunam mntu. a rs.. oznaczono j przz O. Bgun ponn znajdoać sę na znątrz mntu a ęc <. Zachodzą ponadto zażnośc: a a a.8 Załada sę przładoo ż poszuaną uncją jst uncja φ a tor przmszczń ęzłoch mntu ma postać: [ δ δ δ ] T [ φ φ ] T φ δ.8 Zmnność uncj φ obszarz mntu można przdstać za pomocą standardogo rażna : gdz [ ] δ φ.8 5 ξ ξ ξ 5 ξ.8 a podsta zażnośc.79.8 otrzmuj sę: r a a ξ.85 r a a gdz r oznacza odgłość doongo puntu nątrz mntu od bguna O.

119 .. Emnt nsończon Prz orzstanu zązu.85 zażność.8 przjm postać: a a a φ r φ a a r a a a r a a a r r φ a a a a r r a a r φ a r a a r.86 Przjmując poższm rażnu a a otrzmuj sę: a a φ φ φ φ φ φ φ φ.87 r r Da zażnośc zachodz: m φ φ r.88 Tm samm ęc arun ż uncja φ osąga nsończonośc artość zro można automatczn spłnć przz rozpatrzn rażnu.8 to sończonch ęzłó. a podsta zązó doczn jst rónż znaczn umjscona bguna O. aż podrść ż dobór położna bguna moż bć zrazoan jdn na drodz mprcznj prz uzgędnnu ta gomtrcznch ja zcznch łasnośc dango zadana.... Dumaro mnt pojdnczo podójn nsończon Przdstaona podrozdza.. zasadncza oncpcja odzoroanch mntó nsończonch znajduj odzrcdn przpadu mntó dumaroch pojdnczo ub podójn nsończonch. Przład tach mntó przdstaono na rs... Da mntó tch przjęto założn ż a a. Emnt pojdnczo nsończon przdstaon na rs.. a jst pęcoęzłom srndposm mntm pochodzącm od ośmoęzłogo srndposgo mntu sończongo.

120 Charatrsta branch mntó sończonch Współrzędn goban puntó 5 tgo mntu orśon są zażnoścą: 5.89 Rs... Dumaro mnt nsończon: a mnt pojdnczo nsończon b mnt podójn nsończon Gomtrę mntu opsuj rażn: M M.9 gdz: M [ M M L M 5 ] T [ L 5 ] [ L ] T 5.9 Przjęt uncj odzoroując mają postać:

121 .. Emnt nsończon 5 M M M M M 5 ξ ξ η η ξ η ξ ξ η η ξ η η ξ η η.9 Można zauażć ż da uncj.9 zachodz zażność: η ξ η.9 Emnt podójn nsończon przdstaon na rs.. b jst z o cztroęzłom zoparamtrcznm mntm Lagrang a pochodzącm od mntu sończongo Lagrang a o dzęcu ęzłach. Anaogczn ja przpadu mntu pojdnczo nsończongo spółrzędn goban puntó orśon są następująco:.9 Gomtrę mntu przdstaa zażność.9 tórj: M [ M M ] T M K T [ ] [ ] T.95 Słado macrz M mają obcn postać:

122 6 Charatrsta branch mntó sończonch M M M M ξη ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η.96 Da przjętch uncj odzoroującch.96 zachodz: ξ η ξ η ξ η Maromnt podłoża arstogo Współpraca onstrucj z doon uarstonm podłożm gruntom jst probmm złożonm nat jż przjm sę założn ż grunt poszczgónch arst są matrałam zotropom noo-sprężstm. Dość poszchn stosoan do opsu ośroda gruntogo zagadnnach ntracj onstrucja-podłoż mod anatczn Wnra Pastrnaa Rssnra oazują sę tu bć dao nstarczając. Modują on ośrod grunto często odranu od jgo rzczstch łasnośc mchancznch n umożają rónż uzgędnna tj zasadnczj cch gomtrcznj podłoża jaą jst njdnorodność stroa runu ponom. Prz zróżncoanch modułach ścśośc poszczgónch arst moż to sutoać błędnm nam naprężń odształcń. Rastczn oszacoana ta osadań ja dormacj onstrucj spoczającj na gomtrczn sompoanm uładz arst magają płnj trójmaroj anaz MES tóra jst z rguł zadanm czasochłonnm osztonm. Atrnatną grupę zars modoana ośroda gruntogo zagadnnach ntracj pozaającą na osągnęc pngo ompromsu mędz doładnoścą a czasochłonnoścą obczń stanoą mod numrczn podłoża z tnm modm Koara-mca K- [6] na cz. Smuacja zachoana podłoża przz tn mod pozaa na znaczn uproszczn procsu obcznogo prz rażnu szstch nzbędnch łasnośc podłoża tór anaz uładu onstrucja-podłoż arsto n mogą bć pomnęt.

123 .5. Maromnt podłoża arstogo Ząz podstao modu podłoża arstogo Puntm jśca do rozażań jst uład n str obcznoch o zmnnch gruboścach h n K tór spocza na podłożu nodształcanm rs... Rs... Podłoż doon uarston Grunt poszczgónch arst tratoan są jao matrał noo-sprężst njdnorodn spcoan ogónośc za pomocą modułó Younga Krchhoa odpodno z E E oraz z G G. Wszst granc arst googcznch muszą bć port porzchnam H z str obcznoch cz n odrotn. Istotą modu podłoża arstogo tór opart jst na tz. tnm modu Koara-mca są ogranczna nałożon na przmszczna: z z z z u z u z α α.98 W zażnośc.98 saźn ujęt naas n podgają onncj sumacjnj. W zażnośc tj poszczgón smbo oznaczają:

124 8 Charatrsta branch mntó sończonch z u α u przmszczna puntó arst "" runach os spółrzędnch z ; ugęca odpodnch płaszczzn grancznch z H prz czm H ; dan uncj ntrpoacjn dnując pono rozład przmszczna nątrz arst "". Funcj oraz ponn spłnać granczn arun gomtrczn: z H z H z H z H.99 W modu K- uncj t opsan są następująco rs..: H z z H n... H H H H H H z H n. E Moduł sprężstośc z przpsango porzchn środoj -tj arst E obręb arst uzażnon jst od modułu E sposób następując: z E [ ξ ]. z gdz: ξ [ z H ] jst spółrzędną oaną -tj arst h rs... Rs... Wrs uncj opsującch rozład ugęć zdłuż grubośc podłoża

125 .5. Maromnt podłoża arstogo 9 Rs... Goban oan uład spółrzędnch -tj arst Przjmując ż arst mogą mć zmnną grubość załada sę ż porzchn granczn są płaszczznam doon nachonm stosunu do płaszczzn o rs... Można j ęc opsać rónanam: H a b c d. gdz a b c d są paramtram tór znacza sę na podsta spółrzędnch puntó żącch na odpodnj porzchn grancznj. a podsta zażnośc.98 oraz zązó Cauch go otrzmuj sę następując rażna opsując słado poa odształcna: ε ε αβ α z ε z z z α. Ząz zczn opsując przjęt ośrod można przpadach anzotrop zaartch przdza <zotropa ortotropa> zapsać postac: j j j j j σ G ε δ c ε j z. prz czm δ j jst dtą Kroncra. Wstępując rónanach.6 paramtr matrało arst torzą macrz: j G oraz j c -tj

126 Charatrsta branch mntó sończonch sm c G sm G G G z z z z M K M c G.5 W przpadu ośroda zotropogo paramtr t rażają sę przz tchnczn stał zoram: j E G j E G E G j j ν ν ν ν ν ν ν.6 a podsta zązó.. otrzmuj sę po naprężna o następującch sładoch: z z c β αβ δ αβ σ z z z z z G G α α α α σ σ.7 Wrażn na nrgę sprężstą por. zażność.67 przjmuj rozpatranm zagadnnu następującą postać: z z z z n V z z W dv σ α ε α ε σ Π.8 tóra na z przjętgo założna.98. Podstaając do zażnośc.8 ząz..7 otrzmuj sę: Π ] [ { z n h z z W G Ω d dz G z } ] [ α α.9

127 .5. Maromnt podłoża arstogo gdz przz oznaczono umon całoan grancach grubośc odpodnj arst. h Całota nrga potncjana prz uzgędnnu prac sł znętrznch ma postać: Π Π L. C W gdz Π W orśa zażność.9 natomast potncjał sł znętrznch opsan jst następująco: L n q V α z dv..5.. Spcacja maromntu podłoża Ząz. stano podstaę do uzsana rónań MES. W tm cu cągł mod podłoża zostaj podzon zajmn prostopadłm płaszczznam ponom na mnt sończon rs..5 []. Maromnt podłoża jst zborm płasch mntó sończonch porającch porzchn granczn arst rs..6. Funcjonał. można przdstać postac sum nrg potncjanch poszczgónch arst: gdz: n ΠW Π W Π W K Π W. Π W Ω h G α z { G [ z z [ α ] z ] } dz dω.

128 Charatrsta branch mntó sończonch Rs..5. Dsrtzacja MES podłoża arstogo Rs..6. Maromnt podłoża arstogo Anaogczn można przdstać potncjał sł znętrznch.: n L L L L K. gdz: Ω Ω d dz z z q L h ] [.5

129 .5. Maromnt podłoża arstogo Wdoczn jst ż uncjona Π W -tj arst stępują. pochodn uncj ugęca a ęc modu sończn mntom uncj aprosmacjn ponn bć z przstrzn V H h Ω. Da -tj arst rs..7 przjmuj sę no rozład ugęć zdłuż grubośc arst opsan uncjam ształtu: 5 ξ 5 ξ.6 Rs..7. Lno rozład przmszczń obręb -tj arst Ta ęc uncj ntrpoacjn orśon są następująco:.7 Ugęc -tj arst można zatm zapsać zgodn z zażnoścą por. zażność.98: z [ ].8 W obręb porzchn grancznch -tj arst przjmuj sę cztroęzło mnt prostoątn o SSW rs..8.

130 Charatrsta branch mntó sończonch Rs..8. Emnt sończon ustuoan na porzchnach grancznch -tj arst Wtor przmszczń ęzłoch da -tj arst ma zatm postać: gdz: δ δ [ δ ] T δ δ.9 T [ K r ] T [ K ] r r. Wtor przmszczń ęzłoch maromntu rs..6 przdstaa sę następująco: δ M n T [ δ δ K δ ] [ δ δ K δ ] T n. Zgodn z podjścm Rtza ząz mędz przmszcznam nątrz mntu a przmszcznam ęzłom opsuj zażność: [ ] δ

131 .5. Maromnt podłoża arstogo 5 [ ] δ. gdz: η ξ η ξ η ξ η ξ. Podstaając ząz.7. do rażń. oraz.5 odnsonch do mntu otrzmuj sę: z z h z z d dz G G Ω Π Ω } ] [ ] [ { α α δ δ δ δ. oraz: h d dz q L Ω Ω ] [ δ δ.5 Borąc pod uagę zażność: ] [ H z h z ξ.6 otrzmuj sę: d h d z dz ξ ξ ξ.7 Zatm: h W d h d d dz ξ Ω Ω Π Ω Ω.8

132 6 Charatrsta branch mntó sończonch oraz: Ω Ω h d dz L d h d ξ Ω Ω.9 Doonując ścsłgo całoana anatczngo zażnośc.8.9 zgędm zmnnj ξ co jst zadanm nsompoanm obc postac uncj ształtu.6 otrzmuj sę uncjonał Π potncjał sł znętrznch L zażn jdn od spółrzędnch. Ta ęc: L z L z W W Π Π. Funcjonał nrg potncjanj maromntu przdstaa sę zgodn z zażnoścą. następująco: n W W W M W Π Π Π Π K. Podobn można przdstać potncjał sł znętrznch maromntu por. zażność.: n M L L L L K. a podsta zażnośc.77 uzsuj sę: M M M W n M C M C M C M M W M C L F δ δ δ δ δ δ Π Π Π Π Π M. gdz macrz sztnośc maromntu M W można przdstać następującj orm:

133 .5. Maromnt podłoża arstogo 7 M W W sm W W L L O n W n W M n n W. W Podmacrz K n macrz M W opsuj rażn tórm n uzgędnono całoana anatczngo zgędm zmnnj ξ : W r m Wtor Ω h m n α { G z z r α r m z m α z } dz G dω M F przdstaa sę natomast następująco: α z m α r m K.5 F M [ F F K ] T.6 F n gdz: oraz: [ F F ] T F.7 F K F q r dz dω r K r Ω h.8 Warto nadmnć ż odróżnnu od przjętgo modu K- rozładu modułu sprężstośc zdłuż grubośc arst por. zażność. można przjąć ops bardzj zbżon do rzczstośc zgodn z ponższm rażnm: E z E E z.9 prz czm spółcznn E E znacza sę da odpodnj arst na podsta noj rgrsj artośc modułó uzsanch z pomaró na różnch głębooścach.

134 8 Charatrsta branch mntó sończonch.5.. Uag dotcząc abracj paramtró modu podłoża arstogo Pratczn sns stosoana maromntu podłoża arstogo poga na rducj anaz MES zagadnna trójmarogo do dóch maró prz orzstanu znanch uncj rozładu przmszczń ponoch zdłuż grubośc arst. W racjonanm maromnc arstom uzgędna sę tż znaną na przład [] zmnność modułó Younga E Krchhoa G na głęboośc. Innm asptm tj opracj jst znaczn przśpszn procsu obcznogo. Zamast trójmaroj sat mntó sończonch podłoża o trzch stopnach sobod ażdm ęź stosuj sę zbór płasch mntó na grancach arst o jdnm stopnu sobod. Wmnon cch modu sazują na jgo dużą przdatność noch anazach zagadnń spółprac onstrucj z podłożm gruntom. Wzgędn marodajna ocna użtcznośc modu maga jdna odnsna sę do probmu abracj jgo paramtró. W modu podłoża arstogo paramtram tm są moduł odształcanośc moduł Krchhoa arst: E G. Możość argodnj dntacj tch paramtró starzają spółczsn badana pntracjn gruntu. Wmnć tu można sondoan statczn CPTU zacan przz sstm uropjsch norm gotchncznch ujętch EUROKODZIE 7 badana datomtrm tst DMT zgędn badana prsjomtrczn []. Prz orzstanu sond CPTU artośc paramtró gotchncznch mrzon są sposób cągł na całm przoc otoru badaczgo. Uzsan z sondoań dan pozaają na prczjn orśn zaróno modułu odształcanośc na całj badanj głęboośc ja rónż granc arst gotchncznch o zbżonch paramtrach trzmałoścoch. Emnuj to ucąż poszuan zażnośc tortcznch zman modułu odształcanośc tór z rguł n odzrcdają jgo rzczstgo rozładu jao ż pomja sę nch pł pronsodacj OCR. Szczgóło ops sposobó pozsana rastcznch oszacoań modułu odształcanośc podłoża znaźć można prac [].

135 Rozdzał 5 PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ MRS I MES W AALIZIE STATYCZEJ KOTRUKCJI POSADOWIOYCH A PODŁOŻU SPRĘŻYSTYM 5.. Uag stępn W nnjszm rozdza przdstaon będą przład zastosoań mtod różnc sończonch mtod mntó sończonch rozązanu zaróno prostch zagadnń spółprac onstrucj z podłożm sprężstm jam są b na podłożu Wnra ja zagadnń złożonch do tórch nątp zaczć można płt ższgo rzędu na podłożu arstom. Przjęt do opsu zachoana sę ośroda gruntogo pod obcążnm mod podłoża sprężstgo a manoc mod Wnra arsta Własoa mod K- są rprzntantam trzch zasadnczch grup mod podłoża stosoanch zagadnnach ntracj onstrucja podłoż tj. mod prostch podstaoch złożonch. Iustruj to schmat asacjn mod podłoża przdstaon na rs. 5. []. Prsza grupa mod podłoża anaog goban tórj przdstacm jst mod Wnra objmuj schmat podłoża tór n rprzntują masu gruntogo ścsłm sns a jdn są zastępczm uładam mchancznm onstruoanm tn sposób ab rozład ugęć porzchn dość dobrz naśadoał rz dośadczan. Mod Wnra tór jst zstaon z zajmn npoązanch sprężn o jdnaoj

136 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj charatrstc sprężstj cchuj oaność proporcjonaność zązu obcążn osadan co oznacza dao dącą dazację rzczstgo masu. W rzutac mod tn n daj pnch oszacoań a jgo dobra zgodność z rzutatam badań dośadczanch bardzj prczjnch anaz numrcznch jst często przpadoa. Rs... Schmat asacjn mod podłoża sprężstgo stosoanch zagadnnach ntracj onstrucja - podłoż Warsta Własoa naż do grup mod podstaoch sład tórj chodzą taż mod półprzstrzn sprężstj arst ascznj. W odróżnnu od anaogó gobanch podstao rónana mod tj grup n są zażnoścam założonm a pror cz nają z rozązana

137 5.. Uag stępn zagadnń ascznj tor sprężstośc da cała zotropogo jdnorodngo. W nu tgo paramtr E ν tch mod są śrdnm paramtram matrałom tór można znaczć aboratorum ub trn. Mod podstao azują nzłą jaoścoą zbżność do nó pomaró a mod Własoa jst szczgón ntrsując z uag na łatość mpmntacj numrcznj możość mtodczngo doboru grubośc rozpatranj arst sprężstj. Trzca grupa mod mod złożon stano roznęc mod podstaoch runu moż najpszch aprosmacj rzczstgo masu gruntogo. W ramach noj tor sprężstośc naż różnć tutaj mod K- tór stano nrgtczn odpodn arst Własoa. Umoża on rozpatrzn doongo uarstna podłoża ja rónż zmnnośc modułu odształcanośc raz z głębooścą. Ścsł potratoan tgo probmu magałob zastosoana modu str uarstonj uzgędnającj różn paramtr arst oraz arun zszca na ch stach co proadzłob rzutac do trójmaroj anaz MES. Uzgędnn uarstna modu K- jst nporónan prostsz a prz tm proadzn podzału na arst nat przpadu podłoża jdnorodngo zęsza doładność uzsanch nó porónanu z arstą Własoa. Warto nadmnć ż mod Wnra pommo soch manamntó jst daszm cągu dość poszchn orzstan anaz zagadnń spółprac onstrucj z podłożm gruntom głón z uag na łatość mpmntacj numrcznj. Jdna to td gd odształcana arsta gruntu ma małą grubość mod tn daj sę bć odpodn dając n zbżn z rzutatam da arst ascznj. W ch obcnj mod Wnra orzstan jst m.n. tach programach MES ja SAP Robot PaTo. cz ABC płta rsja podstaoa. Anazoan nnjszm rozdza mod podłoża łączn z przdstaonm rozdza modm podłoża arstogo cchuj sprężstość noość zązó naprężn-odształcn. Poszchn adomo ż ząz t da ośroda gruntogo charatrzują sę sną nnooścą; śt noch badań trójosoch badań dnamcznch taż zars małch bardzo małch odształcń []. Współczśn dostrzga sę potrzbę drażana mod uzgędnającch nsprężstość sną nnoość ośroda gruntogo do anaz obcznoch gotchn. oznacza to jdna całotj rzgnacj z snsonch mod noosprężstch tach ja omóon czśnj mod arsto tpu K-. Jst tż nn ażn poód b stosoać dosonać ta mod. Anaz MES WMRS zagadnń noj sprężstośc stanoą sza potarzan bazo ogno szstch procdur przrostoo-tracjnch stosoanch anazach zagadnń zczn nnoch charatrstcznch da ośrodó hposprężstch sprężsto-pastcznch tp.

138 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Wnra - WMRS Rozpatruj sę bę o stałm na długośc modu sprężstośc E przroju poprzcznm A spoczającą sobodn na podłożu sprężstm rs. 5.. Załada sę ż płaszczźn ontatu n stępują sł tarca a ęz są dustronn. Poszuuj sę rozładu ugęć momntó zgnającch bc. Rs. 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu sprężstm Rónan os odształconj b. ma da rozażango zagadnna postać: EJ d q q s 5. d gdz q s jst odporm gruntu racją podłoża. Warun brzgo da b spoczającj sobodn na podłożu rażają sę zananu sł nętrznch tj. momntu zgnającgo sł poprzcznj na ońcach sobodnch b. Zachodz zatm: M M Q Q d EJ d d EJ d d EJ d d EJ d 5. Rozpatruj sę ęc zagadnn brzgo. tórm:

139 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Wnra d L d q q u s 5. prz danch arunach brzgoch opsanch rónanam 5.. Mod Wnra naż do anaogó gobanch stotą tórch jst smuacja zażnośc obcążn-ugęc porzchn podłoża za pomocą zastępczgo uładu mchanczngo sprężn z mmbraną arst ścnanj tp.. Anaog goban abstrahują od rzczstj budo masu gruntogo oraz od zązó naprężn-odształcn jgo puntach. W modu tm ząz mędz słą racją podłoża a ugęcm ma charatr noo-proporcjonan: q s 5. gdz jst spółcznnm proporcjonanośc paramtrm modu. Prz uzgędnnu zązu 5. rónan 5. przbra postać: EJ d q 5.5 d Zażność 5.5 jst rónanm os odształconj b spoczającj na podłożu Wnra. Funcjonał rónoażn rónanu 5.5 orśając całotą nrgę potncjaną b na podłożu Wnra będąc sumą nrg potncjanj b.7 prac podłoża sprężstgo prac sł znętrznch ma postać: Π C Π b Π s L z d EJ d q d d [ ] d 5.6 Funcjonał 5.6 stano podstaę do zastosoana do rozązana sormułoango zagadnna brzgogo aracjnj mtod różnc sończonch. W tm cu doonuj sę podzału b rónomrną satą dsrtzacjną o bou ocza rs. 5..

140 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Rs. 5.. Ba z nansoną satą dsrtzacjną Dsrtna postać rażna 5.6 po zastąpnu da ażdgo ęzła drugj pochodnj odpodnm orazm różncom przbrz postać: C q EJ Π gdz: P q q q q q q q q W zażnośc 5.7 da ęzłó srajnch 7 jst rón 5. Da pozostałch ęzłó...6. Ugęca cjn 8 znacza sę z arunó brzgoch 5. : d d M d d M 5.9 Rónana agbraczn na znaczn ugęć ojnch ęzłó otrzmuj sę z arunu.79 tór obcn przbra postać: 7 K Π C 5.

141 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Wnra 5 Przładoo da ęzł na podsta zażnośc 5. otrzmuj sę: 5 5 Π q EJ C 5. Stąd: q EJ 5. Postępując anaogczn da ojnch ęzłó sat podzału uzsuj sę uład rónań tór zaps macrzom przdstaa sę następująco: P q q q B D sm D D D D D D 5. gdz: 6 5 B D B D B D EJ B Da danch: ] [ ] / [ ] / [ ] [ ] [ 7 5 P m q m m EJ m 5.

142 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj 6 otrzmuj sę następując rozązan uładu 5.: ] [ m 5.5 a podsta uzsanch artośc ugęć 5.5 obcza sę dług zażnośc.5 zapsanj różncoo dsrtn artośc momntó zgnającch: 6 K EJ M 5.6 Otrzmuj sę: } [ m M M M M M 5.7 Zobrazoanm onanch obczń są rs n ugęca momntó zgnającch anazoanj b przdstaon odpodno na rs

143 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Wnra 7 Rs. 5.. Rozład ugęć bc na podłożu Wnra Rs Rozład momntó zgnającch bc na podłożu Wnra

144 8 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Własoa WMRS Anazuj sę anaogczną ja podrozdza 5. bę na podłożu sprężstm prz czm jao mod podłoża rozpatruj sę arstę Własoa opsaną rónanm różnczom.6. Borąc pod uagę przjęt mod podłoża rónan os odształconj b 5. przbrz obcn postać: d d EJ q t 5.8 d d Paramtr t modu Własoa charatrzując pracę podłoża odpodno na ścsan ścnan rażają sę poprzz paramtr matrało sposób następując: h G z z z dz 5.9 h t G dz E ν gdz h jst gruboścą arst G z z por. zażność.6 ν ν natomast jst uncją dnującą pono rozład przmszczna obręb arst opsaną zażnoścą. da. Można zauażć ż podłoż Własoa jst szczgónm przpadm omóongo podrozdza.5. podłoża arstogo tj. opsują go ząz da modu arstogo tórm. W odróżnnu od modu Wnra podłoż Własoa pj odzrcda rzczstą ncę osadań pod undamntm co zobrazoano da przpadu obcążna rónomrn rozłożongo na rs Rs Porónan rozładu osadań da modu Wnra Własoa z rzą dośadczaną

145 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Własoa 9 Wdoczn jst ż przpadu podłoża Wnra ugęca rozładają sę to obrs undamntu podczas gd da modu Własoa ugęca zanają znacznj odgłośc od undamntu. Wna stąd onczność uzgędnna obcznach onstrucj spoczającj na podłożu Własoa oddzałana podłoża poza obszarm onstrucj. Funcjonał całotj nrg potncjanj uładu ba-podłoż Własoa odpoadając rażnu 5.6 przjm obcn postać: Π C Π b Π Wł L d d d t d d { d q d p [ ] 5. gdz przz oznaczono umon całoan po długośc b długośc p podłoża poza bą. Funcjonał 5. stano punt jśca do zastosoana WMRS do rozązana b posadoonj na podłożu Własoa. Doonan tm cu podzał satą dsrtzacjną b podłoża poza bą przdstaono na rs Przjęto prz tm ż ugęca podłoża zanają odgłośc durotn ęszj od przjętgo bou ocza sat podzału. Rs Obszar b podłoża poza bą z nansoną satą dsrtzacjną Zastępując zażnośc 5. pochodn odpodnm orazam różncom otrzmuj sę dsrtną postać uncjonału nrg potncjanj uładu ba - podłoż Własoa:

146 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj 5 p p C q t EJ Π gdz p p natomast da pozostałch ęzłó p. Ugęcam cjnm da b a ęc ugęcam ęzłó n nażącch do obszaru b są ugęca 8. Wznacza sę j z arunó brzgoch anaogcznch do arunó 5.9. Otrzmuj sę óczas: Intnsność obcążna 7 q q da ojnch ęzłó orśa zażność 5.8 ponadto zachodz rónż: 9 5. co jst nm przjętgo założna odnośn zanana ugęć poza bą. Uzgędnając zażnośc 5. ząz otrzmuj sę: q q q q t EJ p p C Π Zażność 5. oraz zażność 5. tórj przjmuj sę K proadz do uładu rónań umożającgo znaczn ugęć ojnch ęzłó sat podzału. Uład tn przdstaa ząz 5.5 tórm przjęto następując oznaczna:

147 5.. Ba spoczająca sobodn na podłożu Własoa 5 R A R B A R B A R A R A R B A s A s A prz czm: t s EJ t R EJ B P q q q B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 5.5 Przjmując dan 5. oraz paramtr podłoża 5 t otrzmuj sę po rozązanu uładu 5.5 następując artośc ugęć ojnch ęzłó: ] [ m 5.6 Obczon na podsta rozązana 5.6 zażnośc 5.6 momnt zgnając przdstaają sę natomast następująco:

148 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj 5 ] [ m M M M M M 5.7 Uzsan n ugęć momntó zgnającch przdstaono na rsunach Rs. 5.8 Rozład ugęć b podłoża poza bą Rs Rozład momntó zgnającch bc

149 5.. Ba na podłożu Wnra z ęzam jdnostronnm 5 a rsunach zamszczono taż cm porónana odpodn artośc otrzman podrozdza 5. da b na podłożu Wnra. Wdoczn jst stotn pł przjętgo modu podłoża na rozład ugęć momntó zgnającch bc. 5.. Ba na podłożu Wnra z ęzam jdnostronnm WMRS Rozaża sę bę ja podrozdza 5. przjmując obcn ż ęz są jdnostronn. Oznacza to ż podłoż sprężst zdon jst prznosć to obcążna ścsając ż ba moż odrać sę od podłoża. Zagadnn to tór sojj stoc jst zadanm nnom można numrczn rozązać postępując drogą ojnch tracj. Itracj t pratczn dotczą zanana ęzó puntach tórch stąpł ujmn artośc ugęć podłoża cz mjscach gdz onstrucja azuj tndncj do odrana sę od podłoża. Tm samm ęc obszar ontatu onstrucj z podłożm zostaj sproadzon do obszaru rzczstj spółprac podłoża z onstrucją jao ż ośrod grunto n pracuj na rozcągan. Przjmuj sę ż ba jst obcążona środu rozpętośc słą suponą rs. 5.. Do orśna jst rozład ugęć bc prz założnu ęzó jdnostronnch. Rs. 5.. Ba na podłożu Wnra Do rozązana zadana zastosoano aracjną mtodę różnc sończonch. Przjęto anaogczną ja podrozdza 5. dsrtzację b rs. 5.. Stąd tż rónana na znaczn ugęć ojnch ęzłó orśa zażność 5. tórj obcn zman uga tor prach stron nu nngo nż podrozdza 5. sposobu obcążna b. Wtor tn orśon jst następująco:

150 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj 5 P B q B p F 5.8 gdz EJ B. Przjmując dan: ] / [ 5 ] [ ] 6[ ] [ ] [ 7 m K m m K P Km EJ 5.9 rozązując uład rónań 5. prz uzgędnnu zażnośc 5.8 otrzmuj sę następując artośc ugęć b na podłożu Wnra: ] [ m 5. aż zrócć uagę ż uzsan artośc ugęć 5. dotczą ęzó dustronnch. Wdoczn jst ż ęź 7 ba azuj tndncj do odrana od podłoża ujmn artośc ugęć. W ojnm rou naż ęc zonć ęz tch puntach cz rozpatrać ęzłach 7 oddzn dsrtn rónana ugęć b podłoża. Proadz to do modacj uładu rónań 5. tór przbra obcn ormę:

151 5.. Ba na podłożu Wnra z ęzam jdnostronnm P B D D D D D p p 5. prz czm EJ B 6 5 B D B D natomast 7 oznaczają ugęca b z o p p 7 ugęca odpodnch ęzłó podłoża. Po rozązanu uładu 5. otrzmuj sę następując artośc : ] [ m p p 5. Uzsan artośc ugęć 5. b na jdnostronnm podłożu Wnra zobrazoano na rs. 5.. a rsunu tm zamszczono taż n rozązana anatczngo [] obczu smtr gomtr obcążna da poło rozpętośc b.

152 56 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Rs. 5.. Rozład ugęć b na podłożu Wnra z ęzam jdnostronnm Prz przjętj do obczń stosunoo rzadj satc dsrtzacjnj doczna jst dobra zgodność rozązana aracjną mtodą różnc sończonch b na jdnostronnm podłożu Wnra z rozązanm anatcznm Ba na podłożu duarstom - MES Rozpatrana poprzdnch przładach ba posadoona jst traz na podłożu tór jst uładm dóch pozomch arst o różnch gruboścach różnch paramtrach matrałoch. Ba poddana jst na całj długośc dzałanu obcążna rónomrn rozłożongo o ntnsnośc q rs. 5.. Poszuuj sę rozładu ugęć bc.

153 5.5. Ba na podłożu duarstom 57 Rs. 5.. Ba na podłożu duarstom Całotą nrgę potncjaną uładu ba podłoż duarsto opsuj zażność: Π Π Π L 5. C b W tórj uncjonał nrg potncjanj b Π b oraz potncjał sł znętrznch L orśają odpodno ząz.5.7. Enrga potncjana podłoża arstogo Π W por. zażność.9 przjmuj da rozażango uładu dóch arst postać: Π W G h { G d d 5. gdz paramtr G G opsan są zgodn z zorm.6 następująco: G E ν E G ν ν ν 5.5

154 58 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Poszuuj sę uncj ugęca tór mnmazują uncjonał 5. spłnają arun: m 5.6 m prz czm jst ugęcm b są ugęcam odpodnch porzchn grancznch podłoża. Do rozązana sormułoango zagadnna brzgogo orzstuj sę mtodę mntó sończonch. Ba podłoż duarsto zostają podzon nam ponom nu czgo zdsrtzoan uład słada sę z mntó boch maromntó podłoża będącch zborm dóch noch mntó duęzłoch rs. 5.. Rs. 5.. Maromnt podłoża arstogo Wtor przmszczń ęzłoch maromntu opsan zażnoścą. ma obcn d słado: prz czm [ ] T [ δ ] T δ M δ 5.7 δ [ ] T δ. Zgodn z zażnoścą. ząz mędz przmszcznam maromntu przmszcznam ęzłom ma postać:

155 5.5. Ba na podłożu duarstom 59 [ ] [ ] δ δ 5.8 gdz uncj ształtu da mntu nogo duęzłogo opsan są uładz oanm rs. 5. następując sposób: 5 ξ 5 ξ 5.9 Funcjonał 5. odnson do uładu mnt bo maromnt podłoża ma postać: C b M W Π Π Π L 5. Podstaając do rónana 5. przjęt aprosmacj: da mntu bogo.8 da maromntu 5.8 oraz uzgędnając arun tożsamośc ugęć 5.6 otrzmuj sę na podsta zązu.77 następując rażn: d Π dδ C b δ M W b δ F 5. T gdz [ ϕ ] r δ oraz: r r r M W W W W W prz czm:

156 6 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj W W W W W W W W W W 5. W W W W W W W W W W Wtor F b da obcążna rónomrn rozłożongo odpoada toro orśonmu przz zażność. poęszonmu o słado zro odpodno do tora δ. Anaogczn postępoan naż zastosoać cu uzsana macrz b z zązu.9. W Podmacrz otrzmuj sę na podsta zażnośc.5. Przdstaają sę on następująco: F b W r m G G G G r r m m m h r m h H h H r h d d d d d r m 5. Do opsu rozładu przmszczń ponoch zdłuż grubośc arst por. zażność 5. przjmuj sę uncję noą prszj nnoą drugj arst rs. 5.: h h h shγ H shγ h h h H 5.

157 5.5. Ba na podłożu duarstom 6 prz czm γ jst spółcznnm zanana przmszczń γ 5 H sh. Zgodn z rażnm.7 zachodz: 5.5 Rs. 5.. Przjęt uncj rozładu przmszczń ponoch zdłuż grubośc arst Uzgędnając ząz 5.5 zażnośc 5. oraz obczając anatczn cał grancach odpodnch arst otrzmuj sę następującą postać poszczgónch podmacrz : W rm W r m W r m G h W r m r G h m G r m h G r h 6 m d r m d gdz: W r m A h G h G r A h m G r m h G r B h m r m d shγ h γ h shγ h γ h B h. γ sh γ h γ sh γ h 5.6

158 6 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Zażność 5. po uzgędnnu następującgo tora paramtró ęzłoch tórm zgrupoano paramtr dotcząc -tgo ęzła: można zapsać postac: c [ ϕ ] T δ 5.7 gdz: oraz: dπ dδ C c c M δ F b W δ c b b sm b M W 5.5 sm [ q ] T q q q F 5.5

159 5.5. Ba na podłożu duarstom 6 Ząz stano podstaę do otrzmana rónań rónoag MES uładu mntó b spoczającj na podłożu duarstom. W cu przproadzna obczń doonano podzału b podłoża obszarz poza obszarm b na mnt sończon zgodn z rs Założono prz tm ż ugęca podłoża zanają odgłośc m od ońcó b. Zrozumałm jst ż przjęt podzał pratc obcznoj jst dao nstarczając. Cm jdna przśdzna ojnch tapó rozązana poprzstano na przjętj dsrtzacj. Rs Przjęt do obczń obszar b podłoża raz z podzałm na maromnt. Przjęto następując dan: EJ [ m] E ν G h E ν G 5 [ m] [ Mm [ MPa] 85 [ MPa] 7 [ MPa] 6 [ MPa] ] gna pas

160 6 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj h 6 γ q [ m] [ M / m] 5.5 Wobc przjętch danch 5.5 macrz przdstaają sę następująco: b sm M W Wtor 5.5 ma natomast słado: [ 6 6 ] T b F 5.55 Otrzman na drodz agrgacj goban uład rónań MES po uzgędnnu arunó brzgoch por. rs. 5.5 ma następującą postać: ϕ sm ϕ

161 5.5. Ba na podłożu duarstom 65 Rozązując uład 5.58 otrzmuj sę: ϕ [ m] 5.58 Uzsan dsrtn artośc ugęć b podłoża zobrazoano na rs Rs Ugęca b podłoża 5.6. Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom - MES Rozaża sę jdnorodną zotropoą płtę ższgo rzędu spoczającą sobodn na podłożu duarstom poddaną dzałanu obcążna prostopadłgo do porzchn środoj q rs Anaogczn ja poprzdnch przładach przjmuj sę założn ż płaszczźn ontatu n stępują sł tarca a płta n moż odrać sę od podłoża. Poszuuj sę uncj ugęca porzchn środoj płt.

162 66 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Rs Płta spoczająca na podłożu duarstom Da rozpatrango uładu płta-podłoż duarsto uncjonał całotj nrg potncjanj jst sumą nrg dormacj sprężstj płt nrg sprężstj podłoża prac sł znętrznch: Π Π Π L 5.59 C K W gdz Π K Π W L orśon są odpodno przz zażnośc Poszuan uncj ugęca tór mnmazują uncjonał 5.59 ponn spłnać arun anaogczn do opsanch przz ząz 5.6: m 5.6 m Cm zastosoana MES do rozązana sormułoango zagadnna brzgogo górna porzchna podłoża tj. porzchna z rs. 5.7 zostaj podzona na mnt anaogczn da płt podłoża. Emntm płtom jst 8-ęzło mnt srndpos spcoan podrozdza. natomast maromnt podłoża słada sę obcn z dóch 8-ęzłoch mntó zoparamtrcznch co obrazuj rs. 5.8.

163 5.6. Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom 67 Rs Maromnt podłoża duarstogo Wtor przmszczń ęzłoch maromntu podłoża opsan zażnoścą 5.7 ma rozpatranm zagadnnu słado: δ δ T [ KK8 ] [ KK ] T Ząz. przbra natomast ormę: [ KK 8 ] δ δ [ KK 8 ] δ δ 5.6 prz czm uncj ształtu 8 orśon są zoram.68. Macrz sztnośc maromntu ma zasadnczo podobną budoę ja przdstaa to zażność 5. prz czm obcn podmacrz mają następującą postać por. ząz.5: W W r m G Ω G z z α z r m m α h r α z h z dz dz

164 68 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj G G z z r H m h z H α z m α r α dz h z dω dz r m K 8 α 5.6 gdz przz Ω natomast paramtr oznaczono umon całoan obszarz płt podłoża G z z G α z opsuj zażność.6. Przjmując uncj dnując rozład przmszczń zdłuż grubośc podłoża dług rażna 5. prz uzgędnnu zażnośc 5.5 onanu całoana anatczngo otrzmuj sę podmacrz 5.6 następującj orm: W r m W r m W r m G Ω h W r m G Ω h G z z G Ω h z z α z r r B h m m G z z G r r α α z α z h m G h m α r α dω α z r α h 6 m α m α dω r α G m α z z dω A h r m 5.6 gdz A h B h opsan są ja rażnu 5.6. W podrozdza 5.5 tórm anazoano bę na podłożu duarstom oddzałan podłoża poza bą uzgędnono dząc obszar podłoża raczając poza obrs b na mnt sończon. Przjęc rozmaró tgo obszaru ma z rguł charatr ntucjn co pooduj ż arun 5.6 moż bć spłnon jdn z dużm przbżnm. Bardzj doładn spłnn tgo arunu umożają omóon podrozdza. mnt nsończon. Emnt t rozpatranm przładz orzstuj sę do uzgędnna oddzałana podłoża duarstogo poza

165 5.6. Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom 69 płtą. Pęcoęzło zoparamtrczn mnt pojdnczo nsończon cztroęzło zoparamtrczn mnt podójn nsończon por... stosuj sę odpodno da raędz sobodnch naroż płt. Emnt t porają porzchn granczn arst maromnc podłoża rs Rs Umjscon mntó nsończonch zdsrtzoanm uładz płta - podłoż Da mntu pojdnczo nsończongo gomtra orśona jst przz zażność.9 natomast po przmszczń obszarz mntu opsuj rażn: [ K ] [ K ] δ 5 5 M M 5 5 δ gdz 5 są uncjam ształtu orśonm przz ząz

166 7 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Odpodno da mntu podójn nsończongo gomtrę aprosmację ugęca przdstaa zażność.95 oraz rażn: [ L ] M M [ L ] δ ~ ~ δ ~ ~ prz czm uncj ształtu opsan są następująco: ξ ξ η 5 ξ η η η ξ η 5 ξ ξ η 5.67 Mnmazacja całotj nrg potncjanj 5.59 mntu płt ższgo rzędu na podłożu duarstom proadz por. zażność.77 do zązu tór da obszaru ontatu płt z podłożm można zapsać postac: Π δ C K 88 δ 8 ˆ ˆ W W ˆ W W 88 ˆ δ δ 8 F gdz W δ F orśon są odpodno przz ząz natomast podmacrz W raża sę zgodn z zażnoścą 5.6. W rónanach 5.68 słado tora δ są zgodn z opsanm przz ząz 5.6 a słado tora ˆδ przdstaają sę następująco: [ ] T δ ˆ 5.69 K prz czm uzgędnono tu arun 5.6 tożsamośc ugęć płt górnj porzchn ogranczającj podłoż. 8

167 5.6. Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom 7 Podmacrz ˆ W stępująca rażnu 5.68 ma mar na z poęszna podmacrz W opsanj przz zażność 5.6 o mnt zro odpodno do budo tora ˆδ por. ząz.69. Anaogczn podmacrz podmacrzam W W ˆ W ˆ W są poęszonm o raz zro o marach odpodno 8 8. Uzgędnn oddzałana podłoża poza płtą proadz natomast odnsnu do mntu do rónań tór ogón można zapsać następującj postac: S s Π W s W s δ W F s S s δ W s W s δ F s 5.7 S δ W s gdz podmacrz orśon są przz ząz 5.6 tórm obcn macrz uncj ształtu jst róna ub ~ por. rażn zażnośc od tgo cz mnt jst s s pojdnczo cz podójn nsończon. Wtor δ δ stępując ~ rónanach 5.7 odpoadają natomast torom δ ub δ opsanm zażnoścach Przz F s oznaczono z o tor obcążń ęzłoch mntó ustuoanch na odpodnch porzchnach grancznch arst podłoża. Są on różn od tora zrogo jdn przpadu gd obszarz podłoża poza płtą jst przłożon obcążn. Ząz stanoą podstaę obczń MES płt na duarstom podłożu sprężstm Płta obcążona rónomrn na całm obszarz Kadratoa płta o bou a m grubośc h 59 m poddana jst na całm obszarz dzałanu obcążna rónomrn rozłożongo o ntnsnośc q MPa. Dan matrało płt ośroda gruntogo są następując:

168 7 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj E E ν h p p [ MPa] ν 5 E ν [ m] 9 [ MPa] h 6 [ m] γ Do obczna są ugęca płt. Z uag na smtrę obczna ogranczono do ćart płt tórą podzono na 5 5 mntó sończonch rs. 5.. Rs. 5.. Podzał ćart płt podłoża na mnt Pommo jdnorodnośc podłoża runu ponom doonano cu zęszna doładnośc rozązań podzału podłoża na d arst co zustroano na rs. 5..

169 5.6. Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom 7 Rs. 5.. Schmat uzgędnna arst podłoża anazoanm zadanu Otrzman n ugęć przdstaono da trzch charatrstcznch puntó A B C płt rs. 5. tabc 5.. W tabc tj porónano taż uzsan artośc z nnm rozązanam numrcznm. Wdoczna jst dość dobra zgodność otrzmanch rzutató z nam zamszczonch anaz numrcznch prz jdna stosunoo mnjszm zars anaz MES naładz prac obcznoj por. czbę mntó. Ugęca płt spoczającj na podłożu sprężstm. Lczba mntó podzału ćart płt Tabca 5.. Punt płt MES-mnt nsończon [] arst MES-mnt podłoża poza płtą [7] arst MES/MEB [] arsta Półprzstrzń sprężsta [] arsta Ugęc [ m] A B C Lczba mntó ¼ płt 6 6

170 7 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Płta obcążona cntrczn na małm obszarz Kadratoa płta o bou a 5 m grubośc h 5 m obcążona jst środu na nm potu obcążnm rónomrn rozłożonm o ntnsnośc q MPa rs. 5.. Rs. 5.. Płta obcążona cntrczn na nm potu Dan płt podłoża są następując: b 5 [ m] E [ MPa] ν 67 E ν h h p p E ν [ m] 7 [ m] γ 5 [ MPa] 5.7 Do obczna są ugęca płt. Anaogczn ja poprzdno podłoż zostaj podzon na d arst zgodn z schmatm przdstaonm na rs. 5.. Wobc smtr gomtr płt obcążna obczna zostają ogranczon do ćart płt da tórj przjmuj sę podzał na mnt sończon przdstaon na rs. 5..

171 5.6. Płta ższgo rzędu na podłożu duarstom 75 Rs. 5.. Podzał ćart płt na mnt sończon Cm porónana rozązań obczono rónż anaogczną płtę spoczającą na podłożu Wnra. Współcznn tgo modu podłoża por. podrozdzał 5. obczono na podsta zoru []: Es H a og a 5.7 gdz: E s E E H całota grubość arst sprężstj tj. H h h. Uzsan da podłoża duarstogo modu Wnra n ugęć płt zobrazoano da przroju C C por. rs.5. na rs. 5..

172 76 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Rs. 5.. Rozład ugęć płt podłoża poza płtą Wdoczn jst ż masman ugęca płt na podłożu Wnra są o % mnjsz stosunu do odpodnch ugęć płt na podłożu duarstom Płta undamntoa na podłożu doon uarstonm - MES Płta o marach 8 6 m będąca undamntm cztroondgnacjngo budnu o mszanj onstrucj sładającj sę z ścan znętrznch o grubośc 5 m przstrznnch żbtoch ram sztu nętrzngo rs. 5.5 posadoona jst na podłożu o dużj njdnorodnośc poprzcznj znaczn zróżncoanch modułach sprężstośc poszczgónch arst [5]. W podłożu tm ponadto na małj głęboośc stępuj socza męj gn pastj o sompoanm ształc tórj grubość zmna sę znacząco od 5 9 m do m. Obrazuj to pro googczn podłoża przdstaon schmatczn postac cągu jdnaoo odgłch przrojó poprzcznch gruntu na rs Obcążn płt stanoą sł supon

173 5.7. Płta undamntoa na podłożu doon uarstonm 77 przazan na płtę od słupó oraz obcążn rónomrn rozłożon o ntnsnośc q K / m przazan od ścan usztnającch rs aż orść rozład ugęć płt. Rs Płta undamntoa Do rozązana przdstaongo zagadnna zgnana płt na podłożu uarstonm orzstuj sę MES ujęcu agortmu sormułoango podrozdza 5.6. Podłoż prz uzgędnnu mjscoo ustuoanj socz gn pastj zostaj podzon na arst o zmnnj grubośc odpodno do dango prou googczngo. Ops zmnnośc grubośc arst zdłuż os przjmuj sę dług zażnośc.. Przjmuj sę ponadto stał spółcznn Possona da poszczgónch arst ogón zaart grancach ν 5. Moduł sprężstośc. arst tratuj sę jao stał na grubośc arst E 5 MPa natomast przpadu arst.. załada sę ż moduł tn zmna sę noo zdłuż grubośc zgodn z zażnoścą.9.

174 78 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj Rs Pro googczn podłoża Wstępując zażnośc.9 spółcznn E E znacza sę da odpodnj arst na podsta noj rgrsj artośc modułó uzsanch z pomaró na różnch głębooścach. Moduł t został oszacoan na podsta mtod ścż naprężń [5]. W przpadu gn pastj orzstano dośadczan arant Lambgo mtod da pasu śrdngo posłużono sę anatczną rsją mtod ścż naprężń orzstując znan zór Duncana-Changa [5]. Otrzman artośc modułó odształcanośc na różnch głębooścach ja rónż uzsan na ch podsta prz orzstanu mtod najmnjszch adrató rażna opsując zmanę modułu zdłuż grubośc odpodnj arst tj. przdstaono na rs E E z 57 z z 67z 5.7 Płta zostaj podzona na 7 mntó sończonch odpodno do sat oumn sztu budnu. Ponadto sata podzału na mnt zara mnt pod ścanam obszarz spornó rs. 5.8.

175 5.7. Płta undamntoa na podłożu doon uarstonm 79

176 8 Przład zastosoań MRS MES anaz statcznj W cu uzgędnna płu sztnośc ścan na płtę przjęto ż sztnośc mntó pod ścanam są znaczn ęsz porónanu do sztnośc pozostałch mntó. Sztność płt D 7 Mm moduł sprężstośc płt E p MPa spółcznn Possona ν 67 podczas gd obszarz pod ścanam sztność tę przjmuj sę jao róną Mm. Wobc bardzo małgo stosunu grubośc do rozpętośc płt h a jao mnt płto przjmuj sę mnt płt Krchhoa o 6 stopnach sobod znan traturz jao mnt BFS6. p Rs Moduł odształcanośc poszczgónch arst Maromnt podłoża słada sę obcn z płasch mntó porającch porzchn granczn arst. Da mntu. porzchn grancznj przjmuj sę aprosmację ugęć ja da mntu płtogo. Da pozostałch mntó aprosmacja ta jst zgodna z zażnoścą.. W nu tgo maromnt posada 8 stopn sobod: 6 na porzchn ontatu na ażdj pozostałj porzchn. Ponadto odróżnnu od poprzdnch rozażań por. podrozdzał tórch uncj dnując rozład ugęć zdłuż grubośc arst przjęto a pror uncj t przjmuj sę obcn jao uncj ształtu por. zażność.6: 5 ξ 5 ξ 5.75 Otrzman rzutac mod dsrtn anazoango uładu płta undamntoa-podłoż doon uarston słada sę z 7 mntó

177 5.7. Płta undamntoa na podłożu doon uarstonm 8 sończonch 8 mntó nsończonch ęzłó. Gobana macrz sztnośc ma mar 78 prz szroośc półpasma b 78 czb nzroch mntó półpaśm noszącj 57. W nu rozązana uładu rónań otrzmuj sę artośc ęzło ugęć płt ja rónż artośc ęzło ugęć ojnch porzchn grancznch arst podłoża. Uzsan n ugęć płt zobrazoano na rs. 5.9 natomast na rs. 5. przdstaono przładoo rozład ugęć porzchn grancznj czartj arst podłoża. Rs Rozład ugęć płc undamntoj [ m] Rs. 5.. Rozład ugęć porzchn grancznj czartj arst [ ] obszarz poza obszarm płt m