Definicj wielominu Wielominem nzywmy funkcje w: IR IR lub w: C C tk, że istniej liczby 0,,..., n tkie, że dl kżdego rgumentu zchodzi równość f) = 0 + + + + n n. Liczby 0,,..., n nzywmy wspó lczynnikmi wielominu w. Lemt. Jeżeli jedyn wrtości wielominu w jest liczb 0, to wszystkie jego wspó lczynniki s równe 0. Dowód. k! k = w k) 0) = 0. Wniosek. Jeśli v i w s wielominmi i w) = v) dl kżdego, to wielominy w i v mj równe wspó lczynniki. Zdnie. Wykzć, że jeśli n n j = b n n j dl j =,, 3,..., lim j = 0 i j 0 dl j =,, 3,..., j n=0 n=0 to n = b n dl n = 0,,, 3,.... Definicj stopni wielominu Jeśli w) = 0 + + + n n + n n i n 0, to liczbe nturln n nzywmy stopniem wielominu w. Jeśli wszystkie wspó lczynniki wielominu w s równe 0, to stopniem wielominu w nzywmy symbol. Stopień wielominu w oznczmy symbolem degw) Z definicji stopni wielominu wynik od rzu, że jeśli w i v s dowolnymi wielominmi, to degw v) = degw) + degv) orz że degw + v) mdegw), degv)). Twierdzenie o dzieleniu z reszt Dl dowolnych wielominów w i v, degv) 0 istnieje dok ldnie jedn pr wielominów q, r tk, że w = qv + r i degr) < degv). Dowód. Jeśli w jest wielominem stopni mniejszego niż wielomin v, to możemy przyj ć q = 0 = r. Z lóżmy terz, że wielomin w m stopień nie mniejszy niż wielomin v orz że tez zchodzi dl wszystkich wielominów stopni mniejszego niż degw). Niech w) = 0 + + + n n, v) = b 0 +b + +b k k, n 0 b k. Niech w ) = w) n b k n k v). Jsne jest, że stopień wielominu w jest mniejszy niż n = degw). Wobec tego istniej wielominy q i r tkie, że w = q v+r przy czym degr) < degv). Przyjmuj c q) = q )+ n b k n k otrzymujemy równość w) = q)v) + r). Trzeb jeszcze wykzć, ze jeśli w = qv + r = qv + r i deg r), degr) < degv), to q = q i r = r. Mmy równość r r = qv qv, ztem degq q)v) = deg r r) < degv), poniewż degq q)v) = degq q) + degv), wie c degq q) < 0, ztem 0 = q q, wie c również r = r. Dowód zost l zkończony. Definicj njwie kszego wspólnego dzielnik dwóch wielominów Njwie kszym wspólnym dzielnikiem wielominów w i v nzywmy wielomin d njwyższego stopni spośród tych, które s jednocześnie dzielnikmi w i v, którego wspó lczynnik przy njwyższej
pote dze zmiennej równy jest tj. wielomin unormowny). Oznczenie: nwdw, v). Twierdzenie podstwowe o njwie kszym wspólnym dzielniku Jeśli co njmniej jeden z wielominów w i v jest różny od 0, to istnieje dok ldnie jeden njwie kszy wspólny dzielnik, kżdy inny wspólny dzielnik wielominów w i v jest dzielnikiem nwdw, v), istniej wielominy p, q, tkie że nwdw, v) = pv + qw. Dowód. Rozwżmy zbiór P wszystkich niezerowych wielominów postci pv +qw. Oczywiście w, v P o ile ich stopnie s nieujemne): w = w + 0 v, v = 0 w + v. Wobec tego zbiór P m co njmniej jeden element. Niech d P be dzie wielominem unormownym njniższego stopni spośród nleż cych do P.*. Wykżemy, że d = q 0 w + p 0 v jest wspólnym dzielnikiem obu wielominów w i v. Niech w = qd + r dl pewnych wielominów q, r, przy czym degr) < degd). Wtedy r = qq 0 )w p 0 v. Poniewż degr) < degd), wie c r = 0, co ozncz, że d jest dzielnikiem wielominu w. Ten sm rgument przekonuje ns, że wielomin d jest dzielnikiem wielominu v. Jsne jest też, że kżdy wspólny dzielnik wielominów w, v jest dzielnikiem p 0 v + q 0 w = d, co kończy dowód twierdzeni. Definicj dzielnik w lściwego Dzielnikiem w lściwym wielominu w nzywmy kżdy jego dzielnik stopni dodtniego i jednocześnie mniejszego niż degw). Definicj wielominu nierozk ldlnego Wielominem nierozk ldlnym czyli pierwszym**) nzywmy wielomin, który nie m dzielników w lściwych. Definicj wielominów wzgle dnie pierwszych Wielominy v i w s wzgle dnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy nwdw, v) = Nleży sobie uświdomić, że przynjmniej jeden z tych wielominów musi być niezerowy, bo musi istnieć nwdw, v). Lemt podstwowy o podzielności Jeśli wielominy u i v s wzgle dnie pierwsze i u jest dzielnikiem vw, to u jest dzielnikiem w. Dowód. Istniej wielominy p, q tkie, że = pu + qv. Wobec tego w = upw + qvw. u jest oczywiście dzielnikiem iloczynu upv i iloczynu qvw z z lożeni), ztem jest dzielnikiem ich sumy, czyli wielominu w. Z lemtu podstwowego o podzielności wynik, że kżdy wielomin możn przedstwić i to jednozncznie w postci iloczynu wielominów nierozk ldlnych, czyli * Jeśli do P nleży wielomin stopni α, to nleży również wielomin unormowny stopni α ** termin ngielski: prime m znczenie pierwszy, le jko njwżniejszy, np. prime minister.
Twierdzenie o jednoznczności rozk ldu Dl kżdego wielominu unormownego w stopni wie kszego od 0 istniej wielominy nierozk ldlne, unormowne v, v,..., v k tkie, że w = v v... v k przy czym jeśli w = ṽ ṽ... ṽ l. jest innym przedstwieniem w postci iloczynu wielominów nierozk ldlnych, unormownych, to l = k i po ewentulnej zminie numercji czynników zchodz równości ṽ j = v j dl j =,,..., k. Dowód. Jeśli wielomin jest rozk ldlny, to m dzielnik w lściwy, wie c może być przedstwiony w postci iloczynu dwóch wielominów niższego stopni. Wielominy stopni pierwszego s oczywiście nierozk ldlne, wie c jsne jest prost indukcj wzgle dem stopni wielominu), że kżdy wielomin możn przedstwić w postci iloczynu wielominów nierozk ldlnych. Jednoznczność wynik ltwo z tego, że jeśli wielomin nierozk ldlny dzieli iloczyn dwóch wielominów, to dzieli jeden z nich lemt podstwowy o podzielności): jeśli ṽ jest dzielnikiem iloczynu v v... v k = v v... v k ), wie c ṽ jest dzielnikiem v lub dzielnikiem v... v k, jeśli jest dzielnikiem v, to poniewż ob s unormowne i nierozk ldlne, wie c v = ṽ, jeśli nie, to jest dzielnikiem iloczynu v... v k, czyli iloczynu krótszego o jeden czynnik od iloczynu wyjściowego, prost indukcj przekonuje ns o tym, że wtedy ṽ musi być równy jednemu z wielominów v, v 3,..., v k, to ozncz, że kżdy z wielominów ṽ j jest jednym z wielominów v,..., v k, co kończy dowód jednoznczności. Wypd stwierdzić, że wed lug zsdniczego twierdzeni lgebry jedynymi nierozk ldlnymi wielominmi o wspó lczynnikch rzeczywistych s wielominy stopni pierwszego i te wielominy stopni drugiego, które nie mj pierwistków rzeczywistych. Inczej jest w przypdku wielominów o wspó lczynnikch zespolonych kżdy tki wielomin możn przedstwić w postci iloczynu wielominów stopni pierwszego, ztem jedynie wielominy stopni pierwszego s w tym przypdku nierozk ldlne. Jeszce inczej jest w przypdku wielominów o wspó lczynnikch wymiernych. W tym przypdku jest wiele wielominów, których nie możn przedstwić w postci iloczynu wielominów stopni niższego niż ich w lsny. Możn np. wykzć, że jeśli p jest liczb pierwsz, to wielominu p + p + + + + nie możn przedstwić w postci iloczynu dwóch wielominów o wspó lczynnikch wymiernych stopni mniejszego niż p. Nie jest to trudne, le to nie jest temtem nszych rozwżń, zostwimy to mbitnym, zinteresownym studentom, inni zczekj n wyk ld z lgebry. W kżdym rzie zznczyć nleży, że kwesti rozk ldlności zleżn jest tego, jkie wspó lczynniki dopuszczmy w rozk ldch. Definicj funkcji wymiernej Funkcj wymiern nzywć be dziemy funkcje, któr możn przedstwić w postci ilorzu dwóch wielominów. Jej dziedzin be dzie zbiór tych liczb rzeczywistych lub zespolonych), dl których minownik ilorzu zpisnego w postci nieskrclnej jest różny od 0. Wypd od rzu stwierdzić, że w tkiej sytucji licznik i minownik nie mj wspólnych pierwistków w zbiorze dopuszczlnych wspó lczynników). Definicj t nie jest c lkiem zgodn z 3
używnymi w stndrdowych podre cznikch szkolnych, których utor tego tekstu nie jest w stnie poj ć. Definicj u lmków prostych U lmkiem prostym nzywmy funkcje wymiern, której minownik jest pote g wielominu nierozk ldlnego, licznik wielominem stopni niższego niż wielomin nierozk ldlny, którego pote g jest minownik. U lmkmi prostymi s wie c np. funkcje +, + 7 + +, 3 + 5) 37, 3. Funkcje 9) 00 3, + 000 u lmkmi prostymi nie s. Jsne jest, że u lmki proste s nieskrclne. + 3 + Twierdzenie o przedstwiniu funkcji wymiernej w postci sumy u lmków prostych Kżd funkcje wymiern możn przedstwić w postci sumy wielominu i u lmków prostych. Przedstwienie tkie jest jednoznczne z dok ldności do kolejności sk ldników, jeśli kżdy minownik może wyst pić tylko rz, wszystkie liczniki s różne od 0. Dowód. L Jsne jest, że kżd funkcje wymiern przedstwić możn w postci sumy wielominu i funkcji M wymiernej, której licznik jest wielominem stopni niższego niż minownik wystrczy podzielić licznik z reszt przez minownik: L = QM + R, wtedy L M = Q + R. Drug obserwcj to stwierdzenie, że jeśli minownik M jest iloczynem dwóch wielominów wzgle dnie pierwszych M = M M M, to możn funkcje wymiern zpisć w postci sumy funkcji wymiernych o minownikch M i M. Wystrczy skorzystć z twierdzeni podstwowego o njwie kszym wspólnym dzielniku: istniej wielominy L i L tkie, że = L M + L M, ztem R M = RL M + L M ) = RL + RL. M M M M Te uwgi pozwlj n stwierdzenie, że funkcje wymiern możn przedstwić w postci sumy wielominu i funkcji wymiernych, których minowniki mj stopnie wie ksze niż liczniki i nie możn ich przedstwić w postci iloczynu wielominów wzgle dnie pierwszych stosujemy indukcje wzgle dem stopni minownik). Jeśli wielominu nie możn przedstwić w postci iloczynu wielominów wzgle dnie pierwszych, to musi być on pote g wielominu nierozk ldlnego: w rozk ldzie n czynniki nierozk ldlne może wyste powć tylko jeden czynnik, oczywiście może on wyst pić wielokrotnie. Nste pnie możn zmniejszć stopień licznik dziel c go z reszt przez nierozk ldlny czynnik minownik. To kończy to nieco gwe dzirskie uzsdnienie istnieni rozk ldu. Kolej n jednoznczność. Z lóżmy, że w + p = w + p, gdzie w, w, p, p, q, q s wielominmi przy czym q q degp i ) < degq i ) dl i =,. W tej sytucji mmy w w )q q = p q p q. Oczywiście degq q ) > degp q p q ), ztem degw w ) < 0, le to ozncz, że w w = 0, czyli w = w. St d utomtycznie wnioskujemy, że p = p. Wobec tego możemy sie zjmowć jedynie funkcjmi wymiernymi, których minownik m stopień wie kszy niż licznik. Zuwżmy q q jeszcze, że sumuj c u lmki proste o różnych minownikch i niezerowych licznikch otrzymujemy u lmek 4
nieskrclny. Jeśli bowiem v jest wielominem nierozk ldlnym, który wyste puje w minownikch rozwżnych u lmków prostych, m jest njwie kszym wyk ldnikiem z jkim v wyste puje, to po sprowdzeniu sumy do wspólnego minownik njniższego stopni liczniki wszystkich pozost lych sk ldników be d podzielne przez v, tylko w tym jednym przypdku be dzie inczej. Wobec tego otrzymny u lmek nie d sie skrócić przez v, w rozk ldzie minownik n czynniki pierwsze żdne wielominy poz wyste puj cymi w minownikch sk l dników rozptrywnej sumy nie mog sie pojwić. Wobec tego kżde dw oszcze dne przedstwieni jednej funkcji wymiernej musz dć ten sm minownik: ten który otrzymujemy zpisuj c j w postci nieskrclnej. Z lóżmy terz, że u v m + p q = ũ + orz < degu) < degv), < ũ < degv), < degp) < degq), vn p q < deg p) < deg q), p, q s wzgle dnie pierwsze, p, q też s wzgle dnie pierwsze, wielomin q nie dzieli sie przez v m, wielomin q jest niepodzielny przez v n. Wtedy m = n i u = ũ, bowiem jeśli np. m n, to u ũv m n )q q = pq p q)v m. Niech k ozncz mniejszy z dwóch wyk ldników z jkimi v wchodzi w rozk ld n czynniki pierwsze wielominów q i q. Wtedy prw stron otrzymnej równości jest podzieln przez v m+k, ntomist iloczyn q q przez te pote ge v nie jest podzielny ni q ni q nie dzieli sie przez v m ). Wobec tego wielomin u ũv m n jest podzielny przez v. To jednk jest możliwe jedynie wtedy, gdy m = n bo u przez v sie nie dzieli) i jednocześnie u = ũ bo stopnie u i ũ s mniejsze niż degv) ). Wykzliśmy, że przy sformu lownych z lożenich u v m = ũ v n, wie c również p =. T obserwcj pozwl n zkończenie dowodu jednoznczności przedstwieni: zmniejszmy indukcyjnie mksymlny stopień z jkim wyste puj pote gi q p q wielominów nierozk ldlnych w nszej sumie u lmków prostych. Uwg. W zsdzie wykorzystywć be dziemy jedynie istnienie rozk ldu, le ze wzgle dów estetycznych podliśmy również twierdzenie o jednoznczności rozk ldu n sume u lmków prostych. Wrto też dodć, że rozwżne bywj również nieskończone sumy u lmków prostych. Przedstwinie funkcji w tkiej postci pozwl niejednokrotnie n zre czniejsze bdnie ich w lsności. Opercj odwrotn do różniczkowni nzywn jest c lkowniem. Dn funkcj trktown jest jko pochodn pewnej funkcji, któr trzeb znleźć. Zczniemy od definicji. Definicj funkcji pierwotnej czyli c lki nieoznczonej Niech G IR be dzie sum pewnej rodziny prmi roz l cznych przedzi lów. Jeżeli f: G IR jest funkcj n zbiorze G, to kżd funkcje F : G IR, dl której równość F ) = f) m miejsce dl kżdego G nzywmy funkcj pierwotn lub c lk nieoznczon funkcji f. Stosujemy oznczenie F ) = f)d. Zuwżmy, że jeśli F jest funkcj pierwotn funkcji f, to dl kżdej liczby rzeczywistej C 5
funkcj F + C też jest funkcj pierwotn funkcji f. Zchodzi Twierdzenie o jednoznczności funkcji pierwotnej Jeśli P jest przedzi lem, f: P IR funkcj F i F jej funkcjmi pierwotnymi, to istnieje liczb C IR, tk że dl kżdego P zchodzi równość F ) = F ) + C. Tez wynik ntychmist z tego, że pochodn funkcji F F równ 0, wie c funkcj F F jest st l. jest funkcj tożsmościowo Podkreślić od rzu wypd, że jeśli dziedzin nie jest przedzi lem, to tez przestje być prwdziw. Funkcj ln jest funkcj pierwotn funkcji. Niech F ) = ln. Niech F ) = + ln dl > 0 i F ) = ln ) dl < 0. Jsne jest, że F ) = dl kżdego 0, wie c F jest funkcj pierwotn funkcji ln, podobnie jk F. Funkcj F F przyjmuje jednk dwie wrtości, minowicie 0 dl < 0 orz dl > 0. Nie jest wie c st l, chociż jest st l n kżdym przedzile zwrtym w dziedzinie funkcji f. Czsmi tk funkcje nzywmy loklnie st l. W dlszym ci gu be dziemy, zgodnie z przyje tym zwyczjem, pisć f)d = F ) + C, jeśli F jest jk ś funkcj pierwotn funkcji f, przy czym C oznczć tu be dzie zwsze funkcje loklnie st l, czyli funkcje, któr jest st l n kżdym przedzile zwrtym w dziedzinie funkcji f. Przyk ldy. d = + C.. e d = e + C. 3. cos d = sin + C. 4. sin d = cos + C. 5. d = ln + C. 6. d = + + + C dl i kżdego, dl którego funkcj jest określon jeśli k > 0 jest liczb wymiern postci, k, m c lkowite, to dziedzin tej funkcji jest IR, m + k jeśli < 0 jest liczb wymiern postci, k, m c lkowite, to dziedzin jest zbiór m + wszystkich liczb rzeczywistych z wyj tkiem 0, jeśli > 0 jest liczb rzeczywist innej postci k to dziedzin jest [0, ), w przypdku < 0, które nie jest postci, k, m c lkowite, m + dziedzin jest 0, ) ). 7. d = rctg + C. + Te wzory nleży zpmie tć. Jsne jest, że nie kżd funkcj m funkcje pierwotn. Niech f) = 0 dl 0 i niech f) = dl > 0. Jeśli F jest funkcj pierwotn funkcji f, to dl 0 mmy F ) = 0, wie c funkcj F jest st l n pó lprostej, 0]. Dl > 0 mmy F ) =, wie c musi istnieć st l liczb c, tk że F ) = +c dl kżdego > 0. Poniewż F m 6
być funkcj różniczkowln w kżdym punkcie, w szczególności w punkcie 0, wie c musi być F ) = c dl 0 orz F ) = + c dl > 0. Niestety tk zdefiniown funkcj nie m pochodnej w punkcie 0 : lewostronn pochodn to 0, prwostronn to. Jest to ilustrcj ogólnego zjwisk. Udowodniliśmy przecież, że jeśli funkcj m funkcje pierwotn, czyli jest pochodn pewnej funkcji, to n kżdym przedzile przys luguje jej w lsność przyjmowni wrtości pośrednich, czyli w lsność Drbou. Wrunek ten jest konieczny, le niestety niedostteczny. Możn ntomist udowodnić Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ci g lej Jeśli f: P IR funkcj ci g l n przedzile P, to f m n nim funkcje pierwotn. Dowód. szkic: nie zdefiniowliśmy nwet pol, tym brdziej nie wykzliśmy żdnych jego w lsności!) Z lóżmy njpierw, że funkcj f jest dodtni. Niech 0 P i niech 0. Niech F ) ozncz pole obszru ogrniczonego z do lu odcinkiem [ 0, ], z góry wykresem funkcji f, z lewej strony prost ) 0 pionow przechodz c przez punkt, z prwej strony prost pionow przechodz c przez 0 punkt 0 ). W przypdku < 0 zmist pol nlogicznego obszru rozwżmy liczbe ujemn, której wrtości bezwzgle dn jest odpowiednie pole. Wykżemy, że F ) = f) w przypdku > 0 pozostwij c rozwżenie drugiego przypdku, c lkowicie nlogicznego, czytelnikom. Z lóżmy, że h > 0 jest tk m l liczb dodtni, że + h P. W tej sytucji F + h) F ) jest polem obszru ogrniczonego z do lu odcinkiem [, + h], z góry wykresem funkcji f, z lewej strony ) prost pionow przechodz c przez, z prwej strony prost pionow przechodz c przez 0 + h 0 ). Z rysunku i ze znnego wzoru n pole prostok t widć, że inf{ft): t + h} F + h) F ) h sup{ft): t + h} obszr opisny przed chwil zwier prostok t o wysokości inf{ft): t +h} i podstwie h i jest zwrty w prostok cie o wysokości sup{ft): t +h} i podstwie h. Z ci g lości funkcji f wynik, że lim inf{ft): h 0 + t + h} = f) = lim h 0 + sup{ft): t + h}. St d F + h) F ) i z twierdzeni o trzech funkcjch wynik od rzu, że lim = f). Minimln h 0 + h F + h) F ) modyfikcj tego rozumowni pokzuje, że również lim = f). Jeśli funkcj h 0 h f przyjmuje również wrtości ujemne, lub tylko ujemne, to możn do niej dodć liczbe dodtni tk duż, by wrtości nowej funkcji w punktch 0, i + h orz wszystkich leż cych mie dzy nimi by ly dodtnie. Możn to zrobić, bo funkcj ci g l n przedzile domknie tym jest ogrniczon rozptrujemy być może tylko cze ść dziedziny, le tk wolno poste powć, bo interesuj ns jedynie wrtości przyjmowne przez ni w okolicch. N tym zkończymy szkicownie dowodu. Dowód istnieni funkcji pierwotnej m wyjśnić zwi zek c lki z polem. w istocie rzeczy pierwsze wzory n pol figur brdziej skomplikownych uzyskno już w strożytności ko lo, prbol, po- 7
wierzchni kuli itd.). Istotny poste p uzyskny zost l dzie ki Archimedesowi. Jednk jego pomys lowe rozumowni d lugo musi ly czekć n kontynutorów. W prktyce nste pne powżne osignie ci w tej dziedzinie uzyskno dopiero dzie ki zuwżeniu zwi zku liczeni pól, obje tości z różniczkowniem. Rezultty Archimedes i jego wspó lczesnych st ly sie terz bnlnymi zdnimi, z którymi rdzi sobie wielu studentów, choć wielu z nich mi loby istotne trudności ze zrozumieniem tego, co pis l Archimedes nwet po przet lumczeniu n polski lub inny je zyk dl nich zrozumi ly). Wrto też wyrźnie stwierdzić, że choć wiemy, że funkcje ci g le mj funkcje pierwotne, to jednk nie zwsze dje sie je wyrzić z pomoc funkcji, którymi do tej pory operujemy, wiele z nich to tzw. funkcje nieelementrne. Wżny przyk ld to e. Jej funkcji pierwotnej nie możn wyrzić z pomoc wielominów, sinus, kosinus, funkcji wyk ldniczej, funkcji odwrotnych do wymienionych, jeśli dopuścimy dzi lni rytmetyczne i sk ldnie funkcji. Tego typu twierdzeni ud lo sie wykzć w drugiej po lowie XIX wieku. Ich dowody, nwet dok ldniejsze omówienie, dleko wykrczj poz progrm nuczni mtemtyki w wyższych uczelnich, z wyj tkiem niektórych wydzi lów mtemtyki. Wspominmy jednk o tych twierdzenich, bo funkcj e jest jedn z cze ściej używnych w sttystyce. Z przyczyn podnych przed chwil stworzono tblice jej c lek, możn wybierć funkcje pierwotn tk, by jej grnic przy by l liczb 0. Drug przyczyn to ostrzeżenie, że problemy wygl dj ce n elementrne czsem s nierozwi zywlne. Jest wiele innych funkcji tego typu, sin np., sin, A 4 + B 3 + C + D + E przy z lożeniu, że wyrżenie pod pierwistkiem jest wielominem stopni > i to nie szczególnie dobrnym 4 + + nie powoduje żdnych k lopotów, bo pierwistek to tylko dekorcj!). Cze sto też pozornie m l zmin zmieni zsdniczo trudność problemu, który trzeb rozwi zć: c lk z funkcji e jest nieelementrn, ntomist e d = e + C! Wniosek z dowodu twierdzeni o istnieniu pochodnej funkcji ci g lej Jeśli funkcj f jest ci g l i nieujemn n przedzile [, b], F jest funkcj pierwotn funkcji f, to { ) } pole obszru A = : b, 0 y f), tzw. pole pod wykresem funkcji f, równe y jest F b) F ). Dowód. W dowodzie twierdzeni o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji wskzliśmy funkcje pierwotn F funkcji f, dl której wzór wypisny we wniosku m miejsce. Ze wzgle du n twierdzenie o jednoznczności funkcji pierwotnej różnic F b) F ) nie zleży od wyboru funkcji pierwotnej różne funkcje pierwotne n przedzile różni sie o st l ). Definicj c lki oznczonej Newton C lk oznczon funkcji f: [, b] IR nzywmy liczbe fb) F ), gdzie F ozncz funkcje 8
pierwotn funkcji f. Stosujemy oznczenie b f)d = F b) F ). Stosujemy też inne oznczenie: F b) F ) = F ) b b, wie c możn pisć f)d = F ) b. 8. 9. 0. Przyk ldy b b d = b, bo pole prostok t o podstwie b i wysokości równe jest b. d = b, bo d = b + C. To też żdn senscj. Jeśli 0, to d to pole trpezu o podstwch i b, którego wysokość równ jest b, czyli b+)b ). Jeśli b 0, to podstwy trpezu równe s = orz b = b, wysokość równ jest b, ztem c lk jest liczb przeciwn do pol, wie c równ jest ) b b+ ) b ) =. Pozost l jeszcze jeden przypdek: < 0 < b. Mmy oczywiście b d = 0 d + b 0 d. Wobec tego tym rzem c lk równ jest różnicy pól dwóch trójk tów prostok tnych równormiennych o rmionch i b. Te pol to oczywiście b i, c lk równ jest b ). d = 3 0 3, bo d = 3 3 + C. Wobec tego pole pod prbol równe jest 3 pol ) ) ) ) 0 0 prostok t o wierzcho lkch,,, 0 0. Wzór ten znny by l już Archimedesowi, le jego wyprowdzenie nie znno jeszcze wtedy c lek by lo brdzo trudne. Oblicznie c lek jest n ogó l dosyć trudne, wymg pomys lowości. My podmy kilk prostych wzorów i pokżemy jk możn je stosowć w prostych sytucjch. Obecnie istniej liczne progrmy komputerowe, np. Mthemtic, Mple, Derive, z pomoc których możn obliczyć wiele c lek. Tym nie mniej wrto znć podstwowe wzory i umieć stosowć w prostych sytucjch. Twierdzenie o c lce sumy dwu funkcji. Z lóżmy, że funkcje f i g mj funkcje pierwotne. Wtedy funkcje f ± g też mj funkcje pierwotne i zchodz wzory f) ± g) ) d = f)d ± g) d orz b ) b f) ± g) d = f)d ± b g)d. Pierwszy z tych wzorów wynik od rzu z tego, że pochodn sumy jest sum pochodnych, różnicy różnic pochodnych. Wzór drugi wynik z pierwszego. Twierdzenie o c lce iloczynu funkcji przez liczbe Jeśli funkcj f m funkcje pierwotn, to dl kżdej liczby rzeczywistej c funkcj cf m funkcje 9
pierwotn i zchodzi równość cf)d = c f)d. Dl c lki oznczonej b cf)d = c b f)d. Wzory wynikj od rzu z odpowiednich w lsności pochodnej. Z obliczniem c lki iloczynu jest o wiele gorzej, bo wzór n pochodn iloczynu jest brdziej skomplikowny, zreszt istniej funkcje nieci g le), które mj funkcje pierwotne ich iloczyn nie. Podmy terz dw twierdzeni, które w niektórych sytucjch pozwlj uprościć oblicznie c lki z iloczynów brdzo szczególnej postci. Twierdzenie o c lkowniu przez cze ści Z lóżmy, że funkcje f i g mj ci g le pochodne. Wtedy zchodzi wzór: f )g)d = f)g) f)g )d. Dl c lki oznczonej b f )g)d = f)g) b b f)g )d = fb)gb) f)g) b f)g )d. Wzór ten jest ntychmistow konsekwencj twierdzeni o pochodnej iloczynu. Twierdzenie o c lkowniu przez podstwienie Z lóżmy, że funkcje f i g s ci g le orz że F jest funkcj pierwotn funkcji f. Wtedy fg))g )d = F g)) + C Dl c lki oznczonej b fg))g )d = gb) g) F y)dy = F gb)) fg)). Ten wzór wynik ntychmist z twierdzeni o pochodnej z lożeni dwu funkcji. Osttnie dw twierdzeni w po l czeniu z poprzednimi stnowi dobr podstwe do znjdowni c lek z licznych funkcji zdefiniownych elementrnie. Znim pokżemy, jk możn to robić powiemy jkie oznczeni s cze sto stosowne. Umow w kwestii oznczeń Zmist pisć g )d be dziemy pisć dg) ; jeśli y = g), to piszemy dy = g )d = dg). Zuwżmy, że jeśli funkcj g jest różnowrtościow, czyli m funkcje odwrotn g, to równość y = g) równowżn jest równości = g y). Wtedy, zgodnie z przyje t umow, możemy 0
npisć d = dg )y) = g ) y)dy. N mocy twierdzeni o pochodnej funkcji odwrotnej mmy ) g ) y) = g ) g) = g ). Wobec tego d = d g ) y) = g dy, co w świetle wzoru ) dy = dg) = g )d, wygl d n zupe lnie oczywiste stwierdzenie. Jednk nleży pmie tć o tym, że symbole d, dy nie oznczj liczb, w ogóle nie by ly przez ns zdefiniowne. Wyste puj jedynie w po l czeniu z innymi. Wobec tego nie jest c lkiem jsne, czy regu ly dzi lń n liczbch mj zstosownie również w tym przypdku, dok ldniej: które regu ly pozostj w mocy. Okz lo sie, że wnioskownie, jeśli dy = g )d, to d = g dy m sens dzie ki twierdzeniu o pochodnej ) funkcji odwrotnej! Przypomnieć wypd, że oprócz stosownego przez ns oznczeni pochodnej y = g ) stosowne jest oznczenie dy d = dy g ). Symbol jest oznczeniem pochodnej, nie jest d u lmkiem. Możn go jednk trktowć jk ilorz. Czytelnicy przekonj sie jeszcze wiele rzy, że uprszcz to mnipulownie wzormi. Zuwżmy jeszcze, że jeśli = ht), to oprócz równości dy = g )d mmy też d = h t)dt. Chci loby sie wywnioskowć z tych wzorów, że dy = g )h t)dt. Możn to zrobić, bo y = g ht) ), wie c dy = g h) t)dt, le n mocy twierdzeni o pochodnej z lożeni g h ) t) = g ht) ) h t), ztem również dy = g ht) ) h t)dt. Widć wie c znów nlogie dy z u lmkmi: dt = dy d d dt, czyli dy = g h) t)dt = g ht))h t)dt = dy d d dt. Zkończymy te dt przyd lugie rozwżni n temt oznczeń stwierdzeniem, że wzór n c lkownie przez cze ści zwykle zpisywny jest w postci: f)g )d = f dg = fg g df = f)g) g)f )d wzór n c lkownie przez podstwienie w postci: fg))g )d = fy)dy... 3. 4. Przyk ldy e y= d ======= e y dy= d dy = ey + C = e + C. e y= d ======= e y dy=d dy = e y dy = ey + C = e + C. sin tg d = cos d y=cos =========== dy = ln y + C = ln tg + C. dy= sin d y r =r sin t r d ========== r r sin t r cos tdt = cos t r cos tdt = d=r cos t dt + cos t = r cos tdt = r u=t + cos u dt ====== r du du=dt = r u + sin u ) + C = = t r + ) sin t + C = r r t + sin t cos t) + C = rcsin r + r + C w tym przypdku przyje liśmy = r sin t, możemy przyj ć, że π π, bo wtedy be dzie przyjmowć wszystkie wrtości z przedzi lu [ r, r], w tej sytucji cos t 0 i wobec tego zchodzi równość cos t = cos t.
r 5. r d = [ r rcsin r r r + r r r r rcsin r ] r r) r r) = = [ r rcsin ] = r π = πr. Skorzystliśmy tu oczywiście z wyniku otrzymnego w przyk ldzie poprzednim. Obliczn c lk okz l sie po low ko l o promieniu r, co nie jest ) 0 specjlnie dziwne, bo wykresem funkcji r jest górn po low okre gu o środku i 0 promieniu r, wie c pole pod wykresem to po low pol ko l o promieniu r. 6. e d = e ) d c lkujemy ========== e ) e d = e e d = e e + C. przez cześci 7. 8. 9. 0... 3. e d = e ) c lkujemy d ========== e ) e d = e e d = przez cześci = e e d ========= poprzedni e e e )+C = e +)+C. W tym przyk ldzie przyk ld skorzystliśmy z wyniku uzysknego w poprzednim. Widć, że poste puj c nlogicznie możn obliczć c lki z funkcji 3 e, 4 e itd. jednokrotne c lkownie przez cze ści obniż stopień wielominu, przez który mnożymy funkcje wyk ldnicz o, wie c wielokrotne pozwl n pozbycie sie go, czyli sprowdzenie problemu do obliczeni c lki e d, z tym już umiemy sobie pordzić. e 3 d = 3 e3) c lkujemy d ========== przez cześci 3 e3 3 ) e 3 d = 3 e3 3 e 3 d = = 3 e3 9 e3 + C osttnie c lkownie przez podstwienie y = 3 ) potrktowliśmy już jko n tyle oczywiste, że nwet tego specjlnie nie zznczyliśmy. cos5)d = 5 sin5)) c lkujemy d ========== 5 sin5) 5 ) sin5)d = przez cześci = 5 sin5) 5 sin5)d = 5 sin5) 5 5 cos5)) + C = = 5 sin5) + 5 cos5) + C. c lkujemy ln d ========== ln dln ) = ln przez cześci d = ln d = c lkujemy rcsin d ========== przez cześci y= ========= rcsin + dy= d d 3 = rcsin + y= 3 ======= dy=d + 3 + d = rcsin Możn spodziewć sie, że wyrżenie drcsin ) = rcsin dy = rcsin + y y / dy = + /)) y+ /) + C = rcsin + 4 y dy = ln y + C = ln 3 + C. + ) + ) d. + 3 + = ln + C. d = ) / + C = = rcsin + 4 + C. jest sum u lmków postci A + orz B +.
Aby równość + 3 + = A + + B mi l miejsce musi być = A+)+B+) dl + wszystkich liczb rzeczywistych,. Wobec tego musi być A + B = i A + B = 0, wie c A = i B =. Mmy wie c + 3 + d = + d + + d = = ln + + ln + + C = ln + ) + + C. Metod zsygnlizown w przyk ldzie 3 to tzw. rozk ld n u lmki proste. Poleg on n tym, że funkcje wymiern, czyli ilorz dwóch wielominów przedstwimy w postci sumy wielominu i u lmków prostych, tj. u lmków postci, gdzie, c IR, n IN lub postci A + c) n A + B + p + q) n, gdzie A, B, p, q IR, n IN orz p 4q < 0. Wykzliśmy wcześniej, że tki rozk ld funkcji wymiernej zwsze istnieje. Dowód możn znleźć też w ksi żkch. Pokżemy n kilku przyk ldch jk t metod dzi l. Autor nie s dzi, by wszyscy studenci musieli j opnowć ze wszystkimi szczegó lmi, powinni jednk zpoznć sie z kilkom przyk ldmi, by nie wpdć w zdumienie, gdy ktoś be dzie rozk ldć funkcje wymierne n u lmki proste przy okzji ich c lkowni, rozwijni w szereg pote gowy lub w innych przypdkch i mieć wyobrżenie jk możn rozk ld n u lmki proste znleźć. 3 ) 4. + + d = + + ) ) + + 4 + ) d = + + + d = + + = + + + + d + + + d = + + ) + + + d + + + ) + d + ) c lkujemy ================ przez podstwieni + ln + + ) + rctg + ) + C. To wygl d troche n stosownie jkichś sztuczek. Tk jednk nie jest. Możn by lo przewidzieć jk be d wygl dć u lmki proste, których sum be dzie dn funkcj wymiern. Stopień licznik jest o jeden wie kszy niż stopień minownik, wie c powinien wyst pić wielomin stopni pierwszego orz u lmek, którego licznik jest wielominem stopni nie wie kszego niż, minownik równy jest ++. Możn wie c by lo spróbowć npisć + + = +b+ p + q + +. Po pomnożeniu przez minownik otrzymujemy równość 3 = + b) + + ) + p + q = = 3 + + b) + + b + p) + b + q). Z równości wielominów wynik równość ich wspó lczynników przy odpowiednich pote gch zmiennej. Musz wie c być spe lnione równości =, 0 = + b, 0 = + b + p orz 0 = b + q. Otrzymliśmy uk ld czterech równń z czterem niewidomymi. Terz trzeb go rozwi zć, co w tym przypdku nie stnowi żdnego problemu: + b = =, p = b = i wreszcie q = b = 4. Poźniej po prostu obliczyliśmy pochodn minownik i zpisliśmy licznik w postci st l pochodn 3 W rzeczywistości poniewż funkcje orz A+)+B+) s ci g le we wszystkich punktch, w tym w punkcie = i w punkcie =, równość musi mieć miejsce również dl =,. zob. G.M.Fichtenholz t. II. 3
minownik + inn st l, co u ltwi lo ostteczne obliczenie c lki. 5. Obliczymy d. Zczniemy od rozk ldu n u lmki proste. W tym celu przedstwimy + 4 minownik w postci iloczynu wielominów stopni nie wie kszego niż. Mmy 4 + = + ) = + ) ) = + ) + + ). Terz znjdziemy liczby rzeczywiste, b, c i d, tkie że dl kżdej liczby rzeczywistej zchodzi równość + 4 = + b + + c + d + +. Mnoż c te równość przez + 4, skrcj c co sie tylko d i porz dkuj c otrzymujemy: = + b) + + ) + c + d) + ) = = b+d)++b +c d )+ b + + d c ) + 3 +c). Porównuj c wspó lczynniki przy tych smych pote gch zmiennej otrzymujemy b + d =, + c + b d) = 0, b + d + c) = 0, + c = 0. Jest wie c to uk ld czterech równń z czterem niewidomymi. Poniewż + c = 0 równnie czwrte), wie c z drugiego równni możemy wywnioskowć równość b = d, z niej i z równni pierwszego wynik, że b = d =. Z równni trzeciego i już uzysknych wyników wynik, że = c =. Wobec tego mmy równość + 4 = + + + + + +. Terz wystrczy sc lkowć ob sk ldniki. Sc lkujemy drugi, bo m lepszy wygl d zewne trzny mniej minusów). Mmy + + + d = + 8 + + d = + + ) + = 8 + + + ) d = + 8 + + d + 4 + + d = = 8 ln + ) + + ) 4 d = + + 8 ln + ) + + + 4 = ) d = + + 8 ln + + ) + + ) + d + ) = 8 ln + ) + + rctg ) + +C. Terz możn obliczyć drug c lke w tki sm sposób, le nie m tkiej potrzeby. Wystrczy zuwżyć, że + + d u= ======= du= d = u + u + u + du) = 8 ln u + u ) + rctg u ) + + C = = 8 ln ) + rctg ) + + C = = 8 ln ) + + rctg ) + C. Dodj c obliczone c lki otrzymujemy + 4 d = 8 ln + + + + rctg + ) + rctg )) + C. W ten sposób obliczyliśmy te c lke. Pokżemy jk możn to zrobić nieco inczej. Zuwżmy, 4
że + 4 = + + 4 + + ) + 4. Wobec tego możn obliczyć dwie c lki: d orz + 4 d. Możn je oczywiście obliczyć rozk ldj c funkcje podc lkowe n u lmki proste, + 4 le nie jest to konieczne. Zchodz równości + 4 d = + d = d + ) y=+/ dy ) + ========= dy= / y = = ) y + y dy = ln y + ln y ) + C = = ln y + y + C = ln + + + + C = ln + + + + C. Pierwsz c lk zost l znlezion. Terz zjmiemy sie drug. + + 4 d = + + d = d ) y= / ) ========= dy=+/ + ) = d y + y z=y/ ) ) ========== dz=dy/ ) dy y + = dz + z = rctg z + C = rctg z = = ) y rctg = rctg ) + C. d Wobec tego otrzymujemy + 4 = ln + + + + rctg ) + C.* Widzimy wie c, że otrzymliśmy wynik nieco inny niż poprzednio! Możn jednk sie przekonć, ) + b że jest to ten sm wynik. Wystrczy skorzystć z wzoru rctg + rctg b = rctg b by przekonć sie o jego prwdziwości wystrczy obliczyć wrtość tngens obu stron tej podejrznej równości korzystj c z wzoru n tngens sumy dwóch k tów potem jeszcze troche pome czyć sie z jej interpretcj np. dl = 0 ; wg drugiej wersji wzoru funkcj pierwotn w punkcie 0 określon nie jest, wg. pierwszej jest, z cytownych twierdzeń ogólnych wynik, że powinn być określon n c lej prostej. Pokzliśmy wie c dwie metody, otrzymliśmy n tyle różnie wygl dj ce wyniki, że niewielu studentów pierwszego roku stwierdzi loby, że to w istocie rzeczy ten sm wynik różni cy sie jedynie zpisem. To dosyć cze ste zjwisko przy c lkowniu, le nie be dziemy tych problemów omwić, zsygnlizowliśmy jedynie zjwisko. 5 6. Obliczymy c lke d. Możn jk w przyk ldch poprzednich przedstwić funkcje podc lkow w postci u lmków prostych, le w tym konkretnym przypdku widć od rzu prostsz + 4 5 metode. Mmy bowiem + 4 d y= y ======== dy= d + y dy = ) + y dy = = y rctg y) + C = rctg ) + C. * Powinn wyst pić sum dwu st lych, le to i tk jest dowoln st l, rczej funkcj st l n kżdym przedzile zwrtym w dziedzinie, wiec nie m potrzeby zmienić oznczeń. 5
7. Obliczymy c lke e sin 3d. Be dziemy c lkowć przez cze ści dwukrotnie. e sin 3d = = e ) sin 3d = e sin 3 e sin 3) d = e sin 3 3 e cos 3 = = e sin 3 3 e ) cos 3d = 4 e sin 3 3 4 e cos 3 + 3 e cos 3) d = 4 = e sin 3 3 4 e cos 3 9 e sin 3d. 4 Ud lo nm sie wie c w wyniku kilku przekszt lceń sprowdzić oblicznie c lki e sin 3d do obliczni tej smej c lki! To nie jest bez sensu wbrew pozorom: uzyskliśmy równnie, w którym niewidom jest poszukiwn c lk. Strczy je terz rozwi zć. Otrzymujemy równość e sin 3d = 3 e sin 3 3 3 e cos 3 + C 8. St lej C w równniu nie by lo, le terz musi sie pojwić. Równość c lek nieoznczonych ozncz jedynie, że różnic mie dzy tymi funkcjmi pierwotnymi jest funkcj loklnie st l, wie c gdy wszystkie c lki znjduj sie po jednej stronie równości trzeb dopisć C po drugiej stronie tej równości. 4 =tg t + d ============= d=+tg t) dt cos t = 4 cos 3 t dt = 4 cos 4 t dt = 4 = y + ) dy = + y y) + y = y) + y + ) + y + + y) = = 4 + 4tg t + tg t)dt = 4 cos t cos t sin t ) dt y=sin t ========= = 4 dy=cos t dt + y + + y) y) + y) + + y) + + y) ) dy = ) cos dt = t dy y ) = ) dy = = y) ln y + ln + y + y) + C = = y y + ln + y y + C. Wypd powrócić do zmiennej. Podstwiliśmy = tg t. Możemy oczywiście zk ldć,że t < π, bowiem kżd liczbe możn przedstwić w postci tg t wybierj c liczbe t z przedzi lu π, π ). Ten wybór liczby t gwrntuje, że cos t > 0, z czego zreszt już rz skorzystliśmy. Mmy wie c cos t = + tg t = + 4 = 4 +. St d wnioskujemy, że y zchodz równości y = sin t cos t = tg t cos t = 4 +. Mmy też ln + y y = = ln + y + y) + sin t) = ln y y = ln cos = ln + sin t ) = ln t cos t cos t + tg t = ) 4 + = ln + 4. Osttecznie + d = 4 ) 4 + + + ln + +C. Te równość możn uzyskć nieco szybciej stosuj c inne podstwieni tzw. podstwieni Eu- 6
ler), le nie be dziemy już tego robić. Ogólnie rzecz bior c wyrżeni zwierj ce jeden pierwistek kwdrtowy z wielominu pierwszego lub drugiego stopni możn sc lkowć stosuj c jkieś podstwienie trygonometryczne, jk w tym przyk ldzie, lub podstwieni Euler, o których mówić tu nie be dziemy lub też podstwieni hiperboliczne, którymi również nie be dziemy sie zjmowć. To s zmienne metody. W niektórych sytucjch jedne dj wynik szybciej niż inne, le które to zleży od c lkownej funkcji. N tym przyk ldzie kończymy demonstrcje metod c lkowni. Podkreślić nleży, że dlecy jesteśmy od wyczerpni temtu, le ekonomist powinien rczej wiedzieć, że s c lki, których obliczenie może zlecić komputerowi, może też pos lużyć sie tblicmi, jeśli nie lubi komputerów lub nie m progrmu, który umie liczyć c lki i wreszcie może skontktowć sie z jkimś mtemtykiem. Terz pokżemy kilk twierdzeń i nieco zstosowń c lek. Twierdzenie o porównywniu c lek Jeśli funkcje f i g mj funkcje pierwotne n przedzile [, b] i dl kżdego [, b] zchodzi nierówność f) g), to również b f)d b g)d. Dowód. Niech F i G oznczj funkcje pierwotne funkcji f i g. Mmy G ) F ) = = g) f) 0, ztem funkcj G F jest niemlej c. Wobec tego = Gb) G) F b) F ) ) = Gb) F b) ) G) F ) ) 0. Twierdzenie o wrtości średniej b g)d b f)d = Niech f: [, b] IR be dzie funkcj ci g l. Wtedy istnieje liczb c [, b], tk że zchodzi równość b f)d = fc)b ). Dowód. Wynik ntychmist z twierdzeni Lgrnge o wrtości średniej zstosownego do funkcji pierwotnej funkcji f. Wrtość średni funkcji. b ) Liczbe f)d = fc) b nzywmy wrtości średni funkcji f. Możn myśleć, że jeśli funkcj f przyjmuje jedynie wrtości dodtnie, to liczb f) d jest wysokości prostok t o podstwie b, którego pole równe jest polu pod wykresem funkcji f. Jeśli b f) b ozncz pre dkość w chwili, to wtedy f)d ozncz ilorz przebytej drogi b b f)d * przez czs b zużyty n jej przebycie, czyli średni pre dkość w tym ruchu. Nste pne przyk ldy, które motywuj te definicje pojwi sie niebwem i czytelnik z pewności je dostrzeże. b * Przypomnijmy, że jeśli F ) ozncz po lożenie poruszj cego sie punktu w momencie, to f)=f ) ozncz predkość w tym momencie, mówiliśmy o tym przy okzji definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej. 7
Twierdzenie o ddytywności c lki wzgle dem przedzi lu Jeśli < c < b i funkcj f m funkcje pierwotn n przedzile [, b], to zchodzi równość c Dowód. f)d = F c) F ) i b f)d = c f)d + b c f)d. Niech F ozncz funkcje pierwotn funkcji f. Wtedy b Punktem wyjści do wielu zstosowń c lki jest Twierdzenie o sumch Riemnn c b f)d = F b) F ), f)d = F b) F c). Z tych równości tez wynik ntychmist. Jeśli funkcj f: [, b] IR jest ci g l, to dl kżdej liczby ε > 0 istnieje liczb δ > 0, tk że jeżeli = 0 < < <... < n < n = b, i t i i orz t i t i < δ dl i =,,..., n, to zchodzi nierówność b f)d ft ) 0 ) + ft ) ) +... + ft n ) n n )) < ε. Dowód. Poniewż funkcj f jest ci g l n przedzile [, b], wie c n kżdym z przedzi lów [ i, i ] przyjmuje kresy. Niech m i ozncz kres dolny, M i górny. Wobec tego dl kżdego [ i, i ] zchodzi nierówność m i f) M i. Wobec tego, n mocy twierdzeni o porównywniu c lek zchodz nierówności: m i i i ) f)d M i i i ) dl i i =,,..., n. Dodj c te nierówności stronmi i korzystj c z twierdzeni o ddytywności funkcji wzgle dem przedzi lu otrzymujemy n m i i i ) i= b f)d i n M i i i ). Poniewż f jest ci g l n przedzile domknie tym [, b], wie c jest jednostjnie ci g l, czyli dl kżdego ε > 0 istnieje liczb δ > 0, tk że jeśli t s < δ, to ft) fs) < ε. Wobec tego b jeśli i i < δ, to M i m i < ε dl wszystkich i. St d od rzu wynik, że zchodzi: b n M i m i ) i i ) < ε n i i ) = ε. St d tez wynik ntychmist: obydwie liczby b i= i= n b n n ft i ) i i ) orz f) d leż mie dzy summi m i i i ) i M i i i ), i= których różnic jest mniejsz od ε. Dowód zost l zkończony. n n Sumy m i i i ) i M i i i ) nzywne s doln i górn sum Drbou, sum i= i= n ft i ) i i ) sum Riemnn. Istniej funkcje nieci g le, które mj funkcje pierwotne, czyli i= 8 i= i= i=
s c lkowlne w sensie Newton, dl których tez twierdzeni o sumch Riemnn nie zchodzi. Przyk ldów podwć nie be dziemy, zinteresowny czytelnik może je znleźć w pozycjch obszerniejszych, np. we wspominnym już drugim tomie ksi żki G.M.Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i c lkowy. Podmy jednk definicje c lkowlności w sensie Riemnn. Definicj funkcji c lkowlnej w sensie Riemnn Funkcj f: [, b] IR jest c lkowln w sensie Riemnn wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczb rzeczywist I, tk że dl kżdej liczby ε > 0 istnieje liczb δ > 0, tk że jeżeli = 0 < < < <... < n < n = b, i t i i orz t i t i < δ dl i =,,..., n, to zchodzi nierówność ft I ) 0 ) + ft ) ) +... + ft n ) n n )) < ε. Liczb I nzywn jest wtedy c lk Riemnn funkcji f n przedzile [, b] i oznczn symbolem b f)d. Z twierdzeni o sumch Riemnn wynik, że funkcje ci g le s c lkowlne w sensie Riemnn i że ich c lki Riemnn orz Newton to te sme liczby. Stosownie tego smego symbolu jest wie c w pe lni uzsdnione tym brdziej, że możn udowodnić, że jeśli funkcj nieci g l) jest c lkowln zrówno w sensie Riemnn jk i w sensie Newton, to obie c lki sie pokrywj. Prosty dowód niewymierności liczby π Mich l Krych, rtykulik z Delty W 76 roku niemieckiemu mtemtykowi, J.H.Lmbertowi ud lo sie udowodnić, że liczb π jest niewymiern. Jego dowód wykorzystyw l tzw. u lmki lńcuchowe. Podobny dowód znlz l nieco później Frncuz A.Legendre. Oko lo stu lt później Liouville sformu low l i udowodni l twierdzenie, które pozwoli lo wskzć konkretne liczby przeste pne, tj. tkie, które nie s pierwistkmi żdnego niezerowego wielominu o wspó lczynnikch c lkowitych. Po up lywie niewielu lt Hermite udowodni l, że jedn z njwżniejszych liczb w mtemtyce, liczb e jest przeste pn, wkrótce Lindemnn wykz l, że znn od strożytności liczb π również jest przeste pn.tym smym, okz lo sie, że kwdrtur ko l nie jest wykonln. O ile mi widomo, oko lo 956 roku I.Niven wzoruj c sie n wspomninym wyżej dowodzie Hermite, pod l dowód niewymierności π wykorzystuj cy jedynie njprostsze w lsności c lek, znne obecnie uczniom szkó l średnich. Jego rozumownie przytoczymy poniżej. Z lóżmy, że π = p q, gdzie p orz q oznczj liczby nturlne. Zdefiniujmy ci g c n) wzorem π c n = qn [π )] n sin d. Wykżemy,że, n! 0 lim c n = 0 ; n 9
c n > 0 dl kżdej liczby nturlnej n ; 3 c n jest liczb c lkowit dl kżdej liczby nturlnej n. Oznczć to be dzie, że przyje te z lożenie, że π = p prowdzi do sprzeczności, bo ci g dodtnich q liczb c lkowitych nie może być zbieżny do liczby 0. Udowodnimy w lsności, i 3 ci gu c n ). Jeśli 0 π, to π ) π 4 i sin 0, ztem zchodzi nierówność: qπ π π ) n π 0 [π )]n sin d 0. St d mmy 0 c n π n! 4 ) n n. Poniewż lim n n! = 0 dl kżdej liczby rzeczywistej, np. dl = qπ, wie c lim n! c n = 0, co kończy dowód w lsności. n C lkown funkcj jest dodtni wewn trz przedzi lu [0, π], wie c c lk z niej n tym przedzile jest dodtni, ztem c n > 0, co dowodzi, że w lsność również m miejsce. Wykżemy, że w lsność 3 również przys luguje ci gowi c n ). Ten frgment rozumowni jest njd luższy. Niech w ozncz wielomin stopni k. Pochodne funkcji w s wie c równe 0 pocz wszy od k + ej, czyli w j) ) = 0 dl j k + i dowolnej liczby. Zczniemy od obliczeni c lki nieoznczonej w) sin d. C lkuj c dwukrotnie przez cze ści otrzymujemy: w) sin d = w) cos + w ) cos d = w) cos + w ) sin w ) sin d. Sprowdziliśmy ztem problem do obliczeni c lki w ) sin d, wie c do tego smego zdni z tym jednk, że ud lo sie nm zmniejszyć o stopień wielominu, przez który wymnżmy sinus. Powtrzj c to rozumownie wielokrotnie i bior c pod uwge to, że pochodne wielominu w pocz wszy od pochodnej k + -ego rze du zeruj sie otrzymujemy wzór: w) sin d = cos [ w) + w ) w 4) ) +...] + sin [w ) w 3) ) +...], przy czym sumy w nwisch kwdrtowych s skończone, bo od pewnego momentu ich wszystkie sk ldniki s zermi. Niech w) = [π )] n. Oczywiście w) = wπ ). Wobec tego w j) ) = ) j w j) π ) dl j = 0,,,.... Jest również sin 0 = sin π = 0 orz cos 0 =, cos π =. Do stwierdzeni c lkowitości liczb c n wystrczy wie c, by liczby qn n! w0), q n q n n! w 0), n! w4) 0),... by ly c lkowite. Zchodzi równość: w j) ) = π n n ) n π n n+ + ) n π n n+ n 3) π n 3 n+3 + + ) n n) j). Jeżeli j < n, to kżdy sk ldnik sumy w j) ) zwier zmienn z dodtnim wyk ldnikiem, wie c w j) 0) = 0. Dlej mmy w n) 0) = n!π n, w n+) 0) = n + )! n ) π n, w n+) 0) = n + )! n ) π n,..., w n) 0) = ) n n)!. Jeśli wie c π = p qn, to liczby q n! wj) 0) s c lkowite dl kżdej nieujemnej liczby c lkowitej j. To stwierdzenie kończy dowód. W podobny sposób możn udowodnić, że jeśli cos r jest liczb wymiern, to r jest liczb niewymiern. 0