3 WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ziea watość pieiądza w czasie to ieodłączy atybut pieiądza właściwy ie tylko aszy czaso W teoii fiasów, okesowe płatości azywa się stuieie pieiędzy, pzepływe pieiędzy lub z agielskiego cash flow Ciąg wydatków dokoywaych w ówych odcikach czasu azywa się cash flow wypływów (ag cash outflow), a ciąg wpływów pieięŝych azwa się cash flow wpływów (ag cash iflow) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 oś czasu Rys Cash flow wypływów 0 3 4 5 6 7 8 9 0 oś czasu Rys Cash flow: wypływów (stzałki skieowae w dół) i wpływów (stzałki skieowae w góę) Lub po odjęciu wpłat i wypłat w 7 i 0 okesie - ys 0 3 4 5 6 7 8 9 0 oś czasu Rys Cash flow w 7 i 0 okesie został skopesoway dodatie i ujee pzepływy w ty say czasie edukują się
Ozaczeia: i - bieŝąca chwila czasu, i,,,,, - liczba lat lub ogóliej liczba okesów (poŝyczaia od kogoś lub iwestowaia), - opocetowaie, stopa pocetowa stała w czasie, i, i,,, i,,,, - opocetowaie, stopa pocetowa ziea w czasie, watość stopy pocetowej w i-ty okesie kapitalizacji wyosi i, - obeca (bieŝąca) watość kapitału (ag Peset value), 0,,, - watość kapitału bieŝąca dla chwili 0,,,, FV - pzyszła watość kapitału (ag futue value), FV FV,, FV, FV - watość pzyszła kapitału w chwili, (-),,, 0-0 Oczywiście FV 0, a w ozaczeiu FV często opuszczay ideks ; FV FV Pocete posty azywa się odsetki płacoe lub zaabiae wyłączie od podstawowej kwoty kapitału (ag siple iteest) Watość pzyszłą FV kwoty 0 opocetowaej pocete posty o stopie po okesach (latach) oŝa obliczyć ze wzou: FV + ** Wzó jest słuszy ówieŝ, gdy - jest iecałkowitą liczbą lat, - okes, po któy aliczae są odsetki ie jest okie, ale iy okese, jak a pzykład dzień, iesiąc, kwatał, półocze; wówczas ozacza stopę pocetową w ty okesie FV + * i i gdzie,,, - stopa opocetowaia w poszczególych okesach Pzykład 4 Jeśli pa Ada złoŝył do baku 0XXX oku 000zł a waukach opocetowaia postego, 0% oczie, to po oku jego koto wzośie o kwotę 0%*000zł 0*000zł 00zł Po kolejy oku jego koto wzośie o astępe 00zł i będzie posiadał a kocie juŝ 000 + 00 + 00 400zł Poces dopisywaia odsetek do kwoty kapitału azywa się kapitalizacją - odsetki są kuulowae z kwotą kapitału (ag copoudig) Okes, po któy dopisywae są odsetki do kwoty kapitału, azywa się okese kapitalizacji (ag copoudig peiod) Pocete składay (ag copoud iteest) azywa się odsetki płacoe lub zaabiae ie tylko od podstawowej kwoty kapitału ale i od zapłacoych lub zaobioych odsetek we wcześiejszy okesie ich aliczaia; o ile te odsetki ie zostały juŝ pzez poŝyczającego lub iwestującego wycofae (podjęte) Watość pzyszłą FV kwoty 0 z kuulacją odsetek o stopie pocetowaej po okesach (latach) oŝa obliczyć ze wzou: FV + ) *( + ) **( + ) ( + i ) i (, lub FV ( + ), dla Albo
FV * MWP, gdzie MWP - MoŜik Watości Pzyszłej po okesach i stopie pocetowej, MWP MWP(,) ( + ), któy oŝa odczytać w tablicach fiasowych Pzykład 4 (cd) Gdyby pa Ada złoŝył swoje pieiądze a pocet składay, 0% oczie z kapitalizacją oczą, to po oku bak dopisałby u, podobie jak w popzedi pzykładzie 0%*000 00zł Miałby więc a kocie 00zł Pocet składay ty óŝi się od pocetu postego, Ŝe w kolejy oku bak opocetowałby stopą 0% ie tylko kwotę kapitału piewotie złoŝoą w baku, a więc 000zł, ale kwotę kapitału powiększoą o dopisae a koiec popzediego oku odsetki Tak więc a koiec dugiego oku bak dopisałby kwotę 00zł*0% 40zł, czyli pa Ada posiadałby juŝ a kocie kwotę: 000zł + 00zł + 40zł 440zł, a więc o 40zł więcej iŝ w pzypadku opocetowaia kota pocete posty W kolejy oku bak aliczyłby pau Adaowi odsetki od kwoty 440zł, a ie jak w pzypadku pocetu postego od kwoty 000zł Poces obliczaia watości pzyszłej, z kuulacją odsetek, pzedstawia ysuek 7000 6000 FV (+) 0 FV (+) 0 5000 4000 3000 000 3 FV 3 (+) FV (+) FV (+) 4 FV (+) 4 000 oś czasu 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Rys Poces obliczaia watości pzyszłej Obliczeie watości pzyszłej (FV ) odpowiada a pytaie: jaka będzie watość pzyszła pewej kwoty () zaiwestowaej lub otzyaej dziś w okeśloych waukach ykowych? Często jedak tzeba odpowiedzieć a ie pytaie: ile jest wata w tej chwili kwota FV, któą otzya się w pzyszłości w okeśloych waukach ykowych? Odpowiedź a postawioe pytaie oŝa zaleźć obliczając watość obecą ( FV FV ( + i )) ( + ) *( + ) **( + ) i Dla stałej (takiej saej w kaŝdy okesie kapitalizacji) stopy pocetowej wzó pzybiea postać: FV FV *( + ( + ) ), dla Lub 3
FV * MWO, gdzie MWO - - oŝik watości obecej MWO MWO MWO(,) ( + ) Poces obliczaia watości obecej pzedstawia ysuek 30 40% 35% 30% 5% 0% 5% 5 0 0% 5 0 5 Lokesów 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 Rys Watość pzyszła zł dla óŝych stóp pocetowych i óŝej liczby okesów kapitalizacji 5% % 4
STOPA NOMINALNA Utało się, iŝ stopy pocetowe podaje się w watościach oialych, w doyśle oczych (ag Aual Pecetage Rate APR) Stopa oiala No jest to No FV-, gdzie watość kapitału a początku oku, FV watość kapitału a końcu oku, oaz okes kapitalizacji jest ówy ok Jest pzyjęte, Ŝe opocetowaie za jede okes kapitalizacji t kap ustala się ze wzou: No tkap t, gdzie ok t kap czas okesu kapitalizacji t ok czas jedego oku Stąd jeŝeli liczba okesów kapitalizacji w ciągu oku jest liczbą całkowitą, to t t co po podstawieiu do wzou daje (3 ok kap No ) MoŜa wypowadzić wzó a watość pzyszłą FV dla lat i okesów kapitalizacji Liczba okesów kapitalizacji w ciągu lat będzie ówa *, co po podstawieiu do wzou5 daje FV No ( + ), a poiewaŝ, więc wzó ostateczie pzyjie postać FV No +, gdzie () liczba kapitalizacji w ciągu oku, 5
liczba lat, a ie jak we wzoze5 liczba okesów No opocetowaie oiale W zakesie ustaleia długości oku a świecie stosuje się óŝe ustaleia W iektóych kajach istieje dowolość i uowa defiiuje długość oku, baki ustalają tę długość a 360 di lub 365 di lub zeczywistą długość oku kaledazowego W Polsce, po okesie paowaia dowolości w ty zakesie, został ustaloy dla depozytów bakowych ok zeczywisty, dla kedytów bakowych zgodie z uową kedytową, dla obligacji ok zeczywisty, 3 dla boów skabowych ok 360 diowy Stopą efektywą azywa się wielkość STOPA EFEKTYWNA FV- Stopa efektywa, gdzie watość kapitału a początku okesu, dla któego jest liczoa stopa efektywa, FV watość kapitału a końcu okesu, dla któego jest liczoa stopa efektywa, oaz okes kapitalizacji jest dowoly, czy óŝi się ta defiicja od defiicji stopy oialej Stopy efektywej uŝywa się aczej zadko, poiewaŝ pzy poówywaiu stóp pocetowych aleŝy poówywać opocetowaia za te sa okes 6
Z tego powodu wpowadzoo często uŝywae pojęcie oczej stopy efektywej (ag Effective Aual Rate EFF) FV- ef, gdzie watość kapitału a początku oku, FV watość kapitału a końcu oku, oaz okes kapitalizacji jest dowoly Efektywą oczą stopą pocetową pzy kapitalizacjach w ciągu oku azywa się taką stopę, któa dawałaby to sao opocetowaie pzy jedokotej, oczej kapitalizacji (ag effective aual ate - EFF) JeŜeli liczba kapitalizacji w ciągu oku jest ówa, to ze wzou dla czasu jedego oku ówego okeso kapitalizacji i ef ef FV- No ay + No + No, czyli + No Zawsze zachodzi ieówość (3) ef > No, poiewaŝ (4) No > No, + No + > + No + No > + No co jest oczywiste jeśli tylko No > 0 7
Wyika z tego, Ŝe kapitalizacja częstsza iŝ ok zwiększa efektywość opocetowaia i to ty badziej i większe jest : + No > + No, jeśli > oaz No > 0 Zaiast więc stosowaia kapitalizacji częstszej iŝ ocza oŝa uŝywać stopy efektywej i kapitalizacji oczej W pzypadku gdy stopy opocetowaia w poszczególych okesach kapitalizacji są óŝe, to oczywiście ef FV- (+ )(+ )**(+ ) czyli FV- (+ )(+ )**(+ ) ef Pojęcie opocetowaia oialego i efektywego oŝa stosować do okesu iego iŝ ok i do liczby kapitalizacji w ty właśie okesie Jeśli okese taki będzie, a pzykład iesiąc, będzie się ówić o iesięczy opocetowaiu oialy i iesięczy opocetowaiu efektywy Kapitalizacja oŝe być takŝe, a pzykład, tygodiowa, dziea itd MoŜa wpowadzić wykozystywae w teoii fiasów pojęcie kapitalizacji ciągłej: ef,c li ( + o ) e o gdzie e 78 jest podstawą logaytów atualych 8
Wioski Wiosek A Z ozwaŝań pzepowadzoych dotąd w iiejszy ozdziale wyika eotechicza zasada pozwalająca często upościć obliczeia Dowoly pojedyczy pzepływ pieiądza oŝa dowolie pzesuąć w czasie, czyli zastąpić go iy wpływe lub wypływe w iy czasie o ile wielkość tego sztuczie powstałego pzepływu zostaie ustaloa zgodie z teoią watości pieiądza w czasie A więc jeśli pzepływ zostaie pzesuięty do tyłu (w kieuku zea osi czasu), aleŝy zastąpić go jego watością obecą Jeśli pzepływ zostaie pzesuięty w czasie do pzodu, aleŝy go zastąpić jego watością pzyszłą Oś watości (CF) pzepływów CF FV(CF) 0 3 4 5 6 8 9 7 0 oś czasu Rys Dowoly pzepływ CF oŝa pzesuąć w czasie zastępując go jego watością obecą lub pzyszłą odpowiedio Wiosek B Jeśli watość A jest X azy większa od watości B to pzy ty say opocetowaiu i tej saej liczbie okesów watość pzyszła FV(A) jest X azy większa od watości pzyszłej FV(B): FV(A) A*( + ) X*B*( + ) X*[B*( + ) ] X*FV(B) (5B) Wiosek C Aalogiczie oŝa pokazać, Ŝe jeśli watość A jest X azy większa od watości B to pzy ty say opocetowaiu i tej saej liczbie okesów watość obeca (A) jest X azy większa od watości obecej (B): A X B B ( A) X X * ( B) ( + ) ( + ) ( + ) (9C) 9
Reala stopa zwotu Pzykład M Kowalsky powadzi fię w Staach Zjedoczoych Pzyosi u oa 5% zwotu z wiesioego do fiy kapitału PoiewaŜ dowiedział się, Ŝe Polsce oŝa osiągąć duŝy zwot z zaiwestowaego kapitału, a posiada jeszcze spoo wolej gotówki postaowił zaiwestować w Polsce W ty celu załoŝył w Polsce fię Kowalsky & So, 7 aja X wyieił l dolaów a złotówki po kusie 3,889zł/USD a uzyskae złotówki zaiwestował w podukcję PoiewaŜ powadzeie dwu fi, jedej w Staach Zjedoczoych, dugiej w Polsce okazało się zbyt tude, po oku zezygował z działalości w Polsce i 07 aja Y spzedał fię Uzyskał zwot z iwestycji 45%, a fię udało u się spzedać za ówowatość iwestycji, to zaczy za 3,889 l zł Uzyskae złotówki wyieił a dolay po aktualy kusie Okazało się, Ŝe w ciągu oku iflacja złotówki do dolaa wyiosła 0% Ile wyiosła watość pzyszła kapitału l USD po oku iwestycji w Polsce oaz jaki to staowi zwot z iwestycji? Dla uposzczeia, w pzykładzie pzyjęto kusy śedie zaiast osobych kusów spzedaŝy i kupa USD Ozaczy pzez: zł 45% - stopa zwotu z iwestycji w Polsce, $ - poszukiwaa stopa zwotu w USD z iwestycji w Polsce, $ 000 000 USD - wielkość iwestycji, zł - watość iwestycji w złotych, FV zł - kwota w złotych uzyskaa z iwestycji (łączie z wycofay kapitałe), FV $ kwota w USD uzyskaa z iwestycji (łączie z wycofay kapitałe), if zł/$ 0% - iflacja USD do złotego, k - kus złotego do USD 7 aja X, k - kus złotego do USD 7 aja Y Po oku pa Kowalsky uzyskał kapitał z wyiay kapitału w złotych a kapitał w USD: 0
FVzł FV$ k Ale kapitał w złotych uzyskał ze zwotu z iwestycji, któy wyiósł zł 45%: FV zł zł ( + z ł ), atoiast kus wyiay k uzyskay ze stopy iflacji złotówki do USD: k k ( + if zl / $ 3,889 zl/usd, i otzyay FV $ zł ( + k ( + ) 3,889 zl / USD ( + 0%) if zł zł / $ ) ) 4,6668 zl/usd Natoiast kapitał początkowy w złotych zł uzyskał z kapitału początkowego w dolaach $ po kusie wyiay k : FV zł $ $ k, czyli k $ k ( + ( + if zł / $ zł ) ) $ ( + ( + zł if zł ) / $ ) Ze wzou widać, Ŝe wpływ czyika iekozystego (iflacji złotówki do dolaa) wpływa popzez czyik ( +stopa pocetowa pzeciwdziałająca wzostowi kapitału) ale w iaowiku PoiewaŜ FV $ $ ( + $ ) więc FV$ $ i wstawiając za FV $ pawą stoę popzediego wzou $ i skacając pzez $ ay wzó a stopę zwotu w USD: ( + zł $ ( + if zł / $ ) )
Pzykład Gdyby kwotę została ulokowaa w baku pzy stopie pocetowej z zaiae utzyaia lokaty pzez okesów kapitalizacji, to watość kapitału po okesach wyiosłaby FV (+ ) Ale gdyby depozytaiusz zdecydował się ją z jakiś powodów wycofać o jede okes wcześiej, to otzyałby kwotę ( + ) FV ( + ) A więc i w ty pzypadku wpływ czyika iekozystego (skóceie okesu depozytu) wpływa popzez podzieleie pzez czyik ( +stopa pocetowa pzeciwdziałająca wzostowi kapitału) Oba pzykłady powadzą do wiosku, któy oŝa wyazić wzoe: ( + )( + )** ( + ) FV ( + q )( + q )** ( + q ), gdzie,, 3,, są stopai opocetowaia za koleje okesy, któych jest, q, q, q3,, q są stopai pocetowyi czyików wpływających egatywie a wzost kapitału W szczególości q, q, q3,, q ogą być stopai iflacji Wówczas powio się uwzględić ich tyle ile okesów kapitalizacji oaz oŝa je ozaczyć wspólą liteą, FV ( + )( + )**( + ) ( + q )( + q )**( + q ) (6a)
Stopę zwotu z kapitału, uwzględiającą wpływ iflacji azywa się stopą ealą Stopę ealą defiiuje się podobie do stopy efektywej, z ty Ŝe uwzględia oa dodatkowo wpływ iflacji: FV- ea l a Stąd oŝa wypowadzić wzó a stopę ealą dla okesów, w kaŝdy okesie opocetowaie wyosi i, stopa iflacji q i : ( + )( + )**( + ) FV- ( + q )( + q )**( + q ) ea l a, czyli ( + )( + )**( + ) l ea a ( + q )( + q )**( + q ) (0b) Jeśli stopa eala a być oczą stopą ealą, oczywiście wszystkie okesy kapitalizacji uszą łączie staowić dokładie jede ok Pzykład3 Jeśli oiala stopa opocetowaia kedytu wyosi No, 4%, iflacja ocza wyosi q %, to pzy spłacie kedytu jede az w oku ealy koszt kedytu wyosi (+ ) (+ 4%),4 kosztea l y oczy 0,07 0,7% (+ q) (+ %), Gdyby spłaty astępowały iesięczie, a iflacja kaŝdego iesiąca wyosiła q' %, to koszt ea + No (+ %),0 l y oczy,0099 0,55,55% ( + q' ) (+ %),0 3
Reta W Polsce zaczeie ety jest ozuiae a wiele sposobów W potoczy ozuieiu jest to okesowe lub doŝywotie świadczeie pieięŝe, p z tytułu ubezpieczeń społeczych, zapewiające osobie upawioej śodki utzyaia w okeśloych sytuacjach Ŝyciowych (po pzekoczeiu ustaloego wieku pacowika, w wypadku iwalidztwa itp) * Osoby upawioe do kozystaia z takiego świadczeia azywa się RENCISTAMI, a watość saego okesowego świadczeia etą Te sa słowik podaje takŝe ekooicze zaczeie ety egulaie otzyyway dochód z kapitału, ajątku (p papieów watościowych, z wydzieŝawioej ziei) ie wyagający wkładu pacy właściciela * Osoby kozystające z takich dochodów azywa się (jak w powieściach Balzaka) RENTIERAMI W fiasach etą azywa się poces dokoywaia seii wpłat lub wypłat co pewie stały, okeśloy odciek czasu Watość wpłat lub wypłat azywa się wielkością stuieia pieięŝego lub płatością, ozaczaą PMT (skót od ag Payet) Model ety pzedstawia ysuek 0 3 4 5 6 7 8 9 30 oś czasu Rys Reta W ecie zwykłej płatej z dołu ( ag odiay auity) płatości występują a koiec kaŝdego odcika czasu (ys 47) W ecie płatej z góy ( ag auity due) płatości występują a początku kaŝdego odcika czasu Watością pzyszłą ety FVA Futue Value of Auity (ety z góy FVA D ) jest taka kwota a końcu ostatiego odcika czasu, Ŝe jest oa ówowaŝa seii płatości pzy day opocetowaiu oaz daej liczbie okesów FVA ie jest watością świadczeia, któe iwesto będzie ógł pobieać w pzyszłości, ale watością kapitału skuulowaego a końcu okesów płatości Watością obecą ety A (ety z góy AD) jest taka wielkość kapitału w chwili t 0, Ŝe jest oa ówowaŝa seii płatości pzy day opocetowaiu i daej liczbie okesów Okesy czasu poiędzy płatościai ogą, ale wcale ie uszą być okesai oczyi Jaka będzie watość ety watość uskładaego kapitału - po okesach, jeśli okesowe wpłaty wyoszą PMT (ag payet - płatość), a opocetowaie? Poces obliczeia watości FVA pzedstawia gaficzie ysuek * Słowik języka polskiego, PWN, Waszawa 98 4
FVA, FV PMT (+) - FV + FV PMT (+) - FV 3 PMT 3 (+) -3 FV - PMT - (+) FV PMT FV + FV 3 + FV - + FV PMT PMT PMT 3 PMT - PMT 0 3 - Rys Poces obliczaia watości pzyszłej kapitału goadzoego pzez okesów Poces obliczaia ety, pzy załoŝeiu, Ŝe PMT PMT PMT PMT, pzedstawia ys Reta ("zwykła" albo iaczej "płata z dołu") FVA F + F + F + F + K + F + F 3 F F F F F 3 0 3 4 5-3 - - F -ta chwila czasu Rys Poces obliczaia watości pzyszłej goadzoego kapitału watości pzyszłej ety Na wielkość pzyszłej watości ety składa się iezaleŝych składików: F, F,, F 3, F, F, F KaŜdy z ich jest watością pzyszłą odpowiediej wpłaty F PMT F PMT*(+) Podobie oblicza się: F PMT*(+), F F ( ) PMT*(+) -, (-) od końca wpłata dokoaa w oecie pocetowała pzez (-) okesy i w końcu 5
F F ( ) PMT*(+) -, -ta od końca wpłata dokoaa w oecie pocetowała pzez (-) okesów Dalej więc ay FVA F + F + F + F 3 + K+ F + F PMT + PMT ( + ) + PMT ( + ) + PMT ( + ) + PMT ( + ) Obliczając suę szeegu, otzyuje się ( + ) FVA PMT, lub FVA PMT MWPR, gdzie : + PMT ( + ) 3 + + ( + ) MWPR jest MoŜikie Watości Pzyszłej Rety publikoway w tablicach fiasowych Płatości PMT w odelu ety płatej z góy są o cały okes wcześiejsze KaŜda płatość będzie więc pocetowała o okes dłuŝej W ecie (zwykłej) ostatia płatość ie pocetuje, w ecie płatej z góy ostatia płatość pocetuje pzez jede okes Zate, watość pzyszła ety z góy: FVAD FVA*(+) Watość obecą ety A (ag Peset Vvalue of Auity) obliczyć oŝa w astępujący sposób A i PMT ( + ) i, lub dokoując postego pzekształceia FVA (+ ) (+ ) A PMT PMT PMT ( ) (+ ) (+ ) ( + ) Tabele MoŜika Watości Obecej Rety MWOR są ówieŝ publikowae: A PMT * MWOR, gdzie MWOR ( + ) Aalogiczie dla obliczeia watości pzyszłej ety płatej z góy: AD A*(+) Reta wiecza Reta wiecza to eta (zwykła) o płatościach, któe się igdy ie kończą, a więc o ieskończeie wielu płatościach (ag pepetuities) Wzó a watość obecą ety wieczej łatwo wypowadzić ze wzou a watość ety zwykłej pzechodząc z liczbą płatości do ieskończoości: li PMT( ) li PMT li etywieczej PMT (+ ) (+ ) Zate ety wieczej etywiecz ej PMT PMT li PMT 0 (+ ) PMT 6
Pzykład4 Ile powiie wpłacić Pa Ada do baku dziś, aby w astępych kolejych latach otzyywać wypłaty w wysokości 000zł oczie pzez ieogaiczoy okes czasu, jeśli zakłada się, ze stopa pocetowa będzie stała 5%? Albo, iaczej ówiąc, jaka kwota wpłacoa dziś, zówowaŝy koieczość dokoywaia wpłat pzez ieogaiczoy okes czasu w wysokości 000 zł? Rozwiązaie spowadza się do obliczeia watości obecej ety wieczej, ys PMT PMT A t ( + t ) 000 3330zl 05 PMT [zł] 000 000 000 000 000 A A 740 50 30 40 5% 5% 5% 5% 5% 3330 zł watość płatości 0 3 4 5 8 PMT 000zł 6 4 08 06 (PMT) 000,5 t,5 04 0 0 i 3 4 5 0 00 00 003 004 005 006 lata Rys Poces obliczaia A (000zł) dla ety wieczej Pzykład3 Ile powiie wpłacić Pa Ada do baku dziś, aby w astępych kolejych latach otzyywać wypłaty osące o % oczie w stosuku do obecej watości 000zł pzez ieogaiczoy okes czasu, jeśli zakłada się, ze stopa pocetowa będzie stała 5%? Iaczej ówiąc, jaka kwota wpłacoa dziś, zówowaŝy koieczość dokoywaia osących o % oczie wpłat pzez ieogaiczoy okes czasu, pzy obecej watości wpłaty ówej 000zł? Rozwiązaie spowadza się do obliczeia watości obecej ety wieczej, ys + PMT ( g) PMT A 000 74670zl, t t ( + ) g 003 gdzie g stopa wzostu płatości (%) 7
0 3 4 5 PMT PMT PMT 3 PMT 4 PMT 5 5% 950 5% 900 850 5% 800 5% 5% 750 5% A Σ 74670zł watość płatości PMT 45 4 35 40 500 800 350 350 PMT i 000(+0) i 3 5 5 05 Spłata poŝyczek t ( D t ) $ ( (PMT ) i ) 000 ()i (5) i t ( 5 ) t 3 4 5 0 000 00 00 003 004 005 006 Rys Poces obliczaia watości obecej ety wieczej pzy wzastających płatościach lata 300 50 odsetki 00 50 00 50 aty 0 3 4 5 6 7 8 9 0 pobaie kedytu Spłata kedytu ówyi atai kapitałowyi Rys Spłata kedytu - 0% w okesie, kwota kedytu 000, at 8
Spłata kedytu stałą kwotą suy aty i odsetek 50 odsetki 00 50 00 50 0 aty 0 3 4 5 6 7 8 9 0 pobaie kedytu Spłata kedytu stałą kwotą suy aty i odsetek Rys Spłata kedytu - 0% w okesie, kwota kedytu 000, at Pzykład 5 Pa Ada osiągie wiek eeytaly za lat Postaowił pzez te lata wpłacać a swoje koto osobiste kwoty w wysokości PMT, PMT,, PMT oczie, aby pzez astępe lat óc otzyywać eeytuę oczą w kwocie EMT, EMT,, EMT W jakiej sytuacji pa Ada oŝe się spodziewać, Ŝe jego oczekiwaia zostaą zealizowae? Pa Ada zakłada, Ŝe w cały ozwaŝay okesie,, + lat stopa pocetowa będzie taka saa RozwaŜaą sytuację pzedstawia ysuek ** Wyika z iej, Ŝe watość pzyszła kapitału a koiec oku -tego FVA powia być ówa watości obecej kapitału wypłacoego w latach + do +, czyli A, FVA, FV PMT (+) - FVA, A, EMT + (+) FV PMT (+) - FV + FV 3 PMT 3 (+) - 3 EMT 3 (+) -3 FV + + FV - PMT - EMT (+) - FV PM FV 3 + 3 + PMT PMT PMT 3 PMT - PMT EMT EMT EMT 3 + 3 - + + +3 Rys Poces obliczaia ówowagi iędzy oczyi składkai a oczyi wypłatai 9