Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Transkrypt

1 Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy PLN na rachunek oprocentowany według stopy i 12 0,5 % Oblicz stan oszczędności na koniec drugiego roku Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji FV Zadanie 2 Saldo rachunku bankowego oprocentowanego według rocznej stopy 8% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosi PLN Jaką kwotę można pobierać z tego rachunku co kwartał przez 5 lat, jeśli pierwsza wypłata nastąpi dokładnie za 3 miesiące? Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji PMT Zadanie 3 10-letnie obligacje Skarbu Państwa wyemitowane w grudniu 2000r są obligacjami o stałym oprocentowaniu Zgodnie z warunkami emisji każda obligacja daje jej posiadaczowi prawo do rocznych odsetek w wysokości 6% w skali roku płatnych na koniec roku Wartość nominalna obligacji wynosi PLN Firma XYZ zakupiła 500 takich obligacji Odsetki od nich będą przelewane na rachunek firmy oprocentowany według efektywnej stopy 5% Oblicz kwotę jaka po 10 latach zostanie zgromadzona na rachunku firmy z tytułu posiadania obligacji Zadanie 4 Renta składa się z 30 równych miesięcznych rat płatnych z góry Roczna stopa wynosi 6% Jaka powinna być wysokość raty, aby wartość końcowa renty wynosiła PLN, jeśli odsetki kapitalizowane są co miesiąc? Zadanie 5 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy 10% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech latach móc pobierać po 500 PLN na koniec każdego kwartału przez cztery kolejne lata? Zadanie 6 Sklep oferuje następujące dwa sposoby płatności za zakup komputera w systemie ratalnym: 1) 12 rat miesięcznych po 300 PLN, przy czym pierwsza rata musi być wpłacona od razu, 2) 8 rat miesięcznych po 455 PLN, przy czym pierwsza rata ma być wpłacona po czterech miesiącach Która oferta jest bardziej opłacalna dla klienta posiadającego rachunek oprocentowany według rocznej stopy 12%? Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając odpowiednich funkcji Zadanie 7 Babcia Jola zapragnęła mieć prawnuka Obiecała wnukowi Jankowi, że jeśli urodzi mu się dziecko, to będzie przelewała mu na konto 500 PLN co miesiąc począwszy od dnia narodzin dziecka a ostatnią ratę wypłaci w dniu 18 urodzin prawnuka Janek zachęcony taką obietnicą przyszedł następnego dnia do babci Joli poinformować, że są z żoną w ciąży i żeby babcia szykowała pieniądze, bo za 9 miesięcy czekają na pierwszą ratę Jaki kapitał powinna babcia Jola zgromadzić dziś na wywiązanie się z obietnicy, jeśli wiadomo, że stopa procentowa w banku przez cały okres trwania umowy będzie wynosić 2% rocznie a kapitalizacja jest miesięczna? 1

2 Zadanie 8 Pan Kowalski postanowił zadbać sam o swoją emeryturę Będzie wpłacał przez kolejne 42 lata co miesiąc po PLN na rachunek, gdzie kapitalizacja odsetek następuje miesięcznie Oblicz jaką kwotę Pan Kowalski uzbiera na rachunku bankowym po 42 latach oszczędzania w przypadku gdy roczna stopa oprocentowania wynosi: a) 0% b) 2% c) 5% d) 10% Jaką miesięczną emeryturę będzie mógł sobie wypłacić Pan Kowalski jeśli założy, że zebrany kapitał ma mu wystarczyć na kolejnych 15 lat 1? Wyniki sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając odpowiednich funkcji Zadanie 9 Z tytułu ubezpieczenia Pan Kowalski będzie otrzymywał przez 20 lat na początku każdego miesiąca płatności w realnej wysokości PLN Roczna stopa procentowa wynosi 6% a kapitalizacja następuje co miesiąc a) Oblicz kwotę, jaką powinna dziś zgromadzić na ten cel firma ubezpieczeniowa b) Oblicz kwotę, jaką powinna zgromadzić dziś firma ubezpieczeniowa przy założeniu, że Pan Kowalski jest nieśmiertelny c) Oblicz względny błąd aproksymacji jaki popełnisz, gdy do wyceny renty z punktu a) użyjesz renty wieczystej Czy błąd ten zależy od wysokości raty? Zadanie 10 Saldo rachunku wynosi PLN a) Jeśli efektywna stopa procentowa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych lat? b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać w nieskończoność kwotę 800 PLN na koniec kolejnych lat? Zadanie 11 Wyprowadź wzór na n liczbę rat potrzebnych do osiągnięcia wartości końcowej F przy ustalonej racie R i stopie procentowej i Zadanie 12 Pan Kowalski potrzebuje zgromadzić PLN na rachunku oprocentowanym według rocznej stopy 6,2%, przy kapitalizacji kwartalnej Cel ten zamierza zrealizować poprzez systematyczne wpłaty PLN na koniec kolejnych kwartałów Ile wpłat powinien dokonać, aby osiągnąć cel? Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji NPER Zadanie 13 W pewnej loterii główną wygraną można odebrać natychmiast, w kwocie PLN, lub w 10 ratach w kwocie każda, wypłacanych na koniec kolejnych lat a) Oblicz, przy jakiej efektywnej stopie procentowej te dwa warianty wygranej są równoważne Do obliczeń użyj funkcji RATE arkusza kalkulacyjnego Excel b) Czy istnieje analityczna postać rozwiązania tego zagadnienia? 1 2

3 Zadanie 14 Adam marzy o wycieczce zagranicznej do Ikslandii Dwutygodniowa wycieczka kosztuje PLN W celu zgromadzenia środków Adam rozważa wpłacanie po 250 PLN na koniec każdego z najbliższych 10 miesięcy, aby zaraz po dokonaniu ostatniej wpłaty móc opłacić swój wyjazd Rachunek oszczędnościowy oprocentowany jest według rocznej stopy 12% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek a) Czy Adam jest hurraoptymistą? b) Jaką kwotę powinien Adam wpłacać na początku każdego z najbliższych 10 miesięcy, aby na koniec dziesiątego miesiąca móc opłacić wycieczkę? c) Ile wpłat po 360 PLN na koniec kolejnych miesięcy powinien Adam dokonać, aby zaraz po ostatniej wpłacie móc opłacić wycieczkę? Zadanie 15 Renta składa się z 12 miesięcznych rat Wysokość każdej z pierwszych pięciu rat wynosi 100 PLN, każdej z kolejnych czterech 200 PLN, każdej z pozostałych trzech 150 PLN Roczna stopa wynosi 12% a kapitalizacja jest miesięczna Oblicz wartość końcową i początkową renty Zaproponuj dwa różne sposoby dekompozycji na renty o stałych ratach Zadanie 16 Renta składa się z 25 rat płatnych z dołu: pierwszych osiem po 400 PLN, dziesięć następnych po 500 PLN, siedem ostatnich po X PLN Oblicz X, wiedząc, że dla i = 3% wartość końcowa tej renty wynosi PLN Zadanie 17 a) Udowodnij że zachodzi zależność: b) Wyprowadź wzór na F a c) Wyprowadź wzór na P a, n 1, j i n i j 1 i s s n Zadanie 18 Renta składa się z 10 rat płaconych z dołu Pierwsza rata wynosi 100 PLN, a każda następna jest o 20 PLN większa od poprzedniej Oblicz wartość końcową tej renty dla i 2% Zadanie 19 Wartość początkowa renty o 20 ratach tworzących ciąg arytmetyczny płatnymi z dołu, w którym d = 50 PLN, wynosi PLN Jeśli i 4% to ile wynosi pierwsza rata? Zadanie 20 Oblicz wartość końcową renty, w której R 1 100, R j j, j 1,2,, 49 jeśli i 2% Zadanie 21 a) Wyprowadź wzór na F g, b) Wyprowadź wzór na P g 3

4 Zadanie 22 W umowie o najem mieszkania przyjęto, że opłata za pierwszy miesiąc wynosi 500 PLN, a każda następna będzie indeksowana na bieżąco wskaźnikiem wzrostu cen W badanym okresie wskaźnik ten w skali miesiąca utrzymywał się na stałym poziomie 1,008 Opłaty uiszczane są na koniec każdego miesiąca na rachunku właściciela lokalu Jeżeli miesięczna stopa procentowa wynosi 0,5% a umowa jest podpisana od października do czerwca, to jaką kwotę zgromadzono na rachunku? Zadanie 23 Oblicz wartość początkową renty o ratach R 1 100, j R j 1 1, 05R, j 1,2,, 15 jeśli i 7% Zadanie 24 Pan Kowalski postanowił zadbać sam o swoją emeryturę Będzie wpłacał przez kolejne 42 lata co miesiąc pewną kwotę W pierwszym miesiącu będzie to PLN, a każda następna wpłata będzie indeksowana miesięcznym wskaźnikiem wzrostu cen Przyjmij, że rachunek, na który Pan Kowalski wpłaca pieniądze, ma roczną stopę procentową 2%, kapitalizacja odsetek jest miesięczna, a wskaźnik wzrostu cen przez cały okres oszczędzania utrzymywał się na poziomie 1% rok do roku Pan Kowalski zakłada, że zebrany kapitał ma mu wystarczyć na kolejnych 15 lat, a raty emerytury będą indeksowane miesięcznym wskaźnikiem wzrostu cen a) Oblicz wartość nominalną stanu rachunku oszczędnościowego Pana Kowalskiego po 42 latach oszczędzania b) Oblicz wartość stanu rachunku oszczędnościowego Pana Kowalskiego po 42 latach oszczędzania wyrażoną w dzisiejszych cenach c) Oblicz wartość nominalną pierwszej raty emerytury Pana Kowalskiego d) Oblicz wartość pierwszej raty emerytury Pana Kowalskiego wyrażoną w dzisiejszych cenach Zadanie 25 Dany mamy ciąg 16 wpłat w kwocie 100 PLN na koniec każdego kwartału na rachunek bankowy oprocentowany według rocznej stopy 12% przy kapitalizacji: a) co miesiąc, b) co rok Oblicz wartość początkową i końcową Obliczenia przeprowadź zamieniając rentę uogólnioną na rentę zwykłą najpierw przez zamianę stopy, następnie przez zamianę raty Zadanie 26 Renta składa się z 15 rat po 500 PLN Efektywna roczna stopa procentowa wynosi 12%, a odsetki kapitalizowane są co kwartał Jaka jest wartość początkowa renty, jeśli raty są: a) miesięczne, b) kwartalne, c) roczne? Zadanie 27 Oprocentowanie rachunku wynosi 12% a kapitalizacja jest kwartalna Jaka kwota zostanie zgromadzona na rachunku na koniec piątego roku w wyniku wpłacania PLN: a) na koniec każdego miesiąca (odsetki naliczamy zgodnie z zasadą oprocentowania składanego), b) na początku każdego miesiąca (odsetki naliczamy zgodnie z zasadą oprocentowania składanego) c) na koniec każdego kwartału, d) na początku każdego kwartału, e) na koniec każdego półrocza, f) na początku każdego półrocza, 4

5 Zadanie 1 FV = ,96 PLN Zadanie 2 R = 611,57 PLN Zadanie 3 FV = ,78 PLN Zadanie 4 R = 308,25 PLN Zadanie 5 PV = 4 853,56 PLN Zadanie 6 PV 1 = 3 410,29 PLN PV 2 = 3 379,12 PLN Zadanie 7 PV = ,68 PLN Zadanie 8 a) FV = ,00 PLN R = 3 360,00 PLN b) FV = ,48 PLN R = 6 091,57 PLN c) FV = ,40 PLN R = ,88 PLN d) FV = ,77 PLN R = ,73 PLN Zadanie 9 a) PV = ,35 PLN b) PV = ,00 PLN c) 42,57% Zadanie 10 a) R = 750,00 PLN b) i = 3,2% Zadanie 11 Fi ln 1 R n ln 1 i Zadanie 12 n = 16 Zadanie 13 i = 3,46% ODPOWIEDZI Zadanie 14 a) FV = 2 615,55 PLN b) R = 277,19 PLN c) n = 8 Zadanie 15 FV = 1 838,10 PLN PV = 1 631,22 PLN Zadanie 16 X = 270,33 PLN Zadanie 18 FV = 2 044,69 PLN Zadanie 19 R = 251,78 PLN Zadanie 20 FV = 5 000,00 PLN Zadanie 22 FV = 4 739,49 PLN Zadanie 23 PV = 1 302,92 PLN Zadanie 24 a) FV = ,17 PLN b) FV = ,90 PLN c) R = 6 836,26 PLN d) R = 4 501,12 PLN Zadanie 25 a) PV = 1 253,22 PLN FV = 2 020,48 PLN b) PV = 1 268,32 PLN FV = 1 995,73 PLN Zadanie 26 a) FV = 8 019,24 PLN b) FV = 9 213,86 PLN c) FV = ,86 PLN Zadanie 27 a) FV = ,94 PLN b) FV = ,05 PLN c) FV = ,37 PLN d) FV = ,49 PLN e) FV = ,64 PLN f) FV = ,75 PLN 5