Matematyka Finansowa. Wykład. Maciej Wolny

Transkrypt

1 Matematyka Fasowa Wykład Macej Woly

2 Ageda Ogazacja zajęć, wpowadzee, podstawowe pojęca. Teoa fukcj peądza w czase. Rozlczea zwązae ze spłatą długów. Ocea opłacalośc westycj.

3 Lteatua. MatłokaM.: Matematyka w fasach bakowośc, Wyd. AE w Pozau, Pozań Sobczyk M.: Matematyka fasowa, Wyd. Placet, Waszawa 23

4 Dodatkowe fomacje alkulato aukowy Egzam psemy, zadaa do ozwązaa (podobe do pzykładów a wykładze zajęcach Pojekt:. Aalza dowolego kedytu waz z tabelą amotyzacj 2. Ocea opłacalośc dowolej westycj

5 Zamast wpowadzea

6 alkulacja watośc peądza w czase Opocetowae dyskotowae Model kaptalzacj postej, złożoej cągłej Pzecęta stopa pocetowa Nomala, efektywa eala stopa pocetowa

7 Opocetowae kwota kaptału, kaptał początkowy kaptał końcowy (po -okesach kaptalzacj I odsetk ocza stopa pocetowa stopa pocetowa (t stopa pocetowa w okese t I I, I (

8 Pzykład Ile wyos ocza stopa pocetowa, jeżel pożyczając 2 zł po pół oku musmy zwócć 25 zł? I 5 zł I t I t Rocza stopa pocetowa zależy od lczby d po któej zwacamy pożyczkę. Pzy założeu, że pół oku ozacza 8 d (p. w okese styczeń-czewec stopa wyos 5,2%. Jeżel 84 d (p. w okese lpec-gudzeń wyos 4,88%.

9 Pzykład 2 Bak alcza kaptalzuje odsetk co kwatał. Początkowa kwota lokaty wyos zł, a ocza stopa pocetowa wyos 3%. Oblcz watość lokaty po tzech kwatałach.

10 Model kaptalzacj złożoej (... 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 (

11 Pzykład 3a Regulam lokaty jedodowej ustala, że jest eodawala, maksymala kwota wyos zł, maksymale moża założyć jedą lokatę oaz ocza stopa pocetowa wyos 4%. let pzez tydzeń opeuje kwotą zł, zakładając codzee lokatę. Jaką kwotę odsetek osąge po tygodu.

12 Pzykład 3b Regulam lokaty jedodowej ustala, że jest odawala, maksymala kwota wyos zł, maksymale moża założyć jedą lokatę oaz ocza stopa pocetowa wyos 4%. Odsetk od lokaty są zwacae a ROR. let zakłada lokatę a zł, a po tygodu lkwduje lokatę. Jaką kwotę odsetek osąge po tygodu.

13 Model kaptalzacj postej ( ( 365 ( ( 365 ( ( 3 2

14 Dyskotowae Odwotość opocetowaa Model kaptalzacj złożoej: Model kaptalzacj postej: ( ( ( (

15 Pzykład 4 Za tzy lata Skab Państwa ma wykupć oblgacje za kwotę zł. Ile możemy maksymale zapłacć dzś za oblgacje pzy założeu 4% oczej stopy pocetowej? (, ,96 3,4 8928,57

16 ,4,??,?, 3 I, ( I I I 8928,57,2 ( ( (??? 3?

17 Pzykład 5 tóa z ofet jest kozystejsza: a Spzedaż samochodu za 25 zł (zapłata atychmastowa b Spzedaż samochodu za 253 zł (zapłata za kwatał Rocza stopa pocetowa (lokat wyos 4%.

18 lub ( ( 253,4 4 25( 2549,5, ozystejsza jest ofeta spzedaży samochodu za 253 zł z płatoścą za kwatał.

19 Pzykład 6 Oblcz watość lokaty zł po oku, pzy założeu, że ocza stopa pocetowa wyos 4% a kaptalzacja astępuje: a po oku, b kwatale, c mesęcze, d dzee, e co godzę.

20 ( (,4 4 a Watość lokaty będze wyosła 4 zł ( (, 46,4 4 b Watość lokaty będze wyosła 46,4 zł 2,4 2 2 ( ( 47, c Watość lokaty będze wyosła 47,42 zł 365, ( ( 48, d Watość lokaty będze wyosła 48,8 zł

21 co godzę częścej 876, ( ( 48, e Watość lokaty będze wyosła 48, zł t czas w latach (jedostką jest okes zwązay ze stopą pocetową tj. ocza stopa w latach, mesęcza stopa w mesącach m lczba kaptalzacj w cągu oku (jw., czyl pzy oczej stope w oku, pzy mesęczej w mesącu ( m t m mt

22 Model kaptalzacj cągłej t t m m m t m m t m m t m t e m m m lm lm( ( lm lm t t e e 2,7828

23 Pzykład 7 Oblcz watość pzyszłą kwoty zł, pzy oczej stope pocetowej 4% oaz założeu cągłej kaptalzacj odsetek, po upływe: a oku, b pęcu lat, c kwatału, d mesąca.

24 a Watość będze wyosła 48, zł b Watość będze wyosła 224,3 zł c Watość będze wyosła,5 zł d Watość będze wyosła 33,39 zł

25 Efektywa stopa pocetowa Efektywa (ocza stopa pocetowa stopa pocetowa fomująca o le pocet efektywe (z uwzględeem kaptalzacj wzośe kaptał po oku Np. Opocetowae lokaty jedodowej o opocetowau omalym 4% w skal oku, efektywe po oku geeuje wzost kaptału o

26 Pzykład 8 Oblcz efektywą oczą stopę pocetową czteopocetowej lokaty jedodowej. ( ( ( ( e I I,48 365,4 ( 365 e Efektywa ocza stopa pocetowa czteopocetowej lokaty jedodowej wyos 4,8%.

27 e dla kaptalzacj cągłej ( ( e t e e I e e I

28 Pzykład 9 Efektywa stopa dla okesów powyżej oku Ile wyosła efektywa ocza stopa pocetowa, jeżel w wyku zawestowaa 2 zł po 2 latach otzymalśmy 35 zł? I ( e e I ( e (, ( e ( (,75, Efektywa ocza stopa pocetowa wyosła 32,29%

29 Reala stopa pocetowa - R Uwzględa flację ( ocza stopa flacj. Iflacja powoduje, że watość peądza waz z upływem czasu jest mejsza... czyl ależy ją dyskotować stopą flacj Na watość końcową (koec oku ma wpływ omala stopa pocetowa oaz stopa flacj: R R R R ( ( ( ( ( ( ( (

30 Pzykład a Rocza omala stopa pocetowa lokaty bakowej wyos 4% bak kaptalzuje odsetk co ok. Rocza flacja wyos 3%. Oblcz ealą stopę pocetową. R,4,3,97,3 Rocza eala stopa pocetowa lokaty bakowej wyos,97%

31 Pzykład b Po oku flacja gwałtowe wzosła do % bak podósł stopę pocetową o %. Ile wyos w tym pzypadku eala stopa pocetowa? R,4,3,89,3 Rocza eala stopa pocetowa lokaty bakowej wyos,89%

32 Pzykład -stopa etto, butto Zakładamy tzymesęczą lokatę o oczej stope pocetowej 5% w kwoce wysokośc zł. Regulam lokaty ustala utatę odsetek w pzypadku zewaa lokaty pzed upływem temu lokaty oaz w sytuacj, gdy lokata e zostae zewaa, to zostaje automatycze pzedłużoa a koleje okesy.. Ile będze wyosła watość lokaty po tzech mesącach? 2. Ile będze wyosła po 6 mesącach? 3. Ile będze wyosła po oku? 4. Ile wyos efektywa ocza stopa pocetowa lokaty? 5. Ile wyos zeczywsta ocza stopa pocetowa lokaty (ocza stopa flacj 4%?,5 ( ( ?

33 I I I I etto,8,9,25 25, ,8 ( ,53 4,5,8 (,25 4,8 (,8 ( Stopa pocetowa w okese kaptalzacj

34 4,9 4,5,8 (,8 (,8 ( P P 4,% 4,5% 5%,8 5% 4,%,49 4,9 P I

35 Spłata kedytu w ówych kwotach płatośc A -ta kwota płatośc, R -ta ata płatośc, I odsetk płacoe w -tej ace płatośc, I suma wszystkch odsetek, S pożyczoa kwota (wysokość kedytu, S eszta długu pozostała do spłaty po atach. A R I A A A 2 A

36 Spłata kedytu w ówych kwotach płatośc k k k k k A A A A S A A A A S ( (... ( ( (... ( Suma wyazów cągu geometyczego Źódło: [ s. 27]

37 ... ( ( ( (, ˆ S A A S A S q A a q q a S

38 Spłata kedytu w ówych atach płatośc R R R 2 R S R R S R R R R R R R S

39 Pzykład 2 Bak zapopoował udzelee kedytu a kwotę zł w dwóch wesjach. edyt ma być spłacoy w cągu pół oku w comesęczych płatoścach. W pewszej wesj ocza stopa pocetowa wyos 2%, a powzja za udzele kedytu 2% (dopsywaa do salda kedytu. W dugej wesj powzja wyos %, a ocza stopa pocetowa 8%. a Ułóż tabelę amotyzacj kedytu w ówych kwotach płatośc dla obu wesj kedytu. b Ułóż tabelę amotyzacj kedytu w ówych atach płatośc dla obu wesj kedytu.

40 a Wesja wota płatośc 2 A ( S (, ( (,, ,99

41 a Wesja Powzja Stopa pocetowa w okese płatośc 2% 2, A759,99 Lp Saldo początkowe Odsetk Rata kaptałowa Płatość Saldo końcowe ,99 759, , , 85,42 674,57 759, , ,43 68,67 69,32 759,99 576, 4 576, 5,76 78,23 759, , ,88 34,68 725,3 759,99 742, ,57 7,43 742,57 759,99, 2,

42 a Wesja 2 wota płatośc A ( S (,5 ( (,5, ,25

43 a Wesja 2 Powzja Stopa pocetowa w okese płatośc %,5 A755,25 Lp Saldo początkowe Odsetk Rata kaptałowa Płatość Saldo końcowe 5 65,25 755, , ,75 25,92 629,33 755, , ,42,48 653,77 755,25 5,65 4 5,65 76,67 678,58 755, , ,7 5,5 73,76 755,25 729, ,3 25,94 729,3 755,25,,

44 b Wesja Lp Saldo początkowe Odsetk Rata kaptałowa Płatość Saldo końcowe 2 2 7, 82, 85, 2 85, 85 7, 785, 68, 3 68, 68 7, 768, 5, 4 5, 5 7, 75, 34, 5 34, 34 7, 734, 7, 6 7, 7 7, 77,, 2,

45 b Wesja 2 Lp Saldo początkowe Odsetk Rata kaptałowa Płatość Saldo końcowe 5 666,67 86, , , ,67 79, , ,66 666,67 766, , , ,67 74, , , ,67 76,67 666,65 666, ,65 69,65,

46 oszt kedytu. Im częścej płacmy odsetk od kedytu, tym wększy koszt kedytu 2. Częstość spłaty kaptału e ma wpływu a koszt kedytu

47 Pzykład 3 Zapopoowao C zacągęce kedytu w wysokośc Sa mesęcy w dwóch bakach. Opocetowae w obu bakach jest take samo. W pewszym baku odsetk mają być płacoe jedokote pzy zwoce kedytu. W dugm baku po każdym mesącu. aptał jest spłacay jedoazowo pod koec -tego mesąca. tóa ofeta jest lepsza dlaczego?

48 Pewszy bak: Dug bak: S I [ ] ( ( ( ( ( ' ( ' ( ' ( ', t t t t t t t t t S S S S I I S I S I S I S I I

49 Poówae: [ ] 2 2,(, ( I I S I S I > > >... ( ( ( ( (( Odsetk w modelu kaptalzacj złożoej Odsetk w modelu kaptalzacj postej

50 owesja kedytu, czyl zmaa wauków spłaty kedytu Pzykład 4.Udzeloo oczego kedytu a kwotę zł. Stopa pocetowa wyosła % w stosuku oczym, a pla spłaty pzewdywał spłatę kedytu w ówych comesęczych kwotach płatośc. Po dokoau dwóch płatośc kedytoboca zwócł sę z pośbą o obżee stopy opocetowaa do 7%. edytodawca wyazł zgodę, pzy czym jako opłaty za zmaę wauków zażądał 2 zł dolczoe do salda kedytu. Ułóż tabelę amotyzacj kedytu oceń czy kowesja była opłacala.

51 Bez kowesj 879,6 L.p. Saldo początkowe Odsetk Rata Płatość Saldo końcowe, 83,33 795,83 879,6 924, ,7 76,7 82,46 879,6 84, ,72 7, 89,4 879,6 7592, ,57 63,27 85,89 879,6 6776, ,69 56,47 822,69 879,6 5954, , 49,62 829,54 879,6 524, ,46 42,7 836,46 879,6 4288, , 35,73 843,43 879,6 3444, ,58 28,7 85,45 879,6 2594,2 2594,2 2,62 857,54 879,6 736,58 736,58 4,47 864,69 879,6 87, ,89 7,27 87,89 879,6,

52 owesja 893,63 L.p. Saldo początkowe Odsetk Rata Płatość Saldo końcowe, 83,33 795,83 879,6 924, ,7 76,7 82,46 879,6 84, ,72 6,2 833,42 893, , ,29 54,38 839,26 893, , ,4 48,5 845,3 893,63 683, ,9 42,59 85,5 893, , ,86 36,63 857, 893, , ,85 3,63 863, 893,63 352, ,85 24,59 869,4 893, ,8 2643,8 8,5 875,3 893,63 768,68 768,68 2,38 88,25 893,63 887, ,42 6,2 887,42 893,63,

53 osoldacja kedytów, czyl łączee kedytów Pzykład 5.edytoboca spłaca 2 kedyty zacągęte w tym samym baku. W momece egocjacj mał do spłacea: - 6 mesęczych płatośc po zł każda, pzy oczej stope pocetowej %, - 2 mesęczych płatośc po 5 zł każda, pzy oczej stope 7%. Zameń te dwa kedyty a jede skosoldoway, spłacay pzez mesęcy w ówych płatoścach pzy oczej stope pocetowej 8%.

54 Obeca watość długu: Dla pewszego kedytu:, 6 ( ( S 2 A (,, 6 ( 2 2 Dugego: S ( ( (,7 2,7 2 2,7 ( 2 2 A , ,56

55 L.p. Tabela amotyzacj 23,72 Saldo początkowe Odsetk Rata Płatość Saldo końcowe 67,38 77,38 26,34 23,72 48,4 2 48,4 69,87 33,85 23, , ,9 62,3 4,4 23,72 825, ,78 54,7 49,2 23,72 756, ,76 47,5 56,68 23,72 59,9 6 59,9 39,33 64,39 23, , ,7 3,57 72,5 23, , ,55 23,76 79,97 23, , ,58 5,89 87,83 23,72 95,75 95,75 7,97 95,75 23,72,

56 Metody ocey opłacalośc westycj

57 Ageda. Metody statycze Okes zwotu akładów westycyjych sęgowa stopa zwotu Aalza pogu etowośc 2. Metody dyamcze Watość zaktualzowaa etto (NPV Wewętza stopa zwotu (IRR Zmodyfkowaa wewętza stopa zwotu (MIRR Wskaźk etowośc

58 Metody statycze Metody edyskotowe Zalecae we wstępych aalzach Umożlwają wstępą selekcję pojektów Metody dyamcze Metody dyskotowe Umożlwają poówae westycj w óżych okesach czasu Umożlwają zwększee pecyzj ocey

59 Oceń opłacalość westycj Założee: ocza stopa pocetowa % PROJET Z PROJET N Nakłady Wpływy Nakłady Wpływy

60 Okes zwotu akładów Czas ezbędy do tego, aby poesoe akłady zostały zówae z zyskam z pzedsęwzęca, T okes zwotu w latach I suma akładów westycyjych CF (śed oczy zysk z pzedsęwzęca

61 Okes zwotu akładów westycyjych Z N I 2 2 lata cum CF LEPSZY

62 sęgowa stopa zwotu Stopa zwotu z westycj pzecęty (oczy zysk etto watość (początkowych akładów westycyjych sęgowa stopa zwotu Z N Z 428,57 428,57 I 2 2

63 Póg etowośc Iloścowy watoścowy Ifomuje o mmalej welkośc podukcj zapewającej ówowagę mędzy pzychodam a akładam -koszt stały z -jedostkowy koszt zmey - cea jedostkowa

64 Podukcja weloasotymetowa ( udzał -tego poduktu w całkowtej podukcj

65 NPV!" #$ % (( % % " % (( % % NPV lata Z N , , , ,33 249,4 6 33, , , ,844 NPV 4984, ,648 LEPSZY

66 Rozwązae ówaa: % Pzyblżoa watość: IRR " #$ % ( % (!(( *(!! -stopa pocetowa dla NPV>, 2 -dla NPV< PV -NPV pzy stope NV -NPV pzy stope 2

67 IRR lata Z N , , , , , , , , , NPV IRR, , LEPSZY

68 MIRR Uwzględa możlwość ewestycj Śedookesowe zaktualzowae watośc wpływów a koec pojektu w stosuku do śedookesowych zaktualzowaych akładów a początku ealzacj pojektu mus.., %#$ % (( -%. % %(( %

69 MIRR Z N lata zakt. Nakł.zakt. Wpływy zakt. Nakł. zakt. Wpływy 5 2 8, , , , Suma 97, MIRR, , LEPSZY

70 Wskaźk etowośc Efektywość westycj % % #$ / % (( % #$ - % (( %

71 PI Z N lata NPV- NPV NPV- NPV 5 2 8, , , , ,4 5 33, , , ,844 Suma 97, , ,648 PI 3, , LEPSZY

72 Dzękuję