Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Transkrypt

1 Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006

2 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty 1.1 Kapitalizacja prosta zgodna W przypadku kapitalizcji prostej oprocentowaniu podlega tylko kapitał początkowy. Załóżmy, że okres stopy procentowej r pokrywa się z okresem kapitalizacji. Oznaczmy przez K 0 wartość początkową kapitału. Niech P n, n N oznacza przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach kapitalizacji, Z n - odsetki przypadające za n-ty okres. Załóżmy, że odsetki dopisywane są z dołu, czyli na koniec okresu kapitalizacji, kapitalizacje taką nazywamy kapitalizacją z dołu (Jeżeli odsetki dopisywane są na początku okresu kapitalizacji to mówimy o kapitalizacji z góry). Zachodzą wzory P n = K 0 (1 + nr) n Z i = K 0 nr i=1 Przykład Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 30jp. Ile kosztował samochód przed podwyżką i o ile wzrosła jego cena? Oznaczmy przez P 0 starą cenę samochodu. Podwyżkę potraktujemy jako dopisanie odsetek za dany okres. Aby wyznaczyć P 0 należy zdyskontować kwotę 30jp na 1 okres. Zatem 30 P 0 = = 28, 5714 jp 1 + 0, 05 Stąd mamy, że cena samochodu wzrosła o: 30 28, 5714 = 1, 4286 jp. Zad Jaka kwota utworzy po czterech latach kapitał o wartości 400 jp w modelu kapitalizacji prostej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 15%? Zad Za osiem miesięcy otrzymamy nagrodę w wysokości 1000 jp. Kwota ta zdyskontowana na dwa miesiące według modelu miesięcznej kapitalizacji prostej daje wartość 900 jp. Jaka jest teraźniejsza wartość nagrody? Zad Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast, to 1

3 nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnąć kredyt bankowy i skorzystać ze skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4%? Zad Wyznaczyć wartość kwoty P n po następnych k okresach kapitalizacji ze stopą procentową r w modelu kapitalizacji prostej zgodnej. Zad Zdyskontować wartość kwoty P n na k okresów kapitalizacji. Stopa procentowa wynosi r, kapitalizacja jest prosta zgodna. 1.2 Kapitalizacja złożona z dołu zgodna W modelu kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega kapitał początkowy oraz zgromadzone do tej pory odsetki. Zgodność kapitalizacji polega na tym, że okres stopy procentowej r pokrywa sie z okresem kapitalizacji. Kapitalizacja z dołu oznacza, że odsetki dopisywane są do kapitału na koniec okresów kapitalizacji. Niech W n oznacza przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach kapitalizacji. Z n niech oznacza odsetki przypadające z n-ty okres. Zachodzą wzory Z n+1 = K n r, n = 0, 1,... K n = K 0 (1 + r) n, n = 0, 1,..., n Z i = K 0 [(1 + r) n 1]. i=1 Przykład Ustalić stan książeczki po 10 latach, jeżeli dokonano w niej nastepujących operacji: - na początku wpłacono 10jp, - po pięciu latach wpłacaono 20jp, - po nastepnym roku wypłacono 40jp. Bank stosuje kapitalizację złożoną roczną przy rocznej stopie procentowej 15%. Poszczególne operacje bankowe można dokonywać umownie na różnych książeczkach zakładanych w odpowiednich momentach czasu. Końcowy stan oszczędności to suma (ze znakiem + - wpłata, ze znakiem minus - wypłata) tych książęczek. Dodajemy zatem przyszłe wartości poszczególnych kwot z uwzględnieniem ich znaków. Mamy zatem trzy książeczki zakładane w momentach: 0, 5 i 6. Mamy K I = 10(1 + 0, 15) 10 = 40, 4556 jp, K II = 20(1 + 0, 15) 5 = 40, jp, K III = 40(1 + 0, 15) 4 = 69, 9603 jp. Stąd stan oszczędności po dziesięciu latach wynosi K I + K II K III = 10, 7225 jp. 2

4 Zad Przy jakiej rocznej stopie procentowej i kapitalizacji rocznej złożonej z dołu dany kapitał podwoi swoją wartość po pięciu latach? Zad Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 tys. jp, złożoną w banku, który stosuje kapitalizację roczną z dołu przy rocznej stopie procentowej 20%. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie spadku, aby w momencie osiągnięcia przez dzieci 21 lat wartości przyszłe części spadku każdego dziecka były takie same. Jak należy podzielić spadek? Zad Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę 10 tys. zł według rocznej stopy procentowej 15% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy procentowej 20%. Bank stosuje kapitalizację roczną złożoną z dołu. Zad Ustalić stan książeczki po 15 latach, jeżeli dokonano w niej następujących operacji: na początku wpłacono 20 jp, po siedmiu latach wypłacono 20 jp, a po następnych dwóch latach wpłacono 20jp. Bank stosuje kapitalizację złożoną roczną z dołu przy rocznej stopie procentowej 12%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K n po k okresach kapitalizacji. Kapitalizacja jest złożona z dołu zgodna, stopa procentowa wynosi r. Zad Zdyskontować kwotę K n zgodna, stopa procentowa wynosi r. na k okresów. Kapitalizacja jest złożona z dołu 1.3 Kapitalizacja złożona z góry zgodna W modelu kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega kapitał początkowy oraz zgromadzone do tej pory odsetki. Zgodność kapitalizacji polega na tym, że okres stopy procentowej r pokrywa sie z okresem kapitalizacji. Kapitalizacja z góry oznacza, że odsetki dopisywane są do kapitału na początku okresów kapitalizacji. Niech K n oznacza przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach kapitalizacji. Z n niech oznacza odsetki przypadające z n-ty okres. Zachodzą wzory W n = K 0 (1 r) n, n = 1, 2,..., n Z i = K 0 [(1 r) n 1]. i=1 Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy rocznej kapitalizacji złożonej z góry z kapitału 5 jp uzyskano po jednym roku wartość 8 jp? Mamy K 0 = 5, W 1 = 8. Zachodzi równość W 1 = K 0 (1 r) 1 Stąd czyli r = 0, = 5(1 r) 1, 3

5 Zad Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy rocznej kapitalizacji złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej K 0 = 20 jp wynoszą 2, 2 jp? Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty W n po k okresach kapitalizacji. Kapitalizacja jest złożona z góry zgodna, stopa procentowa wynosi r. Zad Zaktualizuj kwotę W n na k okresów wstecz. Kapitalizacja jest złożona z góry zgodna, stopa procentowa wynosi r. Jaką wartość dostaniemy po zdyskontowaniu kwoty W n na n okresów? Zad W pewnym banku obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 12%. Jak należy zmienić stopę procentową aby po przejściu na kapitalizację złożoną z góry roczną otrzymać równoważność warunków oprocentowania dla pięciu lat. Czy nowe warunki oprocentowania będą równoważne dla dziesięciu lat? Zad W banku w którym obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu kapitał 5jp utworzył po roku kapitał 6jp. Ile zyskałby właściciel kapitału (albo stracił) gdyby przy niezmienionej rocznej stopie procentowej wprowadzono kapitalizację złożoną z góry. 1.4 Kapitalizacja niezgodna Kapitalizacja jest niezgodna, jeżeli okres stopy procentowej r nie pokrywa się z okresem kapitalizacji. Jeżeli okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji, to kapitalizację nazywamy kapitalizacją w podokresach, jeżeli natomiast okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy procentowej, to kapitalizację nazywamy kapitalizacją w nadokresach. Oznaczmy przez m stosunek okresu stopy procentowej do okresu kapitalizacji, r - roczna stopa procentowa. W zależności od wartości m kapitalizację nazywamy: - roczną, gdy m = 1, - półroczną, gdy m = 2, - kwartalną, gdy m = 4, - miesięczną, gdy m = 12, - tygodniową, gdy m = 52, - dobową, gdy m = 360, - godzinną, gdy m = 0, 5, - czteroletnią, gdy m = 0, 25. W kapitalizacji niezgodnej, odsetki obliczane są za pomocą względnej stopy procentowej postaci r = r m Oznaczmy przez k ilość okresów kapitalizacji. Wzory dla przyszłej wartości kapitału K 0 w kapitalizacji niezgodnej po k okresach kapitalizacji są postaci: 4

6 - Kapitalizacja prosta ( r ) P k/m = K k, k = 0, 1,... m - Kapitalizacja złożona z dołu - Kapitalizacja złożona z góry ( r ) k, K k/m = K k = 0, 1,... m ( r ) k, W k/m = K 0 1 k = 0, 1,... m Przykład Kapitał o wartości 1 jp został oprocentowany według rocznej stopy procentowej 12%. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy róznych okresach kapitalizacji złożonej z dołu. Dla poszczególnych okresów kapitalizacji złozonej z dołu otrzymujemy: - kapitalizacja dwuletnia K 2/0,5 = ( 1 + 0, 12) 2 = 1, 5376 jp 0, 5 - kapitalizacja roczna K 2/0,5 = ( 1 + 0, 12) 4 = 1, 5735 jp 0, 5 - kapitalizacja kwartalna - kapitalizacja tygodniowa K 16/4 = ( 1 + K 208/52 = ( 1 + 0, 12) 16 = 1, 6047 jp 4 0, 12) 208 = 1, jp. 52 Zad Bank stosuje następujące roczne stopy procentowe dla lokat procentowych Czas lokaty w miesiącach Roczna stopa procentowa 3 15 % 6 17 % % Odsetki dopisywane są do kapitału po deklarowanym okresie trwania lokaty. Nie podjęcie kapitału po okresie deklarowanym jest równoważne jego wpłacie na następny taki sam okres. Wybrać najlepszy wariant ulokowania 100jp na dwa lata. Jaką stratę poniósłby właściciel kapitału przy wyborze wariantu najgorszego? 5

7 Zad Kapitał o wartości 1 jp został oprocentowany według rocznej stopy procentowej 12%. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy różnych okresach kapitalizacji prostej. Zad Bank A dopisuje odsetki na koniec trwania lokaty wg rocznej stopy procentowej 9%. W banku B obowiązuje kapitalizacja kwartalna z dołu przy rocznej stopie 8%. W którym banku korzystne jest ulokowanie pieniędzy na trzy lata. Czy odpowiedź zależy od liczby lat trwania lokaty? Zad Kapitał 1 jp został oprocentowany na 12% w stosunku rocznym. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy różnych okresach kapitalizacji złożonej z dołu. Zad Kapitał 1 jp został oprocentowany na 12% w stosunku rocznym. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy różnych okresach kapitalizacji złożonej z góry. Zad Do banku wpłacono 20jp. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą 12%, przez następne dwa lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja złożona z góry z roczną stopą procentową 9%. Przez następny rok obowiązywała miesięczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 7%. Zad Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20jp wyniosły 2, 2jp? Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K 0 = 100 jp po 13 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100 zł po 1 roku i 8 dniach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 20% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach, jeżeli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Zamienić kapitalizację na dwuletnią, półroczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 1 jp po 15 miesiącach, jeżeli w banku obowiązuje kapitalizacja miesięczna przy rocznej stopie procentowej 18%. Zadanie rozwiązać wykorzystując względną stopę procentową, roczną stopę efektywną, piętnastomiesieczną stopę efektywną. Zad (metoda liczb procentowych) Niech r oznacza roczną stopę procentową. Przyszła wartość kwoty K 0 po t dniach w oprocentowaniu prostym jest równa: natomiast odsetki za ten okres wynoszą K t = K 0 (1 + t r 360 ), Z t = K 0 t r 360. Czynnik K 0 t nazywa się liczbą procentową, natomiast 360/r nazywamy dzielnikiem procentowym. Załóżmy, że na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych, 6

8 wpłat i wypłat, wysokość kwoty w i-tej operacji oznaczmy przez S i. Wpłaty poprzedzamy znakiem +, wypłaty znakiem -. Niech t i oznacza liczbę dni, które upłynęły między dniem dokonania i-tej operacji a dniem rozliczenia t. Przy podanych oznaczeniach wartość konta bankowego w dniu t jest równa: N K t = S i + r N S i t i. i=1 360 i=1 Sumę L = i=1 NS i t i nazywamy sumaryczną liczbą procentową. Na rachunku bankowym dokonano następujących operacji: wpłata 560 zł, wpłata 140 zł, wypłata 500 zł. Jaką maksymalną kwotę można pobrać z tego rachunku w dniu r, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12%? Rozwiązać zadanie stosując metodę liczb procentowych Efektywna i równoważna stopa procentowa Przy ustalonej stopie procentowej przyszła wartość kapitału zależy od modelu kapitalizacji oraz od częstości dopisywania odsetek. Czasami zachodzi potrzeba zmiany okresu kapitalizacji z równoczesnym zachowaniem efektu kapitalizacji. Wygodnie jest też zamienić kapitalizację niezgodną na zgodną. Uzgadnianie kapitalizacji polega albo na podwyższeniu stopy procentowej, albo na jej obniżeniu. Do tego służą dla kapitalizacji złożonej z dołu odpowiednio efektywna i równoważna stopa procentowa, określone wzorami r ef = ( 1 + r m) m 1 r r = (1 + r) 1 m 1 Dla kapitalizacji złożonej z góry mamy odpowiednio r ef = 1 ( 1 r m ) m r r = 1 (1 r) 1 m. Stopy efektywne i stopy równoważne pozwalają na zmianę bez naruszenia efektu oprocentowania kapitalizacji niezgodnych kapitalizacjami zgodnymi. Do tego służą następujące wzory: K n = K 0 (1 + r r ) nm, K k/m = K 0 (1 + r ef ) k m, W n = K 0 (1 r r ) nm, W k/m = K 0 (1 r ef ) k m. Powyższe wzory dają możliwość wyznaczenia przyszłej wartości kapitału po niepełnej ilości okresów kapitalizacji. Niech r oznacza względną stopę procentową dostosowaną do 7

9 okresu kapitalizacji. Rzeczywisty czas oprocentowania t dzielimy na k równych części, tak aby okres kapitalizacji był całkowita wielokrotnością m takich części. Przyszłą wartość kapitału K 0 po czasie t obliczamy stosując wzory: K t = K 0 (1 + r) k m W t = K 0 (1 r) k m Przykład Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach, jeżeli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Zadanie to rozwiążemy na różne sposoby: - Stosując nominalną roczną stopę procentową, mamy - Stosując dwuletnią stopę efektywną: K 2 = K 0 (1 + r) 2 = 500(1 + 0, 16) 2 = 672, 8 jp. r ef = ( 1 + 0, 32) 2 1 = 0, K 1 = K 0 (1 + r ef ) 1 = 500 1, 3456 = 672, 8 jp. - Za pomocą półrocznej stopy równoważnej: r r = (1 + 0, 16) = 0, 077, K 4/2 = K 0 (1 + r r ) 4 = 500 1, = 672, 8 jp. Przykład Wyznaczyć przyszłą wartość 50 jp po roku i 7 dniach, jeśli roczna stopa procentowa wynsoi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Wyznaczymy dzienną, równoważną stopę procentową: Stąd ( r r = (1 + r) 1 0, 10) 1 m 1 = = 0, K 367 = 50(1 + r r ) 367 = 55, 297 jp. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K 0 = 100jp po 13 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Zad Wyznacz przyszłą wartość kwoty K 0 = 15jp po roku i 10 dniach jeśli bank stosuje miesięczną stopę procentową 2% i kapitalizacja jest miesięczna złożona z góry Zad Wyznacz przyszłą wartość 50jp po roku i 8 dniach jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 500jp po 2 latach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Rozwiązać zadanie stosując różne okresy kapitalizacji tak aby otrzymać tą samą wartość przyszłą. 8

10 Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 200jp po 15 miesiącach jeśli w banku obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 2%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje roczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizację złożoną z dołu. Zamienić z równoważnym efektem oprocentowania kapitalizację roczną na kapitalizacje: 2-letnią, 5-letnią, półroczną i miesięczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje półroczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizcję złożoną z dołu. Zamienić kapitalizację na inne równoważne. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 1jp po 15 miesiącach, jeżeli w banku obowiązuje kapitalizacja miesięczna złożona z góry przy rocznej stopie 20%. Rozważyć lokaty: miesięczna, 15-miesięczna, 5-miesięczna, tygodniowa, dniowa. Zad Wyznaczyć wartość 100jp po 13 miesiącach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu i roczną stopę procentową 5%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 500jp po 4 latach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Zamienić z równoważnym efektem oprocentowania kapitalizację roczną na kapitalizację: 4-letnią, 2-letnią, półroczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K 0 = 100jp po 13 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Rozwiązać zadanie zamieniając kapitalizację na 13-miesięczną, miesięczną. Zad Wyznacz przyszłą wartość kwoty K 0 = 15jp po roku i 10 dniach jeśli bank stosuje miesięczną stopę procentową 2% i kapitalizacja jest miesięczna złożona z góry Zad Wyznaczyć wartość 50jp po 18 miesiącach, jeżeli bank stosuje kapitalizację kwartalną z góry i półroczną stopę procentową r = 6%. Zamienić kapitalizację tak aby otrzymać równoważność oprocentowania na kapitalizację: miesięczną, 2. półroczną, 3. kwartalną. Zad Wyznacz przyszłą wartość 50jp po roku i 8 dniach jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznacz przyszłą wartość 50jp po roku i 7 dniach jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 200jp po 15 miesiącach jeśli w banku obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 2%. Zadanie rozwiązać stosując stopy: 15-miesięczną, kwartalną, miesięczną, ponadto rozwiązać zadanie wyznaczając jednostkę podstawową. 9

11 Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje roczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizację złożoną z dołu. Zamienić z równoważnym efektem oprocentowania kapitalizację roczną na kapitalizacje: 2-letnią, 5-letnią, półroczną i miesięczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje półroczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizcję złożoną z dołu. Zamienić kapitalizację na inne równoważne. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 1jp po 15 miesiącach, jeżeli w banku obowiązuje kapitalizacja miesięczna złożona z góry przy rocznej stopie 20%. Rozważyć stopy procentowe: miesięczną, 15-miesięczną, 5-miesięczną, tygodniową, dniową tak aby otrzymać równoważność warunków oprocentowania. Zad Wyznaczyć wartość 100jp po 13 miesiącach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu i roczną stopę procentową 5%. 1.5 Kapitalizacja ciągła Kapitalizacja ciągła to graniczny przypadek kapitalizacji złożonej w podokresach, gdy częstość dopisywania odsetek dązy do nieskończoności. Symbolem K(n) oznaczmy przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach stopy procentowej w kapitalizacji ciągłej. Zachodzi wzór K(n) = K 0 e nr, n = 1, 2,... Powyższy wzór uogólnia się do postaci K(t) = K 0 e tr, t > 0, gdzie t oznacza czas oprocentowania mierzony okresem stopy procentowej r. Odsetki Z t wyznaczone przez kapitał K 0 w czasie [0,t] wynoszą Z t = K 0 (e tr 1). Przykład Wyznaczyć przyszłą wartość 1 jp po czterech latach w modelu kapitalizacji ciągłej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 10 jp po 6 latach w modelu kapitalizacji ciągłej, jeżeli półroczna stopa procentowa wynosi 12%. Zad Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału K 0 = 750 jp po 13 latach, 7 miesiącach i 15 minutach, gdy okresem stopy procentowej r = 0, 0015 jest kwartał. Kapitalizacja jest ciągła. Zad W banku obowiązuje kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej r = 12%. Jak należy zmienić roczną stopę procentową aby po przejściu na kapitalizację ciągłą otrzymać równoważność warunków oprocentowania dla 5 lat. Czy nowe warunki oprocentowania będą równoważne dla 10 lat? Zad Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kapitalizacji ciągłej z kapitału 3 jp uzyskano po 15 miesiącach wartość 5 jp? 10

12 Bibliografia [1] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków [2] A. Kaźmierczak, Polityka pieniądza w gospodarce rynkowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [3] Z. Dobosiewicz, Bankowość, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne,