Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Transkrypt

1 Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200 PLN na rachunek oprocentowany według stopy i 2 = 0,5%. Oblicz stan oszczędności na koniec drugiego roku. W domu: Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji FV. Zadanie 2 0-letnie obligacje Skarbu Państwa wyemitowane w listopadzie 2000r. są obligacjami o stałym oprocentowaniu. Zgodnie z warunkami emisji każda obligacja daje jej posiadaczowi prawo do rocznych odsetek w wysokości 6% w skali roku płatnych na koniec roku. Wartość nominalna obligacji wynosi 000 PLN. Firma XYZ zakupiła 500 takich obligacji. Odsetki od nich będą przelewane na rachunek firmy oprocentowany według efektywnej stopy 5%. Oblicz kwotę jaka po 0 latach zostanie zgromadzona na rachunku firmy z tytułu posiadania obligacji. Zadanie 3 Saldo rachunku bankowego oprocentowanego według rocznej stopy nominalnej 8% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosi PLN. Jaką kwotę można pobierać z tego rachunku co kwartał przez 3 lata, jeśli pierwsza wypłata nastąpi dokładnie za 3 miesiące? W domu: Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji PMT. Zadanie 4 Pan Kowalski postanowił zadbać sam o swoją emeryturę. Będzie wpłacał przez kolejne 42 lata co miesiąc po 00 PLN na rachunek, gdzie kapitalizacja odsetek następuje miesięcznie. Oblicz jaką kwotę Pan Kowalski uzbiera na rachunku bankowym po 42 latach oszczędzania w przypadku gdy roczna stopa oprocentowania wynosi: a) 0% b) 2% c) 5% d) 0% Jaką miesięczną emeryturę będzie mógł sobie wypłacić Pan Kowalski jeśli założy, że zebrany kapitał ma mu wystarczyć na kolejnych 5 lat? W domu: Wyniki sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając odpowiednich funkcji. Zadanie 5 Sklep oferuje następujące dwa sposoby płatności za zakup komputera w systemie ratalnym: ) 2 rat miesięcznych po 300 PLN, przy czym pierwsza rata musi być wpłacona od razu, 2) 8 rat miesięcznych po 455 PLN, przy czym pierwsza rata ma być wpłacona po czterech miesiącach. Która oferta jest bardziej opłacalna dla klienta posiadającego rachunek oprocentowany według stopy 2%? W domu: Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji PV. Zadanie 6 Z tytułu ubezpieczenia Pan Kowalski będzie otrzymywał przez 20 lat na początku każdego miesiąca płatności w realnej wysokości PLN. Roczna stopa procentowa wynosi 6% a kapitalizacja następuje co miesiąc. a) Oblicz kwotę, jaką powinna dziś zgromadzić na ten cel firma ubezpieczeniowa. b) Oblicz kwotę, jaką powinna zgromadzić dziś firma ubezpieczeniowa przy założeniu, że Pan Kowalski jest nieśmiertelny. c) Oblicz względny błąd aproksymacji jaki popełnisz, gdy do wyceny renty z punktu ) użyjesz renty wieczystej. Czy błąd ten zależy od wysokości raty?

2 Zadanie 7 Wyprowadź wzór na n liczbę rat potrzebnych do osiągnięcia wartości końcowej F przy ustalonej racie R i stopie procentowej i. Zadanie 8 Pan Kowalski potrzebuje zgromadzić PLN na rachunku oprocentowanym według stopy kwartalnej,55%, przy kapitalizacji kwartalnej. Cel ten zamierza zrealizować poprzez systematyczne wpłaty 000 PLN na koniec kolejnych kwartałów. Ile wpłat powinien dokonać, aby osiągnąć cel? Wynik sprawdź w arkuszu kalkulacyjnym Excel używając funkcji NPER. Zadanie 9 W pewnej loterii główną wygraną można odebrać natychmiast, w kwocie PLN, lub w 0 ratach w kwocie każda, wypłacanych na koniec kolejnych lat. a) Oblicz, przy jakiej efektywnej stopie procentowej te dwa warianty wygranej są równoważne. Do obliczeń użyj funkcji RATE arkusza kalkulacyjnego Excel. b) Czy istnieje analityczna postać rozwiązania tego zagadnienia? Zadanie 0 Adam marzy o wycieczce zagranicznej do Ikslandii. Dwutygodniowa wycieczka kosztuje PLN. W celu zgromadzenia środków Adam rozważa wpłacanie po 200 PLN na koniec każdego z najbliższych 2 miesięcy, aby zaraz po dokonaniu ostatniej wpłaty móc opłacić swój wyjazd. Rachunek oszczędnościowy oprocentowany jest według rocznej stopy nominalnej 2% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. a) Czy Adam nie jest przesadnym optymistą? b) Jaką kwotę powinien Adam wpłacać na początku każdego z najbliższych 2 miesięcy, aby na koniec dwunastego miesiąca móc opłacić wycieczkę? c) Ile wpłat po 355 PLN na koniec kolejnych miesięcy powinien Adam dokonać, aby zaraz po ostatniej wpłacie móc opłacić wycieczkę? Zadanie Renta składa się z 2 miesięcznych rat. Wysokość każdej z pierwszych pięciu rat wynosi 00 PLN, każdej z kolejnych czterech 200 PLN, każdej z pozostałych trzech 50 PLN. Roczna stopa nominalna wynosi 2% a kapitalizacja jest miesięczna. Oblicz wartość początkową i końcową ( ) renty. Zaproponuj dwa różne sposoby dekompozycji na renty o stałych ratach. Zadanie 2 Renta składa się z 25 rat płatnych z dołu: pierwszych osiem po 400 PLN, dziesięć następnych po 500 PLN, siedem ostatnich po X PLN. Oblicz X, wiedząc, że dla i = 3% wartość końcowa tej renty wynosi PLN. Zadanie 3 a) Udowodnij że zachodzi zależność: b) Wyprowadź wzór na F a, c) Wyprowadź wzór na P a. n =, ji ni j= i s s n 2

3 Zadanie 4 Kredyt spłacany jest w 0 ratach kwartalnych. Pierwsza rata wynosi 000 PLN, a każda następna jest o 200 PLN większa od poprzedniej. Oblicz wartość początkową tej renty dla i = 4%. Zadanie 5 a) Wyprowadź wzór na F g, b) Wyprowadź wzór na P g. Zadanie 6 W umowie o najem mieszkania przyjęto, że opłata za pierwszy miesiąc wynosi 500 PLN, a każda następna będzie indeksowana na bieżąco wskaźnikiem wzrostu cen. W badanym roku wskaźnik ten w skali miesiąca utrzymywał się na stałym poziomie,008. Opłaty uiszczane są na koniec każdego miesiąca na rachunku właściciela kamienicy. Jeśli miesięczna stopa procentowa wynosi 0,5%, to jaką kwotę zgromadzono na rachunku po roku? Zadanie 7 Dany mamy ciąg 6 kwartalnych wpłat w kwocie 00 PLN na rachunek bankowy oprocentowany według nominalnej stopy 2% przy kapitalizacji: a) co miesiąc, b) co rok. Oblicz wartość początkową i końcową. Obliczenia przeprowadź zamieniając rentę uogólnioną na rentę zwykłą najpierw przez zamianę stopy a następnie przez zamianę raty. 3

4 Zadania do poćwiczenia w domu Zadanie 8 Renta składa się z 30 równych miesięcznych rat płatnych z góry. Roczna stopa nominalna wynosi 5%. Jaka powinna być wysokość raty, aby wartość końcowa renty wynosiła PLN, jeśli odsetki kapitalizowane są co miesiąc? Zadanie 9 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według rocznej stopy nominalnej 6% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech latach móc pobierać po 200 PLN na koniec każdego kwartału przez cztery kolejne lata? Zadanie 20 Saldo rachunku wynosi PLN. a) Jeśli efektywna stopa procentowa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych lat? b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać w nieskończoność kwotę 800 PLN na koniec kolejnych lat? Zadanie 2 Przez 5 lat na koniec każdego roku dokonywane były wpłaty na rachunek oprocentowany według stopy efektywnej 6% przez pierwszych 0 lat i 4% w następnych latach. Każda z pierwszych pięciu wpłat była w wysokości 500 PLN, a każda z następnych dziesięciu po 700 PLN. Dwa lata po ostatniej wpłacie stopa efektywna rachunku wzrosła do 5%. Jaką stałą kwotę można pobierać bez końca co roku z tego rachunku? Załóż, że stopa efektywna pozostanie na poziomie 5%, a pierwsza wypłata zostanie podjęta dokładnie 3 lata po ostatniej wpłacie. Zadanie 22 Wartość początkowa renty o 20 ratach tworzących ciąg arytmetyczny, w którym d = 50, wynosi Jeśli i = 4%, to ile wynosi pierwsza rata? Zadanie 23 Oblicz wartość końcową renty, w której R = 00, R = j j, j =,2,...,49, jeśli i = 5%. Zadanie 24 Oblicz wartość początkową renty o ratach R = 00, R = j+, 05R,,2,...,5, j j = jeśli i = 7%. Zadanie 25 Renta składa się z 5 rat po 500 PLN. Efektywna stopa procentowa wynosi 2%, a odsetki kapitalizowane są co kwartał. Jaka jest wartość początkowa renty, jeśli raty są: a) kwartalne, b) półroczne, c) roczne? 4

5 Zadanie 26 Odsetki kapitalizowane są co kwartał przy stopie i 4 = 2%. Oblicz wartość początkową renty o 2 ratach po 00 PLN płatnych: a) na koniec kolejnych kwartałów, b) na początku kolejnych kwartałów, c) na koniec kolejnych kwartałów z odroczeniem o trzy kwartały, d) na koniec kolejnych półroczy, e) na koniec kolejnych miesięcy (odsetki naliczamy zgodnie z zasadą oprocentowania składanego). Zadanie 27 Nominalne oprocentowanie rachunku wynosi 2% przy kapitalizacji kwartalnej. Jaka kwota zostanie zgromadzona na rachunku na koniec piątego roku w wyniku wpłacania 500 PLN: a) na koniec każdego kwartału, b) na początku każdego kwartału, c) na koniec każdego półrocza, d) na początku każdego półrocza, e) na koniec każdego miesiąca (odsetki naliczamy zgodnie z zasadą oprocentowania składanego), f) na początku każdego miesiąca (odsetki naliczamy zgodnie z zasadą oprocentowania składanego). Zadanie 28 Saldo rachunku oprocentowanego według rocznej stopy 6% przy rocznej kapitalizacji odsetek wynosi PLN. Na koniec pięciu kolejnych lat pobierana będzie z niego kwota 500 PLN, a następnie (też na koniec kolejnych lat) kwota 400 PLN. a) Ile wypłat po 400 PLN można zrealizować? b) Ile wyniesie saldo rachunku na początku ósmego roku, a ile po ostatniej wypłacie 400 PLN? 5

6 ODPOWIEDZI Zadanie FV = 5 086,39 PLN Zadanie 2 FV = ,78 PLN Zadanie 3 R = 945,60 PLN Zadanie 4 a) FV = ,00 PLN R = 3 080,00 PLN b) FV = ,60 PLN R = 5 583,94 PLN c) FV = ,54 PLN R = 4 886,56 PLN d) FV = ,2 PLN R = 9 542,67 PLN Zadanie 5 a) PV = 3 40,29 PLN b) PV = 3 379,2 PLN Zadanie 6 a) PV = ,35 PLN b) PV = ,00 PLN c) 42,57% 6