Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych baszmen, entereczek, JG, kubked, MK, PajdziuPaj Vertyk WI-INFA września 0 Spis treści Teoria. Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest numerycznie stabilny?....... Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange a i udowodnić jednoznaczność jego rozwiązania..................................... Sformułowanie zadania............................. Twierdzenie................................... Dowód - zbędne na egzaminie.........................4 Wykazanie jednoznaczności rozwiązania.................. Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć?.4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powiedzieć?...4. Sformułowanie zadania............................4. Co można o nim powiedzieć?........................5 Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nim powiedzieć?.........................................5. Sformułowanie zadania............................5. Co można o nim powiedzieć?........................6 Opisać algorytm wyznaczania naturalnej funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwiązać i jaką metodę można zastosować do jego rozwiązania?..................... 4.6. Definicja................................... 4.6. Algorytm - część ogólna.......................... 4.6. Algorytm - funkcja naturalna....................... 4.7 Opisać algorytm wyznaczania okresowej funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwiązać i jaką metodę można zastosować do jego rozwiązania?..................... 5.7. Definicja................................... 5.7. Algorytm - część ogólna.......................... 5.7. Algorytm - okresowa funkcja sklejana.................. 5.8 Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego. 6.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL T do rozwiązania układu równań liniowych Ax = b?................................. 7.9. Definicja macierzy dodatnio określonej:................. 7.9. Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych?..................... 7
.0 W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych? Jakie znasz metody i co możesz o nich powiedzieć?......... 8. Opisać metodę połowienia służącą do określenia znajdowania pierwiastka równania nieliniowego................................. 9. Opisać metodę regula-falsi służącą do wyznaczania pierwiastka równania nieliniowego f(x) = 0.................................. 9. Opisać metodę Newtona służącą do rozwiązywania układu równań nieliniowch f(x) = 0. W jakim przypadku i jak można ją uprościć?............. 0.4 Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu.........5 Podać definicję ciągu Sturma.............................6 Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A............7 Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami. W jaki sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakim przypadku zagadnienie to jest interpolacją wielomianową?.................... Dowody. Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego naturalnego k jest fl(x k ) = x k ( + ε) k, gdzie ε < eps.................... Udowodnić, że jeżeli f(x) = (x x 0 )(x x )... (x x p ), to [x 0, x,..., x n ; f] = 0 dla n p. Jaka jest wartość tego ilorazu, gdy n = p +?............ 4. Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n, a funkcja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x,..., x n, to funkcja g(x) + x 0 x x n x 0 [g(x) h(x)] interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x 0, x,..., x n (funkcje g i h nie muszą być wielomianami).............................. 4.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n, a funkcja h jest funkcją taką, że h(x i ) = δ in (0 i n), to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x 0, x,..., x n.................................... 5 Zadania 5. Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [, ] pokazać, że rozszerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale?................................. 5. W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z] prawdziwe jest zawieranie [x] ([y] + [z]) [x] [y] + [x] [z] Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale prawostronnym.. 6. Dane są dwa różne algorytmy obliczania różnicy kwadratów dwóch liczb: A(a, b) = a b oraz A(a, b) = (a b) (a + b). Realizacja, którego z tych algorytmów na komputerze jest lepsza i dlaczego?....................... 7.4 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x +................................... 7.5 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x................................... 8.6 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x =.................. 8
.7 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x =.................. 9.8 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x =............. 0.9 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x =..............0 Za pomocą algorytmu Neville a znaleźć wartość wielomianu interpolacyjnego w punkcie x =, który w punktach 0,, przyjmuje wartości odpowiednio,,.. Dane są wartości f(0) =, f (0) =, f() = 0, f () = 0, f () = 40. Znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite a..................... Wielomian p(x) interpoluje cztery początkowe punkty z poniższej tablicy. Dodając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomian interpolujący wszystkie dane.................................... 5. Dla jakich wartości a, b, c funkcja S(x) może być w przedziale [0, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?........................ 5.4 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego? 6.5 Dla jakich wartości a, b funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego. 8.6 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) może być w przedziale [, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?.................. 8.7 Znaleźć rozkład A = LL T, jeśli macierz A ma postać:............. 9.7. Rozwiązanie :............................... 9.7. Rozwiązanie :............................... 9.7. Wynik:................................... 0.8 Dla jakich wartości parametru α macierz A jest dodatnio określona?..... 0.9 Zbadać wpływ zaburzenia wektora b na dokładność rozwiązania x układu równań liniowych Ax = b................................0 Zbadać zbieżność metody Jacobiego dla układu równań liniowych........ Zbadać zbieżność metody Gaussa-Siedla dla układu równań liniowych...... Zbadać zbieżność metod Jacobiego i Gaussa-Siedla dla układu równań liniowych z macierzą.................................... Metoda Jacobiego............................... Metoda Gausa Seidla........................... 4. Wykazać, że dla poniższej macierzy metoda Gaussa Seidla nie gwarantuje zbieżności przy dowolnym wyborze początkowego przybliżenia rozwiązania układu równań liniowych Ax = b............................ 4.4 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu:............................. 5.4. Wstęp:.................................... 5.4. Rozwiązanie................................. 6.4. Zmiany znaków............................... 6.4.4 Liczba pierwiastków w x = 0....................... 6.4.5 Liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych.............. 6.5 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby pierwiastków rzeczywistych wielomianu................................... 6.5. Rozwiązanie:................................ 7.5. Zmiany znaków:.............................. 8.5. Liczba pierwiastków rzeczywistych:.................... 8.6 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby ujemnych pierwiastków rzeczywistych wielomianu:............................. 8.6. Rozwiązanie:................................ 8.6. Zmiany znaków:.............................. 9.6. Liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych:.............. 9
.7 Wykonać pierwszą iterację w metodzie Newtona zastosowanej do rozwiązywania układu równań nieliniowych przyjmując punkt początkowy (0,0,).... 9.8 Wykonać pierwsze dwie iteracje w metodzie Newtona zastosowanej do rozwiązywania układu równań nieliniowych przyjmując punkt początkowy (0,).. 40.9 Stosując metodę Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego, wyznaczyć macierz A................................ 4.0 Znaleźć przybliżenie funkcji F (x) = sin(x) na przedziale [0, π ] wielomianem stopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x 0 = π ). Jaki jest błąd aproksymacji? 4 4 Zadania z wykładów 4 4. Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange a, który w punktach -,,,4 przyjmuje wartości odpowiednio,,-,8. Jaka jest wartość tego wielomianu w punkcie x = 0?...................................... 4 4. Stosując metodę Newtona, znaleźć wielomian interpolacyjny, który w punktach 0,, przyjmuje wartości odpowiednio,,.................. 44 4. Utworzyć wielomian interpolacyjny Newtona dla funkcji f(x) opisanej poniższą tabelą......................................... 45 4.4 Różnice progresywne i wsteczne wielomianu................... 45 4.5 Z jaką dokładnością można obliczyć ln 00, 5 za pomocą wzoru interpolacyjnego Lagrange a mając wartości ln 00, ln 0, ln 0, ln 0,?............ 45 Teoria 006. Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest numerycznie stabilny? Algorytm ϕ jest numerycznie stabilny, jeśli dla dowolnie wybranych danych x 0 D istnieje taka dokładność obliczeń δ 0, że dla dokładności δ < δ 0 mamy x 0 D(δ) oraz lim ϕ(x 0, δ) = ϕ(x 0 ), δ 0 gdzie ϕ oznacza algorytm ϕ zależy od rodzaju arytmetyki komputera. Innymi słowy powyższa definicja mówi, że algorytm jest numerycznie stabilny wtedy, gdy zwiększając dokładność obliczeń można wyznaczyć (z dowolną dokładnością) dowolne istniejące rozwiązania zadania. 006, 007, 008, 009, 0, 0zp, 0zp, 0. Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange a i udowodnić jednoznaczność jego rozwiązania... Sformułowanie zadania Zadanie interpolacyjne Lagrange a polega na znalezieniu dla danej funkcji wielomianu stopnia nie wyższego niż n, którego wartość w n + punktach x i są takie same jak wartości interpolowanej funkcji L n (x i ) = f(x i ), i = 0,,..., n oraz x i x j dla i j.. Twierdzenie Zadanie interpolacyjne Lagrange a ma dokładnie jedno rozwiązanie 4
.. Dowód - zbędne na egzaminie Niech x 0, x,..., x n będą węzłami interpolacji funkcji f takie, że znane są wartości f(x 0 ) = y 0, f(x ) = y,..., f(x n ) = y n Można zdefiniować funkcję l i : l i (x) def = n j=0 j i x x j x i x j, i = 0,,..., n są to wielomiany stopnia n, takie że δ ij - symbol Kronecker a { dla i = j l i (x j ) = δ ij = 0 dla i j Stąd wynika, że n n n L n (x) = f(x i )l i (x i ) = f(x i ) i=0 i=0 j=0 j i x x j x i x j () jest wielomianem stopnia co najwyżej n przyjmującym w węzłach interpolacyjnych x i wartości f(x i ), co dowodzi istnienia rozwiązania. Wzór () nazywamy wzorem interpolacyjnym Lagrange a...4 Wykazanie jednoznaczności rozwiązania Załóżmy, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany L n(x) i L n(x) stopnia n, przyjmujące w węzłach x 0, x,..., x n takie same wartości. Niech L n(x) = L n(x) L n(x) będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej n (co wynika z własności odejmowania wielomianów). (*) Ponieważ L n(x) i L n(x) w węzłach x i : i 0,,..., n interpolują tę samą funkcję, to L n(x i ) = L n(x i ), a więc L n(x i ) = 0 (węzły interpolacji są pierwiastkami L 4 n(x)). Ale każdy niezerowy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że L n(x) ma n+ pierwiastków, to L n(x) musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru. A ponieważ L n(x) = L n(x) L n(x) 0 to L n(x) L n(x) co jest sprzeczne z założeniem, że L n(x) i L n(x) są różne.. Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć? Zadanie interpolacyjne Hermite a polega na znalezieniu dla danej funkcji f oraz k + węzłów x 0, x,..., x k wielomianu H n stopnia nie większego niż n, takiego że H (j) n (x i ) = f (j) (x i ), i = 0,,..., k; j = 0,,..., m i () czyli że w węzłach interpolacji pochodne rzędu j tego wielomianu są równe pochodnym funkcji intepolowanej, przy czym k m i = n +, m i N i=0 Liczbę m i nazywamy krotnością węzła x i. 006, 007, 007p, 008, 008z, 009, 0, 0z, 0z, 0 Właściwości: 5
Jeżeli 0 i k m i =, to interpolacja Hermite a sprowadza się do interpolacji Lagrange a. Zadanie interpolacyjne Hermite a () ma jednoznaczne rozwiązanie..4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powiedzieć? 005.4. Sformułowanie zadania. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W mn postaci mk=0 a k x k W mn (x) = nk=0 b k x k, w której stopień licznika jest równy co najwyżej m, a stopień mianownika - co najwyżej n, spełniającej dla danych węzłów x i i wartości funkcji w tych węzłach f(x i )(i = 0,,..., m+n) warunki W mn (x i ) = f(x i )..4. Co można o nim powiedzieć? Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwiązalne. Prawie każde rozwiązanie powyższego układu jest rozwiązaniem układu m n a k x k i f(x i ) b k x k i = 0, k=0 k=0 i = 0,,..., m + n 006.5 Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nim powiedzieć?.5. Sformułowanie zadania. Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej f o okresie π wielomianu trygonometrycznego: T n (x) = β 0 + β e xi + β e xi... + β n e (n )xi, () e αi = cos α + i sin α (wzór Eulera; i oznacza jednostkę urojoną), takiego że: T n (x k ) = f(x k ), k = 0,,..., n. (4) Funkcja f jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach zespolonych. Współczynniki β k w ogólności mogą być liczbami zespolonymi..5. Co można o nim powiedzieć? Jeżeli dana jest funkcja g o okresie T, tj. g(y + T ) = g(y), to dokonując zmiany zmiennej według zależności x = π yt T y otrzymamy f(x) = g( π ), a więc funkcję okresową o okresie π. Bez zmniejszania ogólności możemy zatem rozważać tylko funkcje o okresie π. Istnieje dokładnie jeden wielomian () spełniający warunki (4) 6
.6 Opisać algorytm wyznaczania naturalnej funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwiązać i jaką metodę można zastosować do jego rozwiązania?.6. Definicja 005, 006, 008p, 009, 00p, 0 Funkcję sklejaną S stopnia m z węzłami ( ) nazywamy naturalną funkcją sklejaną, jeśli w przedziałach (, x 0 ) i (x n, + ) dana jest wielomianami stopnia m. S m ( ) - klasa funkcji sklejanych stopnia m z węzłami ( ), N m ( ) - klasa naturalnych funkcji sklejanych stopnia m z węzłami ( ).6. Algorytm - część ogólna Szukaną funkcję sklejaną można przedstawić w każdym z podprzedziałów w postaci S(x) = a i + b i t + c i t + d i t, (5) gdzie t = x x i dla x [x i, x i+ ], i = 0,,..., n. Ponadto S N ( ) lub S P ( ) oraz S(x i ) = f(x i ) w węzłach ( ). Ze wzoru (5) wynika, że należy wyznaczyć 4n współczynników (jeśli przedział [a, b] podzielony jest na n podprzedziałów). Z definicji (5) oraz jej warunków wynika, że gdyż dla x = x i mamy t = 0. a i = f(x i ), i =,,..., n (6) Do wyznaczenia pozostaje zatem n współczynników. Ponieważ S, S i S mają być ciągłe w węzłach x i (i =,,..., n ) otrzymujemy n równania. Pozostałe równania uzyskujemy z faktu, że S jest naturalną lub okresową funkcją sklejaną. Wprowadźmy pomocnicze zmienne h i : h i = x i+ x i, i = 0,,..., n (7) Współczynniki b i i d i określone są następująco: b i = f(x i+) f(x i ) h i h i (c i+ + c i ), i = 0,,..., n (8) d i = c i+ c i h i, i = 0,,..., n (9).6. Algorytm - funkcja naturalna Jeśli funkcja S jest naturalną funkcją sklejaną, to poza przedziałem [a, b] jest ona wielomianem stopnia m, a w przedziale [a, b] - stopnia m. W naszym przypadku m =, a zatem m =. Oznacza to, że w przedziałach (, a) i (b, + ) funkcja S jest wielomianem stopnia pierwszego, a stąd S (x) = 0 dla x / [a, b]. Z drugiej strony funkcja S musi być ciągła w punktach x 0 = a i x n = b, czyli S (x 0 ) = S (x n ) = 0. Zatem c 0 = 0, bo S (x) = 7
c 0 + 6d 0 (x x 0 ) dla x [x 0, x ) oraz c n = 0 z warunku c n = S (x n 0). Znalezienie współczynników c sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych: w 0 0 c v u w 0 0 c v 0 u w 0 c v....... =..... 0 u n w n c n v n 0 0 u n c n v n gdzie u i = h i h i + h i, i =,,..., n (0) v i = h i + h i h i w i =, i =,,..., n () h i + h i ( f(xi+ ) f(x i ) f(x ) i) f(x i ), i =,,..., n () h i h i a następnie wyznaczenie pozostałych współczynników szukanej funkcji sklejanej ze wzorów (8) i (9). Układ równań ma postać macierzy trójdiagonalnej. Istnieje kilka metod rozwiązywania układów tego typu, m.in metoda Crouta..7 Opisać algorytm wyznaczania okresowej funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwiązać i jaką metodę można zastosować do jego rozwiązania? 005, 006, 008p, 009, 00p.7. Definicja Funkcję sklejaną S stopnia m z węzłami ( ) nazywamy okresową o okresie b a, jeśli S (i) (a+ 0) = S (i) (b 0) dla i = 0,,..., m. S m ( ) - klasa funkcji sklejanych stopnia m z węzłami ( ), P m ( ) - klasa okresowych funkcji sklejanych stopnia m z węzłami ( ).7. Algorytm - część ogólna Patrz punkt.6...7. Algorytm - okresowa funkcja sklejana Jeśli funkcja S jest okresową funkcją sklejaną stopnia trzeciego, to muszą być spełnione warunki S (i) (x 0 + 0) = S (i) (x n 0), i = 0,, a stąd dla i = 0 otrzymujemy dla i = : oraz dla i = : f(x 0 ) = f(x n ), b 0 = b n + c n h n + d n h n, c 0 = c n 8
Znalezienie współczynników sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych: w 0 0 u c v u w 0 0 c v 0 u w 0 c v....... =..... 0 u n w n c n v n w n 0 0 u n c n v n gdzie u n = h n h n + h 0 w n = h n + h 0 ( f(x ) f(x n ) v n = f(x ) n) f(x n ) h n + h 0 h 0 h n a pozostałe wielkości u i, w i i v i (i =,,..., n ) są określone jak w (0), () i () Macierz ta jest macierzą zbliżoną do trójdiagonalnej, różni się od niej jedynie o niezerowe elementy u i w n. W celu rozwiązania takiego układu równań, macierz można rozłożyć na iloczyn LU np. metodą eliminacji Gaussa. Chcąc rozwiązać układ równań Ax = d, wystarczy rozwiązać kolejno dwa układy równań Ly = d i Ux = y. h 0.8 Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego. Algorytm eliminacji Gaussa jest algorytmem rozwiązywania układu n równań z n niewiadomymi. Układ równań 005, 006, 007, 007p, 008, 008z, 0, 0z, 0z, 0 a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b... a n, x + a m, x + + a n,n x n = b n przekształcany jest do postaci A () x = b () a,... a,n x.... a n,... a n,n x n Przed wykonaniem algorytmu dla wygody warto kolumny podpisać kolejnymi zmiennymi, a wiersze wyrazami wolnymi. Ułatwia to orientację w zmianach w układzie równań podczas zamiany kolumn (zmiana kolejności zmiennych) oraz wierszy (zmiana kolejności wyrazów wolnych). Wyrazy wolne podlegają tym samym operacjom co reszta macierzy. Algorytm zaczynamy od macierzy W = A; = b. b n. W macierzy W znajdź element s o maksymalnej wartości bezwzględnej.. Zamień wiersze macierzy W tak aby s znajdowała się w pierwszym wierszu. 9
. Zamień kolumny macierzy W tak aby s znajdowała się na pozycji (, ). 4. Odejmij od każdego z pozostałych wierszy wiersz pierwszy pomnożony przez w i, w,, gdzie i to numer wiersza. 5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny. 6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową STOP - brak jednoznacznego rozwiązania. 7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierz kwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych. 8. Wróć do punktu. Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci: i i... i n q, q,... q,n c 0 q,... q,n = c....... 0 0... q n,n gdzie i, i,..., i n to zapamiętane przez nas indeksy zmiennych w oryginalnej macierzy, a c, c,..., c n to przekształcone wyrazy wolne. Wartości zmiennych odczytujemy w następujący sposób:. Z ostatniego wiersza wyznaczamy x in = c n q n,n. W analogiczny sposób, znając już wartości x i+, x i+,..., x n obliczamy kolejne wartości x i x ia = c a n k=a+ (x ik q a,k ) c n q a,a 006, 007, 007p, 008, 008p, 009, 00p, 0, 0.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL T do rozwiązania układu równań liniowych Ax = b?.9. Definicja macierzy dodatnio określonej: Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy:. jest macierzą hermitowską, tj. A = A H (ĀT ). x H Ax > 0 dla wszystkich wektorów x C n, x 0. Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki: A A T x R n : (x 0 x T Ax > 0).9. Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych? W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkątnym. Rozkład rzeczywistej macierzy A na iloczyn LL T wykonujemy na podstawie następujących wzorów: 0
k l k,k = a k,k l k,j, k =,,..., n, j= l i,k = a i,k k j= l i,jl k,j l k,k, i = k +, k +,..., n. Dla macierzy rzeczywistej wzory upraszczają się: k l k,k = a k,k lk,j, j= k =,,..., n l i,k = a i,k k j= l i,jl k,j l k,k i = k +, k +,..., n Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z przedstawienia macierzy A jako iloczyn LL T, a następnie iterowania wierszami po kolejnych elementach macierzy L. Żeby rozwiązać układ równań Ax = LL T x = b z taką macierzą wystarczy rozwiązać najpierw układ równań z macierzą dolnotrójkątną Ly = b, a następnie układ równań z macierzą górnotrójkątną L T x = y (liczby sprzężone zastępujemy odpowiednimi liczbami rzeczywistymi)..0 W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych? Jakie znasz metody i co możesz o nich powiedzieć? Aby skonstruować metodę iteracyjną do rozwiązywania układów równań liniowych Ax = b wystarczy tak dobrać macierz M, by był spełniony warunek zbieżności ϱ(m) < i warunek zgodności x = M x + w, gdzie x jest rozwiązaniem układu równań Ax = b. Teoretycznie wystarczy zatem wziąć dowolną macierz M taką, by ρ(m) <, a następnie obliczyć wektor w = (I M)A b wynikający z warunku zgodności. Ponieważ wymagałoby to obliczenia wyrażenia A b, więc w praktyce postępujemy odwrotnie: przyjmujemy, że wektor w jest równy N b, gdzie N jest pewną macierzą kwadratową. Z warunku zgodności mamy wówczas M = I NA i w ten sposób otrzymujemy rodzinę metod iteracyjnych postaci: 006, 007, 007p, 008, 008p, 008zp, 009, 00p, 0, 0zp, 0zp, 0 x (i+) = (I NA)x (i) + Nb Znane metody opierają się na równości A = L+D +U, gdzie L jest macierzą dolnotrójkątną, D diagonalną, a U górnotrójkątną. metoda Jacobiego N = D M J = D (L + U) Dx (i+) = (L + U)x (i) + b, i = 0,,,... metoda Gaussa Seidla N = (D + L) M GS = (D + L) U Dx (i+) = Lx (i+) Ux (i) + b, i = 0,,,...
. Opisać metodę połowienia służącą do określenia znajdowania pierwiastka równania nieliniowego Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek i na którego końcach funkcja ma przeciwna znaki tj. f(a)f(b) < 0. W celu znalezienia przybliżonej wartości pierwiastka, dzielimy przedział [a, b] na połowy punktem 006 x () = a + b. Jeżeli f(x () ) = 0, to punkt x () jest szukanym pierwiastkiem. Jeśli natomiast tak nie jest, to z dwóch przedziałów [a, x () ] i [x (), b] wybieramy ten, na którego końcach funkcja ma przeciwne znaki. Przedział ten dzielimy na połowy punktem x (), badamy wartość funkcji w punkcie x () i znaki funkcji na końcach przedziału itd. Po pewnej liczbie kroków otrzymamy albo pierwiastek dokładny, albo ciąg przedziałów, takich, że: f(x (i) )f(x (i+) ) < 0, gdzie [x (i), x (i+) ] oznacza tu i-ty przedział, którego długość wynosi: x (i+) x (i) = (b a) i Można zauważyć, że lewe końce ciągu przedziałów tworzą ciąg niemalejący i ograniczony z góry, a prawe końce - ciąg nierosnący i ograniczony z dołu, więc wynika z tego, że istnieje ich wspólna granica, która jest szukanym pierwiastkiem 006, 007, 007p, 008, 009, 0, 0 Pierwsza pochodna mówi nam o tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca, druga czy wklęsła czy tez wypukła Teraz musimy przeanalizować wyniki. Jeśli f(x () ) = 0, to liczba x () jest szukanym pier- wiastkiem. Jeśli natomiast f(x () ) 0 to przez punkt C(x (), f(x () )) oraz ten z punktów A i B, którego rzędna ma przeciwny znak niż f(x () ) prowadzimy następną cięciwę itd. rzędna - y. Opisać metodę regula-falsi służącą do wyznaczania pierwiastka równania nieliniowego f(x) = 0. Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek, a funkcja f ma na końcach tego przedziału przeciwne znaki. Załóżmy ponadto, że f C [a, b] (przestrzeń funkcji ciągłych wraz z pochodnymi do rzędu drugiego) oraz że pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji f mają stąły znak w tym przedziale. Przy takich założeniach funkcja może mieć jedną z czterech postaci:. rosnąca + wklęsła. rosnąca + wypukła. malejąca + wklęsła 4. malejąca + wypukła Pokażemy przykład f (x), f (x) > 0 (w pozostałych przypadkach jest analogicznie). Przez punkty A(a, f(a)) oraz B(b, f(b)) poprowadzimy cięciwę o równaniu : Stąd y f(a) = x () = a f(b) f(a) (x a). b a f(a) (b a). f(b) f(a)
. Opisać metodę Newtona służącą do rozwiązywania układu równań nieliniowch f(x) = 0. W jakim przypadku i jak można ją uprościć? Rozwiązanie f (x, x,, x n ) f f(x) = (x, x,, x n ) = 0 f n (x, x,, x n ) 006, 007, 008p, 008zp, 009, 0, 0zp, 0zp, 0 Zakładając, że:. punkt ξ jest pierwiastkiem powyższego równania. wektor x (0) jest przybliżoną wartością ξ Przy powyższych założeniach można zapisać wzory, będące uogólnieniem klasycznej metody Newtona: 0 = f(ξ) f(x (0) ) + Df(x (0) )(ξ x (0) ) f f f x x x n f f f Df(x (0) x x x n ξ x (0) ) =....., ξ x (0) =.. f n f n f x n x n ξ n x (0) n x n O ile macierz Df(x (0) ) jest nieosobliwa to: x (i+) = x (i) [Df(x (i) )] f(x (i) ) Ze względu na niewygodne obliczenia wynikające z powyższego wzoru w praktyce wzór przekształca się do postaci: Df(x (i) ) x (i+) = Df(x (i) )x (i) f(x (i) ) }{{}}{{} A b Do rozwiązania powyższego układu równań liniowych można zastosować dowolną metodę. Metodę tę można uprościć. Zakładając, że 0 < ω <, otrzymujemy następujące wzory iteracyjne na kolejne elementy rozwiązania x: x (i+) = x (i), x(i) f x (x (i), x(i) ω f (x (i) n ),..., x(i) n ),..., x(i) TO-CHECK Czy ω na pewno <? x (i+) n x (i+) = x (i) = x (i) n ω f (x (i+), x (i),..., x(i) n ), x (i),..., x(i) f x (x (i+)... n ) ω f n(x (i+), x (i+),..., x (i+) n, x(i) n ) f n x n (x (i+), x (i+),..., x (i+) n, x(i) n )
.4 Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu. Metoda Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu (również zespolonych), polega na tym, że pierwiastki wielomianu x rx q, 005, 007, 009, 0, gdzie r i q oznaczają liczby rzeczywiste, są także wtedy i tylko wtedy pierwiastkami danego wielomianu rzeczywistego p(x) = a 0 x n + a x n + + a n, a 0 0, gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku p(x) = p (x)(x rx q) + Ax + B, gdzie stopień wielomianu p (x) jest nie większy niż n, przy czym wyrażenie Ax + B jest resztą powstałą przy dzieleniu przez trójmian x rx q. Współczynniki A i B są zależne od r i q, tzn. A = A(r, q) i B = B(r, q). Ponieważ reszta ma być zerem, należy zatem rozwiązać równania: Stosujemy w tym celu metodę Newtona: { A(r, q) = 0 B(r, q) = 0 [ ] [ ] r (i+) r (i) q (i+) = q (i) A r B r A q B q r=r (i) q=q (i) [ ] A(r (i), q (i) ) B(r (i), q (i) ) 006, 007, 008, 0.5 Podać definicję ciągu Sturma. Ciąg p(x) = p 0 (x), p (x),..., p n (x) wielomianów rzeczywistych nazywamy ciągiem Sturma gdy:. wielomian p 0 (x) stopnia n ma tylko pojedyncze pierwiastki. signp (ξ) = signp 0 (ξ) dla wszystkich rzeczywistych pierwiastków ξ wielomianu p 0(x) TO-CHECK Czy te wielomiany to na pewno p i i p i+?. dla i =,,..., n mamy p i+ (ξ)p i (ξ) < 0 gdzie ξ oznacza pierwiastek rzeczywisty wielomianu p i (x) 4. ostatni wielomian p n (x) nie zmienia swojego znaku Ciąg tworzymy w następujący sposób: Pierwszy wielomian (p o (x)) to dana funkcja, drugi (p (x)) to pochodna pierwszego wielomianu z przeciwnym znakiem (p (x) = p 0 (x)). Kolejne wielomiany p i (x) (i =,,..., n) są resztą z dzielenia wielomianu p i (x) przez wielomian p i (x), wziętą ze znakiem przeciwnym, ewentualnie przemnożoną przez dowolną stałą dodatnią. 4
008, 009, 0.6 Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A Do wyznaczania macierzy A stosuje się metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego. Algorytm składa się z dwóch etapów:. wyznaczamy rozkład LU macierzy A (uwzględniając ewentualne przestawienia wierszy macierzy A). rozwiązujemy n razy układ równań LUx (i) = e (i), i =,,..., n gdzie e (i) oznacza i-ty wersor w przestrzeni R n, tj. e (i) = [0,..., }{{},..., 0] T i-ta pozycja Rozwiązania x (i) są kolumnami macierzy A, przy czym należy ustawić je w kolejności wynikającej z przestawień wierszy macierzy. Można też równocześnie rozwiązywać n układów równań z prawymi stronami równymi e (i) (i =,,..., n)..7 Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami. W jaki sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakim przypadku zagadnienie to jest interpolacją wielomianową? Rozwiązanie: W aproksymacji średniokwadratowej dla funkcji F (x) określonej na przedziale 007p, 009, [a,b] minimalizujemy F (x) f(x), czyli szukamy minimum całki: 0, 0 F (x) f(x) = b a w(x)[f (x) f(x)] dx gdzie: w(x) jest funkcją wagową F (x) jest funkcją aproksymowaną f(x) jest funkcją aproksymującą natomiast dla funkcji F (x) danej na dyskretnym zbiorze argumentów będziemy poszukiwać minimum sumy: m F (x) f(x) = w(x i )[F (x i ) f(x i )] Niech: i=0 przy czym w(x i ) 0 dla i = 0,,..., m. funkcja y = F (x) przyjmuje na pewnym zbiorze X=x 0, x,..., x m wartości y 0, y,..., y m. ϕ i (x), i = 0,,..., n oznacza układ funkcji bazowych podprzestrzeni X n+ Poszukujemy takiej funkcji f(x), która będzie najlepszym przybliżeniem średniokwadrotowym funkcji F (x) na zbiorze X tj. funkcji: m f(x) = a i ϕ i (x) i=0 a i są tak określone, by minimalizować 5
Przyjmijmy: m n m H(a 0, a,..., a n ) = w(x j )[F (x j ) a i ϕ i (x j )] = w(x j )Rj j=0 i=0 j=0 Obliczamy współczynniki a i : H m n = w(x j )[F (x j ) a i ϕ i (x j )]ϕ k (x j ) = 0 a k j=0 i=0 Otrzymaliśmy w ten sposób układ n+ równań liniowych z n+ niewiadomymi a i zwany układem normalnym. Jeżeli jako funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów x i (i = 0,,..., n) to po przekształceniach otrzymamy wówczas układ normalny w postaci: n α ik a i = β k Objaśnienie do powyższych wzorów: w(x) jest ustalona z góry i taka, że w(x j ) > 0 dla j = 0,,..., m R j - odchylenie w punkcie x j k = 0,,..., n α i k = m j=0 x i+k j, β k = m j=0 F (x j )x k j Jeżeli: i=0. n m i punkty x 0, x,..., x n są różne, to wyznacznik układu jest różny od zera, a więc układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie. n = m, to wielomian aproksymacyjny f(x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnym dla punktów x 0, x,..., x n i wówczas H = 0 Dowody 009, 0. Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego naturalnego k jest fl(x k ) = x k ( + ε) k, gdzie ε < eps. Wstęp: f l(α) oznacza wartość wyrażenia α w arytmetyce zmiennopozycyjnej, eps oznacza dokładność maszynową. Dowód indukcyjny. wartość wyr. w ar. zm. dla l. maszynowej to ta liczba. Dla k = : fl(x) = x Dla k = z definicji wynika, że: fl(x ) = fl(x x) = (x x)( + ε) = x ( + ε). Jeżeli przyjmiemy, że fl(x k ) = x k ( + ε) k to: fl(x k ) = fl(x k x) = (fl(x k ) x)( + ε) = x k ( + ε) k x( + ε) = x k ( + ε) k Wniosek: na mocy zasady indukcji matematycznej można stwierdzić, że podane twierdzenie jest prawdziwe. 6
. Udowodnić, że jeżeli f(x) = (x x 0 )(x x )... (x x p ), to [x 0, x,..., x n ; f] = 0 dla n p. Jaka jest wartość tego ilorazu, gdy n = p +? Definicja ilorazu różnicowego: [x l, x l+,..., x l+k ; f] = l+k l+k i=l j=l j i f(x i ) (x i x j ) Dowód. Z definicji wynika zatem, że przy założeniu n p, każdy składnik sumy będzie równy 0, gdyż ponieważ wartość f(x) w punktach x 0, x,..., x n wynosi 0. Zatem wartość całej sumy, a tym samym ilorazu różnicowego wyniesie 0. 007, 008, 009, 0, 0 Trochę inaczej niż w rozwiazanie.pdf, ale o wiele prościej Dla n = p +, n pierwszych składników powyższej sumy będzie równych 0, natomiast składnik n-ty będzie wyglądał następująco (przyjmując p = n ): f(x n ) p j=0 (x n x j ) = (x n x 0 )(x n x )... (x n x p ) (x n x 0 )(x n x )... (x n x p ) = Ostatecznie wartość ilorazu różnicowego [x 0, x,..., x n ; f] = 0 dla n = p + to.. Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n, a funkcja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x,..., x n, to funkcja g(x) + x 0 x x n x 0 [g(x) h(x)] interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x 0, x,..., x n (funkcje g i h nie muszą być wielomianami). Dowód. Oznaczmy przez k(x) funkcję: 007, 008, 008z, 0z, 0z, 0 k(x) = g(x) + x 0 x x n x 0 [g(x) h(x)]. Dla x = x 0 : k(x 0 ) = g(x 0 ) + x 0 x 0 x n x 0 [g(x 0 ) h(x 0 )] () = g(x 0 ) + 0 [g(x 0 ) h(x 0 )] = g(x 0 ). Dla x = x n : k(x n ) = g(x n ) + x 0 x n x n x 0 [g(x n ) h(x n )] (4) = g(x n ) [g(x n ) h(x n )] = g(x n ) g(x n ) + h(x n ) = h(x n ) 7
. Dla x = x i (i =,,..., n ): zatem g(x i ) = h(x i ), k(x i ) = g(x i ) + x 0 x i x n x 0 [g(x i ) h(x i )] (5) = g(x i ) x 0 x i x n x 0 0 = g(x i ) Ponieważ funkcja g(x) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n, a funkcja h interpoluje funkcję f w węźle x n, zatem na podstawie równań (), (4) i (5) funkcja k(x) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n. 007, 008, 0.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n, a funkcja h jest funkcją taką, że h(x i ) = δ in (0 i n), to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x 0, x,..., x n Wstęp: Symbol Kronecker a: δ ij = {, i = j 0, i j Dowód. Oznaczmy przez k(x) następującą funkcję: Być może to powinno być przez negację, że taka stała nie istnieje i dojść do sprzeczności.. k(x i ) = g(x i ) + c h(x i ) = g(x i ) + c δ in Dla i = 0,,..., n, wartość symbolu Kronecker a δ in wynosi 0, gdyż i n, zatem k(x i ) = g(x i ), z czego wynika, że dla i = 0,,..., n funkcja k(x) interpoluje funkcję f w punktach x 0, x,..., x n. Dla i = n, wartość symbolu Kronecker a δ in wynosi, a więc k(x n ) = g(x n ) + c. Ponieważ funkcja k(x) ma interpolować funkcję f(x) w węźle x n, zatem k(x n ) = f(x n ). Znając wartość funkcji interpolowanej f(x) i funkcji g(x) w węźle x n, można wyliczyć c na podstawie wzoru: c = f(x n ) g(x n ) Istnieje zatem taka stała c, dla której funkcja k(x) = g(x) + c h(x) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x,..., x n. Zadania 007p. Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [, ] pokazać, że rozszerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale? Wstęp: f(x) = x + + x = 4 4 x x = 4 4 x, x < 8
f [] - oznaczenia rozszerzenia przedziałowego funkcji Jeżeli mamy kilka równoważnych zapisów matematycznych, to funkcję przedziałową należy wyznaczyć z wyrażenia, w którym x występuję namniejszą liczbę razy [x] = min { x : x [x]} [x] = max { x : x [x]} [x] = [ [x], [x] ] Rozwiązanie: f () [] ([x]) = [ ], + [ ] +, = [ ], + [ 5 ], 7 [ ] [ = 5, + 7, [ 4 = ] 0, 8 ] (6) f () [] ([x]) = 4 [ 4, 4 = [ 7 4, 9 4 f () [] ([x]) = 4 ] [ ], = [ ] 4 4, 9 4 [ 4 ] = [4, 4] 9, 4 [ 6 = 7] 9, 6 ] (7) 7 4 [ 4, = 4 [ 7 4, 4 ] = [4, 4] 4 ] = [ ] 4 0, 9 4 [ 4, 4 [ = 7], 6 7 ] (8) Wartość funkcji przedziałowej odpowiada wartości jej rozszerzenia przedziałowego danego równaniem (8).. W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z] prawdziwe jest zawieranie [x] ([y] + [z]) [x] [y] + [x] [z] Wstęp: Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale prawostronnym. Rozwiązanie: Przyjmując: [a] [b] = [a] = [a, a] [a] + [b] = [a + b, a + b] }, max [ { min a b, a b, a b, a b [ [a]/[b] = [a] b, ], 0 / [b] b [x] = [, ] { a b, a b, a b, a b }] 007p, 008, 009, 0 Ważne! Końce przedziałów nie mogą być sobie równe (ani jeden)! [y] = [, ] 9
[ [z] =, ] Otrzymujemy: [ L =, ] ( [ [, ] +, ]) [ =, ] [ 0, ] = [ ], 0 [ P =, ] [ [, ] +, ] [, ] [ =, ] [ ] [ + 4, = 7 4, ] Zatem: L P 005, 009, 0. Dane są dwa różne algorytmy obliczania różnicy kwadratów dwóch liczb: A(a, b) = a b oraz A(a, b) = (a b) (a + b). Realizacja, którego z tych algorytmów na komputerze jest lepsza i dlaczego? Przy realizacji pierwszego z nich w arytmetyce zmiennoprzecinkowej otrzymujemy gdzie fl(a b ) = [(a a)( + ε ) (b b)( + ε )] ( + ε ) = ( = (a b ) + (a ε b ) ε ) (a b ( + ε ) = ) = (a b )( + δ ) δ = a ε b ε a b ( + ε ) + ε, a ε, ε, ε są błędami wytworzonymi w poszczególnych działaniach arytmetycznych i zgodnie z zależnością ε i t (i =,, ). Jeśli a jest odpowiednio bliskie b, a ε i ε mają przeciwne znaki, to błąd względny δ wyniku otrzymanego algorytmem A może być dowolnie duży. Nie jest tak w przypadku drugiego algorytmu, gdyż gdzie fl((a b)(a + b)) = ((a b)( + ε )(a + b)( + ε ))( + ε ) = = (a b )( + δ ) δ ε + ε + ε i błąd względny δ jest zawsze nie większy od t. (Oszacowanie δ jest podane w pierwszym przybliżeniu tj. traktuje iloczyny kilku ε jako 0). Jak widzimy z porównania wartości δ i δ algorytm drugi jest znacznie lepszy. 006.4 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x + Wstęp: w(x) = x x 5x + 5 w n = a n w k = w k+ x + a n, k = n, n,..., 0 w 0 = w(k) 0
Iloraz z dzielenia uzyskujemy, wyznaczając kolejne współczynniki w k. Ostatni współczynnik (w 0 ) jest resztą z dzielenia. n v(x) = w i x i i= Rozwiązanie: v(x) = w(x) x + w = w = ( ) = w = ( ) 5 = w 0 = ( ) + 5 = 7 v(x) = x x, r = 7.5 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x w(x) = x 4 + x 4x x + 006, 008zp, 0zp, 0zp w 4 = w = + = w = 4 = w = ( ) = 5 w 0 = ( 5) + = v(x) = x + x x 5, r =.6 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x =. w(x) = x x 5x + 5 006, 007, 008, 0 Wstęp: Wyznaczamy kolejne ilorazy z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x C, gdzie C w przypadku tego zadania wynosi. Wyznaczanie przerywamy, gdy wielomian będzie stały. Kolejne reszty z dzielenia, począwszy od drugiej, wyznaczają znormalizowane pochodne w punkcie x = C. Rozwiązanie: w (x) = x x 5x + 5 w = w = = 0 w = 0 5 = 5 w 0 = ( 5) + 5 = 5
w (x) = x 5 w = w = + 0 = w 0 = 5 = = w ()! w (x) = x + w = w 0 = + = 4 = w ()! w 4 (x) = w 0 = = w ()! Ostatecznie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) w punkcie x = to -, 4 i. 007, 008, 0.7 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x =. w(x) = x 4 + x 4x x + w (x) = x 4 + x 4x x + w 4 = w = + = w = 4 = w = ( ) = 5 w 0 = ( 5) + = w (x) = x + x x 5 w = w = + = w = = w 0 = + 5 = 4 w (x) = x + x + w = w = + = 4 w 0 = 4 + = 5 w 4 (x) = x + 4 w = w 0 = + 4 = 5
w 5 (x) = w 0 = Ostatecznie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) w punkcie x = to -4, 5, 5 i..8 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = w(x) = x 4 + x 4x x + 007p Wstęp: wyznaczamy m pierwszych znormalizowanych pochodnych wielomianu pq = n +, gdzie p, q - liczby naturalne dla p = - minimalna liczba s(j) = (n j) mod q, j = 0,,..., n mnożeń r(j) = { 0 dla j mod q 0 q dla j mod q = 0, j = 0,,..., n T i = a n i x s(i+), i = 0,,..., n T j j = a nx s(0), T j i j = 0,,..., m = T j i + T j i xr(i j), j = 0,,..., m; i = j +, j +,..., n Okazuje się, że Tn j = w(j) (x) j! x j mod q, zatem j-ta znormalizowana pochodna wyraża się wzorem T j n x j mod q, j =,,..., m Rozwiązanie: n = 4 pq = 5 p =, q = 5 s(j): r(j): j s(j) 0 4 4 0 j r(j) 0 5 0 0 0 4 0 T j i : Ponieważ x = można pominąć liczenie wszystkich potęg
Przykłady: i j - 0 4 0-4 - - -5 4 4 - -4 5 5 T 0 = = T = 4 = T 0 = T + T 0 = 4 + = T 4 = T + T = 4 + = 5 Znormalizowane pochodne: rząd wartość -4 5 5 4 006 elementy na przekątnej T j j są zawsze takie same.9 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = n = pq = 4 p =, q = 4 s(j): r(j): T j i : w(x) = x x 5x + 5 j s(j) 0 0 j r(j) 0 4 0 0 0 i j - 0 0 = 8 = 8 5 = 0 8 + 8 0 = 0 8 5 0 = 5 0 + 0 0 = 0 0 + 8 0 = 8 8 5 0 0 = 5 0 + 8 0 = 8 + 8 0 = 6 8 4
Znormalizowane pochodne: rząd wartość = 6 = 4 8 =.0 Za pomocą algorytmu Neville a znaleźć wartość wielomianu interpolacyjnego w punkcie x =, który w punktach 0,, przyjmuje wartości odpowiednio,,. Wstęp: 006, 007p P i0 = f(x i ) W mianowniku różnica między skrajnymi węzłami P ik = (x x i k)p i,k (x x i )P i,k x i x i k Rozwiązanie: Przykład: = P i,k + P i,k P i,k x x i k, k i, i = 0,,... x x i k = 0 k = k = i x i P i0 = f(x i ) P i P i 0 0 P 00 = > P = 0 = P 0 = > P = 0 = 4 > P = 0 = 0 P 0 = P = ( ) Ostatecznie L = 4 ( ( ) 0) x P 0 x P 00 = x x 0 ) ( =. Dane są wartości f(0) =, f (0) =, f() = 0, f () = 0, f () = 40. Znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite a. Wstęp: 005 Oznaczenia n - stopień wielomianu Hermite a m i - krotność i-tego węzła (i = 0,,..., n) (czyli ile ma zdefiniowanych pochodnych) k + - ilość węzłów zobacz również. 5
Funkcja pomocniczna s(i) (suma krotności i początkowych węzłów interpolacji): s(i) = { 0 dla i = 0, m 0 + m + + m i dla i > 0 Każdą liczbę l = 0,,..., n można jednoznacznie przestawić w postaci l = s(i) + j, gdzie 0 i k oraz 0 j m i. Wielomian p s(i)+j : p s(0) (x) = p s(i)+j (x) = (x x 0 ) m 0 (x x ) m... (x x i ) j, i = 0,,..., k; j =,,..., m i Szukany wielomian H n : n k m i H n (x) = b l p l (x) = l=0 i=0 j=0 Uogólnionym ilorazem różnicowym funkcji f nazywamy: b s(i)+j p s(i)+j (x). dla i-krotnego węzła x l : [x l, i; f] = f (i ) (x l ) (i )! (9). dla różnych węzłów x l, x l+,..., x l+k o krotnościach odpowiednio i l, i l+,..., i l+k [x l, i l ; x l+, i l+ ;... ; x l+k, i l+k ; f] = (0) [x l, i l ; x l+, i l+ ;... ; x l+k, i l+k ; f] [x l, i l ; x l+, i l+ ;... ; x l+k, i l+k ; f] x l+k x l Współczynniki b l wielomianu interpolacyjnego Hermite a są równe ilorazom różnicowym interpolowanej funkcji opartym na początkowych węzłach z uwzględnieniem ich krotności, tzn. b l = [x 0, m 0 ; x, m ;... ; x i, m i ; x i, j + ; f] Rozwiązanie: Dane: k = i 0 x i 0 m i f(x i ) - 0 f (x i ) - 0 f (x i ) - 40 Suma krotności węzłów wynosi 5, zatem szukany wielomian będzie stopnia co najwyżej czwartego. 4 m i H 4 (x) = b l p l (x) = b s(i)+j p s(i)+j (x) Funkcja s(i): l=0 i=0 j=0 6
i s(i) 0 0 m 0 = Wartość l: Wielomian p s(i)+j : l i j 0 0 0 0 0 4 p 0 (x) = (x 0) 0 = p (x) = (x 0) = x p (x) = (x 0) (x ) 0 = x p (x) = (x 0) (x ) = x (x ) p 4 (x) = (x 0) (x ) = x (x ) Współczynniki b: x 0 = 0 i = 0 i = i = i = i = 4 [x 0, ; f] = [x 0, ; f] = x 0 = 0 [x 0, ; f] = [x 0, ; x, ; f] = [x 0, ; x, ; f] = [x 0, ; x, ; f] = 6 x = [x, ; f] = 0 [x 0, ; x, ; f] = 9 [x 0, ; x, ; f] = 5 [x, ; f] = 0 [x 0, ; x, ; f] = x = [x, ; f] = 0 [x, ; f] = 0 x = [x, ; f] = 0 [x, ; f] = 0 Wyjaśnienie: Komórki powyższej wypełniamy tak, aby utworzony iloraz różnicowy był zgodny ze wzorem (9), w przypadku gdy lewy górny i lewy dolny iloraz składa się z jednego węzła, lub wzorem (0). Przykłady: [x, ; f] = 40! = 0 [x 0, ; x, ; f] = 0 + 0 = [x 0, ; x, ; f] = 9 0 = 6 Ostateczny wielomian Hermite a: Współczynniki b l wielomianu znajdują się na górnej przekątnej tabeli: H 4 (x) = b 0 p 0 + b p + + b n p n = x + x + 6x (x ) + 5x (x ) 7
. Wielomian p(x) interpoluje cztery początkowe punkty z poniższej tablicy. Dodając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomian interpolujący wszystkie dane. p(x) = (x + ) + x(x + ) x(x + )(x ) x - 0 y -7 0 Aby wielomian interpolował wszystkie dane zawarte w tabeli, musi być w postaci (wielomianu interpolacyjnego) Newtona. Postać dotychczasowego wielomianu p(x) wynika z podstawienia wyliczonych ilorazów różnicowych do wzoru interpolacyjnego Newtona dla wielomianu stopnia trzeciego: 007, 008, 0 p(x) = f(x 0 ) + [x 0, x ; f](x x 0 ) + [x 0, x, x ; f](x x 0 )(x x )+ +[x 0, x, x, x ; f](x x 0 )(x x )(x x ) Składnik, który musi zostać dodany do wielomianu p(x) ma postać: q(x) = [x 0, x, x, x, x 4 ; f](x x 0 )(x x )(x x )(x x ) = a(x + )(x 0)(x )(x ) Wielomian interpolujący wszystkie dane zawarte w tabeli oznaczymy jako r(x) i będzie wyrażał się wzorem: r(x) = p(x) + q(x) Na podstawie tabeli wiemy, że p() + q() = 0, stąd też możemy wyznaczyć współczynnik a: 0 = ( + ) + ( + ) ( + )( ) + a( + )( )( ) = Szukany wielomian jest więc następujący: = 4 + 48 + 4a 4a = 48 a = r(x) = (x + ) + x(x + ) x(x + )(x ) + x(x + )(x )(x ) Alternatywnym sposobem rozwiązania zadania jest konstrukcja tablicy ilorazów różnicowych dla wszystkich danych zawartych w tabeli. 007, 008, 009, 0, 0. Dla jakich wartości a, b, c funkcja S(x) może być w przedziale [0, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego? { x x [0, ) S(x) = (x ) + a(x ) + b(x ) + c x [, ) Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem m = m = (por. definicja naturalnej funkcji sklejanej.6.). W przedziałach (, 0) i [, + ) funkcja ta będzie stopnia m, czyli funkcją liniową. Pełny zapis funkcji: S(x) = ex + f x (, 0) x x [0, ) (x ) + a(x ) + b(x ) + c x [, ) gx + h x [, + ) 8
Pierwsza pochodna: S (x) = e x (, 0) x x [0, ) (x ) + a(x ) + b x [, ) g x [, + ) Druga pochodna: S (x) = 0 x (, 0) 6x x [0, ) (x ) + a x [, ) 0 x [, + ) Warunki: S (0 + ) = S (0 ) 0 = 6 0 S ( ) = S ( + ) a = 6 a = S ( ) = S ( + ) 6 + a = 0 a = sprzeczne z powyższym Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale [0, ) naturalną funkcją sklejaną..4 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego? x x (, ) S(x) = a + bx + cx + dx x [, 4) 57 x x [4, ) Z definicji funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodne rzędu, 007, 008, 008z, 0z, 0z, 0 Dla podanej funkcji x x (, ) S(x) = a + bx + cx + dx x [, 4) 57 x x [4, ) należy sprawdzić jej ciągłość w węzłach: S( ) = S( + ) S( ) = ( ) = 7 S( + ) = a + ( ) b + 9 c + ( 7) d a b + 9c 7d = 7 () S(4 ) = S(4 + ) S(4 ) = a + 4 b + 6 c + 64 d S(4 + ) = 57 (4) = 9 a + 4b + 6c + 64d = 9 () 9
Pierwsza pochodna: Co daje nam następujące zależności: x (, ) S (x) = b + cx + dx x [, 4) x [4, ) S ( ) = S ( + ) S ( ) = S ( + ) = b + ( ) c + 9 d b 6c + 7d = () S (4 ) = S (4 + ) S (4 ) = b + 4 c + 6 d S (4 + ) = b + 8c + 48d = (4) Druga pochodna: 0 x (, ) S (x) = c + 6dx x [, 4) 0 x [4, ) I wynikające z niej zależności: S ( ) = S ( + ) S ( ) = 0 S ( + ) = c 8d c 8d = 0 (5) S (4 ) = S (4 + ) S (4 ) = c + 4d S (4 + ) = 0 c + 4d = 0 (6) Rozwiązując układ równań (5) i (6) otrzymamy c = 0 i d = 0. Podstawiając te wyniki do równania (4) otrzymujemy b =, a z równania () b =. Otrzymujemy tym samym sprzeczność, a więc nie istnieją takie wartości parametrów a, b, c i d, dla których funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną stopnia trzeciego. 0
008, 0.5 Dla jakich wartości a, b funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego (x ) + a(x ) x (, ) S(x) = (x ) (x ) x [, ) (x ) + b(x ) x [, ) Z definicji wynika, że funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodne rzędu,. Sprawdzenie ciągłości funkcji S(x) i jej pochodnych: S() = ( ) + a( ) = a S() + = ( ) ( ) = a = (7) S() = ( ) + ( ) = S() + = ( ) + b( ) = b b = (8) Pierwsza pochodna: (x ) + a(x ) x (, ) S (x) = (x ) (x ) x [, ) (x ) + b(x ) x [, + ) S() = ( ) + a( ) = a S() + = ( ) ( ) = a = (9) Jak widzimy zachodzi sprzeczność, ponieważ z równań i wynika, że = a = (0) co jest oczywistą nieprawdą. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że nie istnieją takie parametry a i b, dla których funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną trzeciego stopnia..6 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) może być w przedziale [, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego? S(x) = { x x [, 0) a + bx + cx + dx x [0, ) 007, 008, 0 Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem m = m = (por. definicja naturalnej funkcji sklejanej.6.). W przedziałach (, ) i [, + ) funkcja ta będzie stopnia m, czyli funkcją liniową. Pełny zapis funkcji: S(x) = ex + f x (, ) x x [, 0) a + bx + cx + dx x [0, ) gx + h x [, + )
Pierwsza pochodna: S (x) = e x (, ) x x [, 0) b + cx + dx x [0, ) g x [, + ) Druga pochodna: S (x) = 0 x (, ) 6x x [, 0) c + 6dx x [0, ) 0 x [, + ) Warunki: S ( ) = S ( + ) 0 = 6 ( ) sprzeczność Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale [, ) naturalną funkcją sklejaną. 008zp, 0zp 0zp,.7 Znaleźć rozkład A = LL T, jeśli macierz A ma postać: 4 A = 5 6.7. Rozwiązanie : Korzystamy ze wzorów: k l kk = a kk l kj k =,,..., n j= l ik = a ik k j= l ijl kj l kk i = k +, k +,..., n Najpierw liczymy wartości z przekątnej macierzy, a następnie korzystając z nich pozostałe wartości z danej kolumny. l = 4 0 = l = 0 = l = 0 l = 5 = l = = l = 6 ( + ) = =.7. Rozwiązanie : A = LL T
4 L 0 0 L L L 5 = L L 0 0 L L 6 L L L 0 0 L L L L L L = L L L + L L L + L L L L L L + L L L + L + L Z czego wynika, że (pamiętając, że elementy macierzy L na głównej przekątnej są dodatnie): L = 4 L = L L = L = L L = L = L + L = 5 L = L L + L L = + L = L = L + L + L = 6 + + L = 6 L =.7. Wynik: Otrzymane macierze: 0 0 L = 0 L T = 0 0 0.8 Dla jakich wartości parametru α macierz A jest dodatnio określona? α α A = α α α α Sprawdźmy, czy badana macierz jest macierzą hermitowską, czyli czy jest równa swojej macierzy hermitowskiej, tj. macierzy transponowanej, której wszystkie elementy są sprzężone. Liczba sprzężona oznaczana jako a, jak Czytelnik może pamiętać z Algebry Liniowej to liczba której część urojona ma przeciwny znak (w przypadku liczb rzeczywistych to ta sama liczba). Mamy zatem: A = A H α α α α α α = α α α α α α Z powyższego wynika, że α = α, czyli α R. Uważny czytelnik może zauważyć, że macierz A jest w takim razie rzeczywista oraz elementy na głównej przekątnej są dodatnie. Pozostaje zatem sprawdzić, czy wiodące minory główne (tj. wyznaczniki podmacierzy powstałych przez wykreślenie ostatnich wiersz i kolumn) są dodatnie: > 0 009, 0 Kryterium Sylvestra α > 0 < α < α α + > 0