Bardzo łatwa lista powtórkowa
|
|
- Kazimierz Witek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz , C-13/1.31 egzamin poprawkowy: 7 lutego, godz , C-13/1.31 Bardzo łatwa lista powtórkowa 1. Zapisz następujące liczby dziesiętne w systemie dwójkowym zmiennopozycyjnym z mantysą czterocyfrową z pierwszą cyfrą znaczącą po przecinku(na cechę nie wprowadza się ograniczeń):7,8,9,0.5,1.5,0.25, Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjna znormalizowana η? Czemu równa się w komputerze 1 + η? 3. Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjnaznormalizowanaǫtaka,że1+ǫ>1? 4.CotojestNAN? 5. Podaj przykład liczby mniejszej od 1, która nie ma dokładnej reprezentacji w standardzie IEEE, typ single. 6.Zaproponujalgorytmobliczaniawartościfunkcjif(x)= x+2 xdlabardzodużych wartości x. Podaj uzasadnienie swojego wyboru i przeprowadź analizę błędów zaokrągleń zaproponowanego algorytmu. 7. Jaki algorytm nazywamy algorytmem numerycznie poprawnym? 8. Udowodnij, że dodawanie liczb w arytmetyce zmiennopozycyjnej w komputerze nie jest działaniem łącznym. 9.Niechw(x)=x x+1.jakiekłopotymogąsiępojawićprzyobliczaniupierwiastków tego wielomianu w zmiennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej z mantysą 8-mio cyfrową ijakijeominąć? 10. Co ilustruje perfidny wielomian Wilkinsona? 11.Omówalgorytmobliczaniawkomputerzepierwiastkówwielomianuax 2 +bx+x,a 0. Kiedy zadanie obliczania piewiastków tego wielomianu jest źle uwarunkowane? 12. Co jest wskaźnik uwarunkowania zadania? Jaką wielkość(i dlaczego?) przyjmuje się jako wskaźnik uwarunkowania zadania obliczania wartości funkcji: y = f(x)? 13. Podaj definicję wielomianu interpolacyjnego Lagrange a. Jak udowodnić, że ten wielomian jest określony jednoznacznie? 14. Podaj wzór na resztę interpolacji. 15. Podaj definicję ilorazu różnicowego. Jak udowodnić, że iloraz różnicowy nie zależy od kolejności węzłów? 16.Udowodnij,żeilorazróżnicowyfunkcjif(x)=x n opartynan+2węzłachjestrówny zero. 1
2 17. Omów algorytm wyznaczania ilorazów różnicowych, które występując we wzorze Newtona na wielomian interpolacyjny. 18. Wyznacz wielomian interpolacyjny w(x) taki, że w(0)=1, w(2)=3, w(3)=2, w(4)=5, w(6)=7 dwoma sposobami. Zastosuj wzór Lagrange a i wzór Newtona. 19.Niechfunkcjafwwęzłachx 0 =2,x 1 =0ix 2 =3przyjmujeodpowiedniowartości11, 7i28. (a) Korzystając z wzoru Newtona, wyznacz wielomian w(x) interpolujący funkcję f. (b) Bez jawnego wyznaczania ilorazów różnicowych, uzasadnij, dlaczego f[x 2,x 1,x 0 ]=f[x 1,x 0,x 2 ]. (c) Niech wielomian u(x) interpoluje funkcję f w powyższych węzłach oraz w dodatkowymwęźlex 3 =4,przyczymf(4)=0.Czemurównasięu(x) w(x)?odpowiedź uzasadnij bez jawnego wyznaczania wielomianu u(x). 20.Dlafunkcjif(x)=sin ( ) πx 2 wyznaczwielomianinterpolacyjnyopartynawęzłach 1,0,1. Zbadaj, z jakim błędem w(0.5) przybliża wartość funkcji f(0.5). Oszacuj resztę interpolacji. 21. Co to są węzły Czebyszewa? Omów własności wielomianów Czebyszewa, które są powodem stosowania węzłów Czebyszewa w interpolacji- sformułuj twierdzenie dotyczące tych własności. 22. Wyznacz wielomian interpolacyjny Lagrange a w(x) z trzema węzłami Czebyszewa, interpolujący funkcję 1/(x + 2) na przedziale[ 1, 1]. Oszacuj resztę interpolacji na przedziale[ 1, 1]. 23.Wyznaczwspółczynnkia 0,a 1,a 2 wielomianuw(x)=a 0 x 2 +a 1 x+a 2 spełniającego następujące warunki interpolacji: w( 2) = 1, w(0) = 0, w(2) = 1, rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych. Wyznacz wielomian interpolacyjny z wzoru Newtona. Jak obliczyć wartość wielomianu w(x) dla x = 0.5 w obu przypadkach? Napisz schemat algorytmu obliczania wartości tego wielomianu w postaci Newtona dla x = t. Wzoruj się na schemacie Hornera. 24.Napiszschematalgorytmudzieleniawielomianuw(x)=a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 przez jednomian x r. Uwaga. Zakładmy, że r jest pierwiastkiem wielmianu w(x). To gwarantuje, że wielomian dzieli sie przez jednomian. 25.Wielomianw(x)=x 3 x 5=0madodatnipierwiastekα 1.9.Czywielomianw(x) ma jeszcze inny pierwiastek dodatni? W jakim przedziale leżą wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu w(x)? Skorzystaj z twierdzenia Maclaurina. 26.Niechf(x)= x. (a) Naszkicuj wykres funkcji f. (b)czy(idlaczego)metodanewtonajestzbieżnadozerafunkcjif?podajuzasadnienie geometryczne. 27.Jakijestwykładnik(rząd)metodyx k+1 =x k f(x k) 2f (x k ) zastosowanejdowyznaczenia zerafunkcjif(x)= 1 x 2? 2
3 28.Niechf(x)=x 2sinx.Pokaż,żeciągx k+1 =2sinx k jestzbieżnydozerafunkcjifw przedziale(π/2,2)dladowolnegox 0 ztegoprzedziału. 29. Wyznacz metodą Newtona kilka kolejnych przybliżeń dodatnego pierwiastka wielomianu (a)x 2 4, (b)x 2 2x+4, (c)(x 2)(x 2 +x+1). Jaka jest krotność tych pierwiastków? Dla którego wielomianu metoda Newtona jest szybciej zbieżna? 30.Wyznaczkilkaprzybliżeńzerafunkcjif(x)=x 3 1trzemametodami: metodą bisekcji, metodą Newtona, metodą siecznych. Napisz schemat tych algorytmów razem z odpowiednim kryterium kończenia procesu iteracyjnego. 31.Zlokalizujgraficzniezerofunkcjif(x)=cos(x) x+1.następniezastosujmetodę Newtona do jego wyznaczenia. Jak wybrać przybliżenie początkowe? 32.Zlokalizujgraficznierozwiązanierównaniae x 3x=0.Czy(idlaczego?)dorozwiązania tegorównaniamożnazastosowaćnastępującąmetodę:x k+1 = 1 3 ex k? 33. Jaka jest interpretacja geometryczna metod siecznych i Newtona obliczania zer funkcji? Jakie są wykładniki zbieżności tych metod? 34.Dwaspośródczterechpierwiastkówwielomianuw(x)=x 4 +2x 3 7x 2 +3sądodatnie. Do ich wyznaczenia chcemy zastosować metodę Newtona. Jak wybrać przybliżenia początkowe? 35.Cozdarzysię,jeślimetodaNewtonabędziezastosowanadowielomianuw(x)=2x 3 9x 2 +12x+15znastępującymiprzybliżeniamipoczątkowymi: (a)x 0 =3, (b)x 0 <3, (c)x 0 >3? 36. Co to znaczy, że zbieżność jakiejś metody iteracyjnej jest kwadratowa? Omów wady i zalety jakichś dwóch kryteriów kończenia procesu iteracyjnego. 37.WmetodzieNewtona,zastosowanejdoobliczenia rkonstruujesięciąg x k+1 = 1 [x k + r ]. 2 xk Niechr=2.Czyx 0 =1jestdobrymprzybliżeniempoczątkowym? 38. Zastosuj twierdzenie Maclaurina do wyznaczenia przydziałów zawierających pierwiastki dodatnieiujemnewielomianuw(x)=(x 2) 2 (x 3)(x+1) 2 (x 2 +2).Uwaga.Wyznacz współczynniki tego wielomianu. 3
4 39.Niechf(x)=(x 1) 2.Udowodnij,żemetodaNewtonazastosowanadofunkcjifjest zbieżna liniowo. 40. Rozpatrzymy następującą modyfikację metody siecznych x n+1 =x n x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) f(x n). Jest to metoda iteracyjna jednopunktowa. Załóżmy, że ciąg wyznaczony tą metodą jest zbieżny do zera funkcji f. Pokaż, że szybkość zbieżności jest tylko liniowa. 41. Za pomocą odpowiedniego rysunku sprawdź, czy równanie x 2 4sinx=0 ma rozwiązanie i zaproponuj jakieś przybliżenie początkowe tego rozwiązania. 42. Napisz schemt algorytmu rozwiązywania metodą Newtona równania z poprzedniego zadania. Podaj jakieś kryterium kończenia procesu iteracyjnego. 43. Podaj definicje odwzorwania zwężającego i punktu stałego. Czy odwzorowanie g(x) = 1+2/xjestzwężającenaprzedziele[1,3]? 44. Napisz schemat algorytmu rozwiązania układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną. 45. Napisz schemat algorytmu eliminacji Gaussa rozwiązywania układu rówanń liniowych z macierzą trójprzekątniową(niezerowe elementy są tylko na głównej przekątnej oraz bezpośrednio nad i pod nią). 46. Podaj definicję i przykład normy wektora. 47. Z jaką normą wektora jest zgodna norma Frobeniusa macierzy? Co to są normy zgodne? 48. Oblicz wskaźniki uwarunkowania następujących macierzy(można wybrać dowolną normę macierzy podaną na wykładzie): [ ] [ ] , Rozważmy następujący układ równań liniowych(ax = b): [ ][ ] [ x = Oblicz wskaźnik uwarunkowania macierzy A. Niech oraz x 2 ˆx=[ ,0.5] T, x=[0.999, 1.001] T ˆr=Aˆx b, r=a x b. Oblicznormy ˆr 1, r 1,gdzie x 1 = x 1 + x 2.Wiadomo,żerozwiązaniemdokładnymukładuAx=bjestx=[1, 1] T.Cotenprzykładilustruje? W arytmetyce dziesiętnej zmiennopozycyjnej w mantytsą cztery-cyfrową(pierwsza cyfra różna od zera jest po przecinku) rozwiąż powyższy układ równań liniowych za pomocą eliminacjigaussabezwyboruelementugłównego(odp.ˇx=[ ,0.5] T ). ]. 4
5 50. Jak numerycznie obliczyć macierz odwrotną? 51.NaprzykładzieukładurównańliniowychAx=bzmacierzą [ ] ǫ 1 A=, ǫbardzomałe 1 1 objaśnij potrzebę wyboru elementu głównego w eliminacji Gaussa. Na czym polega częściowy wybór elementu głównego? 52. Dane są następujące wartości funkcji f(x): f( 2)=8, f( 1)=, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=8. Wyznaczwielomianw(x)stopnia 3,dlaktóregojestosiągnięteminimum 5 min (f(x k ) w(x k )) 2, w(x) R 3 [x] k=1 gdziex 1 = 2,x 2 = 1,x 3 =0,x 4 =1,x 5 = Podaj definicję macierzy Grama. Wyznacz macierz Grama dla danych z poprzedniego zadania. 54. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wyrażenie m (ax k +a y k ) 2 k=1 ma najmniejsza wartość. Uwaga. Jest to aproksymacja średniokwadratową funkcji f(x) oznanychwartościachy k =f(x k )zapomocąwielomianustopnia Wyznaczwspółczynnikiaibwielomianuax 2 +b,którynajlepiejaproksymujewsensie najmniejszych kwadratów na zbiorze S ={ 1, 0, 1} funkcję f o wartościach f( 1)=3.1,f(0)=0.9,f(1)= Dane są następujące wartości funkcji f: f(1), f(2)=3, f(3)=5, f(4)=3.dwomasposobamiwyznaczwielomianystopnia zerowego, pierwszego i drugiego, które najlepiej aproksymują funkcję f na zbiorze {1, 2, 3, 4}. Zastosuj wielomiany ortogonalne i układ z macierzą Grama. 57.Dlafunkcjif(x)=1/xwyznacznaprzedziale[1,2]optymalnywielomianstopniazerowego (a) w sensie aproksymacji średniokwadratowej(waga p(x) = 1, przedział całkowania [1,2]), (b) w sensie aproksymacji jednostajnej. 58. Podaj wzór na współczynniki rozwinięcia funkcji x w szereg Czebyszewa. Na czym polega idea algorytmu Clenshawa i do czego on służy? 59.Niechf(x)=a n x x +a n 1 x n a 0.Pokaż,żewielomian w(x)=f(x) a n 2 1 n T n (x) jest wielomianem optymalnym stopnia n 1 dla funkcji f(x) w sensie aproksymacji jednostajnej. 5
6 60. Czym interpolacja różni się od aproksymacji średniokwadratowej? 61. Podaj dwa twierdzenia charakteryzujące najlepszą aproksymację średniokwadratową. 62. Co to jest alternans? 63. Omów krótko algorytm wyznaczania n tego wielomianu optymalnego dla funkcji f w sensieczebyszewanazbiorzen+2punktów.wjakispsóbobliczasięwnimbłąd aproksymacji? 64. Wyznacz pierwszy wielomian optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale[0,1]dlafunkcjif(x)=1/(1+x).wskażalternans. 65.Czywielomianw(x)=x jestdrugimwielomianemoptymalnydlafunkcjif(x)= x w sensie aproksymacji jednostajnej? Dlaczego? 66.Dlafunkcjif(x)=x 3 wyznaczdrugi(n=2)wielomianoptymalnywsensieaproksymacji jednostajnej na przedziale[ 1, 1]. (a) Jak na jego podstawie wyznaczyć wielomian optymalny u(x) dla f na przedziale [0,1]? Wskazówka. Zrób liniową zamianę zmiennych, żeby przejść od przedziału[ 1, 1] do przedziału[0, 1]. (b) Czy(i dlaczego) wielomian v(x) = u(x) 3x będzie wielomian optymalnym dla f(x)=x 3 3xnaprzedziale[0,1]? 67.Niech 1 f(t)dt A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 ), 1 gdziex 1 = 1/ 3,x 2 =1/ 3.WyznaczwspółczynnikiA 1 ia 2 tak,bytakwadratura była dokładna dla wielmianów możliwie wysokiego stopnia. Zastosuj tę kwadraturę do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej 1 0 e t2 dt. Wskazówka. Zastosuj liniową zamianę zmiennych t =(x + 1)/ Zastosuj znane kwadratury do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej 1 0 x 3 dx, porównaj je z dokładną wartością tej całki oraz oszacuj teoretyczny błąd. 69. Co wzór trapezów ma wspólnego z interpolacją? Podaj interpretację geometryczną wzoru trapezów. Jak udowodnić wzór na błąd tej kwadratury? Omów krótko ideę dowodu. 70.Wyznaczwielomianinterpolującyfunkcjęfwwęzłacha,bi(a+b)/2.Obliczcałkę oznaczoną z tego wielomianu na przedziale[a, b]. Czy w ten sposób otrzymałeś wzór Simpsona? Krystyna Ziętak 6
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009
Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009 1. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoZwięzły kurs analizy numerycznej
Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe i Metody Numeryczne. Laboratorium Komputerowe lista 4 5 października 2012
Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Laboratorium Komputerowe lista 4 5 października 2012 Temat: interpolacja i iteracyjne metody obliczania zer funkcji Uwagi. Zalecane jest graficzne ilustrowanie przeprowadzonych
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:
Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoautomatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowo5. Twierdzenie Weierstrassa
Pytania egzaminacyjne z Metod Numerycznych 1. Jaką największą liczbę można zapisać w postaci znormalizowanej w dwójkowym systemie liczenia na 8-miu bitach podzielonych 4 + 4 na mantysę i cechę, jeśli zarówno
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoy ( x) x i. y x i y( x) = ( x) x i,
Teoria reprezentacji zmiennoprzecinkowej i błędu obliczeń () Zapisać liczby, /3, 275, 225 w arytmetyce M(2, 6, 2) (zapis dwójkowy, 6 miejsc na mantysę, 2 na wykładnik), M(6, 4, 4), M(2, 2, 2) (2) (W) Wykaż,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoZagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoElementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych
Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych baszmen, entereczek, JG, kubked, MK, PajdziuPaj Vertyk WI-INFA września 0 Spis treści Teoria. Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest
Bardziej szczegółowoEMN. dr Wojtek Palubicki
EMN dr Wojtek Palubicki Zadanie 1 Wyznacz wszystkie dodatnie liczby zmiennopozycyjne (w systemie binarnym) dla znormalizowanej mantysy 3-bitowej z przedziału [0.5, 1.0] oraz cechy z zakresu 1 c 3. Rounding
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoNewton vs. Lagrange - kto lepszy?
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów Autorzy: Maria Kosiorowska Marta Kornafel Grzegorz Kosiorowski Grzegorz Szulik Sebastian Baran Jakub Bielawski Materiały przygotowane w ramach projektu
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowo2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1?
2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? Definicja ilorazu różnicowego: [x l,x l+1,...,x l+k ;f]= l+k l+k i=l j=l j i
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoPaweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE
Paweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE GDAŃSK 2011 PRZEWODNICZ CY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDA SKIEJ Romuald Szymkiewicz
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE. rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciel uczący Poziom matematyka 3t Zuzanna Durlak rozszerzony 1. Funkcja kwadratowa Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowo