Bardzo łatwa lista powtórkowa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Bardzo łatwa lista powtórkowa"

Transkrypt

1 Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz , C-13/1.31 egzamin poprawkowy: 7 lutego, godz , C-13/1.31 Bardzo łatwa lista powtórkowa 1. Zapisz następujące liczby dziesiętne w systemie dwójkowym zmiennopozycyjnym z mantysą czterocyfrową z pierwszą cyfrą znaczącą po przecinku(na cechę nie wprowadza się ograniczeń):7,8,9,0.5,1.5,0.25, Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjna znormalizowana η? Czemu równa się w komputerze 1 + η? 3. Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjnaznormalizowanaǫtaka,że1+ǫ>1? 4.CotojestNAN? 5. Podaj przykład liczby mniejszej od 1, która nie ma dokładnej reprezentacji w standardzie IEEE, typ single. 6.Zaproponujalgorytmobliczaniawartościfunkcjif(x)= x+2 xdlabardzodużych wartości x. Podaj uzasadnienie swojego wyboru i przeprowadź analizę błędów zaokrągleń zaproponowanego algorytmu. 7. Jaki algorytm nazywamy algorytmem numerycznie poprawnym? 8. Udowodnij, że dodawanie liczb w arytmetyce zmiennopozycyjnej w komputerze nie jest działaniem łącznym. 9.Niechw(x)=x x+1.jakiekłopotymogąsiępojawićprzyobliczaniupierwiastków tego wielomianu w zmiennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej z mantysą 8-mio cyfrową ijakijeominąć? 10. Co ilustruje perfidny wielomian Wilkinsona? 11.Omówalgorytmobliczaniawkomputerzepierwiastkówwielomianuax 2 +bx+x,a 0. Kiedy zadanie obliczania piewiastków tego wielomianu jest źle uwarunkowane? 12. Co jest wskaźnik uwarunkowania zadania? Jaką wielkość(i dlaczego?) przyjmuje się jako wskaźnik uwarunkowania zadania obliczania wartości funkcji: y = f(x)? 13. Podaj definicję wielomianu interpolacyjnego Lagrange a. Jak udowodnić, że ten wielomian jest określony jednoznacznie? 14. Podaj wzór na resztę interpolacji. 15. Podaj definicję ilorazu różnicowego. Jak udowodnić, że iloraz różnicowy nie zależy od kolejności węzłów? 16.Udowodnij,żeilorazróżnicowyfunkcjif(x)=x n opartynan+2węzłachjestrówny zero. 1

2 17. Omów algorytm wyznaczania ilorazów różnicowych, które występując we wzorze Newtona na wielomian interpolacyjny. 18. Wyznacz wielomian interpolacyjny w(x) taki, że w(0)=1, w(2)=3, w(3)=2, w(4)=5, w(6)=7 dwoma sposobami. Zastosuj wzór Lagrange a i wzór Newtona. 19.Niechfunkcjafwwęzłachx 0 =2,x 1 =0ix 2 =3przyjmujeodpowiedniowartości11, 7i28. (a) Korzystając z wzoru Newtona, wyznacz wielomian w(x) interpolujący funkcję f. (b) Bez jawnego wyznaczania ilorazów różnicowych, uzasadnij, dlaczego f[x 2,x 1,x 0 ]=f[x 1,x 0,x 2 ]. (c) Niech wielomian u(x) interpoluje funkcję f w powyższych węzłach oraz w dodatkowymwęźlex 3 =4,przyczymf(4)=0.Czemurównasięu(x) w(x)?odpowiedź uzasadnij bez jawnego wyznaczania wielomianu u(x). 20.Dlafunkcjif(x)=sin ( ) πx 2 wyznaczwielomianinterpolacyjnyopartynawęzłach 1,0,1. Zbadaj, z jakim błędem w(0.5) przybliża wartość funkcji f(0.5). Oszacuj resztę interpolacji. 21. Co to są węzły Czebyszewa? Omów własności wielomianów Czebyszewa, które są powodem stosowania węzłów Czebyszewa w interpolacji- sformułuj twierdzenie dotyczące tych własności. 22. Wyznacz wielomian interpolacyjny Lagrange a w(x) z trzema węzłami Czebyszewa, interpolujący funkcję 1/(x + 2) na przedziale[ 1, 1]. Oszacuj resztę interpolacji na przedziale[ 1, 1]. 23.Wyznaczwspółczynnkia 0,a 1,a 2 wielomianuw(x)=a 0 x 2 +a 1 x+a 2 spełniającego następujące warunki interpolacji: w( 2) = 1, w(0) = 0, w(2) = 1, rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych. Wyznacz wielomian interpolacyjny z wzoru Newtona. Jak obliczyć wartość wielomianu w(x) dla x = 0.5 w obu przypadkach? Napisz schemat algorytmu obliczania wartości tego wielomianu w postaci Newtona dla x = t. Wzoruj się na schemacie Hornera. 24.Napiszschematalgorytmudzieleniawielomianuw(x)=a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 przez jednomian x r. Uwaga. Zakładmy, że r jest pierwiastkiem wielmianu w(x). To gwarantuje, że wielomian dzieli sie przez jednomian. 25.Wielomianw(x)=x 3 x 5=0madodatnipierwiastekα 1.9.Czywielomianw(x) ma jeszcze inny pierwiastek dodatni? W jakim przedziale leżą wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu w(x)? Skorzystaj z twierdzenia Maclaurina. 26.Niechf(x)= x. (a) Naszkicuj wykres funkcji f. (b)czy(idlaczego)metodanewtonajestzbieżnadozerafunkcjif?podajuzasadnienie geometryczne. 27.Jakijestwykładnik(rząd)metodyx k+1 =x k f(x k) 2f (x k ) zastosowanejdowyznaczenia zerafunkcjif(x)= 1 x 2? 2

3 28.Niechf(x)=x 2sinx.Pokaż,żeciągx k+1 =2sinx k jestzbieżnydozerafunkcjifw przedziale(π/2,2)dladowolnegox 0 ztegoprzedziału. 29. Wyznacz metodą Newtona kilka kolejnych przybliżeń dodatnego pierwiastka wielomianu (a)x 2 4, (b)x 2 2x+4, (c)(x 2)(x 2 +x+1). Jaka jest krotność tych pierwiastków? Dla którego wielomianu metoda Newtona jest szybciej zbieżna? 30.Wyznaczkilkaprzybliżeńzerafunkcjif(x)=x 3 1trzemametodami: metodą bisekcji, metodą Newtona, metodą siecznych. Napisz schemat tych algorytmów razem z odpowiednim kryterium kończenia procesu iteracyjnego. 31.Zlokalizujgraficzniezerofunkcjif(x)=cos(x) x+1.następniezastosujmetodę Newtona do jego wyznaczenia. Jak wybrać przybliżenie początkowe? 32.Zlokalizujgraficznierozwiązanierównaniae x 3x=0.Czy(idlaczego?)dorozwiązania tegorównaniamożnazastosowaćnastępującąmetodę:x k+1 = 1 3 ex k? 33. Jaka jest interpretacja geometryczna metod siecznych i Newtona obliczania zer funkcji? Jakie są wykładniki zbieżności tych metod? 34.Dwaspośródczterechpierwiastkówwielomianuw(x)=x 4 +2x 3 7x 2 +3sądodatnie. Do ich wyznaczenia chcemy zastosować metodę Newtona. Jak wybrać przybliżenia początkowe? 35.Cozdarzysię,jeślimetodaNewtonabędziezastosowanadowielomianuw(x)=2x 3 9x 2 +12x+15znastępującymiprzybliżeniamipoczątkowymi: (a)x 0 =3, (b)x 0 <3, (c)x 0 >3? 36. Co to znaczy, że zbieżność jakiejś metody iteracyjnej jest kwadratowa? Omów wady i zalety jakichś dwóch kryteriów kończenia procesu iteracyjnego. 37.WmetodzieNewtona,zastosowanejdoobliczenia rkonstruujesięciąg x k+1 = 1 [x k + r ]. 2 xk Niechr=2.Czyx 0 =1jestdobrymprzybliżeniempoczątkowym? 38. Zastosuj twierdzenie Maclaurina do wyznaczenia przydziałów zawierających pierwiastki dodatnieiujemnewielomianuw(x)=(x 2) 2 (x 3)(x+1) 2 (x 2 +2).Uwaga.Wyznacz współczynniki tego wielomianu. 3

4 39.Niechf(x)=(x 1) 2.Udowodnij,żemetodaNewtonazastosowanadofunkcjifjest zbieżna liniowo. 40. Rozpatrzymy następującą modyfikację metody siecznych x n+1 =x n x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) f(x n). Jest to metoda iteracyjna jednopunktowa. Załóżmy, że ciąg wyznaczony tą metodą jest zbieżny do zera funkcji f. Pokaż, że szybkość zbieżności jest tylko liniowa. 41. Za pomocą odpowiedniego rysunku sprawdź, czy równanie x 2 4sinx=0 ma rozwiązanie i zaproponuj jakieś przybliżenie początkowe tego rozwiązania. 42. Napisz schemt algorytmu rozwiązywania metodą Newtona równania z poprzedniego zadania. Podaj jakieś kryterium kończenia procesu iteracyjnego. 43. Podaj definicje odwzorwania zwężającego i punktu stałego. Czy odwzorowanie g(x) = 1+2/xjestzwężającenaprzedziele[1,3]? 44. Napisz schemat algorytmu rozwiązania układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną. 45. Napisz schemat algorytmu eliminacji Gaussa rozwiązywania układu rówanń liniowych z macierzą trójprzekątniową(niezerowe elementy są tylko na głównej przekątnej oraz bezpośrednio nad i pod nią). 46. Podaj definicję i przykład normy wektora. 47. Z jaką normą wektora jest zgodna norma Frobeniusa macierzy? Co to są normy zgodne? 48. Oblicz wskaźniki uwarunkowania następujących macierzy(można wybrać dowolną normę macierzy podaną na wykładzie): [ ] [ ] , Rozważmy następujący układ równań liniowych(ax = b): [ ][ ] [ x = Oblicz wskaźnik uwarunkowania macierzy A. Niech oraz x 2 ˆx=[ ,0.5] T, x=[0.999, 1.001] T ˆr=Aˆx b, r=a x b. Oblicznormy ˆr 1, r 1,gdzie x 1 = x 1 + x 2.Wiadomo,żerozwiązaniemdokładnymukładuAx=bjestx=[1, 1] T.Cotenprzykładilustruje? W arytmetyce dziesiętnej zmiennopozycyjnej w mantytsą cztery-cyfrową(pierwsza cyfra różna od zera jest po przecinku) rozwiąż powyższy układ równań liniowych za pomocą eliminacjigaussabezwyboruelementugłównego(odp.ˇx=[ ,0.5] T ). ]. 4

5 50. Jak numerycznie obliczyć macierz odwrotną? 51.NaprzykładzieukładurównańliniowychAx=bzmacierzą [ ] ǫ 1 A=, ǫbardzomałe 1 1 objaśnij potrzebę wyboru elementu głównego w eliminacji Gaussa. Na czym polega częściowy wybór elementu głównego? 52. Dane są następujące wartości funkcji f(x): f( 2)=8, f( 1)=, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=8. Wyznaczwielomianw(x)stopnia 3,dlaktóregojestosiągnięteminimum 5 min (f(x k ) w(x k )) 2, w(x) R 3 [x] k=1 gdziex 1 = 2,x 2 = 1,x 3 =0,x 4 =1,x 5 = Podaj definicję macierzy Grama. Wyznacz macierz Grama dla danych z poprzedniego zadania. 54. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wyrażenie m (ax k +a y k ) 2 k=1 ma najmniejsza wartość. Uwaga. Jest to aproksymacja średniokwadratową funkcji f(x) oznanychwartościachy k =f(x k )zapomocąwielomianustopnia Wyznaczwspółczynnikiaibwielomianuax 2 +b,którynajlepiejaproksymujewsensie najmniejszych kwadratów na zbiorze S ={ 1, 0, 1} funkcję f o wartościach f( 1)=3.1,f(0)=0.9,f(1)= Dane są następujące wartości funkcji f: f(1), f(2)=3, f(3)=5, f(4)=3.dwomasposobamiwyznaczwielomianystopnia zerowego, pierwszego i drugiego, które najlepiej aproksymują funkcję f na zbiorze {1, 2, 3, 4}. Zastosuj wielomiany ortogonalne i układ z macierzą Grama. 57.Dlafunkcjif(x)=1/xwyznacznaprzedziale[1,2]optymalnywielomianstopniazerowego (a) w sensie aproksymacji średniokwadratowej(waga p(x) = 1, przedział całkowania [1,2]), (b) w sensie aproksymacji jednostajnej. 58. Podaj wzór na współczynniki rozwinięcia funkcji x w szereg Czebyszewa. Na czym polega idea algorytmu Clenshawa i do czego on służy? 59.Niechf(x)=a n x x +a n 1 x n a 0.Pokaż,żewielomian w(x)=f(x) a n 2 1 n T n (x) jest wielomianem optymalnym stopnia n 1 dla funkcji f(x) w sensie aproksymacji jednostajnej. 5

6 60. Czym interpolacja różni się od aproksymacji średniokwadratowej? 61. Podaj dwa twierdzenia charakteryzujące najlepszą aproksymację średniokwadratową. 62. Co to jest alternans? 63. Omów krótko algorytm wyznaczania n tego wielomianu optymalnego dla funkcji f w sensieczebyszewanazbiorzen+2punktów.wjakispsóbobliczasięwnimbłąd aproksymacji? 64. Wyznacz pierwszy wielomian optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale[0,1]dlafunkcjif(x)=1/(1+x).wskażalternans. 65.Czywielomianw(x)=x jestdrugimwielomianemoptymalnydlafunkcjif(x)= x w sensie aproksymacji jednostajnej? Dlaczego? 66.Dlafunkcjif(x)=x 3 wyznaczdrugi(n=2)wielomianoptymalnywsensieaproksymacji jednostajnej na przedziale[ 1, 1]. (a) Jak na jego podstawie wyznaczyć wielomian optymalny u(x) dla f na przedziale [0,1]? Wskazówka. Zrób liniową zamianę zmiennych, żeby przejść od przedziału[ 1, 1] do przedziału[0, 1]. (b) Czy(i dlaczego) wielomian v(x) = u(x) 3x będzie wielomian optymalnym dla f(x)=x 3 3xnaprzedziale[0,1]? 67.Niech 1 f(t)dt A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 ), 1 gdziex 1 = 1/ 3,x 2 =1/ 3.WyznaczwspółczynnikiA 1 ia 2 tak,bytakwadratura była dokładna dla wielmianów możliwie wysokiego stopnia. Zastosuj tę kwadraturę do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej 1 0 e t2 dt. Wskazówka. Zastosuj liniową zamianę zmiennych t =(x + 1)/ Zastosuj znane kwadratury do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej 1 0 x 3 dx, porównaj je z dokładną wartością tej całki oraz oszacuj teoretyczny błąd. 69. Co wzór trapezów ma wspólnego z interpolacją? Podaj interpretację geometryczną wzoru trapezów. Jak udowodnić wzór na błąd tej kwadratury? Omów krótko ideę dowodu. 70.Wyznaczwielomianinterpolującyfunkcjęfwwęzłacha,bi(a+b)/2.Obliczcałkę oznaczoną z tego wielomianu na przedziale[a, b]. Czy w ten sposób otrzymałeś wzór Simpsona? Krystyna Ziętak 6

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009

Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009 Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009 1. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005 kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych

Bardziej szczegółowo

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P) Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223 Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Iteracyjne rozwiązywanie równań

Iteracyjne rozwiązywanie równań Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH. INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.

Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x. Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)

Bardziej szczegółowo

Zwięzły kurs analizy numerycznej

Zwięzły kurs analizy numerycznej Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...

Bardziej szczegółowo

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody

Bardziej szczegółowo

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która 3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne. Laboratorium Komputerowe lista 4 5 października 2012

Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne. Laboratorium Komputerowe lista 4 5 października 2012 Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Laboratorium Komputerowe lista 4 5 października 2012 Temat: interpolacja i iteracyjne metody obliczania zer funkcji Uwagi. Zalecane jest graficzne ilustrowanie przeprowadzonych

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metody rozwiązywania równań nieliniowych Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:

Zajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania: Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

automatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

automatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

5. Twierdzenie Weierstrassa

5. Twierdzenie Weierstrassa Pytania egzaminacyjne z Metod Numerycznych 1. Jaką największą liczbę można zapisać w postaci znormalizowanej w dwójkowym systemie liczenia na 8-miu bitach podzielonych 4 + 4 na mantysę i cechę, jeśli zarówno

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych. Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Wykład 7

Metody numeryczne Wykład 7 Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

y ( x) x i. y x i y( x) = ( x) x i,

y ( x) x i. y x i y( x) = ( x) x i, Teoria reprezentacji zmiennoprzecinkowej i błędu obliczeń () Zapisać liczby, /3, 275, 225 w arytmetyce M(2, 6, 2) (zapis dwójkowy, 6 miejsc na mantysę, 2 na wykładnik), M(6, 4, 4), M(2, 2, 2) (2) (W) Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia - równania nieliniowe

Zagadnienia - równania nieliniowe Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych

Bardziej szczegółowo

Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych

Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych baszmen, entereczek, JG, kubked, MK, PajdziuPaj Vertyk WI-INFA września 0 Spis treści Teoria. Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest

Bardziej szczegółowo

EMN. dr Wojtek Palubicki

EMN. dr Wojtek Palubicki EMN dr Wojtek Palubicki Zadanie 1 Wyznacz wszystkie dodatnie liczby zmiennopozycyjne (w systemie binarnym) dla znormalizowanej mantysy 3-bitowej z przedziału [0.5, 1.0] oraz cechy z zakresu 1 c 3. Rounding

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Metody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów Autorzy: Maria Kosiorowska Marta Kornafel Grzegorz Kosiorowski Grzegorz Szulik Sebastian Baran Jakub Bielawski Materiały przygotowane w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1?

2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? 2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? Definicja ilorazu różnicowego: [x l,x l+1,...,x l+k ;f]= l+k l+k i=l j=l j i

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?

METODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać

Bardziej szczegółowo

Paweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE

Paweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE Paweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE GDAŃSK 2011 PRZEWODNICZ CY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDA SKIEJ Romuald Szymkiewicz

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE. rok szkolny 2018/2019

WYMAGANIA EDUKACYJNE. rok szkolny 2018/2019 WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciel uczący Poziom matematyka 3t Zuzanna Durlak rozszerzony 1. Funkcja kwadratowa Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo