Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów."

Transkrypt

1 Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji) b) Regula Falsi c) siecznych d) Newtona-Raphsona 2. Wyznaczanie zer wielokrotnych a) modyfikacja metod przy znajomości krotności pierwiastka b) modyfikacja metod siecznych i Newtona dla przypadku ogólnego c) Proces 2 Aitkena 3. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych 4. Wyznaczanie zer rzeczywistych i zespolonych wielomianów a) dzielenie wielomianów b) metoda iterowanego dzielenia 1

2 Równanie nieliniowe z jedną niewiadomą Poszukujemy zera rzeczywistego ciągłej funkcji f(x), czyli szukamy rozwiązania równania: f(x) = 0, x 2 fx 1 ; x 2 ; : : : ; x k g; x 2 R 2

3 Uwagi: 1) Nie istnieją wzory pozwalające obliczyć dokładnie pierwiastki równania trzeba używać schematów iteracyjnych. Często w obliczeniach inżynierskich nie jest znana postać równania nieliniowego. 2) Rozwiązanie problemu uzyskane metodą iteracyjną będzie przybliżone (z zadaną dokładnością) 3) Jak w każdej metodzie iteracyjnej, o tym jak szybko znajdziemy zadowalające przybliżenie pierwiastka zależeć będzie od samej metody, od przybliżenia założonego na starcie oraz od postaci funkcyjnej równania. Metoda połowienia (bisekcji) Rozwiązania szukamy w przedziale, w którym znajduje się miejsce zerowe funkcji, w tzw. przedziale izolacji pierwiastka (wewnątrz tego przedziału pierwsza pochodna funkcji nie zmienia znaku). Przedział wyznacza się na podstawie wykresu funkcji lub w przypadku wielomianów algebraicznych analitycznie. Założenia: 1) w przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek 2) Na końcach przedziału wartosci funkcji mają różne znaki tj. Algorytm f(a) f(b) < 0 1. Dzielimy przdział izolacji na pół x 1 = b + a 2 2. Sprawdzamy czy spełniony jest warunek f(x 1 ) = 0 jeśli tak to mamy rozwiązanie, jeśli nie to przechodzimy do kolejnego puntu 3. z dwóch przedziałów [a,x 1 ] oraz [x 1,b] wybieramy ten, w którym wartości funkcji na krańcach przedziałów mają różne znaki f(x i ) f(x i+1 ) < 0 4. Powtarzamy kroki 1-3, co powduje że długości kolejnych przedziałów maleją jx i x i+1 j = 1 (b a) 2i 3

4 Lewe krańce przedziałów tworzą ciąg niemalejący ograniczony z góry. Natomiast prawe tworzą ciąg nie rosnący ograniczony z dołu. Istnieje ich wspólna granica w punkcie. Punkt ten jest poszukiwanym rozwiązaniem równania nieliniowego. Przykład. Znaleźć w przedziale [1,2] metodą połowienia pierwiastek równania x 3 + x 2 3x 3 = 0 f(x) = x 3 + x 2 3x 3 f(1) = 4 f(2) = 3 f(a) f(b) = f(1)f(2) = 12 < 0 Wewnątrz przedziału wartość pierwszej pochodnej funkcji jest dodatnia (nie zmienia znaku) więc jest to przedział izolacji pierwiastka. Wyniki kolejnych przybliżeń rozwiązania x f(x) Wadą metody wolna zbieżność w otoczeniu punktu stanowiącego rozwiązanie. Zaletą jest natomiast niezawodność metody. 4

5 Wzór iteracyjny. Jeżeli g(y) stanowi funkcję odwrotną do f(x) to dla zbioru punktów funkcję g(y) można przybliżyć (aproksymować) wielomianem Lagrange'a Oznaczmy fy 1 ; y 2 ; : : : ; y n g g(y) ¼ Jeśli x=a jest rozwiązaniem (pierwiastkiem) to wówczas y=0 x i+1 = nx l j (y)g(y j ) j=1 x i+1 j = g(y j ) nx l j (0)x i+1 j j=1 (x i+1-j to wcześniej wyznaczone przybliżenia) gdzie wielomian l j ma postać l j = (y y 1) : : : (y y j 1 )(y y j+1 ) : : : (y y n ) (y j y 1 ) : : : (y j y j 1 )(y j y j+1 ) : : : (y j y n ) Wzór na x i+1 określa metodę iteracyjną rozwiązywania równania nieliniowego. Wzór ten można zapisać w bardziej ogólnej postaci x i+1 = F (x i ; x i 1 ; : : : ; x i n+1 ) który jest n-punktowym wzorem iteracyjnym. Szczególnym przypadkiem są metody jednopunktowe wykorzystujące do znalezienia przybliżenia w i+1 iteracji przy znajomości przybliżenia wyznaczonego w i- tym kroku x i+1 = F (x i ) Zbieżność metody iteracyjnej Ciąg przybliżeń jest zbieżny gdy lim x i = a i!1 Błąd rozwiązania w i-tej iteracji " i+1 = a x i+1 W punkcie x=a metoda jest rzędu p, jeśli istnieje liczba rzeczywista p 1 5

6 dla której zachodzi lim i!1 jx i+1 aj jx i aj p = lim i!1 j" i+1 j j" i j p = C 6= 0 Liczbę C nazywamy stałą asymptotyczną błędu j" i+1 j = Cj" i j p j"j < 1 ) j" i+1 j << j" i j Metoda Regula Falsi W metodzie tej wykorzystuje się założenie istnienia lokalnej liniowości funkcji (fałszywe, stąd nazwa). Zakładamy ponadto: 1) w przedziale [a,b] funkcja ma tylko jeden pierwiastek pojedynczy 2) f(a)f(b)<0 3) funkcja jest klasy C 2 4) pierwsza i druga pochodna nie zmieniają znaku w przedziale [a,b] Rys. Idea metody Regula Falsi dla funkcji wypukłej 6

7 Sposób postępowania: 1. przez punkty A i B prowadzimy prostą o równaniu: y f(a) = f(b) f(a) (x a) b a 2. punkt x 1 w którym prosta przecina oś 0x przyjmuje się za pierwsze przybliżenie szukanego pierwiastka równania: x 1 = a f(a) (b a) f(b) f(a) 3. sprawdzamy warunek, czy: f(x 1 )=0, jeśli tak to przerywamy oblicznia 4. jeśli f(x 1 ) 6= 0 to sprawdzamy na końcach którego przedziału ([A,x 1 ], [x 1,B]) wartości funkcji mają różne znaki przez te punkty prowadzimy kolejną prostą powtarzając kroki 1-4 Jeśli w przedziale [A,B] a) f (1) (x)>0 oraz f (2) (x)>0 to B jest punktem stacjonarnym (prawy brzeg ustalony) b) f (1) (x)>0 oraz f (2) (x)<0 to A jest punktem stacjonarnym Metoda generuje ciąg przybliżeń. Elementy ciągu można wyznaczyć iteracyjnie x 0 = a x k+1 = x k k = 1; 2; 3; : : : f(x k ) f(b) f(x k ) (b x k) Błąd przybliżenia szacujemy korzystając z tw. Lagrange'a o przyrostach: gdzie: Ponieważ więc dostajemy oszacowanie gdzie f(x k ) f( ) = f 0 (c)(x k ) c 2 [x k ; ] f( ) = 0 jx k j jf(x k)j m m = inf jf 0 (x)j x2[a;b] m -oznacza kres dolny pierwszej pochodnej Błąd bezwzględny można oszacować znając wartości dwóch kolejnych przybliżeń x k i x k+1. Przekształcając wzór rekurencyjny otrzymujemy: f(x k ) = f(x k) f(b) (x k+1 x k ) x k b I dodajemy z lewej strony wyraz f( ) = 0 f( ) f(x k ) = f(x k) f(b) (x k+1 x k ) x k b 7

8 Po zastosowaniu tw. Lagrange'a otrzymujemy: ( x k )f 0 (» k ) = (x k+1 x k )f 0 (¹x k ) Następnie obustronnie dodajemy wyraz i przekształcamy do postaci Dla gdzie:» k 2 (x k ; ) ¹x k 2 (x k ; b) x k+1 f 0 (» k ) j x k+1 j = jf 0 (¹x k ) f 0 (» k )j jx jf 0 k+1 x k j (» k )j jf 0 (x k ) f 0 (» k )j M m Nie znamy wartości m i M. W niewielkim otoczeniu pierwiastka można pochodną można zastąpić ilorazem różnicowym: j x k+1 j»» f(x k+1 ) f 0 (x k+1 ) x k+1 x k f(x k+1 ) f(x k ) jf(x k+1)j Metoda Regula Falsi jest zbieżna do dowolnej funkcji ciągłej w przedziale [a,b] jeśli wartość pierwszej pochodnej jest ograniczona i różna od zera w otoczeniu pierwiastka. Obliczenia przerywa się jeśli dwa kolejne przybliżenia różnią się o mniej niż założone. Wadą jest wolna zbieżność ciągu przybliżeń rząd metody p=1. kres dolny kres górny m = M = inf jf 0 (x)j x2[a;b] sup jf 0 (x)j x2[a;b] oszacowanie błędu bezwględnego ma postać j x k+1 j M m m jx k+1 x k j (bazujemy tu na dwóch ostatnich przybliżeniach) 8

9 Metoda siecznych Jest modyfikacją metody Regula Falsi. Prostą przeprowadza się przez dwa ostatnie przybliżenia x k i x k-1 (metoda dwupunktowa). Kolejne przybliżenia w metodzie siecznych wyznacza się według relacji rekurencyjnej: x k+1 = x k f(x k)(x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) Zbieżność metody jest większa niż w metodzie RF. Rząd metody p = 1 2 (1 + p 5) ¼ 1:618 Należy dodatkowo przyjąć, że f(x k ) mają tworzyć ciąg wartości malejących. Jeśli w kolejnej iteracji f(x k ) zaczyna rosnąć, należy przerwać obliczenia i ponownie wyznaczyć punkty startowe zawężając przedział izolacji. Przykład. szukamy dodatniego pierwiastka równania Regula Falsi Metoda siecznych x x x x x x x x x x x f(x) = sin(x) 1 2 x x 1 = ¼=2 x 2 = ¼ 9

10 Metoda Newtona-Raphsona (metoda stycznych) Algorytm: 1) z końca przedziału [a,b] w którym funkcja ma ten sam znak co druga pochodna należy poprowadzić styczną do wykresu funkcji y=f(x) ( w ten sposób wykonujemy jedną iterację mniej, bo zbliżamy się od pierwiastka z jednej strony patrz rysunek) 2) styczna przecina oś 0X w punkcie x 1 który stanowi pierwsze przybliżenie rozwiązania 3) sprawdzamy czy f(x 1 )=0, jeśli nie to z tego punktu prowadzimy kolejną styczną 4) druga styczna przecina oś 0X w punkcie x 2 ktróry stanowi drugie przybliżenie 5) kroki 3-4 powtarzamy iteracyjne aż spełniony będzie warunek jx k+1 x k j " Równanie stycznej poprowadzonej z punktu B: y f(b) = f 0 (b)(x b) i dla y=0, otrzymujemy pierwsze przybliżenie: x 1 = b f(b) f 0 (b) 10

11 Oszacowanie rzędu metody Newtona Korzystamy z rozwinięcia Taylora: f( ) = f(b) + f 0 (b)( b) f 00 (c)( b) 2 gdzie c 2 [ ;b] Wiemy że f( )=0, więc po przekształceniu wzoru Taylora otrzymujemy = b f(b) f 0 (b) 1 2 Korzystając ze wzoru na pierwsze przybliżenie, możemy oszacować odległość nowego przybliżenia od dokładnego rozwiązania: x 1 = 1 2 f 00 (c) ( f 0 b)2 (b) f 00 (c) f 0 (b) ( b)2 < 0 czyli punkt x 1 leży na prawo od pierwiastka Natomiast z tw. Lagrange'a wynika że x 1 b = f(b) f 0 (b) < 0 x 1 2 [ ; b] czyli punkt x 1 leży po lewej stronie punktu B. Powyższe warunki pokazują, że kolejne iteracje przybliżają nas do rozwiązania dokładnego Równanie stycznej w k-tym przybliżeniu y f(x k ) = f 0 (x k )(x x k ) Równanie rekurencyjne na położenie k-tego przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego w metodzie Newtona jest następujące x k+1 = x k f(x k) f 0 (x k ) Metoda Newtona jest więc metodą jednopunktową. Oszacowanie błędu przybliżenia w metodzie Newtona " i+1 = f 00 (») 2f 0 (x i ) "2 i " i+1 " 2 i (k = 1; 2; : : :) = f 00 (» ¼ x i ) 2f 0 (x i ) Rząd zbieżności metody wynosi p=2. = C 11

12 Przykład. Zastosować metodę Newtona do znalezienia pierwiastka kwadratowego dodatniej liczby c x 2 c = 0 Szukamy miejsca zerowego funkcji f(x) = x 2 c f 0 (x) = 2x Wykorzystujemy relację rekurencyjną x k+1 = x k x2 k c 2x k co poprzekształceniu daje x k+1 = 1 2 µ x k + c x k Rozwiązania szukamy w takim przedziale [a,b], w którym spełnione są warunki 0 < a < c 1=2 b > 1 (a + c=a) 2 Poszukiwanie pierwiastków wielokrotnych równania nieliniowego def. Liczbę nazywamy r-krotnym (r 2 ) pierwiastkiem równania f(x)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest (r-1) -krotnym pierwiastkiem równania: f 0 (x) = 0 Metody: połowienia, RF, siecznych nadają się do poszukiwania pierwiastków tylko o nieparzystej krotności. Rząd metody siecznych obniża się (wolniejsza zbieżność). Metoda Newtona pozwala znaleźć pierwiastki o parzystej i nieparzystej krotności. Aby utrzymać rząd metody (przyśpieszyć zbieżność) stosuje się modyfikacje wzorów rekurencyjnych. a) Znamy krotność r pierwiastka równania. Wówczas możemy wykorzystać tę informację w metodzie Newtona x k+1 = x k r f(x k) f 0 (x k ) (w praktyce bardzo rzadko znamy wartość r przez co zastosowanie powyższego wzoru jest mocno ograniczone) 12

13 Obliczmy różnicę pomiędzy rozwiązaniem dokładnym a k+1 przybliżeniem Gdzie a x k+1 = a x k + r f(x k) f 0 (x k ) (a x k+1 )f 0 (x k ) = G(x k ) Różniczkujemy G(x) j-krotnie Wykorzystujemy fakt że a jest pierwiastkiem r- krotnym Z rozwinięcia Taylora w punkcie x=a dostajemy oraz G(x) = (a x)f 0 (x) + rf(x) G (j) (x) = (a x)f (j+1) (x) jf (j) (x) + rf (j) (x) G (j) (a) = 0 (j = 0; 1; : : : ; r) G (r+1) (a) 6= 0 G(x) = (x a)r+1 (r + 1)! G (r+1) (» 1 ) Kombinacja dwóch ostatnich zależności prowadzi do związku pomiędzy błędami w k i w k+1 iteracji Ponieważ " k+1 = (a x k+1 ) = G(x k) f 0 (x k ) " k+1 = 1 G (r+1) (» 1 ) r(r + 1) f (r) (» 2 ) "2 k f (r) (» 2 ) 6= 0 G (r+1) (a) 6= 0 j" k+1 j j" k j 2 C Więc metoda Newtona dla pierwiastka krotności r ma rząd zbieżności p=2. f 0 (x) = (x a)r 1 (r 1)! f (r) (» 2 ) 13

14 b) Jeśli wiemy że pierwiastek jest wielokrotny ale nie znamy jego krotności r wówczas możemy badać zera funkcji u(x) = f(x) f 0 (x) Funkcja u(x) ma zero krotności 1 w punkcie x=a. We wzorach iteracyjnych dokonujmey podstawienia u(x) za f(x) a) w metodzie siecznych x k x k 1 x k+1 = x k u(x k ) u(x k ) u(x k 1 ) b) w metodzie Newtona gdzie: x k+1 = x k u(x k) u 0 (x k ) u 0 (x k ) = 1 f 00 (x k ) f 0 (x k ) u(x k) Przykład. Wyznaczyć dodatni pierwiastek równania µ sin(x) 1 2 x 2 = 0 m. Newtona m. Newtona - r m. Newtona - u(x) x x x x x x x x x x x x x x x x 1 =

15 Proces 2 Aitkena Jeśli metoda jest zbieżna liniowo to można ją w prosty sposób przyśpieszyć a x i+1 = C i (a x i ) (jc i j < 1) gdzie C i dąży do stałej asymptotycznej błędu. Po wielu iteracjach powinniśmy otrzymać przybliżenie a x i+1 ¼ ¹C(a x i ); j ¹Cj = C Zwiększamy indeks i o 1 i eliminujemy stałą a x i+2 a x i+1 ¼ a x i+1 a x i Następnie obliczamy a a ¼ x ix i+2 x 2 i+1 x i+2 2x i+1 + x i Procedurę tę można stosować jedynie dla metod zbieżnych liniowo, gdy kolejne 3 przybliżenia są bliskie poszukiwanemu rozwiązaniu. 15

16 Układy równań nieliniowych Układ równań nieliniowych f j (x (1) ; x (2) ; : : : ; x (n) ) = 0; (j = 1; 2; : : : ; n) zapisujemy w postaci wektorowej f(x) = 0 Dla takiej postaci układu wyprowadza się wzory iteracyjne. Ogólny wzór iteracyjny (wielokrokowy) Zakladamy że funkcja wektorowa f ma w otoczeniu rozwiązania funkcję odwrotną Jeśli punkt f = (f 1 ; f 2 ; : : : ; f n ) x = (x (1) ; x (2) ; ; : : : ; x (n) ; ) x i+1 = F (x i ; x i 1 ; : : : ; x i n+1 ) F = (F 1 ; F 2 ; : : : ; F n ) = ( 1 ; 2 ; : : : ; n ) g = (g 1 ; g 2 ; : : : ; g n ) y = (y (1) ; y (2) ; : : : ; y (n) ; ) jest odwrotny do punktu x (wektora przybliżonych rozwiązań) To można funkcję g(y) rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu y i m+1 X x = g(y) = g(y i ) + d j h(x; s) = nx nx : : : i 1 =1 i 2 =1 Gdzie: jest pochodną cząstkową funkcji h względem zmiennych w punkcie x wektor s: j=1 x (i 1) ; x (i 2) ; : : : ; x (i n) 1 j! dj g(y i ; y y i ) 1 + (m + 2)! dm+2 g(»; y y i ) nx i j =1 D i1 ;i 2 ;:::;i j h(x)» 2 [y; y i ] D i1 ;i 2 ;:::;i j h(x)s i 1 s i 2 : : : s i j s = (s i 1 ; s i 2 ; : : : ; s i j ) 16

17 Szukane rozwiązanie ma postać = g(0) ) y = 0 Po odrzuceniu reszty w rozwinięciu Taylora i uwzględnieniu powyższego warunku otrzymujemy n-wymiarowy odpowiednik metody Newtona. Dla m=0 (metoda jednokrokowa) x i+1 = x i + dg(y i ; y i ) = = i ) x j y (j) i j=1 Pochodne funkcji g można wyrazic poprzez pochodne funkcji f. Dla n=2 otrzymujemy x = [» 1 ;» 2 ; : : :] 2 x i+1 = x i 1 J 4 2 J = det f 1 f x=x i Jeśli funkcje f1 i f2 rozwijamy w szereg w otoczeniu pierwiastka to możemy założyć: oraz df 1 1 d» 1 d» 1 1 d» 2 d» 2 df 2 2 d» 1 2 d» 2 d» 1 d» 2 1 µ = 2 d»1 df 2 d» 2 µ d»1 d» 2 Ã ! 1 µ df1» 1 ¼ d» 1» 2 ¼ d» 2 df 2 df 1 ¼ f 1 (» 1 ;» 2 ) f 1 ( ) = f 1 (» 1 ;» 2 ) df 2 ¼ f 2 (» 1 ;» 2 ) f 2 ( ) = f 2 (» 1 ;» 2 ) 1 1 = 2 f1» 2 f 2 Rząd zbieżności metody wynosi 2. Zazwyczaj zbieżność uzyskujemy tylko jeśli startujemy już z dobrym przybliżeniem rozwązania. x = [» 1 ;» 2 ; : : :] x i+1 = x i x 17

18 Jeśli funkcje f1 i f2 rozwijamy w szereg w otoczeniu pierwiastka to możemy założyć: oraz» 1 ¼ d» 1» 2 ¼ d» 2 df 1 ¼ f 1 (» 1 ;» 2 ) f 1 ( ) = f 1 (» 1 ;» 2 ) df 2 ¼ f 2 (» 1 ;» 2 ) f 2 ( ) = f 2 (» 1 ;» 2 ) Problem poszukiwania rozwiązań układu równań nieliniowych można sformułować jako problem poszukiwania minimum poniższej fukcji (x) = nx fi 2 (x) i=1 Funkcja osiąga minimum globalne dla dokładnego rozwiązania x. Do jego znalezienia można użyć metody największego spadku (minimalizacja wartości funkcji). Wyznaczanie zer wielomianów metodą iterowanego dzielenia µ»1» 2 Ã ! 1 µ f1 f 2 Metody dzielenia wielomianów Aby wyznaczyć zera zespolone konieczne jest przeprowadzenie dzielenia wielomianów x = [» 1 ;» 2 ; : : :] x i+1 = x i x a) przez czynniki liniowe (dwumian) b) przez czynniki kwadratowe (trójmian) 18

19 Wielomian f(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + : : : + a 0 = 0 dzielimy przez dwumian: Wynikiem dzielenia jest (z z j ) f(z) = (z z j ) b n 1 z n 1 + b n 2 z n 2 + : : : + b 0 ) + R j Z porównania współczynników przy jednakowych potęgach otrzymujemy zależności a n = b n 1 a n 1 = b n 2 z j b n 1. a 1 = b 0 z j b 1 a 0 = R j z j b 0 Dzieląc jeszcze raz wielomian otrzymamy f(z) = (z z j ) 2 c n 2 z n 2 + c n 3 z n 3 + : : : + c 0 ) + R 0 j (z z j) + R j Wartości współczynników c i wyznaczamy analogicznie jak w poprzednim przypadku. Obliczanie zer za pomocą iterowanego dzielenia Zera wielomianu możemy wyznaczyć iteracyjnie stosując zmodyfikowane wzory jednokrokowe np.. metodę siecznych czy Newtona. Kolejne przybliżenia w metodzie siecznych wyznaczamy ze wzoru z j+1 = z j R j(z j z j 1 ) R j R j 1 Zatem współczynnki nowego wielomianu można obliczać rekurencyjnie b n = 0 b k = a k+1 + z j b k+1 k = n 1; n 2; : : : ; 0 R j = a 0 + z j b 0 oraz w metodzie Newtona z j+1 = z j R j R 0 j 19

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia - równania nieliniowe

Zagadnienia - równania nieliniowe Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Wykład 7

Metody numeryczne Wykład 7 Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych. Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metody rozwiązywania równań nieliniowych Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda

Bardziej szczegółowo

Iteracyjne rozwiązywanie równań

Iteracyjne rozwiązywanie równań Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 6 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1

Bardziej szczegółowo

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek

Bardziej szczegółowo

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 31 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH. INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe

Optymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe Optymalizacja (minimalizacja) funkcji Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. Metody bezgradientowe a) metoda złotego podziału b) metoda sympleks c) metoda interpolacji Powell'a 3. Metody

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Bardzo łatwa lista powtórkowa Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin

Bardziej szczegółowo

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1 Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

x y

x y Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo