Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =, 679 =, 38 Zdnie ) Γ(α) = t α e t dt α > Γ(α) = (α )Γ(α ) dl α > f g = fg fg U ns: f = e t f = e t orz g = t α g = (α )t α Γ(α) = e t t α + e t (α )t α dt = + (α )Γ(α ) Powyższy wynik uzyskno uwzględnijc, że: e t t α dl t = jest równe zero, orz: lim t e t t α = lim tα = t e t
b) Wystrczy zuwżyć, że funkcj wykłdnicz rośnie szybcje, niż jkkolwiek funkcj wielominow (by uzyskć ten wynik wystrczy zstosowć np.: regułę de l Hospitl). Γ ( ) = Stosujemy nstępujce podstwienie: {t = x dt = xdx ( x ) x x e xdx = t e t dt x e dx = π e x dx = π π = π Funkcj pod osttni cłk to gestość rozkłdu normlnego stndrdowego. Wobec tego, cłk od zer do + z tej funkcji jest równ,5. Zdnie 3 Mmy próbę prost z pewnego rozkłdu: X.., X, Pr(X i k) = X 55: będzie mniejsze od k jeśli wśród wylosownych liczb przynjmniej 55 jest mniejszych od k. Zdefiniujmy now zmienn: { X i k Y i = w p.p. Wobec tego: Pr(Y i = ) = Pr(X i > k) = 3 orz Pr(Y i = ) = Pr(X i k) = EY i = + 3 =, V ry i = EY i (EY i ) = 6 = 3 6 Oczywiście EY i = EYi =, poniewż Y i = Yi. Pr(X 55: < k) = Pr( Y i 55) = Pr i= ( i= Y 3 ) 55 = 3
= φ(, 8) =, 7939 =, 6 Zdnie X Exp(), f(x) = λe x, F (x) = e λx Szukmy mediny, czyli tkiej liczby m, że: F (m) = F (m) = e λx = e λm =, dl λ = mmy e m =, m = ln ( ) m = ln() Zdnie 5 X,..., X n U(, ) X n:n = mx(x,..., X n ) F Xn:n (t) = P r(x n:n t) = P r(mx(x,.., X n ) t) = Pr(X t, X t,..., X n t) Pr(X i t) = [F (t)] n = t n Skorzystliśmy z niezleżności zmiennych losowych X i orz z tego, że dystrybunt rozkłdu jednostjnego n przedzile [, ] jes równ F (t) = t Gęstość X n:n jest dn wzorem:f Xn:n (t) = nt n EX n:n = ( F Xn:n (t))dt = ( t n )dt = (t n + tn+ ) = n + = n n + Zstosowliśmy powyzszy wzór n wrtość oczekiwn, poniewż, X n:n. Zdnie 6 X,.., X n Exp(λ) F (t) = e λx Pr(X :n t) = Pr(min(X,..X n ) t) = Pr(min(X,..., X n ) > t) = [Pr(X > t)] n [F (t)] n = [ F (t)] n = e λnx X :m Exp(λn) EX :n = λn 3
Zdnie 7 X N(, ), Y N(, ), z χ (6), w chi () ) A = X + (Y ) + W χ (), bo X, (Y ) χ () Pr(A 3, 33) = F χ ()(3, 33) =, 975 b) Pr(Y +, 9 ( ) Y X + Z) = Pr X + Z, 9 Sttystykie s niezleżne, licznik powyzszego wyrżeni m stndrdowy rozkłd normlny minownik to pierwistek kwdrtowy zmiennej losowej z rozkłdu χ (7). W celu uzyskni sttystyki o rozkłdzie t-student nleży minownik podzielić prze liczbę stopni swobody rozkłdu zmiennej losowej z minownik. Pr Y X +Z 7, 9 = Pr(t, 9 7) = F t 7 (, 38), 975 7 Zdnie 8 X,..., X { nie zdł Pr(X i = ) =, X i = zdł Pr(X i = ) =, 9 Szukmy prwdopodobieństw, że wśród stu studentów znjdzie się co njwyzej siedmiu, którzy nie zdli. Skorzystmy z CTG. EX i =,, V rx i =, 9 Pr( i= i= X i 7) = Pr( X i,, 9 7,, 9 ) = = φ( ) = φ()
Zdnie 9 X χ (n) X = Y +... + Y n, Y,..., Y n N(, ) co wynik z: E[Y +... + Y n ] = n EY = n Niech y ozn = Y Zuwżmy, że: V ry i =, EY = EY i = V ry i + (EY i ) = V r[y +... + Y n ] = n i= V ry = EY (EY ) Ey = R y V ryi = n V ry π e y dy (e y ) = e y ( y) Wtedy, podstwijc do wyrżeni n wrtość oczekiwn: Ey = y (e y ) R π y dy = = y 3 (e y ) dy = π Zstosujmy wzór n cłkownie przez części: R f = e y ( y) () f = e y () g = y 3 (3) g = 3y () = y 3 e y +3 y e y dx = + 3 R (5) 5
Pierwszy ze skłdników sumy jest równy zero (ptrz n zkres cłki oznczonej), ntomist drugi skłdnik, to wrtość oczekiwn y, co jk pokzliśmy wcześniej jest równe. Wobec tego: Osttecznie: V ry = EY (EY ) = 3 = V r[y + Y +... + Y n ] = n V r(y ) = n Alterntywnie możemy skorzystć z fktu, że: X χ n x Γ( n, ) EX = n Zdnie > = n, orz V rx = ( n ) = n < F Y (Y t) = Pr(X + b t) = Pr(X t b ) = F X( t b ) f y (t) = δf X( t b ) δt = f X ( t b ) (t b ) = f X ( t b ) F Y (Y t) = Pr(X + b t) = Pr(X t b ) = F X( t b ) f y (t) = δf X( t b ) δt = f X ( t b ) Podsumowujc obydw przypdki mmy: f y (t) = f X ( t b ) ) (t b ) = f X ( t b ) b) X N(µ, σ ) Y = X + B, f X = πσ e σ (x µ) Podstwijc do wzoru uzysknego w punkcie ) otrzymmy: f Y (t) = (πσ ) e 6 σ ( t b µ ) =
Zdnie = π(σ) e (σ) (t (b+µ)) Z osttniego wzoru wynik, że Y N(µ + b, σ ) X,..., X n i.i.d. U(, ), [, ] { X i [, ] Y i = Dystrybunt dl zmiennej losowej z rozkłdu X i (, ] jednostjnego n przedzile [,] jest równ: F X (t) = t P (Y = ) = P (X i ) = F Xi () = P (Y = ) = P (X i ) = F Xi () = Ztem sum niezleżnych zmiennych losowych Y i (niezleżność wynik z niezleżności zmiennych X i ) m rozkłd dwuminowy (n doświdczeń losowych, sukces pojwi się z prwdopodobieństwem ): S n = n Y i ~Bin(n, ) i= P (S n = k) = ( ) n k ( ) n k k Zdnie X t n X = Y Z/n, Y N(, ), Z χ (n) [ ] Y EX = E = EY E(Z/n) = Z/n (EY = orz zmienne X,Z s niezleżne!) [ ] Y EX = E = EY E n Z/n Z 7
EY =, zuwżmy, że Z Γ( n, /), f(z) = ( ) n z n Γ( n ) e z Wobec tego: E n Z = n ( ) n n z Γ( n)z e z dz = n /Γ( n ) Γ( n ) ( n) n n Γ( n )z e n z dz = Zuwżmy, że wyrżeni pod cłk jest funkcj gęstości rozkłdu Γ( n, ), czyli n > n > (w przeciwnym rzie wyrżenie pod cłk nie byłoby cłkowlne!). Wobec tego, cłk uprsz się do jedynki. Zdnie 3 = n Γ( n ) ( n )Γ( n ) = n n = n n F = X/m Y/n F (m, n), x χ m Γ(m/, /), Y χ n Γ(n/, /) Zmienne X,Y s niezleżne: [ ] X/m E = n Y/n m E(X)E(Y ) EX = m/ / = m Z kżdym rzem, kiedy przeksztłcmy wyrżeni podcłkowe, tk by otrzymć funkcję gęstości rozkłdu Gmm z innymi prmetrmi, musimy pmiętć, żeby nłożyć ogrniczeni n nowe prmetry rozkłdu. W przeciwnym rzie wyrżeni podcłkowe nie będ mogły mieć interpretcji jko funkcje gęstości i mog nie być wogóle cłkowlne! Std poniżej znjduj się ogrniczeni nkłdne n liczbę n, któr prmetryzuje funkcję gęstości rozkłdu Gmm. EY = (/) n/ t Γ(n/) tn/ e /t dt = = (/)n/ Γ(n/) Γ(n/ ) (/) n/ (/) n/ Γ(n/ ) tn/ e /t dt = n/ = n EF = n m m n = n n EF = n m EX EY, n > 8
EX = = (/)n/ Γ(n/) (α + )α β EY = Γ(n/ ) (/) n/ (m/ + )m/ = = / (m + )m = m(m + ) t (/) n/ Γ(n/) tn/ e /t dt = (/) n/ Γ(n/ ) tn/ 3 e /t dt =, n > = (n/ )(n/ ) = (n )(n ) EF = n m EX EY = n n m(m + ) (n )(n ) Otrzymne powyżej wyniki wystrczy podstwić do poniższego wzoru, by uzyskć wyrżenie n wrincję: V rf = EF (EF ) 9