Ciągi liczbowe z komputerem

Podobne dokumenty
KURS MATURA PODSTAWOWA

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

Ciąg geometryczny i jego własności

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Politechnika Poznańska

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ

Ciągi liczbowe wykład 3

1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Definicja interpolacji

Estymacja przedziałowa

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

System finansowy gospodarki

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

Chemia Teoretyczna I (6).

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Modele wzrostu populacji w czasie dyskretnym

KOMBINATORYKA ZADANIA

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb!

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)

Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( )

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Statystyczny opis danych - parametry

o zmianie ustawy o finansach publicznych oraz niektórych innych ustaw.

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

I. Podzielność liczb całkowitych

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Transkrypt:

S t r o a 1 dr Aa Rybak Istytut Iformatyki Uiwersytet w Białymstoku Ciągi liczbowe z komputerem Wprowadzeie W artykule zostaie zaprezetoway sposób wykorzystaia arkusza kalkulacyjego do badaia własości ciągów liczbowych (arytmetyczego i geometryczego), a także do rozwiązywaia problemów opisaych przy pomocy ciągów. Zagadieia, które staowią kawę prezetowaych problemów, pochodzą z różych dziedzi auki i z życia codzieego. Arkusz kalkulacyjy jest dobrze zay każdemu użytkowikowi komputera, ale jego wykorzystaie w kształceiu matematyczym jest zikome, więc artykuł podejmuje próbę zmiay tej sytuacji. Wprowadzeie teoretycze: Ciąg arytmetyczy Ciąg liczbowy (a ) azywamy arytmetyczym o różicy r, jeżeli a +1 = a +r dla każdego N +. Liczbę rzeczywista r jest stała. Prawdziwe są zależości: a = a 1 + (-1)r, S = a 1 + a 2 +... +a = a a 1 + 2a1 + ( 1) r =. 2 2 S azywamy -tą sumą częściową ciągu, zaś ciąg sum częściowych (S ) szeregiem liczbowym. Jak komputer może am pomóc w badaiu ciągów arytmetyczych - przykłady Przykład 1. Zbadaj, które z podaych ciągów są ciągami arytmetyczymi. Jaki jest pierwszy wyraz, a jaka różica? a) a = 2 + 1, b) b = 2 +1, 1 c) u = 3 3. Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 2 Udzieleie odpowiedzi a postawioe pytaie wymaga sprawdzeia, czy różica wyrazu -tego i poprzediego jest stała iezależie od (>1). Z pewością potrafisz zaprojektować odpowiedią tabelę, która to zrealizuje: a =2/(+1) a +1 -a b =*+1 b +1 -b u =3-/3 u +1 -u 1 1,0000 1 2,00 1 2,6667 2 1,3333 0,3333 2 5,00 3,00 2 2,3333-0,3333 3 1,5000 0,1667 3 10,00 5,00 3 2,0000-0,3333 4 1,6000 0,1000 4 17,00 7,00 4 1,6667-0,3333 5 1,6667 0,0667 5 26,00 9,00 5 1,3333-0,3333 6 1,7143 0,0476 6 37,00 11,00 6 1,0000-0,3333 7 1,7500 0,0357 7 50,00 13,00 7 0,6667-0,3333 8 1,7778 0,0278 8 65,00 15,00 8 0,3333-0,3333 9 1,8000 0,0222 9 82,00 17,00 9 0,0000-0,3333 10 1,8182 0,0182 10 101,00 19,00 10-0,3333-0,3333 11 1,8333 0,0152 11 122,00 21,00 11-0,6667-0,3333 12 1,8462 0,0128 12 145,00 23,00 12-1,0000-0,3333 13 1,8571 0,0110 13 170,00 25,00 13-1,3333-0,3333 14 1,8667 0,0095 14 197,00 27,00 14-1,6667-0,3333 Aaliza powyższych tabel pozwala a sformułowaie wiosku-hipotezy: Ciąg u jest ciągiem arytmetyczym, ciągi a i b ie są ciągami arytmetyczymi. Przykład 2. Wykaż, że ciąg (u ), którego ogóly wyraz jest określoy wzorem: u = a* + b, a, b R jest ciągiem arytmetyczym. a b u =a*+b u +1 -u 2 4 1 6,00 2 4 2 8,00 2,00 2 4 3 10,00 2,00 2 4 4 12,00 2,00 2 4 5 14,00 2,00 2 4 6 16,00 2,00 2 4 7 18,00 2,00 2 4 8 20,00 2,00 2 4 9 22,00 2,00 2 4 10 24,00 2,00 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 3 a b u =a*+b u +1 -u -3 1 1-2,00-3 1 2-5,00-3,00-3 1 3-8,00-3,00-3 1 4-11,00-3,00-3 1 5-14,00-3,00-3 1 6-17,00-3,00-3 1 7-20,00-3,00-3 1 8-23,00-3,00-3 1 9-26,00-3,00-3 1 10-29,00-3,00 Powyższe tabele i wykresy ilustrują badaie problemu dla kokretych współczyików a i b. Zmieiając w odpowiedich komórkach arkusza wartości tych współczyików możesz sprawdzić prawdziwość postawioej w zadaiu hipotezy dla wielu różych a i b. Pamiętaj, że dowód formaly ależy przeprowadzić iezależie od obserwacji komputerowych. Przykład 3. Pomiędzy 1 marca a 31 marca wschód słońca a 40 stopiu szerokości geograficzej półocej astępuje każdego dia około 1,6 mi wcześiej iż dia poprzediego. O której godziie słońce wzejdzie 21 marca, jeżeli 1 marca wschodzi o godz. 6 33? Którego dia słońce wzejdzie o 5 53? data godzia różica 01-mar 06:33:00 00:01:36 02-mar 06:31:24 03-mar 06:29:48 04-mar 06:28:12 05-mar 06:26:36 06-mar 06:25:00 07-mar 06:23:24 08-mar 06:21:48 09-mar 06:20:12 10-mar 06:18:36 11-mar 06:17:00 12-mar 06:15:24 13-mar 06:13:48 14-mar 06:12:12 15-mar 06:10:36 16-mar 06:09:00 17-mar 06:07:24 18-mar 06:05:48 19-mar 06:04:12 20-mar 06:02:36 21-mar 06:01:00 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 4 22-mar 05:59:24 23-mar 05:57:48 24-mar 05:56:12 25-mar 05:54:36 26-mar 05:53:00 27-mar 05:51:24 28-mar 05:49:48 29-mar 05:48:12 30-mar 05:46:36 31-mar 05:45:00 01-kwi 05:43:24 W powyższym arkuszu komórki pierwszej kolumy zostały sformatowae tak, aby moża było zapisać w ich daty oraz wykoywać działaia a ich zawartościach zgodie z właściwościami dat ( p. zmiaa miesiąca w odpowiedim momecie ). W komórkach drugiej kolumy wpisae są dae typu czas i dzięki odpowiediemu formatowi możliwe jest wykoywaie działań z uwzględieiem właściwości czasu ( zmiaa miuty po 60 sekudach, zmiaa godziy po 60 miutach ). Z treści zadaia wyika, że godziy, o których wschodzi słońce tworzą ciąg arytmetyczy o różicy 1 mi 36 sekud. Jako wartości początkowe zostały wprowadzoe do arkusza: data 1.III ( w komórce A2 ), godz. 6:33 ( w komórce B2 ) oraz różica ciągu ( w komórce C2 ). Obliczeia zostały wykoae dzięki wprowadzeiu formuł: = A2 + 1 w komórce A3, = B2 - $C$2 w komórce B3 oraz skopiowaiu ich do komórek położoych w astępych wierszach. Z tabeli odczytujemy, że 21 marca słońce wzejdzie o godziie 6:01, zaś o godz. 5:53 słońce wzejdzie dia 26 marca. Przykład 4. W roku 1980 populacja ludzi w pewym miasteczku wzrosła o 4200 osób. Każdego roku w astępej dekadzie przyrost ludości w tym mieście zmiejszał się o 20 osób roczie. O ile osób wzrosła liczba ludości w tym mieście w latach 1980-1990? rok przyrost ludości 1980 4200 1981 4180 1982 4160 1983 4140 1984 4120 1985 4100 1986 4080 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 5 1987 4060 1988 4040 1989 4020 1990 4000 razem 45100 W powyższym arkuszu w celu obliczeia łączego przyrostu ludości w latach 1980-1990 użyta została fukcja sumowaia: = suma (F2:F12) w komórce F14. Przyrosty ludości w poszczególych latach obliczae były przy pomocy formuły uwzględiającej własości ciągu arytmetyczego. Zadaia do samodzielej pracy: Zadaie 1. Sprawdź, czy podae ciągi są arytmetycze. Jeśli tak, to określ ich mootoiczość: a) a = 3 2, b) b = 3 2 2, c) c = 2-2. Jakimi metodami możesz zbadać powyższe ciągi? Zadaie 2. Wykaż, że jeśli ciąg (a ) jest ciągiem arytmetyczym, to wszystkie pukty o współrzędych (; a ) ależą do jedej prostej. Zadaie 3. Ja Nowak zakupił budyek, w którym rozwiął działalość gospodarczą. Każdego roku spłaca ratę zaciągiętego a te cel kredytu. Rata wyosi 20000 zł. Pierwszego roku działalość przyiosła zysk w wysokości 70200 zł, każdego astępego roku zysk wzrasta o 5000 zł. Po ilu latach różica między zyskiem a wysokością raty do zapłaceia przekroczy 100000 zł? Zadaie 4. Podczas prowadzeia obserwacji botaiczych zauważoo, że średica drzewa zwiększa się o taką samą wielkość każdego roku. Jeżeli średica była rówa 61 mm pod koiec szóstego roku wzrostu drzewa, a 76 mm pod koiec dziesiątego roku, jaka była średica drzewa w końcu pierwszego roku? Zadaie 5. W wyiku przeprowadzoych pomiarów i odpowiedich symulacji komputerowych stwierdzoo, że bezpośredio po zbudowaiu szerokość Wielkiej Piramidy w Gizie zmiejszała się o 1,57 m a każdy metr wysokości. Na jakiej wysokości szerokość jest rówa 103,62 m, jeżeli szerokość mierzoa a wysokości 1 m jest rówa 229,22 m? Jak wysoka była piramida a początku swego istieia? Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 6 Ciąg geometryczy Wprowadzeie teoretycze: Ciąg liczbowy (a ) azywamy geometryczym o ilorazie q różym od zera, jeżeli a +1 = a *q dla każdego N +. Liczbę rzeczywista q jest stała. Prawdziwe są zależości: a = a 1 * q -1, 1 q S = a1, jeżeli q<>1, 1 q S = *a 1, jeżeli q=1. Wśród ciągów geometryczych szczególą uwagę zwracamy a takie, dla których q <1. Są to ciągi szybko malejące. Suma ich wszystkich wyrazów jest skończoa. W tym przypadku szereg geometryczy (S ) jest zbieży i jego sumą jest liczba a1 S = 1 q. Jak komputer może am pomóc w badaiu ciągów geometryczych - przykłady Przykład 1. Zbadaj, które z określoych iżej ciągów są ciągami geometryczymi: a) a = 2, b) b = 2, 3 c) c = 4, d) d = 1. Badaie powyższych ciągów polega a sprawdzeiu, czy iloraz wyrazu -tego i poprzediego jest stały iezależie od (>1). a =2^ a +1 /a b = 2 b +1 /b c =3/4 c +1 /c d =/(-1) d +1 /d 1 2 1 1 1 0,75000000 2 2,0000 2 4 2 2 4 4,00 2 0,18750000 0,2500 3 1,5000 0,7500 3 8 2 3 9 2,25 3 0,04687500 0,2500 4 1,3333 0,8889 4 16 2 4 16 1,78 4 0,01171875 0,2500 5 1,2500 0,9375 5 32 2 5 25 1,56 5 0,00292969 0,2500 6 1,2000 0,9600 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 7 6 64 2 6 36 1,44 6 0,00073242 0,2500 7 1,1667 0,9722 7 128 2 7 49 1,36 7 0,00018311 0,2500 8 1,1429 0,9796 8 256 2 8 64 1,31 8 0,00004578 0,2500 9 1,1250 0,9844 9 512 2 9 81 1,27 9 0,00001144 0,2500 10 1,1111 0,9877 10 1024 2 10 100 1,23 10 0,00000286 0,2500 Aaliza odpowiedich arkuszy pozwala a sformułowaie wiosku - hipotezy: Ciągi o wyrazach ogólych a i c są ciągami geometryczymi, zaś ciągi o wyrazach ogólych b i d ie są. Przykład 2. Okres połowiczego rozpadu azotu 13 (izotopu azotu) wyosi około 10 miut. Ile azotu 13 będzie w laboratorium o godz. 16 00, jeżeli o godz. 15 10 próbka ma masę 4 mg? okres połowiczego rozpadu masa próbki (w g) godzia 00:10 15:10 4 15:20 2 15:30 1 15:40 0,5 15:50 0,25 16:00 0,125 Przykład 3. Żółw przebywa drogę o długości 2 m w liii prostej w ciągu 1 mi. W astępej miucie przebywa odległość 1 m, w każdej astępej połowę tej odległości, co w poprzediej. Jeśli żółw będzie kotyuował swoją wędrówkę zawsze - jak daleko zajdzie? liczba miut droga (w m) suma dróg żółwia 1 2,000000000000 2,000000000000 2 1,000000000000 3,000000000000 3 0,500000000000 3,500000000000 4 0,250000000000 3,750000000000 5 0,125000000000 3,875000000000 6 0,062500000000 3,937500000000 7 0,031250000000 3,968750000000 8 0,015625000000 3,984375000000 9 0,007812500000 3,992187500000 10 0,003906250000 3,996093750000 11 0,001953125000 3,998046875000 12 0,000976562500 3,999023437500 13 0,000488281250 3,999511718750 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 8 14 0,000244140625 3,999755859375 15 0,000122070313 3,999877929688 16 0,000061035156 3,999938964844 17 0,000030517578 3,999969482422 18 0,000015258789 3,999984741211 19 0,000007629395 3,999992370605 20 0,000003814697 3,999996185303 21 0,000001907349 3,999998092651 22 0,000000953674 3,999999046326 23 0,000000476837 3,999999523163 24 0,000000238419 3,999999761581 25 0,000000119209 3,999999880791 26 0,000000059605 3,999999940395 27 0,000000029802 3,999999970198 28 0,000000014901 3,999999985099 29 0,000000007451 3,999999992549 30 0,000000003725 3,999999996275 31 0,000000001863 3,999999998137 32 0,000000000931 3,999999999069 33 0,000000000466 3,999999999534 34 0,000000000233 3,999999999767 Wiosek z aalizy powyższego arkusza może być dla wielu osób zaskakujący: wędrując dowolą liczbę miut żółw igdy ie przekroczy dystasu 4 metrów. Zadaia do pracy samodzielej: Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość ciągu geometryczego daego wzorem ogólym: d) a = 2, e) b =3 (-1) -1, 3 f) c =. 1 2 Zadaie 2. Każdego astępego roku wartość pewego samochodu staowi 70% jego wartości w roku poprzedim. Bezpośredio po wyprodukowaiu samochód miał wartość 60000 zł. Jaka będzie jego wartość po siedmiu latach? Zadaie 3. Ktoś wymyślił sesacyją plotkę i zakomuikował ją w ciągu godziy 10 osobom. Następie każda z powiadomioych osób w ciągu godziy przekazała plotkę 10 iym osobom, które jeszcze jej ie słyszały itd. Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

S t r o a 9 Po ilu godziach plotkę zaliby wszyscy ludzie żyjący a Ziemi? Przyjmij, że a Ziemi żyje 7*10 9 ludzi. Zadaie 4. Na pewym placu zabaw zbudowao system przeszkód do pokoywaia przez dzieci (płotków, drabiek itp.) w formie trójkątów rówoboczych wpisaych jede w drugi. Bok ajwiększego trójkąta ma długość 32 m. Wewątrz zbudowao astępy trójkąt, jako wierzchołki przyjmując środki boków większego trójkąta. Operację powtórzoo pięć razy. Zajdź długość boku trójkąta powstałego w wyiku czwartego wykoaia operacji. Ile metrów płotków zużyto a tę budowlę? Zadaie 5. Hadlarz sprzedał koia za 165 zł, ale abywca uświadomił sobie, że ie potrzebuje takiego koia i zwrócił go właścicielowi ze słowami: - Te koń ie jest wart tyle, ile za iego zapłaciłem. Hadlarz zapropoował więc ie waruki: - Jeśli sądzisz, że cea koia jest zbyt wysoka, kup tylko hufale, które koń ma w podkowach, a koia dam Ci a dodatek za darmo. W każdej podkowie jest 6 hufali (razem 24). Za pierwszy zapłacisz mi ¼ grosza, za drugi ½ grosza, za trzeci 1 grosz i tak dalej za każdy astępy 2 razy więcej iż za poprzedi. Wieśiaka zwabiła tak iska cea. Przyjął waruek sprzedawcy w przekoaiu, że ie zapłaci więcej iż 2 złote. Czy miał rację? Ile pieiędzy zaoszczędził lub ile stracił? Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego