S t r o a 1 dr Aa Rybak Istytut Iformatyki Uiwersytet w Białymstoku Ciągi liczbowe z komputerem Wprowadzeie W artykule zostaie zaprezetoway sposób wykorzystaia arkusza kalkulacyjego do badaia własości ciągów liczbowych (arytmetyczego i geometryczego), a także do rozwiązywaia problemów opisaych przy pomocy ciągów. Zagadieia, które staowią kawę prezetowaych problemów, pochodzą z różych dziedzi auki i z życia codzieego. Arkusz kalkulacyjy jest dobrze zay każdemu użytkowikowi komputera, ale jego wykorzystaie w kształceiu matematyczym jest zikome, więc artykuł podejmuje próbę zmiay tej sytuacji. Wprowadzeie teoretycze: Ciąg arytmetyczy Ciąg liczbowy (a ) azywamy arytmetyczym o różicy r, jeżeli a +1 = a +r dla każdego N +. Liczbę rzeczywista r jest stała. Prawdziwe są zależości: a = a 1 + (-1)r, S = a 1 + a 2 +... +a = a a 1 + 2a1 + ( 1) r =. 2 2 S azywamy -tą sumą częściową ciągu, zaś ciąg sum częściowych (S ) szeregiem liczbowym. Jak komputer może am pomóc w badaiu ciągów arytmetyczych - przykłady Przykład 1. Zbadaj, które z podaych ciągów są ciągami arytmetyczymi. Jaki jest pierwszy wyraz, a jaka różica? a) a = 2 + 1, b) b = 2 +1, 1 c) u = 3 3. Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 2 Udzieleie odpowiedzi a postawioe pytaie wymaga sprawdzeia, czy różica wyrazu -tego i poprzediego jest stała iezależie od (>1). Z pewością potrafisz zaprojektować odpowiedią tabelę, która to zrealizuje: a =2/(+1) a +1 -a b =*+1 b +1 -b u =3-/3 u +1 -u 1 1,0000 1 2,00 1 2,6667 2 1,3333 0,3333 2 5,00 3,00 2 2,3333-0,3333 3 1,5000 0,1667 3 10,00 5,00 3 2,0000-0,3333 4 1,6000 0,1000 4 17,00 7,00 4 1,6667-0,3333 5 1,6667 0,0667 5 26,00 9,00 5 1,3333-0,3333 6 1,7143 0,0476 6 37,00 11,00 6 1,0000-0,3333 7 1,7500 0,0357 7 50,00 13,00 7 0,6667-0,3333 8 1,7778 0,0278 8 65,00 15,00 8 0,3333-0,3333 9 1,8000 0,0222 9 82,00 17,00 9 0,0000-0,3333 10 1,8182 0,0182 10 101,00 19,00 10-0,3333-0,3333 11 1,8333 0,0152 11 122,00 21,00 11-0,6667-0,3333 12 1,8462 0,0128 12 145,00 23,00 12-1,0000-0,3333 13 1,8571 0,0110 13 170,00 25,00 13-1,3333-0,3333 14 1,8667 0,0095 14 197,00 27,00 14-1,6667-0,3333 Aaliza powyższych tabel pozwala a sformułowaie wiosku-hipotezy: Ciąg u jest ciągiem arytmetyczym, ciągi a i b ie są ciągami arytmetyczymi. Przykład 2. Wykaż, że ciąg (u ), którego ogóly wyraz jest określoy wzorem: u = a* + b, a, b R jest ciągiem arytmetyczym. a b u =a*+b u +1 -u 2 4 1 6,00 2 4 2 8,00 2,00 2 4 3 10,00 2,00 2 4 4 12,00 2,00 2 4 5 14,00 2,00 2 4 6 16,00 2,00 2 4 7 18,00 2,00 2 4 8 20,00 2,00 2 4 9 22,00 2,00 2 4 10 24,00 2,00 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 3 a b u =a*+b u +1 -u -3 1 1-2,00-3 1 2-5,00-3,00-3 1 3-8,00-3,00-3 1 4-11,00-3,00-3 1 5-14,00-3,00-3 1 6-17,00-3,00-3 1 7-20,00-3,00-3 1 8-23,00-3,00-3 1 9-26,00-3,00-3 1 10-29,00-3,00 Powyższe tabele i wykresy ilustrują badaie problemu dla kokretych współczyików a i b. Zmieiając w odpowiedich komórkach arkusza wartości tych współczyików możesz sprawdzić prawdziwość postawioej w zadaiu hipotezy dla wielu różych a i b. Pamiętaj, że dowód formaly ależy przeprowadzić iezależie od obserwacji komputerowych. Przykład 3. Pomiędzy 1 marca a 31 marca wschód słońca a 40 stopiu szerokości geograficzej półocej astępuje każdego dia około 1,6 mi wcześiej iż dia poprzediego. O której godziie słońce wzejdzie 21 marca, jeżeli 1 marca wschodzi o godz. 6 33? Którego dia słońce wzejdzie o 5 53? data godzia różica 01-mar 06:33:00 00:01:36 02-mar 06:31:24 03-mar 06:29:48 04-mar 06:28:12 05-mar 06:26:36 06-mar 06:25:00 07-mar 06:23:24 08-mar 06:21:48 09-mar 06:20:12 10-mar 06:18:36 11-mar 06:17:00 12-mar 06:15:24 13-mar 06:13:48 14-mar 06:12:12 15-mar 06:10:36 16-mar 06:09:00 17-mar 06:07:24 18-mar 06:05:48 19-mar 06:04:12 20-mar 06:02:36 21-mar 06:01:00 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 4 22-mar 05:59:24 23-mar 05:57:48 24-mar 05:56:12 25-mar 05:54:36 26-mar 05:53:00 27-mar 05:51:24 28-mar 05:49:48 29-mar 05:48:12 30-mar 05:46:36 31-mar 05:45:00 01-kwi 05:43:24 W powyższym arkuszu komórki pierwszej kolumy zostały sformatowae tak, aby moża było zapisać w ich daty oraz wykoywać działaia a ich zawartościach zgodie z właściwościami dat ( p. zmiaa miesiąca w odpowiedim momecie ). W komórkach drugiej kolumy wpisae są dae typu czas i dzięki odpowiediemu formatowi możliwe jest wykoywaie działań z uwzględieiem właściwości czasu ( zmiaa miuty po 60 sekudach, zmiaa godziy po 60 miutach ). Z treści zadaia wyika, że godziy, o których wschodzi słońce tworzą ciąg arytmetyczy o różicy 1 mi 36 sekud. Jako wartości początkowe zostały wprowadzoe do arkusza: data 1.III ( w komórce A2 ), godz. 6:33 ( w komórce B2 ) oraz różica ciągu ( w komórce C2 ). Obliczeia zostały wykoae dzięki wprowadzeiu formuł: = A2 + 1 w komórce A3, = B2 - $C$2 w komórce B3 oraz skopiowaiu ich do komórek położoych w astępych wierszach. Z tabeli odczytujemy, że 21 marca słońce wzejdzie o godziie 6:01, zaś o godz. 5:53 słońce wzejdzie dia 26 marca. Przykład 4. W roku 1980 populacja ludzi w pewym miasteczku wzrosła o 4200 osób. Każdego roku w astępej dekadzie przyrost ludości w tym mieście zmiejszał się o 20 osób roczie. O ile osób wzrosła liczba ludości w tym mieście w latach 1980-1990? rok przyrost ludości 1980 4200 1981 4180 1982 4160 1983 4140 1984 4120 1985 4100 1986 4080 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 5 1987 4060 1988 4040 1989 4020 1990 4000 razem 45100 W powyższym arkuszu w celu obliczeia łączego przyrostu ludości w latach 1980-1990 użyta została fukcja sumowaia: = suma (F2:F12) w komórce F14. Przyrosty ludości w poszczególych latach obliczae były przy pomocy formuły uwzględiającej własości ciągu arytmetyczego. Zadaia do samodzielej pracy: Zadaie 1. Sprawdź, czy podae ciągi są arytmetycze. Jeśli tak, to określ ich mootoiczość: a) a = 3 2, b) b = 3 2 2, c) c = 2-2. Jakimi metodami możesz zbadać powyższe ciągi? Zadaie 2. Wykaż, że jeśli ciąg (a ) jest ciągiem arytmetyczym, to wszystkie pukty o współrzędych (; a ) ależą do jedej prostej. Zadaie 3. Ja Nowak zakupił budyek, w którym rozwiął działalość gospodarczą. Każdego roku spłaca ratę zaciągiętego a te cel kredytu. Rata wyosi 20000 zł. Pierwszego roku działalość przyiosła zysk w wysokości 70200 zł, każdego astępego roku zysk wzrasta o 5000 zł. Po ilu latach różica między zyskiem a wysokością raty do zapłaceia przekroczy 100000 zł? Zadaie 4. Podczas prowadzeia obserwacji botaiczych zauważoo, że średica drzewa zwiększa się o taką samą wielkość każdego roku. Jeżeli średica była rówa 61 mm pod koiec szóstego roku wzrostu drzewa, a 76 mm pod koiec dziesiątego roku, jaka była średica drzewa w końcu pierwszego roku? Zadaie 5. W wyiku przeprowadzoych pomiarów i odpowiedich symulacji komputerowych stwierdzoo, że bezpośredio po zbudowaiu szerokość Wielkiej Piramidy w Gizie zmiejszała się o 1,57 m a każdy metr wysokości. Na jakiej wysokości szerokość jest rówa 103,62 m, jeżeli szerokość mierzoa a wysokości 1 m jest rówa 229,22 m? Jak wysoka była piramida a początku swego istieia? Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 6 Ciąg geometryczy Wprowadzeie teoretycze: Ciąg liczbowy (a ) azywamy geometryczym o ilorazie q różym od zera, jeżeli a +1 = a *q dla każdego N +. Liczbę rzeczywista q jest stała. Prawdziwe są zależości: a = a 1 * q -1, 1 q S = a1, jeżeli q<>1, 1 q S = *a 1, jeżeli q=1. Wśród ciągów geometryczych szczególą uwagę zwracamy a takie, dla których q <1. Są to ciągi szybko malejące. Suma ich wszystkich wyrazów jest skończoa. W tym przypadku szereg geometryczy (S ) jest zbieży i jego sumą jest liczba a1 S = 1 q. Jak komputer może am pomóc w badaiu ciągów geometryczych - przykłady Przykład 1. Zbadaj, które z określoych iżej ciągów są ciągami geometryczymi: a) a = 2, b) b = 2, 3 c) c = 4, d) d = 1. Badaie powyższych ciągów polega a sprawdzeiu, czy iloraz wyrazu -tego i poprzediego jest stały iezależie od (>1). a =2^ a +1 /a b = 2 b +1 /b c =3/4 c +1 /c d =/(-1) d +1 /d 1 2 1 1 1 0,75000000 2 2,0000 2 4 2 2 4 4,00 2 0,18750000 0,2500 3 1,5000 0,7500 3 8 2 3 9 2,25 3 0,04687500 0,2500 4 1,3333 0,8889 4 16 2 4 16 1,78 4 0,01171875 0,2500 5 1,2500 0,9375 5 32 2 5 25 1,56 5 0,00292969 0,2500 6 1,2000 0,9600 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 7 6 64 2 6 36 1,44 6 0,00073242 0,2500 7 1,1667 0,9722 7 128 2 7 49 1,36 7 0,00018311 0,2500 8 1,1429 0,9796 8 256 2 8 64 1,31 8 0,00004578 0,2500 9 1,1250 0,9844 9 512 2 9 81 1,27 9 0,00001144 0,2500 10 1,1111 0,9877 10 1024 2 10 100 1,23 10 0,00000286 0,2500 Aaliza odpowiedich arkuszy pozwala a sformułowaie wiosku - hipotezy: Ciągi o wyrazach ogólych a i c są ciągami geometryczymi, zaś ciągi o wyrazach ogólych b i d ie są. Przykład 2. Okres połowiczego rozpadu azotu 13 (izotopu azotu) wyosi około 10 miut. Ile azotu 13 będzie w laboratorium o godz. 16 00, jeżeli o godz. 15 10 próbka ma masę 4 mg? okres połowiczego rozpadu masa próbki (w g) godzia 00:10 15:10 4 15:20 2 15:30 1 15:40 0,5 15:50 0,25 16:00 0,125 Przykład 3. Żółw przebywa drogę o długości 2 m w liii prostej w ciągu 1 mi. W astępej miucie przebywa odległość 1 m, w każdej astępej połowę tej odległości, co w poprzediej. Jeśli żółw będzie kotyuował swoją wędrówkę zawsze - jak daleko zajdzie? liczba miut droga (w m) suma dróg żółwia 1 2,000000000000 2,000000000000 2 1,000000000000 3,000000000000 3 0,500000000000 3,500000000000 4 0,250000000000 3,750000000000 5 0,125000000000 3,875000000000 6 0,062500000000 3,937500000000 7 0,031250000000 3,968750000000 8 0,015625000000 3,984375000000 9 0,007812500000 3,992187500000 10 0,003906250000 3,996093750000 11 0,001953125000 3,998046875000 12 0,000976562500 3,999023437500 13 0,000488281250 3,999511718750 Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 8 14 0,000244140625 3,999755859375 15 0,000122070313 3,999877929688 16 0,000061035156 3,999938964844 17 0,000030517578 3,999969482422 18 0,000015258789 3,999984741211 19 0,000007629395 3,999992370605 20 0,000003814697 3,999996185303 21 0,000001907349 3,999998092651 22 0,000000953674 3,999999046326 23 0,000000476837 3,999999523163 24 0,000000238419 3,999999761581 25 0,000000119209 3,999999880791 26 0,000000059605 3,999999940395 27 0,000000029802 3,999999970198 28 0,000000014901 3,999999985099 29 0,000000007451 3,999999992549 30 0,000000003725 3,999999996275 31 0,000000001863 3,999999998137 32 0,000000000931 3,999999999069 33 0,000000000466 3,999999999534 34 0,000000000233 3,999999999767 Wiosek z aalizy powyższego arkusza może być dla wielu osób zaskakujący: wędrując dowolą liczbę miut żółw igdy ie przekroczy dystasu 4 metrów. Zadaia do pracy samodzielej: Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość ciągu geometryczego daego wzorem ogólym: d) a = 2, e) b =3 (-1) -1, 3 f) c =. 1 2 Zadaie 2. Każdego astępego roku wartość pewego samochodu staowi 70% jego wartości w roku poprzedim. Bezpośredio po wyprodukowaiu samochód miał wartość 60000 zł. Jaka będzie jego wartość po siedmiu latach? Zadaie 3. Ktoś wymyślił sesacyją plotkę i zakomuikował ją w ciągu godziy 10 osobom. Następie każda z powiadomioych osób w ciągu godziy przekazała plotkę 10 iym osobom, które jeszcze jej ie słyszały itd. Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
S t r o a 9 Po ilu godziach plotkę zaliby wszyscy ludzie żyjący a Ziemi? Przyjmij, że a Ziemi żyje 7*10 9 ludzi. Zadaie 4. Na pewym placu zabaw zbudowao system przeszkód do pokoywaia przez dzieci (płotków, drabiek itp.) w formie trójkątów rówoboczych wpisaych jede w drugi. Bok ajwiększego trójkąta ma długość 32 m. Wewątrz zbudowao astępy trójkąt, jako wierzchołki przyjmując środki boków większego trójkąta. Operację powtórzoo pięć razy. Zajdź długość boku trójkąta powstałego w wyiku czwartego wykoaia operacji. Ile metrów płotków zużyto a tę budowlę? Zadaie 5. Hadlarz sprzedał koia za 165 zł, ale abywca uświadomił sobie, że ie potrzebuje takiego koia i zwrócił go właścicielowi ze słowami: - Te koń ie jest wart tyle, ile za iego zapłaciłem. Hadlarz zapropoował więc ie waruki: - Jeśli sądzisz, że cea koia jest zbyt wysoka, kup tylko hufale, które koń ma w podkowach, a koia dam Ci a dodatek za darmo. W każdej podkowie jest 6 hufali (razem 24). Za pierwszy zapłacisz mi ¼ grosza, za drugi ½ grosza, za trzeci 1 grosz i tak dalej za każdy astępy 2 razy więcej iż za poprzedi. Wieśiaka zwabiła tak iska cea. Przyjął waruek sprzedawcy w przekoaiu, że ie zapłaci więcej iż 2 złote. Czy miał rację? Ile pieiędzy zaoszczędził lub ile stracił? Projekt współfiasoway przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego