APROKSYMACJA PRZY POMOCY OPERATORÓW BERNSTEINA

ISBN 978-83-94287-1- PORTAL CZM 215 APROKSYMACJA PRZY POMOCY OPERATORÓW BERNSTEINA BARBARA WOLNIK I JACEK GULGOWSKI STRESZCZENIE. W iiejszym artyule przedstawiamy wybrae własości aprosymacyje wielomiaów Bersteia fucji ciągłej f : [, 1] R w różych przestrzeiach fucyjych. Podajemy rówież przyłady zastosowań tych aprosymacji do rozwiązywaia zagadień dla rówań różiczowych zwyczajych. 1. WIELOMIANY BERNSTEINA I ICH PODSTAWOWE WŁASNOŚCI Wielomiay Bersteia występują w lasyczym dowodzie twierdzeia o gęstości zbioru wielomiaów w przestrzei fucji ciągłych C[, 1] z ormą supremum. Oazuje się bowiem, że dzięi im otrzymujemy prosty przepis a zbudowaie ciągu wielomiaów jedostajie zbieżego do zadaej z góry fucji ciągłej u: [, 1] R, co daje ostrucyjy dowód twierdzeia Weierstrassa z 1885 rou. Jest to o tyle waże, że a przyład wielomiay iterpolacyje o ustaloych węzłach iterpolacji ie mają tej własości. Defiicja 1.1. Niech u: [, 1] R oraz N +. Wtedy -tym wielomiaem Bersteia fucji u azywamy wielomia B (u): [, 1] R day wzorem (B u)(t) = ( ) u ( ) t (1 t). Zasadicze twierdzeie przesądzające o wadze tej defiicji podae zostało w 1912 rou przez Siergieja Bersteia (por. [1]) i brzmi ta: Twierdzeie 1.2. Dla ażdej fucji ciagłej u: [, 1] R odpowiadajacy jej ciag wielomiaów Bersteia B (u) zbiega jedostajie do fucji u. Do dowodu twierdzeia odesłać możemy p. do poświęcoej wielomiaom Bersteia moografii [15], w języu polsim możemy polecić pozycję [17]. W dalszym ciągu przestrzeń Baacha fucji ciągłych z ormą supremum ozaczać będziemy symbolem C[, 1], zaś ormę w tej przestrzei jao. W tym ujęciu twierdzeie Bersteia zamya się w zapisie: u C([, 1]) lim B (u) u =. + Pracę wyoao w ramach projetu Cetrum Zastosowań Matematyi, współfiasowaego ze środów Uii Europejsiej w ramach Europejsiego Fuduszu Społeczego

2 B. WOLNIK I J. GULGOWSKI Zauważmy, że defiicja wielomiaów Bersteia zadaje am odwzorowaia liiowe B : C[, 1] C[, 1]. Naturale pytaie o ciągłość tych operatorów uzysuje atychmiastową odpowiedź. Lemat 1.3. Dla ażdego N + operator liiowy B : C[, 1] C[, 1] jest ciagły, a jego orma wyosi 1. Dowód. W pierwszej olejości zauważmy, że ( ) B (u) u( ) t (1 t) Dodatowo, dla fucji u(t) = 1 mamy B (u) = u. ( ) u t (1 t) = u. Oazuje się, że to ostatie spostrzeżeie moża wzmocić, gdyż ażdy operator B odtwarza fucje liiowe, tj. jeśli u: [, 1] R daa jest wzorem u(t) = at + b, to B (u) = u. Niestety, operatory B ie odtwarzają wielomiaów stopia więszego iż 1. Możemy to zaobserwować a rysuu 1. RYSUNEK 1. Fucja u(t) = t 2 (liia przerywaa) oraz cztery początowe wielomiay Bersteia tej fucji (liie ciągłe) począwszy od fucji ajwięszej B 1 (u), B 2 (u), B 3 (u), B 4 (u) Widzimy, że dla fucji u(t) = t 2 mamy B (u)(t) = t 2 t(1 t) +, co poazuje, że w przypadu tej fucji ciąg wielomiaów B (u) zbiega do u dość wolo ja 1. Voroowsaja w 1932 rou udowodiła, że taie samo tempo zbieżości obserwujemy w przypadu ażdej fucji u, tóra jest dwurotie różiczowala (por. [15]).

Twierdzeie 1.4. Niech u C[, 1]. Wówczas APROKSYMACJA OPERATORAMI BERNSTEINA 3 lim (B t(1 t) (u)(t) u(t)) = u (t) + 2 dla wszystich t [, 1], w tórych fucja u jest dwurotie różiczowala. Tempo zbieżości wielomiaów Bersteia daje się oszacować ieco ogóliej bez wymagaia dwurotej różiczowalości fucji u. Dwa poiższe twierdzeia podae są za moografią [15]. Twierdzeie 1.5. Niech u C[, 1]. Wówczas dla ażdego > 1 B (u) u 5 4 ω u( 1 ). Twierdzeie 1.6. Jeśli u C[, 1] posiada ciagł a pochoda, to dla ażdego > 1 B (u) u 3 1 ω u ( 1 ). 4 W powyższych twierdzeiach fucja ω v : [, + ) [, + ) ozacza tzw. moduł ciągłości fucji v, tz. (1.1) ω v (δ) = sup{ v(t) v(s) : t, s [, 1] oraz t s δ}. Ja widać tempo zbieżości ie jest oszałamiające co więcej moża poazać, że istieją fucje ciągłe, dla tórych tego tempa ie moża poprawić. Cieawe zachowaie wielomiaów Bersteia możemy zaobserwować iedy popatrzymy a ie z putu widzeia wariacji (wahaia) fucji f (o wahaiu fucji poczytać moża w siążce [17]). Twierdzeie 1.7. Dla fucji ciagłej u: [, 1] + o ograiczoej wariacji B (u) u. u mamy Co więcej, rówość zachodzi wtedy i tylo wtedy, gdy fucja u jest mootoicza. Przyjrzyjmy się teraz ilu ważym zaletom operatorów Bersteia B dotyczącym zachowywaia pewych szczególych własości fucji u. Twierdzeie 1.8. Operatory Bersteia B sa mootoicze, tz. jeśli u 1 (t) u 2 (t) a [, 1], to dla ażdego t [, 1] zachodzi B (u 1 )(t) B (u 2 )(t). Fat te jest rówoważy stwierdzeiu, że wielomia Bersteia fucji ieujemej jest fucją ieujemą. Prosty dowód tego twierdzeia, ja i olejego, zaleźć moża w [21]. Twierdzeie 1.9. Jeśli u C([, 1]) jest fucja rosac a, to rówież fucja B (u) jest rosaca a [, 1]. Jeśli zaś fucja u C([, 1]) jest wypuła, to fucja B (u) taże jest wypuła. 2. OPERATORY BERNSTEINA W INNYCH PRZESTRZENIACH BANACHA Dobre własości operatorów B, taie ja zachowywaie dodatiości, mootoiczości czy wypułości fucji, są osewecją astępującego fatu dotyczącego C r ([, 1]), przestrzei fucji o ciągłej pochodej rzędu r.

4 B. WOLNIK I J. GULGOWSKI Twierdzeie 2.1. Jeżeli u C r ([, 1]) dla pewego r N oraz to dla r zachodzi t [, 1] m u (r) (t) M, t [, 1] c r m B (r) (u)(t) c r M, ( gdzie c = c 1 = 1 oraz dla 2 r defiiujemy c r = c r 1 1 r 1 Wyi te moża zaleźć p. w [21], tam też moża prześledzić dowód astępującego fatu, poazującego siłę wielomiaów Bersteia. Twierdzeie 2.2. Jeżeli u C r ([, 1]) dla pewego r N, to ciag wielomiaów B (r) (u) zbiega jedostajie do u (r) a [, 1]. Zaim przejdziemy do pytań o ciągłość operatorów Bersteia w przestrzeiach C r ([, 1]), wprowadźmy pojęcie fucji hölderowsiej. Defiicja 2.3. Mówimy, że fucja u: [, 1] R spełia warue Höldera z wyładiiem α (, 1] oraz stałą L >, jeśli t, s [, 1] u(t) u(s) t s α. W 1938 rou Kac ([11], [12]) poazał astępujące tempo zbieżości dla fucji hölderowsich (iy dowód moża zaleźć w pracy Mathé [19]): Twierdzeie 2.4. Załóżmy, że u: [, 1] R spełia warue Höldera z wyładiiem α (, 1] oraz stała L >. Wówczas ( ) α/2 ( ) t(1 t) 1 α/2 t [, 1] B (u)(t) u(t) L L. 4 W pracach [16] oraz [3] autorzy poazali astępujący wyi Twierdzeie 2.5. Jeśli u: [, 1] R spełia warue Höldera z wyładiiem α (, 1] i stała L >, to jej wielomia Bersteia B (u) rówież spełia warue Höldera z tym samym wyładiiem α i ta sama stała L. Dla α = 1 rezultat te został opublioway wcześiej w pracy [9]. Zauważmy, że zbiór Lip α ([, 1]) = {u: [, 1] R: L> t, s [, 1] u(t) u(s) t s α } jest przestrzeią Baacha z ormą u(s) u(t) u α = u + sup = s,t [,1],s t s t α u(t + h) u(t) = u + sup max =: u t [,1 h] h α + u α. <h<1 Jao wiose z Twierdzeia 2.5 otrzymujemy zatem, że operator B przeształca Lip α ([, 1]) w siebie. Moża więc pytać o ograiczoość operatorów Bersteia w przestrzeiach Lip α ([, 1]) dla α (, 1]. Autorzy pracy [6] uzysali pozytywą odpowiedź w stosuu do bardziej ogólego zagadieia, uwzględiającego rówież przestrzeie C r ([, 1]). ).

APROKSYMACJA OPERATORAMI BERNSTEINA 5 Dla r N oraz α 1 zdefiiujmy astępującą przestrzeń Baacha { } r C r,α ([, 1]) = u C r ([, 1]): u r,α := u () + u (r) α <. Twierdzeie 2.6. Niech u C r,α ([, 1]), gdzie r N oraz α 1. Wtedy gdzie stała C r zależy jedyie od r. B (u) u r,α C r u r,α, W ramach uzupełieia powyższych iformacji warto zwrócić uwagę a to, że aalogicze pytaia tego typu moża zadawać rówież dla fucji u ieoieczie spełiających warue Höldera, posiadających jeda ustaloy moduł ciągłości ω i te pytaia rówież zajdują iteresującą odpowiedź (por. [13]): Twierdzeie 2.7. Jeżeli fucja u: [, 1] R jest ciagła, zaś ω u jest jej modułem ciagłości daym wzorem (1.1), to ω B(u)(s) 4ω u (s), dla s. Podobe pytaia możemy zadać dla przestrzei fucji o ograiczoym wahaiu, a ściślej dla jej domiętej podprzestrzei złożoej z fucji ciągłych. Niech z ormą CBV [, 1] = {u C[, 1]: u BV = u() + Prostym spostrzeżeiem jest astępujący lemat u < + } u. Lemat 2.8. Operator B : CBV [, 1] CBV [, 1] jest ciagły i jego orma wyosi 1. Dowód. Ze względu a wspomiaą w Twierdzeiu 1.7 własość mamy B u BV = B (u)() + B (u) u() + Z olei dla fucji stale rówej 1 zachodzi rówość B (1) BV = 1 BV, co ostateczie dowodzi, że B = 1. u = u BV. Tym razem jeda sytuacja jest ieco ia iż w poprzedio rozpatrywaych przestrzeiach. Jeżeli zapytamy, czy (B (u) u), to iestety odpowiedź jest (ogólie) egatywa. Mówi o tym astępujące twierdzeie podae w [5]: Twierdzeie 2.9. Fucja u: [, 1] R jest absolutie ciagła wtedy i tylo wtedy, gdy (B (u) u).

6 B. WOLNIK I J. GULGOWSKI 3. APROKSYMACJA ZAGADNIEŃ DLA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH W pracy [18] podao metodę aprosymacji rozwiązań liiowego zagadieia początowego dla liiowego rówaia różiczowego zwyczajego x (t) = m(t)x(t) + (t), (3.1) x(t ) = x, opartą o twierdzeie pochodzące od Chaplygia Twierdzeie 3.1. Niech U(t, x), V (t, x) sa fucjami spełiajacymi warue Lipschitza oraz U(t, x) f(t, x) V (t, x), wówczas rozwiazaia u(t) oraz v(t) zagadień x (t) = U(t, x), x(t ) = x oraz x (t) = V (t, x), x(t ) = x spełiaja u(t) x(t) v(t), gdzie x(t) jest rozwiazaiem zagadieia x (t) = f(t, x), x(t ) = x. W metodzie tej ostruowae są oleje przybliżeia u (t), v (t) oparte właśie a wielomiaach Bersteia odpowiedich fucji. Z olei w pracy [2] zapropoowao by podczas rozwiązywaia zagadieia brzegowego Dirchleta dla rówań różiczowych liiowych drugiego rzędu poszuiwać aprosymacji rozwiązaia postaci ) P (t) = C ( t (1 t), gdzie współczyii C mogłyby być poszuiwae przy pomocy metody Galeria. Podae w pracy przyłady poazują, że wyorzystaie wielomiaów Bersteia stopia 45 daje doładość aprosymacji rzędu tej jaą mają liczby zmieoprzeciowe podwójej precyzji (czyli 1 15 ). Widzimy więc, że z jedej stroy, do uzysaia odpowiediej doładości, musimy brać wielomiay odpowiedio wysoiego stopia z drugiej, jeda, stroy wymiar przestrzei, w tórej poszuujemy rozwiązań aprosymujących ie jest zbyt wieli. W pracy [2] wymiar przestrzei, w tórej uloowae są rozwiązaia zloalizoway jest w pewym sesie esperymetalie, warto jeda zwrócić uwagę a to, że wymiar te moża oszacować w oparciu o twierdzeia poazujące tempo zbieżości. Podobe podejście moża rówież zastosować do rozwiązywaia dużo bardziej złożoych, ieliiowych zagadień brzegowych (p. Dirichleta) dla rówań różiczowych zwyczajych drugiego rzędu.

APROKSYMACJA OPERATORAMI BERNSTEINA 7 Rozważmy zagadieie brzegowe u (t) + ϕ(t, u(t), u (t)) = dla t (, 1) (3.2) u() = u(1) =. dla fucji ciągłej ϕ: [, 1] R R R. Wiadomo (por. [1]), że istieje liiowy i ciągły operator T : C[, 1] C 1 [, 1], dla tórego u (t) + h(t) = dla t (, 1), T h = u u() = u(1) =. Z powyższym zagadieiem (3.2) możemy sojarzyć ciąg zagadień u (t) + ( ) (3.3) ϕ(, u( ), u ( ))t (1 t) = dla t (, 1), u() = u(1) =. Ta postawioy problem jest właściwie sończeie wymiarowy jego rozwiązaiem jest wielomia stopia co ajwyżej + 2. Dobrze to widać, gdy popatrzymy a to zagadieie w języu odwzorowań w przestrzeiach Baacha. W te sposób z zagadieiem (3.2) możemy sojarzyć odwzorowaie f : C 1 [, 1] C 1 [, 1] dae wzorem f(u) = u T Φ(u), gdzie Φ: C 1 [, 1] C[, 1] jest odwzorowaiem Nemytsiego sojarzoym z ϕ, daym wzorem Φ(u)(t) = φ(t, u(t), u (t)). Oczywiście f(u) = wtedy i tylo wtedy, gdy u jest rozwiązaiem zagadieia (3.2). Zauważmy, że wówczas zagadieie (3.3) możemy zapisać przy pomocy rówaia f (u) =, gdzie f : C 1 [, 1] C 1 [, 1] dae jest wzorem (3.4) f (u) = u T B Φ(u). Jeżeli fucja ϕ ie zależy od u, tz. ϕ: [, 1] R R, to rówaie (3.4) możemy w aturaly sposób potratować jao zagadieie sończeie wymiarowe. Otóż rówoważym do (3.4) jest rówaie g (x) =, dla fucji g : R +1 R +1 daej wzorem g (x) = x A (ϕ(, x ), ϕ( 1 ), x 1),..., ϕ(1, x ), gdzie x = (x,..., x ), zaś A : R +1 R +1 jest odwzorowaiem liiowym o macierzy [a i,j ], a i,j = ( ) j [T (t j (1 t) j )]( i ). Rzeczywiście, zagadieie (3.3) może być zapisae iaczej jao [ ( (3.5) u = T )ϕ( ], u( ))t (1 t). Załóżmy bowiem, że istieje rozwiązaie u C 1 [, 1] zagadieia (3.5). Zauważmy, że jeśli do wzoru (3.5) podstawimy t = j, uzysamy u( j ( ) ) = ϕ(, u( ))[T t (1 t) ]( j ), co poazuje, że g (x) =, dla x = (x, x 1,..., x ) oraz x i = u( i ). Z drugiej ( stroy, ) jeśli x = (x,..., x ) R +1 jest zerem odwzorowaia g, to fucja u(t) = ϕ(, x )T [t (1 t) ] jest rozwiązaiem (3.5).

8 B. WOLNIK I J. GULGOWSKI W pracy [8] poazae są dobre własości tej aprosymacji w szczególości to, że jej rozwiązaia leżą bliso rozwiązań aprosymowaego zagadieia (3.2). Jest to oczywiście dobra wiadomość, jeda sam fat tego rodzaju zgodości zagadieia aprosymującego z aprosymowaym ie jest iczym szczególym podobie zachowuje się wiele schematów umeryczego rozwiązywaia zagadień dla rówań różiczowych (patrz [14],[7]). Dużo ważiejszą zaletą jest to, że ze względu a fat, iż wielomiay Bersteia geerowae są przez ciągłe odwzorowaie liiowe B o ormie 1 oraz w odpowiediej ormie zachodzi B (u) u, możemy przy pomocy operatora B budować, w aturaly sposób, przeróże schematy aprosymacyje. Co więcej, możemy zapewić sobie wymagaą gładość uzysiwaych aprosymacji. Choć tempo zbieżości wielomiaów Bersteia ie jest oszałamiające zwyle więc ie wyorzystuje się ta ostruowaych schematów do poprawieia wydajości algorytmów, to jeda pojawiło się wiele pomysłów a poprawieie tempa zbieżości. Warto w tym miejscu wspomieć choćby o pracy [4] wprowadzającej liiowe ombiacje wielomiaów Bersteia, pracy [22] propoującej uogólieie wielomiaów Bersteia w postaci q-wielomiaów, czy pracy [2] przedstawiającej zalety iterowaych aprosymacji. LITERATURA [1] S. Berstei, Démostratio du théorème de Weierstrass, fode sur le probabilités, Comm. Soc. Math. Kharov 13: 1 2, 1912. [2] M.I. Bhatti, P. Brace, Solutios of differetial equatios i a Berstei polyomial basis, Joural of Computatioal ad Applied Mathematics 25(1): 272 28, 27. [3] B.M. Brow, D. Elliot, D.F. Paget, Lipschitz costats for the Berstei polyomials of a Lipschitz cotiuous fuctio, J. Approx. Theory 49: 196 199, 1987. [4] P.L. Butzer, Liear combiatios of Berstei polyomials, Caadia J. Math 5: 559 567, 1953. [5] R. Costatie Jr., Variatio orm covergece of fuctio sequeces, Proceedigs of the America Mathematical Society 45: 339 345, 1974. [6] C. Cotti, H.H. Gosa, Simultaeous approximatio ad global smoothess preservatio, Suppl. Red. Circ. Mat. Palermo 33: 259 279, 1993. [7] M. Dryja, J. Jaowsa, M. Jaowsi, Metody umerycze, tom 2, Wydawictwa Nauowo-Techicze, Warszawa, 1982 [8] J. Gulgowsi, Berstei approximatios of oliear Sturm-Liouville problems, Noliear Aalysis: Theory, Methods & Applicatios 72(6): 2982 2989, 21. [9] D. Haje, Uiform polyomial approximatio, Amer. Math. Mothly 72: 681, 1965. [1] P. Hartma, Ordiary differetial equatios, Birhauser, Bosto-Basel-Stuttgart, 1982. [11] M. Kac, Ue remarque sur les polyomes de M.S. Berstei, Studia Math. 7: 49 51, 1938. [12] M. Kac, Recoaissace de priorité relative à ma ote Ue remarque sur les polyomes de M. S. Berstei, Studia Math. 8: 17, 1939. [13] W. Kratz, U. Stadtmüller, O the uiform modulus of cotiuity of certai discrete approximatio operators, J. Approx. Theory 54 (3):326 337, 1988. [14] J. Jaowsa, M. Jaowsi, Metody umerycze, tom 1, Wydawictwa Nauowo-Techicze, Warszawa, 1981 [15] G.G. Loretz, Berstei Polyomials, Spriger-Verlag, Berli-Heidelberg-New Yor, 1993. [16] T. Lidvall, Berstei polyomials ad the law of large umbers, Math. Scietist 7: 127 139, 1982. [17] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii fucji rzeczywistych, PWN, Warszawa, 1976. [18] A. Mogelli, S. Noschese, Uiform polyomial approximatio to solutios of the Cauchy problem for O.D.E., Riv. Mat. Uiv. Parma 3(6): 195 24, 2. [19] P. Mathé, Approximatio of Hölder Cotiuous Fuctios by Berstei Polyomials, The America Mathematical Mothly 16(6): 568 574, 1999. [2] S. Ostrovsa, q-berstei polyomials ad their iterates, J. Approx. Theory 123(2): 232 255, 23. [21] G.M. Phillips, Iterpolatio ad Approximatio by Polyomials, Spriger-Verlag, Berli, 23.

APROKSYMACJA OPERATORAMI BERNSTEINA 9 [22] G.M. Phillips, O Geeralized Berstei Polyomials. I Approximatio ad optimizatio, vol. I (Cluj-Napoca, 1996): 335-34, Trasilvaia, Cluj-Napoca, 1997. BARBARA WOLNIK INSTYTUT MATEMATYKI, UNIWERSYTET GDAŃSKI, UL. WITA STWOSZA 57, 8-952 GDAŃSK Adres e-mail: Barbara.Woli@mat.ug.edu.pl JACEK GULGOWSKI INSTYTUT MATEMATYKI, UNIWERSYTET GDAŃSKI, UL. WITA STWOSZA 57, 8-952 GDAŃSK Adres e-mail: dza@mat.ug.edu.pl