Zeszyy Naukowe Meody analizy danych Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie 94 ISSN 1898-6447 Zesz. Nauk. UEK, 213; 94: 19 36 Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Esymowane modele równowagi ogólnej: zasosowanie meody dekompozycji funkcji do oceny zależności między paramerami posaci srukuralnej i zredukowanej * Sreszczenie W pracy omówiono zagadnienia wykorzysania dekompozycji funkcji w esymowanych modelach równowagi ogólnej do charakerysyki zależności między paramerami posaci srukuralnej i zredukowanej. Dekompozycja funkcji rzędu pierwszego jes rakowana jako model regresji zależnej od sanu i esymowana meodami nieparamerycznymi. Wykorzysują one dowolnie liczną próbkę Mone Carlo, wygenerowaną z rozkładu prawdopodobieńswa dla wekora paramerów srukuralnych, opisującą nieznaną, nieliniową zależność. Esymacja opara jes na echnikach filrowania i wygładzania wywodzących się z filru Kalmana, zmodyfikowanych w sposób umożliwiający uwzględnienie znacznie większej zmienności paramerów regresji w modelach zależnych od sanu. Całość meodologii zosała zilusrowana na przykładzie zaczerpnięym z lieraury. * Praca powsała w ramach badań sauowych Kaedry Ekonomerii i Badań Operacyjnych Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie. Auorka pragnie złożyć podziękowania Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu oraz uczesnikom seminarium Kaedry Ekonomerii i Badań Operacyjnych za komenarze i dyskusję podczas prezenacji opracowania.
2 Słowa kluczowe: dynamiczne sochasyczne modele równowagi ogólnej, analiza wrażliwości, wielowymiarowa reprezenacja funkcji, filr Kalmana, regresja o paramerach zależnych od sanu. 1. Wprowadzenie Praca zosała poświęcona zasosowaniom meod analizy wrażliwości w modelach równowagi ogólnej i sanowi konynuację opracowania Obszary sabilności rozwiązania empirycznych modeli równowagi ogólnej: zasosowanie meod analizy wrażliwości [Wróbel-Roer 211b]. W szczególności emaem jes analiza związku między paramerami posaci srukuralnej i zredukowanej modelu. Srukuralne równania dynamicznego modelu równowagi ogólnej worzą nieliniowe sysemy racjonalnych oczekiwań, kóre po rozwiązaniu i liniowej aproksymacji podlegają esymacji. Związek między paramerami posaci zredukowanej i srukuralnej modelu ma charaker nieliniowy, a jego określenie jes rudne ze względu na sosowanie aproksymacji, ma jednak kluczowe znaczenie dla użyeczności modelu w analizach ekonomicznych. Celem opracowania jes prezenacja sposobów znajdowania i przybliżania zależności łączącej paramery srukuralne esymowanego modelu równowagi ogólnej z paramerami jego posaci zredukowanej. Zagadnienia prezenowane w pracy, sanowiące niewielką część meodologii związanej z esymacją i analizą modeli równowagi ogólnej, zosały zilusrowane na przykładzie zaczerpnięym z lieraury. 2. Posać srukuralna i zredukowana Sysem równań srukuralnych esymowanego modelu równowagi ogólnej można zapisać w posaci jednej funkcji wekorowej, warunkowej względem usalonego wekora paramerów srukuralnych q, posaci: * * * * E [ f ( y, y, y, ε ; θ )] =, (1) + 1 1 gdzie E oznacza operaor warości oczekiwanej, warunkowej względem zbioru informacji w momencie, y * oznacza wekor wszyskich zmiennych endogenicznych w modelu, e oznacza wekor egzogenicznych zakłóceń losowych i szoków wysępujących w posaci srukuralnej. Jej rozwiązanie prowadzi do posaci zredukowanej, umożliwiającej zapisanie reprezenacji modelu w przesrzeni sanów, kóra jes określana przez równanie przejścia: s = As + Bε, (2) 1
Esymowane modele równowagi ogólnej 21 gdzie s oznacza wekor sanu, elemeny macierzy A i B są nieliniowymi funkcjami paramerów srukuralnych q modelu, oraz przez równanie obserwacji: Y = F+ Cs + v, (3) gdzie Y jes wekorem zmiennych obserwowalnych, zaś v jes wekorem zakłóceń losowych w równaniu obserwacji. Macierze paramerów A i B posaci zredukowanej zawierają kluczowe wielkości odpowiedzialne za warości orzymywanych charakerysyk modelowej gospodarki. Sposób rozwiązywania i aproksymacji modeli racjonalnych oczekiwań nie umożliwia określenia ich bezpośredniego powiązania z paramerami srukuralnymi q, co powoduje, że należy uaj zasosować dodakowe meody, w szczególności echniki sosowane w analizie wrażliwości. W pracy zaprezenowano sposoby znajdowania i przybliżania zależności łączącej paramery srukuralne q z paramerami macierzy przejścia A i B. Ogólna definicja analizy wrażliwości (ang. sensiiviy analysis) określa, w jakim sopniu niepewność związana z wnioskowaniem o danym czynniku wyjściowym w modelu (np. paramerze posaci zredukowanej) może zosać przypisana do źródeł niepewności związanych z poszczególnymi czynnikami wejściowymi (np. paramerami posaci srukuralnej). Pojęciem zbliżonym do analizy wrażliwości jes analiza niepewności, kóra ogranicza się do czynników wyjściowych w modelu. Do najważniejszych prac z zakresu analizy wrażliwości w modelach wielowymiarowych należą: [Salelli e al. 28, Salelli e al. 24, Osidele i Beck 24, Rao 26, 28, Berlian i Dakhlia 1997 oraz Salelli 22]. Zaprezenowane w arykule zagadnienia są konynuacją zasosowań meod analizy wrażliwości globalnej (ang. global sensiiviy analysis, GSA) w modelach równowagi ogólnej [Wróbel-Roer 211b]. 3. Reprezenacja funkcji Meoda reprezenacji funkcji znajduje zasosowanie do przybliżonego określenia charakeru nieliniowej i nieznanej zależności między poszczególnymi paramerami posaci zredukowanej i srukuralnej esymowanego modelu równowagi ogólnej, kóre są konsekwencją sposobu rozwiązywania modeli racjonalnych oczekiwań [Rao 26, 28]. Zosała ona zaproponowana w pracy [Sobol 23]. Opiera się na wykorzysaniu skończonej dekompozycji funkcji na elemeny coraz wyższego rzędu, znanej w lieraurze pod nazwą wielowymiarowej reprezenacji funkcji (ang. high dimensional model represenaion, HDMR) [Sobol 1993]. W przypadku modeli równowagi ogólnej nieznana, nieliniowa funkcja paramerów srukuralnych, f( θ ) = f( θ 1,..., θ k ), sanowiąca najczęściej elemen macierzy
22 współczynników posaci zredukowanej A i B, może zosać aproksymowana przez skończoną sumę posaci: f ( ) = f + k i f i k k ( i ) + f ij ( i, j) +... + f 12... k ( 1,..., k). (4) i j > i Składniki dekompozycji zależą wyłącznie od paramerów srukuralnych modelu równowagi ogólnej odpowiadających indeksom danego elemenu rozwinięcia. W szczególności f(q i ) = f i (i = 1,, k) są nazywane efekami głównymi (ang. main effecs), elemeny f(q i, q j ) = f ij oznaczają efeky inerakcji drugiego rzędu (ang. second order ineracion effecs), a f 12...k jes efekem inerakcji k-ego rzędu. Elemeny dekompozycji są orogonalne w przypadku niezależności paramerów srukuralnych modelu, a sama dekompozycja jes jednoznaczna [Sobol 23]. Poszczególne składniki są definiowane przez odpowiednie warości oczekiwane: f = E( q), (5) f i (q i ) = E( q q i ) f, (6) f ij (q i, q j ) = E( q q i, q j ) f(q i ) f(q j ) f, (7) f ijs (q i, q j, q s ) = E( q q i, q j, q s ) f ij (q i, q j ) f is (q i, q s ) f js (q j, q s ) f i (q i ) f j (q j ) f s (q s ) f,... f 12... k ( 1... k ) = E( 1... k ) +... K K k=1 l>k f kl ( k, l ) K k=1 f k ( k ) f. (8) Elemeny dekompozycji informują, jak bardzo rozważana funkcja paramerów srukuralnych f( q) odchyla się od średniego jej poziomu f w wyniku obecności danego parameru srukuralnego bądź ich grupy. Dekompozycja funkcji jes uzasadniana na gruncie eoreycznym jako zależność E( q q ) wynikająca z zagadnienia idenyfikacji funkcji g(q i i ) jednego parameru, kóra najlepiej aproksymuje wyjściową zależność f( θ ) = f( θ 1,..., θ k ) [Salelli 22]. Meoda aproksymacji akich zależności zakłada dowolnie usalony punk odniesienia (ang. arbirary reference poin) oraz orogonalność paramerów srukuralnych. Oszacowana dekompozycja funkcji jes wykorzysywana do budowy indeksów wrażliwości umożliwiających określenie, kóra grupa paramerów ma największy wpływ na kszałowanie się danego parameru posaci zredukowanej. Bazują one na uogólnionej analizie wariancji, zaproponowanej w pracy [Sobol 23], szczegółowo omówionej w: [Sobol e al. 27]. Zagadnienie budowy indeksów wrażliwości z wykorzysaniem dekompozycji funkcji jes znane w lieraurze pod nazwą ANOVA HDMR (ang. analysis of variance HDMR). Isoa ej meody polega na konsrukcji skalarnej miary ważności wpływu danego parameru srukuralnego q i na zmienność f( q). Miara aka jes zdefiniowana przez iloraz (warunkowych
Esymowane modele równowagi ogólnej 23 względem q i ) wariancji cząskowych V i = V(f i (q i )) oraz wariancji bezwarunkowej (całkowiej) V = V(f( q)). Orzymujemy w en sposób indeksy wrażliwości posaci: S i = V i /V opisujące efeky główne, indeksy S ij = V ij /V obrazujące efeky drugiego rzędu, wynikające wyłącznie z zależności między paramerami (ang. second order ineracion effecs) id. W przypadku dekompozycji funkcji rzędu pierwszego rozważamy wyłącznie indeksy opare na efekach głównych. Symbol i jes nazywany rzędem albo wymiarem indeksu wrażliwości. 4. Dekompozycja funkcji jako model regresji Odchylenia nieznanej funkcji paramerów srukuralnych f( q ) od jej warości oczekiwanej f, dla dekompozycji funkcji rzędu pierwszego, posaci: f( q ) f = f 1 (q 1 ) +... + f k (q k ) + R (9) można porakować jako model regresji zależnej od sanu (ang. sae dependen regression, SDR): f( q ) f = p 1* (q 1 ) q 1 +... + p k* (q k ) q k + R, (1) gdzie indeks oznacza kolejne obserwacje, w szczególności realizacje pochodzące z symulacji Mone Carlo, p 1* (q 1 ),, p k* (q k ) są współczynnikami regresji zależnej od sanu q, z kórych każdy jes funkcją wyłącznie odpowiadającego mu parameru srukuralnego q i, R ~ N(, s 2 ) oznacza sumy składników wyższych rzędów, rakowane jako zmienne losowe o niezależnych rozkładach normalnych, o zerowej warości oczekiwanej i nieznanej wariancji s 2. Każdy ze składników dekompozycji pierwszego rzędu f i (q i ) jes funkcją wyłącznie jednego parameru srukuralnego q i, co oznacza, że paramery regresji zależnej od sanu p i* (q i ) są kszałowane wyłącznie przez pojedyncze zmienne wejściowe q i. Implikuje o równość pomiędzy elemenami dekompozycji pierwszego rzędu a współczynnikami regresji zależnej od sanu: f i (q i ) = p i* (q i )q i = p i q i. (11) Osaecznie model podlegający esymacji przyjmuje posać: f( q ) f = p 1 q 1 +... + p k q k + R. (12) Esymacja współczynników p i jes równoważna esymacji elemenów f i (q i ) dekompozycji funkcji pierwszego rzędu, kóre nasępnie służą do budowy indeksów wrażliwości. Meody esymacji elemenów drugiego i rzeciego rzędu prezenują m.in. [Rao e al. 24, Rao 28]. Dosępność dowolnie licznego
24 zbioru obserwacji ilusrującego zależność paramerów srukuralnych i posaci zredukowanej, pochodzącego z symulacji Mone Carlo powoduje, że do oszacowania dekompozycji funkcji można wykorzysać podejście nieparameryczne. Meody e wywodzą się z echnik sosowanych do idenyfikacji skomplikowanych związków nieliniowych, wysępujących w układach dynamicznych charakeryzujących się złożoną srukurą sochasyczną, przy założeniu dosępności znacznej liczby danych empirycznych [Young 2]. Do ich esymacji najczęściej wykorzysuje się modele regresji zależnej od sanu sysemu (ang. sae dependen parameers, SDP), w szczególności model regresji o współczynnikach zmiennych w czasie (ang. ime variable parameers, TVP). Ogólna posać modelu regresji o paramerach zależnych od sanu, dopuszczająca również wysępowanie zmiennych egzogenicznych (ang. sae dependen auo-regression wih exogenous variables, SDARX), przedsawia się nasępująco [Young 2]: y = z' p + e, e ~ N(, s 2 ), gdzie z' = [ y 1 y 2... y n u d... u d m ] zawiera opóźnienia zmiennej zależnej y oraz bieżące i opóźnione warości pojedynczej zmiennej niezależnej u, wekor paramerów: p = [a 1 (c ) a 2 (c ) a n (c ) b (c ) b m (c )]' = = [p 1 (c ) p 2 (c ) p n (c ) p n + 1 (c ) p n + m + 1 (c )]' (13) zawiera współczynniki a i (c ), i = 1,, n, oraz b j (c ), j =, 1,, m, zależne od sanu c = [z' U' ], zaś U jes wekorem czynników innych niż u mogących mieć wpływ na zależność y i u, n i m oznaczają rzędy opóźnień, d jes warością opóźnienia pozwalającą na ujęcie różnicy między momenem wysąpienia zmiany w warości u a pojawieniem się jej efeku w y. W konekście zasosowania regresji zależnej od sanu do esymacji dekompozycji funkcji w analizie esymowanych modeli równowagi ogólnej przyjmujemy d =, m =, n =, U =, co implikuje z = u i p = [b (c )] = [p(c )]. Oznacza o ograniczenie do zera liczby opóźnień zmiennej niezależnej, pozosawienie wyłącznie bieżących jej warości oraz eliminację elemenów auoregresyjnych. W przypadku zasosowania dekompozycji funkcji w modelach równowagi ogólnej zmienną niezależną sanowią paramery srukuralne q i. Model SDARX powsał jako uogólnienie modelu regresji liniowej sosowane do układów dynamicznych o charakerze sochasycznym, polegające na uzależnieniu warości paramerów regresji od położenia, w jakim znajduje się sysem w danym momencie. Szczególnymi przypadkami są:
Esymowane modele równowagi ogólnej 25 a) modele regresji o współczynnikach zmiennych w czasie TVP, uzyskane po eliminacji zależności paramerów od sanu sysemu i pozosawieniu wyłącznie możliwości ich sopniowej ewolucji w czasie: p = [p 1, p 2,... p n + m + 1, ]', b) modele regresji zależnej od sanu SDP, uzyskane po eliminacji zmiennych egzogenicznych i pozosawieniu części auoregresyjnej. Esymacja paramerów modelu regresji zależnej od sanu opiera się na meodach sosowanych sandardowo w ekonomerii nieparamerycznej do szacowania paramerów regresji o współczynnikach zmiennych w czasie [Wasserman 26, Härdle 1994]. W modelach TVP zakłada się dla współczynników powolną, sopniową ich ewolucję w czasie, podczas gdy w modelach SDP dopuszcza się znaczną zmienność paramerów regresji, wynikającą z ich bezpośredniego powiązania z wekorem sanu c. Powoduje o, że echniki sosowane dla modeli o paramerach zmiennych w czasie sają się nieadekwane i podlegają modyfikacji; szczegółową dyskusję ego zagadnienia zawiera praca [Young 2]. W prakyce do nieparamerycznej idenyfikacji zależności współczynników regresji od wekora sanu sosuje się procedurę wygładzania szeregu czasowego w usalonych przedziałach, połączoną ze specjalnym sorowaniem danych oraz algorymem ieracyjnej esymacji pojedynczych paramerów regresji (ang. back-fiing procedures). Efekem akiej esymacji jes ilusracja zależności pomiędzy poszczególnymi paramerami regresji i wekorem sanu w formie zbioru (wykresu) punków, kóry nasępnie jes podsawą do esymacji modelu paramerycznego o sałych współczynnikach, najczęściej wielomianu. Esymacja dekompozycji funkcji jako modelu regresji zależnej od sanu, w zasosowaniu do esymowanych modeli równowagi ogólnej, przebiega według nasępujących ogólnych eapów: 1) określenie procesu sochasycznego opisującego zmienność współczynników p i, kóre są najczęściej reprezenowane przez procesy błądzenia losowego; 2) wygenerowanie próbki losowej z rozkładu prawdopodobieńswa dla q (rozkładu a poseriori albo a priori) i uzyskanie wekora warości opisujących nieznaną zależność między współczynnikami posaci zredukowanej i paramerami srukuralnymi; 3) nieparameryczna esymacja współczynników p i na podsawie uzyskanej próbki Mone Carlo, składająca się z dwóch zasadniczych eapów: a) zasosowania rekursywnych meod esymacji, wykorzysywanych w przypadku modeli o paramerach zmiennych w czasie do idenyfikacji zależności paramerów regresji zależnej od sanu od zdefiniowanych zmiennych sanu. b) parameryzacji zidenyfikowanej nieparamerycznie zależności między zmiennymi sanu a współczynnikami posaci zredukowanej, modelem o sałych współczynnikach, esymowanym najczęściej meodą największej wiarygodności.
26 5. Technika esymacji modeli o paramerach zależnych od sanu Sosowanie procedury nieparamerycznej esymacji modeli regresji o współczynnikach zależnych od sanu bądź zmiennych w czasie wymaga przyjęcia założeń doyczących procesu kszałującego ewolucję p i, najczęściej ujmującego ich zmienność w sposób sochasyczny. Zmienność każdego z paramerów regresji p i opisuje się przez dwuwymiarowy sochasyczny wekor sanu x i = [l i d i ]', składający się z dwóch procesów, l i oraz d i, odpowiadających za zmianę poziomu oraz nachylenia krzywej reprezenującej paramer. Opis dynamiki sochasycznych zmiennych sanu x i najczęściej jes dokonywany poprzez uogólnione procesy błądzenia losowego (ang. generalized random walk, GRW), zdefiniowane w formie równania przesrzeni sanów: x i = F i x i, 1 + G i h i, = αβ γ = δ Fi, Gi ε, i = 1, 2,..., m + n + 1, (14) gdzie η i, = [ η1, i, η2, i, ] ' jes wekorem składników losowych o zerowej warości oczekiwanej oraz diagonalnej macierzy kowariancji Q hi, będących źródłem sochasycznych zmian paramerów w modelu regresji. Szczególnym przypadkiem GRW jes skalarny proces błądzenia losowego orzymany po założeniu b = g = = e = oraz a = d = 1, kóry sprowadza się do zależności l i = l i, 1 + h 1, i, oraz l i = p i, najczęściej przyjmowanej w prakyce do opisu zmienności paramerów p i w zasosowaniach doyczących modeli równowagi ogólnej. Paramery a, b, g, d, e oraz elemeny macierzy kowariancji Q hi, zwane w ym konekście hiperparamerami, nie są znane i podlegają esymacji, najczęściej meodą największej wiarygodności; szczegóły zawiera praca [Young 2]. Model regresji jes nasępnie zapisywany w formie przesrzeni sanów składającej się z równania przejścia, powsałego poprzez agregację indywidualnych równań dla poszczególnych paramerów, oraz równania obserwacji, łączącego wekor sanu ze zmienną obserwowalną: x = Fx 1 + Gh, (15) y = H x + μ, (16) gdzie x = [x' 1 x' 2... x' n + m + 1, ]', F oraz G są macierzami blokowo-diagonalnymi, zbudowanymi z macierzy F i oraz G i, h jes wekorem zawierającym wekory zakłóceń h i, niezależnym od zakłóceń równania obserwacji m, o macierzy kowariancji Q zbudowanej z indywidualnych macierzy kowariancji Q hi. Macierz H = [ y 1 y 2... y n u d... u d m ] w przypadku założenia skalarnego procesu błądzenia losowego dla p i.
Esymowane modele równowagi ogólnej 27 Zasadniczym elemenem nieparamerycznej esymacji modeli regresji o paramerach zależnych od sanu jes filrowanie i wygładzanie szeregu danych z zasosowaniem procedur wywodzących się z filru Kalmana. Składa się ona z dwóch zasadniczych eapów: w pierwszym nasępuje filrowanie uzyskanej próbki Mone Carlo za pomocą rekursywnie sosowanej meody najmniejszych kwadraów, naomias w drugim dokonuje się esymacji pojedynczych paramerów regresji za pomocą wygładzania obserwacji w usalonych przedziałach (ang. fixed inerval smoohing, FIS), połączonego ze specjalnym sorowaniem danych. Filrowanie próbki Mone Carlo zachodzi według nasępujących formuł [Young 2]: ˆx 1 = F ˆx 1 oraz ˆP 1 = F ˆP 1 F' + GQ r G', (17) gdzie wekory poprawek są dane przez: ˆx = ˆx 1 + P 1 H' [1 + H P 1 H' ] 1 (y H ˆx 1 ) (18) P = P 1 + P 1 H' [1 + H P 1 H' ] 1 H P 1 (19) oraz Q r = Q / s 2 jes macierzą określającą iloraz wariancji zakłóceń losowych h do wariancji reszowej s 2, oraz ˆP = P * / s 2, gdzie P* oznacza macierz kowariancji błędu predykcji wekora sanu. Wygładzanie meodą FIS opare jes na nasępujących zależnościach: ˆx N = F 1 [ ˆx + 1 N + GQ r G'L ], (2) L = [I P + 1 H' + 1 H + 1 ]' [F'L + 1 H' + 1 (y + 1 H + 1 ˆx + 1 )] oraz L N =, (21) P N = P + P F' P 1 + 1 N [P + 1 N P = 1 ] P 1 + 1 FP, (21) gdzie I oznacza macierz jednoskową. W modelach regresji zależnej od sanu zmienność paramerów regresji p i (c ) jes znacznie większa niż zmienność p i w modelach o współczynnikach zmiennych w czasie, co jes konsekwencją ich bezpośredniego powiązania ze zmiennymi sanu. Powoduje o nieadekwaność przyjmowanych w modelach TVP założeń, w szczególności doyczących sosowania uogólnionych procesów błądzenia losowego do opisu dynamiki współczynników regresji. Proponowanym w prakyce rozwiązaniem ad hoc jes zmiana kolejności danych w aki sposób, aby uzyskana zmienność paramerów dla obserwacji posorowanych była mniej gwałowna niż w szeregu wyjściowym [Young 2]. Algorym esymacji paramerów regresji zależnych od sanu sprowadza się do znalezienia wsępnych ocen paramerów regresji pˆi N z zasosowaniem procedur esymacji modeli o współczynnikach zmiennych w czasie, a nasępnie ich kory-
28 gowania poprzez esymację FIS regresji pomocniczych dla pojedynczych współczynników regresji posaci: i j i j k i N i y = piz, (23) i gdzie y = y z pˆ, k oznacza kolejną ierację. Indywidualne paramery regresji są szacowane po każdorazowym posorowaniu y i i z i rosnąco względem z i [Young 2]. Esymacja FIS regresji pomocniczych jes powarzana do momenu usabilizowania się warości współczynnika deerminacji bądź spełnienia innego kryerium zbieżności. Paramery wygładzania niezbędne do esymacji FIS są opymalizowane meodą największej wiarygodności. Nakreślona meoda esymacji paramerów regresji zależnej od sanu sanowi ogólną echnikę nieparamerycznej esymacji nieliniowych, sochasycznych sysemów zaproponowaną w konekście mechanisycznego podejścia do modelowania danych empirycznych (ang. daa-based mechanisic modelling), w kórym najważniejszym elemenem jes uzyskanie modelu opisującego kszałowanie się badanego zjawiska. Meody należące do ej klasy nie zosały dokładnie opracowane pod względem warunków niezbędnych do określenia kryerium zbieżności, w szczególności nie są znane warunki sabilności algorymu FIS oraz własności saysyczne esymaorów paramerów regresji i macierzy kowariancji. Podejście o sanowi alernaywę dla innych meod esymacji, ze względu na próbę idenyfikacji charakeru nieliniowości wysępującego w danych przed osaeczną esymacją modelu paramerycznego (np. aproksymacji wielomianami). Umożliwia o sosowanie mniej sparameryzowanych modeli niż w przypadku np. sieci neuronowych [Young 2]. 6. Przykład empiryczny Zasosowanie meod dekompozycji funkcji do oceny zależności między paramerami posaci srukuralnej i zredukowanej w esymowanych modelach równowagi ogólnej zosał zilusrowany na przykładzie zaczerpnięym z pracy [Rabanal i Rubio-Ramírez 25], kóry pierwonie zosał zaproponowany w publikacji [Erceg, Henderson i Levin 2]. W modelu zdefiniowano nasępujące zmienne: zagregowany produk y, sopę procenową r, wskaźnik inflacji ˆπ oraz wskaźnik zmiany płacy nominalnej ˆπ w, realną płacę w r, zakłócenia sochasyczne obecne w preferencjach konsumenów g oraz echnologii producenów pośrednich a, nakład pracy n, kosz krańcowy produkcji dodakowej jednoski dobra pośredniego mc oraz krańcową sopę subsyucji między konsumpcją a pracą mrs. Model w posaci srukuralnej ma nasępującą posać:
Esymowane modele równowagi ogólnej 29 y = E y + σ( r E π ˆ 1 + 1+ Eg + 1 g ), (24) mrs =σ y +γn g, (25) w w (1 βθ θ π ˆ =βe π ˆ w)(1 w) r + 1 + ( mrs w ), (26) θ (1 γε ) w w y = a + (1 α) n, mc = w + n y, r r r 1 w w = w +πˆ πˆ, (27) (28) (29) (1 α)(1 θpβ)(1 θ p) λ π ˆ =β E ( π ˆ + 1 ) + ( mc +ε ), (3) θ (1 +αε ( 1)) p r =ρ r + (1 ρ )( γππ ˆ r 1 r +γ yy) +ε, (31) a g a a z =ρ a 1 +ε, (32) g g =ρ g 1 +ε, (33) * a g z gdzie ε = [ ε ε ε ε λ ]' oznacza wekor zakłóceń losowych (szoków) posaci srukuralnej, θ= [ ασβγεθpρr γπ γyρaρgθwεw ]' zawiera paramery srukuralne. Szczegółowe wyprowadzenie równań można znaleźć m.in. w pracach: [Wróbel- -Roer 211a, c, 212b]. Model en był również wykorzysywany do ilusracji zagadnień esymacyjnych i numerycznych w pracach: [Wróbel-Roer 211b, 212a]. Przykład en zosał również wykorzysany do ilusracji zagadnień związanych z modelami DSGE połączonymi z wekorową auoregresją: [Wróbel-Roer 213d, b, c, a, e]. Prace e sanowią konynuację badań związanych ze sosowaniem esymowanych modeli równowagi ogólnej w prakyce, kóre poprzedzają arykuły wprowadzające w emaykę: [Wróbel-Roer 212c, d] i wcześniejsze, ogólniejsze prace: [Wróbel-Roer 27c, a, b, 28]. Implemenację numeryczną wykonano w pakiecie Dynare, wykorzysując dodakowe procedury opracowane przez EU Join Research Cenre w Isprze [Adjemian e al. 211]. W ocenie zależności między paramerami posaci srukuralnej i zredukowanej, w esymowanym modelu równowagi ogólnej próbka losowa jes generowana z rozkładu a poseriori, w prakyce wykorzysuje się realizacje orzymane z algorymu Meropolisa i Hasingsa. W przypadku zasosowania dekompozycji funkcji do analizy modelu przed jego esymacją bądź w modelach kalibrowanych próbkę losową generuje się z przyjęych rozkładów prawdopodobieńswa dla paramerów srukuralnych, w szczególności z rozkładu a priori. Dekompozycja funkcji jes wykorzysywana do zbudowania indeksów wrażliwości, kóre odgrywają kluczową rolę w określeniu paramerów srukuralnych mających największy
3 wpływ na paramery posaci zredukowanej bądź inną charakerysykę modelu, i służy zwykle jako narzędzie wsępnej analizy modelu. W ramach zasosowania dekompozycji funkcji w esymowanych modelach równowagi ogólnej najczęściej analizuje się nasępujące zagadnienia: 1. Dla danej zmiennej endogenicznej rozważa się paramery srukuralne mające największy wpływ na współczynniki posaci zredukowanej znajdujące się przy jej opóźnieniach oraz opóźnieniach pozosałych zmiennych endogenicznych. 2. Dla danej zmiennej endogenicznej określa się paramery srukuralne mające największy wpływ na współczynniki w równaniu posaci zredukowanej znajdujące się przy zmiennych ujmujących egzogeniczne zakłócenia losowe (szoki). 3. Dla każdego z paramerów srukuralnych zesawia się wszyskie indeksy wrażliwości, co pozwala na wskazanie paramerów srukuralnych niemających znacznego wpływu na żaden z paramerów posaci zredukowanej. Oznacza o, że zmienność parameru srukuralnego nie koresponduje ze zmiennością parameru posaci zredukowanej i jej nie implikuje. Ze względu na poprawność zasosowania algorymu esymacji dekompozycji funkcji zwykle przed wykonaniem obliczeń dokonuje się oceny kszału rozkładu ineresującej nas funkcji paramerów srukuralnych f ( θ), w celu znalezienia najlepszej jej ransformacji, ak aby orzymany rozkład był jak najbardziej zbliżony do rozkładu gaussowskiego. W prakyce sosuje się najprossze ransformacje logarymiczne, logarymiczno-kwadraowe w przypadku symerycznych grubych ogonów bądź skośne logarymiczne dla rozkładów asymerycznych. W przypadku rozważanej aplikacji zasosowano arbiralnie ransformację logarymiczno- -kwadraową współczynników posaci zredukowanej, co implikuje budowę dekompozycji funkcji dla posaci: f ( θ ) f = exp,5( f 1 (q 1 ) +... + f k (q k ) + R ). (34) Najczęściej w zasosowaniach prakycznych modeli równowagi ogólnej obiekem zaineresowania są współczynniki posaci zredukowanej wysępujące w dwóch równaniach: inflacji i sopy procenowej znajdujące się przy opóźnionej sopie procenowej r 1 i zakłóceniu monearnym e z. Analiza wrażliwości sprawdza, kóry z paramerów srukuralnych q i najbardziej wpływa na kszałowanie się siły reakcji bieżącego wskaźnika inflacji p na poziom sopy procenowej z okresu poprzedniego r 1 oraz analogicznie jak zmienia się współczynnik posaci zredukowanej opisujący odpowiedź inflacji p na zakłócenie srukuralne e z. Podobnie rozważamy wpływ paramerów srukuralnych q i na współczynniki posaci zredukowanej w równaniu sopy procenowej, opisujące zależność r od r 1 oraz e z. Analizujemy zaem czery współczynniki posaci zredukowanej, mając na celu określenie, kóry z paramerów srukuralnych q i ma największy wpływ na kszałowanie się siły wpływu szoku monearnego e z na
Esymowane modele równowagi ogólnej 31 inflację p i sopę procenową r oraz wpływu opóźnionej sopy procenowej r 1 na jej bieżący poziom r oraz bieżącą inflację p. Na rys. 1 przedsawiono indeksy wrażliwości S i dla współczynnika przy zakłóceniu monearnym e z znajdującego się w równaniu inflacji p oraz aproksymacje elemenów pierwszego rzędu dekompozycji funkcji dla logarymiczno-kwadraowej ransformacji współczynnika wraz z 99,9-proc. przedziałami ufności (linie przerywane). Linie ciągłe, będące wykresami efeków głównych f i (q i ), przedsawiają udział każdego z paramerów srukuralnych q i w zmienności poddanego ransformacji współczynnika posaci zredukowanej wokół jego średniej. Na osi odcięych znajduje się paramer posaci srukuralnej. Obliczone indeksy wrażliwości wskazują, że największy wpływ na kszałowanie się współczynnika posaci zredukowanej przy zakłóceniu monearnym wysępującym w równaniu inflacji ma paramer srukuralny q p, odpowiedzialny za 53% całkowiej jego zmienności. W dalszej kolejności znaczący wpływ mają również paramery r r oraz g y, wyjaśniające odpowiednio 24% i 19% zmienności współczynnika posaci zredukowanej; pozosałe paramery srukuralne nie mają isonego znaczenia. Analogiczna inerpreacja doyczy wyników uzyskanych dla współczynnika posaci zredukowanej znajdującego się przy opóźnionej sopie procenowej w równaniu inflacji (nieilusrowane). Indeksy wrażliwości wskazują, że największy wpływ na jego kszałowanie się ma paramer r r z posaci srukuralnej, odpowiedzialny za 53% całkowiej jego zmienności. W dalszej kolejności znaczący wpływ mają również paramery q p oraz g y, wyjaśniające odpowiednio 33% i 12% zmienności współczynnika posaci zredukowanej. Analogiczne rozważania dla równania sopy procenowej w posaci zredukowanej modelu (nieprezenowane na rysunkach) prowadzą do wniosku, że współczynnik przy zakłóceniu monearnym e z jes kszałowany przez paramery q p, r r, s oraz g y, kóre wyjaśniają odpowiednio 29%, 22%, 18% oraz 16% jego zmienności. Znikomy wpływ ma paramer q w, około 1%. Współczynnik przy opóźnionej sopie procenowej jes kszałowany głównie przez paramer r r, dla kórego indeks wrażliwości wynosi 53%, oraz przez paramery q p, s oraz g y, dla kórych orzymujemy odpowiednio 18%, 11% oraz 1%. Zaprezenowana króka analiza pozwala swierdzić, że w rozważanym modelu równowagi ogólnej isone z perspekywy analiz ekonomicznych paramery posaci zredukowanej są kszałowane przez zaledwie kilka paramerów posaci srukuralnej. Omawiany model sanowił przedmio analiz we wcześniejszej pracy [Wróbel-Roer 212a]. Wskazano w niej, że paramer q p jes rudno idenyfikowalny, obserwowana była wrażliwość oceny punkowej i rozkładu a poseriori na zmianę rozkładu a priori, ujawniały się eż problemy ze zbieżnością oraz sabilnością numeryczną. Analiza efeków głównych wskazuje, że dodanie warości f i (q i ) implikują duże, co do warości bezwzględnej, poziomy współczynnika posaci zreduko-
32 σ S i =,,1,6 γ S i =, ρ r S i =,24 1,5,5,4,2 5,1,2 5,2,4,6,8,2,4,6,8,2,4,6,8 γ π S i =, γ y S i =,19 ρ a S i =,,1 1,1,5,5 5,5,5,1 5,1,2,4,6,8,2,4,6,8,2,4,6,8 ρ g S i =, θ p S i =,53 θ w S i =,1,2 1 1,1,1 5,5,2 5,5,2,4,6,8,2,4,6,8,2,4,6,8 Rys. 1. Indeksy wrażliwości i składniki pierwszego rzędu dekompozycji funkcji dla współczynnika przy zakłóceniu monearnym w równaniu inflacji posaci zredukowanej Źródło: opracowanie własne.
Esymowane modele równowagi ogólnej 33 wanej, i ma charaker poglądowy. Duże warości parameru srukuralnego r r oraz małe dla q p implikują wysokie, co do warości bezwzględnej, warości współczynnika posaci zredukowanej w równaniu inflacji, znajdujące się przy zakłóceniu monearnym e z. Niewielkie warości r oraz znaczne dla q implikują bliskie zera r p warości współczynnika posaci zredukowanej. Współczynnik en jes podsawą do budowy funkcji odpowiedzi impulsowych, sąd jego isone znaczenie dla wniosków ekonomicznych wynikających z modelu, w szczególności doyczących siły i kierunku oddziaływania szoków. Analogiczna inerpreacja doyczy współczynnika przy opóźnionej sopie procenowej w równaniu inflacji, kórego duże poziomy korespondują z dużymi warościami parameru srukuralnego r r oraz małymi dla q p. W równaniu dla sopy procenowej znaczne warości współczynników przy opóźnionej sopie procenowej oraz zakłóceniu monearnym korespondują z dużymi warościami parameru srukuralnego r r oraz małymi dla q p. Niskie warości r r oraz wysokie q p implikują niskie co do warości bezwzględnej, bliskie zera, warości ych współczynników. Kluczowe paramery posaci zredukowanej sanowiące podsawę do konsrukcji charakerysyk ekonomicznych modelowej gospodarki są kszałowane przez zaledwie kilka paramerów posaci srukuralnej, w szczególności przez q p, r r oraz g y. Zaprezenowana meodologia pozwala w prakyce na ogólne określenie dynamicznej relacji łączącej wybrane paramery posaci zredukowanej z paramerami posaci srukuralnej, a w szczególności określenie isniejącego w modelu związku inflacji ze sopą procenową i szokiem monearnym oraz relacji łączącej bieżącą sopę procenową z jej opóźnieniami i szokiem monearnym. 7. Podsumowanie Praca przedsawia zasosowanie meod dekompozycji funkcji do analizy nieznanego i nieliniowego związku między paramerami posaci srukuralnej i zredukowanej esymowanego modelu równowagi ogólnej. Dekompozycja funkcji pierwszego rzędu jes rakowana jako model regresji zależnej od sanu, kóry esymuje się echnikami nieparamerycznymi, oparymi na filrowaniu i wygładzaniu uzyskanej z symulacji Mone Carlo próbki losowej. Oszacowane elemeny dekompozycji funkcji służą budowie indeksów wrażliwości, informujących o wpływie każdego z paramerów srukuralnych na wybrany paramer posaci zredukowanej. Uzyskane rezulay dosarczają ogólnego opisu zależności między paramerami srukuralnymi a kluczowymi paramerami posaci zredukowanej, deerminującymi charakerysyki ekonomiczne uzyskiwane na podsawie modelu.
34 Lieraura Adjemian S. e al. [211], Dynare: Reference Manual, Version 4, Dynare Working Papers 1. Berlian M., Dakhlia S. [1997], Sensiiviy Analysis for Applied General Equilibrium Models in he Presence of Muliple Equilibria, GE, Growh, Mah Mehods 9793, EconWPA. Erceg C.J., Henderson D.W., Levin A.T. [2], Opimal Moneary Policy wih Saggered Wage and Price Conracs, Journal of Moneary Economics, vol. 46, nr 2. Härdle W. [1994], Applied Nonparameric Regression, Springer, Berlin. Osidele O.O., Beck M.B. [24], Food Web Modelling for Invesigaing Ecosysem Behaviour in Large Reservoirs of he Souh-easern Unied Saes: Lessons from Lake Lanier, Georgia, Ecological Modelling, vol. 173, nr 2 3. Rabanal P., Rubio-Ramírez J.F. [25], Comparing New Keynesian Models of he Business Cycle: A Bayesian Approach, Journal of Moneary Economics, vol. 52, nr 6. Rao M. [26], Global Sensiiviy Analysis for DSGE Models, manuscrip. Rao M. [28], Analysing DSGE Models wih Global Sensiiviy Analysis, Compuaional Economics, vol. 31, nr 2. Rao M. e al. [24], Acceleraed Esimaion of Sensiiviy Indices Using Sae Dependen Parameer Models, Proceedings of he 4h Inernaional Conference on Sensiiviy Analysis of Model Oupu (SAMO 24), Sana Fe, New Mexico, March 8 11. Salelli A. [22], Sensiiviy Analysis for Imporance Assessmen, Risk Analysis, vol. 22, nr 3. Salelli A. e al. [24], Sensiiviy Analysis in Pracice: A Guide o Assessing Scienific Models, Wiley. Salelli A. e al. [28], Global Sensiiviy Analysis. The Primer, Wiley. Sobol I.M. [1993], Sensiiviy Analysis for Non-linear Mahemaical Models, Mahemaical Modeling and Compuaional Experimen 1, English ranslaion of Russian original paper by I.M. Sobol (199). Sobol I.M. [23], Theorems and Examples on High Dimensional Model Represenaion, Reliabiliy Engineering and Sysem Safey, vol. 79, nr 2. Sobol I.M. e al. [27], Esimaing he Approximaion Error when Fixing Unessenial Facors in Global Sensiiviy Analysis, Reliabiliy Engineering and Sysem Safey, vol. 92, nr 7. Wasserman L. [26], All of Nonparameric Saisics, Springer. Wróbel-Roer R. [27a], Dynamic Sochasic General Equilibrium Models: Srucure and Esimaion, Modelling Economies in Transiion 26, ed. W. Welfe, P. Wdowiński, Łódź. Wróbel-Roer R. [27b], Dynamiczne Sochasyczne Modele Równowagi Ogólnej: zarys meodologii badań empirycznych, Folia Oeconomica Cracoviensia, vol. 48. Wróbel-Roer R. [27c], Dynamiczny Sochasyczny Model Równowagi Ogólnej: przykład dla gospodarki polskiej, Przegląd Saysyczny, nr 3,. 54. Wróbel-Roer R. [28], Bayesian Esimaion of a Dynamic General Equilibrium Model [w:] Meody Ilościowe w Naukach Ekonomicznych, Ósme Warszay Dokorskie z zakresu Ekonomerii i Saysyki, red. A. Welfe, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Warszawa.
Esymowane modele równowagi ogólnej 35 Wróbel-Roer R. [211a], Empiryczne modele równowagi ogólnej: gospodarswa domowe i producen finalny, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie Ekonomia, nr 869, Kraków. Wróbel-Roer R. [211b], Obszary sabilności rozwiązania empirycznych modeli równowagi ogólnej: zasosowanie meod analizy wrażliwości, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie Meody Analizy Danych, nr 873, Kraków. Wróbel-Roer R. [211c], Sekor producenów pośrednich w empirycznym modelu równowagi ogólnej, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie Ekonomia, nr 872, Kraków. Wróbel-Roer R. [212a], Empiryczne modele równowagi ogólnej: zagadnienia numeryczne esymacji bayesowskiej, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie Meody Analizy Danych, nr 878, Kraków. Wróbel-Roer R. [212b], Srukura empirycznego modelu równowagi ogólnej dla niejednorodnych gospodarsw domowych, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie Ekonomia, nr 879, Kraków. Wróbel-Roer R. [212c], Wybrane zagadnienia współczesnego modelowania srukuralnego, część I: Esymowane modele równowagi ogólnej w zarysie, Folia Oeconomica Cracoviensia 53. Wróbel-Roer R. [212d], Wybrane zagadnienia współczesnego modelowania srukuralnego, część II: Wnioskowanie w esymowanych modelach równowagi ogólnej, Folia Oeconomica Cracoviensia 53. Wróbel-Roer R. [213a], Analiza sopnia zgodności z danymi empirycznymi esymowanego modelu równowagi ogólnej, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie Ekonomia (złożone do druku). Wróbel-Roer R. [213b], Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa. Aspeky eoreyczne, Przegląd Saysyczny. 6, nr 3. Wróbel-Roer R. [213c], Esymowane modele równowagi ogólnej i wekorowa auoregresja. Aspeky prakyczne, Przegląd Saysyczny. 6, nr 4. Wróbel-Roer R. [213d], Esymowane modele równowagi ogólnej i wekorowa auoregresja: model hybrydowy, Bank i Kredy vol. 44, nr 5. Wróbel-Roer R. [213e], Hybrydowy model wekorowej auoregresji analiza empiryczna funkcji odpowiedzi na zakłócenia srukuralne, manuskryp niepublikowany. Young P.C. [2], Sochasic, Dynamic Modelling and Signal Processing: Time Variable and Sae Dependen Parameer Esimaion [w:] Nonlinear and Nonsaionary Signal Processing, ed. W.J. Fizgerald, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Empirical General Equilibrium Models: Applicaion of High Dimensional Model Represenaion o Characerise he Relaionship beween Srucural and Reduced Form Coefficiens The paper presens he applicaion of high dimensional model represenaion o characerise he relaionship beween srucural and reduced form coefficiens of esimaed general equilibrium models. The funcion represenaion is considered a sae- -dependen regression ha is esimaed non-paramerically, based on Mone Carlo sample, and generaed from he probabiliy disribuion of srucural parameers. The esimaion mehod consiss of recursive filering and smoohing algorihms, derived from he
36 Kalman filer, enhanced wih special daa re-ordering, o capure srong variabiliy of he parameers in he sae-dependen regression. The esimaed funcion decomposiion is used o build sensiiviy indices. The mehodology presened is illusraed wih an example from he lieraure. Keywords: dynamic sochasic general equilibrium, sensiiviy analysis, high dimensional model represenaion, Kalman filer, sae-dependen auo-regression wih exogenous variables.