Dane wyjściowe do obliczeń kf=0 ks=20 3 EI 2 2EI EI P=5 M=0 3EI M=0 q=5 EI 5 6 8 2 Dobór układu podstawowego metody przemieszczeń n = 2 3 Pret s-p 2 Pret s-p Pret s-p Pret s-p Pret s-l Pret p-s 5 6
Wyznaczenie liczby stopni swobody przesuwu n II 3 2 p = 6 w = 6 r = 3+ n > 2w-p-r = = 2-6-=2 n g = n +n = 2+2= I 5 6 Układ podstawowy metody przemieszczeń kf=0 II ks=20 3 EI 2 2EI EI P=5 M=0 I 3EI M=0 q=5 EI 5 6 8 2
MOMENTY OD OBCIĄŻENIA CZYNNEGO M o = / 2 PL - 5 * 8 * 0,75 *(-0,75 )(- 0,75 /2) = -,063 knm M o ql 2 5 = 3 (5 * 2 )/3 = 26,667 knm M o 6 = 0,000 knm M o = 0,000 knm M o 5 = ql 2 6 (5 * 2 )/6 = 3,333 knm M o 6 = -M/2 = -0/2 = -5,000 knm
MOMENTY OD φ = M ij = (EI ij / L ij )*(a ij *φ ij + b ij *φ ji) M 3 = (EI 3 / L 3 )*(a 3 *φ 3 + b 3 *φ 3) = ( 2 /,000) * (3 * + 0 * 0 ) =,500 EI/m M = (EI / L )*(a *φ + b *φ ) = ( 3 / 8,000) * (3 * + 0 * 0 ) =,25 EI/m M 5 = (EI 5 / L 5 )*(a 5 *φ 5 + b 5 *φ 5) = ( /,000) * ( * + - * 0 ) = 0,250 EI/m M ji = (EI ij / L ij )*(a ji *φ ji + b ji *φ ij) M 3 = (EI 3 / L 3 )*(a 3 *φ 3 + b 3 *φ 3) = ( 2 /,000) * (0 * 0 + 0 * ) = 0,000 EI/m M = (EI / L )*(a *φ + b *φ ) = ( 3 / 8,000) * (0 * 0 + 0 * ) = 0,000 EI/m M 5 = (EI 5 / L 5 )*(a 5 *φ 5 + b 5 *φ 5) = ( /,000) * ( * 0 + - * ) = -0,250 EI/m
MOMENTY OD φ 2 = M 2 ij = (EI ij / L ij )*(a ij *φ 2 ij + b ij *φ 2 ji) M 2 23 = (EI 23 / L 23 )*(a 23 *φ 2 23 + b 23 *φ 2 32) = ( / 2,000) * (3 * + 0 * 0 ) = 0,250 EI/m M 2 2 = (EI 2 / L 2 )*(a 2 *φ 2 2 + b 2 *φ 2 2) = ( / 5,657) * (3 * + 0 * 0 ) = 0,530 EI/m M 2 ji = (EI ij / L ij )*(a ji *φ 2 ji + b ji *φ 2 ij) M 2 32 = (EI 23 / L 23 )*(a 32 *φ 32 + b 32 *φ 23) = ( / 2,000) * (0 * 0 + 0 * ) = 0,000 EI/m M 2 2 = (EI 2 / L 2 )*(a 2 *φ 2 + b 2 *φ 2) = ( / 5,657) * (0 * 0 + 0 * ) = 0,000 EI/m
Od I = 2' II 3 2 2'' P P2 ' ' P '' '' P3 5 6 5' P5 5'',2,3,,5,6 2'', '' 5'' ''
MOMENTY OD δ I = Δ I 3 =,000 ψ I 3 = Δ I 3 / L 3 =,000 /,000 m = -0,250 /m Δ I 23 =,000 ψ I 23 = Δ I 23 / L 23 =,000 / 2,000 m = -0,083 /m Δ I 2 =, ψ I 2 = Δ I 2 / L 2 =, / 5,657 m = -0,250 /m Δ I 6 =,000 ψ I 6 = Δ I 6 / L 6 =,000 /,000 m = 0,250 /m M I ij = (EI ij / L ij )*( -c ij *ψ I ij) M I 3 = (EI 3 / L 3 )*( -c 3 *ψ I 3) = ( 2 /,000) * (- 3 * -0,250 ) = 0,375 EI/m M I 23 = (EI 23 / L 23 )*( -c 23 *ψ I 23) = ( / 2,000) * (- 3 * -0,083 ) = 0,02 EI/m M I 2 = (EI 2 / L 2 )*( -c 2 *ψ I 2) = ( / 5,657) * (- 3 * -0,250 ) = 0,33 EI/m M I 6 = (EI 6 / L 6 )*( -c 6 *ψ I 6) = ( /,000) * (- 0 * 0,250 ) = 0,000 EI/m M I ij = (EI ij / L ij )*( -c ji *ψ I ij) M I 3 = (EI 3 / L 3 )*( -c 3 *ψ I 3) = ( 2 /,000) * (- 0 * -0,250 ) = 0,000 EI/m M I 32 = (EI 23 / L 23 )*( -c 32 *ψ I 23) = ( / 2,000) * (- 0 * -0,083 ) = 0,000 EI/m M I 2 = (EI 2 / L 2 )*( -c 2 *ψ I 2) = ( / 5,657) * (- 0 * -0,250 ) = 0,000 EI/m M I 6 = (EI 6 / L 6 )*( -c 6 *ψ I 6) = ( /,000) * (- 3 * 0,250 ) = -0,88 EI/m P = 5 kn δ = 0 P 2 = 0 kn δ 2 = P 3 = 0 kn δ 3 = P = 2,5 kn δ = - P 5 = 2,5 kn δ 5 = 0 Σ P p δ p = 7,500kN δ I s = 0
Od II = 3 3' 2 3'' 2'' 2' P P2 I P P3 5 6 P5,2,3,,5,6, 2'' 3''
MOMENTY OD δ II = Δ II 3 =,000 ψ II 3 = Δ II 3 / L 3 =,000 /,000 m = 0,250 /m Δ II 23 =,000 ψ II 23 = Δ II 23 / L 23 =,000 / 2,000 m = 0,083 /m Δ II 2 =, ψ II 2 = Δ II 2 / L 2 =, / 5,657 m = 0,250 /m M II ij = (EI ij / L ij )*( -c ij *ψ II ij) M II 3 = (EI 3 / L 3 )*( -c 3 *ψ I 3) = ( 2 /,000) * (- 3 * 0,250 ) = -0,375 EI/m M II 23 = (EI 23 / L 23 )*( -c 23 *ψ I 23) = ( / 2,000) * (- 3 * 0,083 ) = -0,02 EI/m M II 2 = (EI 2 / L 2 )*( -c 2 *ψ I 2) = ( / 5,657) * (- 3 * 0,250 ) = -0,33 EI/m M II ij = (EI ij / L ij )*( -c ji *ψ II ij) M II 3 = (EI 3 / L 3 )*( -c 3 *ψ I 3) = ( 2 /,000) * (- 0 * 0,250 ) = 0,000 EI/m M II 32 = (EI 23 / L 23 )*( -c 32 *ψ I 23) = ( / 2,000) * (- 0 * 0,083 ) = 0,000 EI/m M II 2 = (EI 2 / L 2 )*( -c 2 *ψ I 2) = ( / 5,657) * (- 0 * 0,250 ) = 0,000 EI/m P = 5 kn δ = 0 P 2 = 0 kn δ 2 = 0 P 3 = 0 kn δ 3 = 0 P = 2,5 kn δ = 0 P 5 = 2,5 kn δ 5 = 0 Σ P p δ p = 0,000kN δ II s =
WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW: k = ΣM j+k φ = + M 3 + M + M 5 = +,500 +,25 + 0,250 k = 2,875 EI/m k 2 = M 2 2 = 0,000 EI/m k I = ΣM I j = + M I 3 + M I + M I 5 = + 0,375 + 0,000 + 0,000 k I = 0,375 EI/m 2 k II = ΣM II j = + M II 3 + M II + M II 5 = + -0,375 + 0,000 + 0,000 k II = -0,375 EI/m 2 k 0 = ΣM 0 j-m 0 = + M 0 3 + M 0 + M 0 5 - M 0 = + -,063 + 26,667 - -0,000 k 0 = 22,60 knm k 2 = M 2 = 0,000 EI/m k 22 = ΣM 2 2j+k φ 2 = + M 2 23 + M 2 2 + k 2 φ = + 0,250 + 0,530 + 0,000 k 22 = 0,780 EI/m k 2I = ΣM I 2j = + M I 23 + M I 2 = + 0,02 + 0,33 k 2I = 0,53 EI/m 2 k 2II = ΣM II 2j = + M II 23 + M II 2 = + -0,02 + -0,33 k 2II = -0,53 EI/m 2 k 20 = ΣM 0 2j-M 0 2 = + M 0 23 + M 0 2 = + 0,000 + 0,000 k 20 = 0,000 knm
WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW: k I = -Σ(M ij+m ji)*ψ I ij = - (M 3 + M 3) * ψ I 3 - (M + M ) * ψ I - (M 5 + M 5) * ψ I 5 - (M 23 + M 32) * ψ I 23 - (M 2 + M 2) * ψ I 2 - (M 6 + M 6) * ψ I 6 = - (,500 + 0,000 ) * -0,250 - (,25 + 0,000 ) * 0,000 - ( 0,250 + -0,250 ) * 0,000 - ( 0,000 + 0,000 ) * -0,083 - ( 0,000 + 0,000 ) * -0,250 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 k I = 0,375 EI/m 2 k I2 = -Σ(M 2 ij+m 2 ji)*ψ I ij = - (M 2 3 + M 2 3) * ψ I 3 - (M 2 23 + M 2 32) * ψ I 23 - (M 2 2 + M 2 2) * ψ I 2 - (M 2 6 + M 2 6) * ψ I 6 = - ( 0,000 + 0,000 ) * -0,250 - ( 0,250 + 0,000 ) * -0,083 - ( 0,530 + 0,000 ) * -0,250 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 k I2 = 0,53 EI/m 2 k I I = -Σ(M I ij+m I ji)*ψ I ij+σk s δ * δ s I * δ s I = - (M I 3 + M I 3) * ψ I 3 - (M I 23 + M I 32) * ψ I 23 - (M I 2 + M I 2) * ψ I 2 - (M I 6 + M I 6) * ψ I 6 + k s δ * δ s I * δ s I = - ( 0,375 + 0,000 ) * -0,250 - ( 0,02 + 0,000 ) * -0,083 - ( 0,33 + 0,000 ) * - 0,250 - ( 0,000 + -0,88 ) * 0,250 + 2 * 0,00 * 0,00 k I I = 0,76 EI/m 3 k I II = -Σ(M II ij+m II ji)*ψ I ij+σk s δ * δ s I * δ s II = - (M II 3 + M II 3) * ψ I 3 - (M II 23 + M II 32) * ψ I 23 - (M II 2 + M II 2) * ψ I 2 - (M II 6 + M II 6) * ψ I 6 + k s δ * δ s I * δ s II = - ( -0,375 + 0,000 ) * -0,250 - ( -0,02 + 0,000 ) * -0,083 - ( -0,33 + 0,000 ) * -0,250 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 + 2 * 0,00 *,00 k I II = -0,29 EI/m 3 k I 0 = -Σ(M 0 ij+m 0 ji)*ψ I ij - ΣP p * δ I p = - (M 0 3 + M 0 3) * ψ I 3 - (M 0 + M 0 ) * ψ I - (M 0 5 + M 0 5) * ψ I 5 - (M 0 23 + M 0 32) * ψ I 23 - (M 0 2 + M 0 2) * ψ I 2 - (M 0 6 + M 0 6) * ψ I 6 - ΣP I p * δ I p = - ( 0,000 + 0,000 ) * -0,250 - ( -,063 + 0,000 ) * 0,000 - ( 26,667 + 3,333 ) * 0,000 - ( 0,000 + 0,000 ) * -0,083 - ( 0,000 + 0,000 ) * -0,250 - ( 0,000 + - 5,000 ) * 0,250-7,500 k I 0 = -6,250 kn k II = -Σ(M ij+m ji)*ψ II ij = - (M 3 + M 3) * ψ II 3 - (M + M ) * ψ II - (M 5 + M 5) * ψ II 5 - (M 23 + M 32) * ψ II 23 - (M 2 + M 2) * ψ II 2 = - (,500 + 0,000 ) * 0,250 - (,25 + 0,000 ) * 0,000 - ( 0,250 + -0,250 ) * 0,000 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,083 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 k II = -0,375 EI/m k II 2 = -Σ(M 2 ij+m 2 ji)*ψ II ij = - (M 2 3 + M 2 3) * ψ II 3 - (M 2 23 + M 2 32) * ψ II 23 - (M 2 2 + M 2 2) * ψ II 2 = - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 - ( 0,250 + 0,000 ) * 0,083 - ( 0,530 + 0,000 ) * 0,250
k II 2 = -0,53 EI/m 2 k II I = -Σ(M I ij+m I ji)*ψ II ij+σk δ s * δ I s * δ II s = - (M I 3 + M I 3) * ψ II 3 - (M I 23 + M I 32) * ψ II 23 - (M I 2 + M I 2) * ψ II 2 - (M I 6 + M I 6) * ψ II 6 + k δ s * δ II s * δ I s = - ( 0,375 + 0,000 ) * 0,250 - ( 0,02 + 0,000 ) * 0,083 - ( 0,33 + 0,000 ) * 0,250 - ( 0,000 + -0,88 ) * 0,000 + 2 *,00 * 0,00 k II I = -0,29 EI/m 3 k II II = -Σ(M II ij+m II ji)*ψ II ij+σk s δ * δ s II * δ s II = - (M I 3 + M I 3) * ψ II 3 - (M I 23 + M I 32) * ψ II 23 - (M I 2 + M I 2) * ψ II 2 + k s δ * δ s II * δ s II = - ( -0,375 + 0,000 ) * 0,250 - ( -0,02 + 0,000 ) * 0,083 - ( -0,33 + 0,000 ) * 0,250 + 2 *,00 *,00 k II II = 20,29 EI/m 3 k II 0 = -Σ(M 0 ij+m 0 ji)*ψ II ij - ΣP p * δ II p = - (M 0 3 + M 0 3) * ψ II 3 - (M 0 + M 0 ) * ψ II - (M 0 5 + M 0 5) * ψ II 5 - (M 0 23 + M 0 32) * ψ II 23 - (M 0 2 + M 0 2) * ψ II 2 - (M 0 6 + M 0 6) * ψ II 6 - ΣP II p * δ II p = - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 - ( -,063 + 0,000 ) * 0,000 - ( 26,667 + 3,333 ) * 0,000 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,083 - ( 0,000 + 0,000 ) * 0,250 - ( 0,000 + -5,000 ) * 0,000 k II 0 = 0,000 kn
MACIERZ WSPÓŁCZYNNIKÓW: Postać ogólna układu równań: k *φ + k 2 *φ 2 + k I *δ I + k II *δ II + k 0 = 0 k 2 *φ + k 22 *φ 2 + k 2 I *δ I + k 2 II *δ II + k 20 = 0 k I *φ + k I 2 *φ 2 + k I I *δ I + k I II *δ II + k I 0 = 0 k II *φ + k II 2 *φ 2 + k II I *δ I + k II II *δ II + k II 0 = 0 Postać szczegółowa układu równań: 2,875*φ + 0,000*φ 2 + 0,375*δ I + -0,375*δ II + 22,60 = 0 0,000*φ + 0,780*φ 2 + 0,53*δ I + -0,53*δ II + 0,000 = 0 0,375*φ + 0,53*φ 2 + 0,76*δ I + -0,29*δ II + -6,250 = 0-0,375*φ + -0,53*φ 2 + -0,29*δ I + 20,29*δ II + 0,000 = 0 Rozwiązanie układu równań za pomocą macierzy: k k 2 k I k II φ k 0 k 2 k 22 k 2 I k 2 II * φ 2 + k 20 = 0 k I k I 2 k I I k I II δ I k I 0 k II k II 2 k II I k II II δ II k II 0 2,875 0,000 0,375-0,375 φ 22,60 0,000 0,780 0,53-0,53 * φ 2 + 0,000 =0 0,375 0,53 0,76-0,29 δ -6,250-0,375-0,53-0,29 20,29 δ 2 0,000 2,875 0,000 0,375-0,375 ^- -22,60 φ 0,000 0,780 0,53-0,53 * 0,000 = φ 2 0,375 0,53 0,76-0,29 6,250 δ I -0,375-0,53-0,29 20,29 0,000 δ II
0,85 0,05 -,07 0,002-22,60-27,968 0,05 0,09-0, 0,000 * 0,000 = -2,9 -,07-0, 8,057 0,03 6,250 5,595 0,002 0,000 0,03 0,050 0,000 0,50 φ = -27,968 knm 2 / EI φ 2 = -2,9 knm 2 / EI δ I = 5,595 knm 3 / EI δ II = 0,50 knm 3 / EI
3 M N V V M N 2 P=5 M=0 V N M N M V V M N N M V q=5 M=0 5 6
WYZNACZENIE MOMENTÓW RZECZYWISTYCH: M rz ij = M ij*φ + M 2 ij*φ 2 + M I ij*δ I + M II ij*δ II + M 0 ij M rz 3 =,500 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,375 * 5,595 + -0,375 * 0,50 + 0,000 = 5,852kNm M rz =,25 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + -,063 = -5,527kNm M rz 5 = 0,250 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 26,667 = 9,675kNm M rz 23 = 0,000 * -27,968 + 0,250 * -2,9 + 0,02 * 5,595 + -0,02 * 0,50 + 0,000 = 2,663kNm M rz 2 = 0,000 * -27,968 + 0,530 * -2,9 + 0,33 * 5,595 + -0,33 * 0,50 + 0,000 = 9,27kNm M rz 6 = 0,000 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 0,000 = 0,000kNm M rz ji = M ji*φ + M 2 ji*φ 2 + M I ji*δ I + M II ji*δ II + M 0 ji M rz 3 = 0,000 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 0,000 = 0,000kNm M rz = 0,000 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 0,000 = 0,000kNm M rz 5 = -0,250 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 3,333 = 20,325kNm M rz 32 = 0,000 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 0,000 = 0,000kNm M rz 2 = 0,000 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + 0,000 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + 0,000 = 0,000kNm M rz 6 = 0,000 * -27,968 + 0,000 * -2,9 + -0,88 * 5,595 + 0,000 * 0,50 + -5,000 = -33,987kNm
WYZNACZENIE RZECZYWISTYCH SIŁ TNĄCYCH: V rz 3 *,000 + 5,852 + 0,000 + 0,000 = 0 V rz 3 = -3,963 kn V rz * 8,000 + -5,527 + 0,000 + -30,000 = 0 V rz = 9, kn V rz 5 *,000 + 9,675 + 20,325 + 0,000 = 0 V rz 5 = -20,000 kn V rz 23 * 2,000 + 2,663 + 0,000 + 0,000 = 0 V rz 23 = -0,222 kn V rz 2 * 5,657 + 9,27 + 0,000 + 0,000 = 0 V rz 2 = -3,07 kn V rz 6 *,000 + 0,000 + -33,987 + -0,000 = 0 V rz 6 = 0,997 kn V rz 3 *,000 + 5,852 + 0,000 + 0,000 = 0 V rz 3 = -3,963 kn V rz * 8,000 + -5,527 + 0,000 + 90,000 = 0 V rz = -5,559 kn V rz 5 *,000 + 9,675 + 20,325 + -0,000 = 0 V rz 5 = 0,000 kn V rz 32 * 2,000 + 2,663 + 0,000 + 0,000 = 0 V rz 23 = -0,222 kn
V rz 2 * 5,657 + 9,27 + 0,000 + 0,000 = 0 V rz 2 = -3,07 kn V rz 6 *,000 + 0,000 + -33,987 + -0,000 = 0 V rz 6 = 0,997 kn
WYZNACZENIE SIŁ W WIĘZIACH SPRĘŻYSTYCH @ = -27.968 @ 2 = -2.9 I = 5.595 II = 0.50 k @ = 0 k. = 20. I = 0. II = M s = @ 2 k @ = -2.9 ( ) K s = k.. I I +. II II = 9 WYZNACZENIE RZECZYWISTYCH SIŁ OSIOWYCH Węzęł 3 Y = 0 -N 3 - V 32 = 0 N 3 = 0.222 X = 0 N 23 - V 3 - K s = 0 N 23 = 5.0 Węzeł 2 Y = 0 -N 2 0.707 + V 2 0.707 + V 23 = 0 N 2 = -3.72 M = 0 M 23 + M 2 + M s = 2.663 + 9.27 + -2.9 = -0.003 Węzęł Y = 0 -N 5 + N 3 - V = 0 N 5 = -9.29 X = 0 N - V 5 + V 3 = 0 N = -6.037 M = 0 M 3 + M + M 5 + M = 5.852 + -5.527 + 9.675 + 0 = 0 Węzęł Y = 0 -N 6 + N 2 0.707 + V - V 2 0.707 = 0 N 6 = -5.78
Sprawdzenie x= 3 2 x2= x2= x3= t = 3 e = 3 e> 3t n= 3-9= x= 5 6 8 2 Rozwiązanie układu podstawowego od X = 3 2.0.0 0.25.0 5 6
SPRAWDZENIE: Δ = i M M EI F dx ( 6,000 / 6* 3,000 )*( -5,527 *,000 + * -7,205 * 0,625 +,8 * 0,250 ) +( 2,000 / 6* 3,000 )*(,8 * 0,250 + * 5,559 * 0,25 + 0,000 * 0,000 ) +(,000 / 6*,000 )*( -9,675 *,000 + * 0,392 *,000 + 20,325 *,000 ) Δ = 0,77 knm 2 / EI Rozwiązanie dopuszczalne