Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:

ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować przy ograniczeniach z = c x Ax b x 0 () Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej: maksymalizować przy ograniczeniach z = c x Ax + Iu = b x u 0 () Z kolei ten ostatni problem jest równoważny nastȩpuj acemu: Wśród wszystkich rozwi azań uk ladu m + równań z n + m + niewiadomymi x x n

ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA u u m z : z +0 u c x = 0 0z +Iu +Ax = b () przy czym x x n u u m 0 znaleźć rozwi azanie dla którego zmienna z przyjmuje najwiȩksz a wartość Ostatni uk lad równań można przedstawić w postaci tzw tablicy sympleksowej: a) w postaci d lugiej z u u m x x n 0 0 c c n = 0 0 0 a a n = b 0 0 a m a mn = b m () lub b) w postaci krótkiej x x n 0 c c n = z b a a n = u b m a m a mn = u m () Ostatnia tablica odpowiada równoważnej postaci uk ladu (): Przyk lad Nastȩpuj ace ZPL c x = z b Ax = u maksymalizować x + x przy ograniczeniach x + x 00 6x + 9x 70 x 60 x x 0

TABLICA SYMPLEKSOWA przedstawimy w postaci tablicy sympleksowej Zadanie to ma nastȩpuj ac a postać kanoniczn a: maksymalizować z = x +x przy ograniczeniach x +x +u = 00 6x +9x +u = 70 x +u = 60 x x u u u 0 Odpowiadaj ace jej tablice sympleksowe wygl adaj a nastȩpuj aco: a) postać d luga z u u u x x 0 0 0 = 0 0 0 0 = 00 0 0 0 6 9 = 70 0 0 0 0 = 60 b) postać krótka x x 0 = z 00 = u 70 6 9 = u 60 0 = u Rozważmy teraz ZPL w postaci standardowej (przypominamy o za lożeniu r(a) = m < n) maksymalizować przy ograniczeniach z = c x Ax = b x 0 Zadanie to możemy sprowadzić do postaci kanonicznej wyznaczaj ac z uk ladu równań Ax = b zmienne bazowe x B Można to zrobić stosuj ac na

6 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA przyk lad metodȩ eliminacji Gaussa Po przekszta lceniach otrzymamy (w poniższym zapisie przyjmujemy dla uproszczenia że x B = (x x m ) oraz x N = (x m+ x n ) ): przy czym i maksymalizować przy ograniczeniach A = [ ] A B A N [ ] cb c = c N z = c N x N + d Ix B + Ãx N = b x B x N 0 Ã = A B A N c N = c N c BA B A N b = A B b d = c B b Ostatni problem jest równoważny nastȩpuj acemu: Wśród wszystkich rozwi azań uk ladu m + równań z n + niewiadomymi x x n z : z +0x B c N x N = d 0z +Ix B +Ãx N = b (6) przy czym x B x N 0 znaleźć rozwi azanie dla którego zmienna z przyjmuje najwiȩksz a wartość Odpowiadaj ace temu uk ladowi równań tablice sympleksowe maj a: a) postać d lug a z x x m x m+ x n 0 0 c m+ c n = d 0 0 ã m+ ã n = b 0 0 ã mm+ ã mn = b m

TABLICA SYMPLEKSOWA 7 b) postać krótk a x m+ x n d c m+ c n = z b ã m+ ã n = x bm ã mm+ ã mn = x m Uwaga Sta la d nie ma wp lywu na rozwi azanie ZPL Jeśli wzi ać d = 0 to zbiór rozwi azań optymalnych nie zmieni siȩ natomiast optymalna wartość funkcji celu zmniejszy siȩ o d Widzimy wiȩc że otrzymana wyżej postać (6) jest w istocie postaci a kanoniczn a ZPL Przyk lad Przedstawimy w postaci tablicy sympleksowej nastȩpuj ace ZPL maksymalizować z = x + x + x przy ograniczeniach x + x + x = x + x + x = x x x 0 Po zastosowaniu do ograniczeń metody eliminacji Gaussa otrzymamy nastȩpuj ac a postać ZPL: maksymalizować z = x +x x przy ograniczeniach x +x = x x = x x x 0 Jeśli teraz wstawimy x = x + i x = x + do funkcji celu otrzymamy nastȩpuj ac a postać kanoniczn a: maksymalizować z = x + przy ograniczeniach x +x = x x = x x x 0

8 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA [ (x B = (x x ) x N = x à = sympleksowe maj a postaci: a) d lug a ] [ b = ] c N = d = ) i tablice z x x x 0 0 = 0 0 = 0 0 = b) krótk a x = z = x = x W dalszej czȩści bȩdziemy rozważać ZPL w postaci kanonicznej i zwi azan a z ni a postać krótk a tablicy sympleksowej () (zgodnie z uwag a ZPL w postaci standardowej daje siȩ sprowadzić do postaci kanonicznej i zwi azanej z ni a krótkiej formy tablicy sympleksowej ()) Jak wcześniej powiedzieliśmy postać tȩ można traktować jako uk lad m + równań z n + m + niewiadomymi Metoda sympleksowa startuje z tablic a () czyli z uk ladu równań w którym zmienne u u u m (bazowe) i z przedstawione s a w zależności od pozosta lych zmiennych x x x n (niebazowych) Ten uk lad równań można przedstawić także w sposób równoważny wyznaczaj ac z niego inne m zmiennych bazowych (oznaczmy je s s m ) i z w zależności od pozosta lych n zmiennych niebazowych (oznaczmy je r r n ) To równoważne przedstawienie zapiszemy przy pomocy nastȩpuj acej tablicy sympleksowej r r n α 00 α 0 α 0n = z α 0 α α n = s α m0 α m α mn = s m (7)

TABLICA SYMPLEKSOWA 9 Tablica ( ta nazywa siȩ tablic a sympleksow a W sumie istnieje co najwyżej n+m ) m możliwości przedstawień m zmiennych bazowych (i dodatkowo z) w zależności od pozosta lych n zmiennych (co najwyżej ponieważ nie każdemu wyborowi m zmiennych x B odpowiada nieosobliwa podmacierz A B ) Każda tablica sympleksowa przedstawia rozwi azanie bazowe uk ladu równań () (zmienne niebazowe równaj a siȩ zeru) To rozwi azanie bazowe można odczytać w zerowej kolumnie tablicy sympleksowej Jeśli rozwi azanie to jest dopuszczalne (α i0 0 i = m) to odpowiada mu wierzcho lek zbioru X rozwi azań dopuszczalnych (Uwaga: jednemu wierzcho lkowi może odpowiadać wiȩcej tablic sympleksowych jest to jednak możliwe wy l acznie w przypadku rozwi azań zdegenerowanych; przypadek ten omówimy dok ladniej w jednym z kolejnych punktów) Wśród wszystkich wierzcho lków (bazowych rozwi azań dopuszczalnych) znajduje siȩ rozwi azanie optymalne o ile zbiór X wszystkich rozwi azań optymalnych jest niepusty (patrz: twierdzenie 8 i uwaga 0) W ogólnym przypadku nie ma jednak potrzeby przeszukiwania wszystkich wierzcho lków (bazowych rozwi azań dopuszczalnych) w celu znalezienia rozwi azania optymalnego Metoda sympleksowa (zamiennie bȩdziemy używać nazwy algorytm sympleksowy) przeszukuje wierzcho lki w sposób systematyczny

0 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA Opis metody sympleksowej W metodzie sympleksowej przeprowadzane s a nastȩpuj ace czynności: a) sprowadzenie zadania do tablicy sympleksowej () odpowiada ona pocz atkowi uk ladu wspó lrzȩdnych b) znalezienie dopuszczalnego rozwi azania bazowego wierzcho lka zbioru X (jest to tzw I faza metody sympleksowej) c) wȩdrowanie od wierzcho lka do wierzcho lka zbioru X po krawȩdziach wzd luż których funkcja celu rośnie (a przynajmniej nie maleje) tak d lugo aż osi agniȩty zostanie wierzcho lek w którym funkcja celu o- si aga maksimum na X (jest to tzw II faza metody sympleksowej) Czynności te zostan a opisane w nastȩpnych punktach Uwaga Przedstawimy teraz jakie podstawowe informacje można odczytać z tablicy sympleksowej a) Rozwi azanie bazowe można odczytać w zerowej kolumnie tablicy sympleksowej (7) (wektor (α 0 α m0 ) ) Pierwszy element α 00 tej kolumny zawiera wartość funkcji celu która odpowiada temu rozwi azaniu bazowemu Rozwi azanie to jest wiȩc dopuszczalne dok ladnie wtedy gdy wektor (α 0 α m0 ) jest nieujemny b) Dopuszczalne niezdegenerowane rozwi azanie bazowe przedstawione tablic a sympleksow a (7) jest optymalne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zerowego wiersza poza zerowym elementem tej tablicy s a nieujemne czyli α 0 α 0n 0 W tym przypadku bowiem zwiȩkszenie jakiejkolwiek zmiennej niebazowej nie spowoduje zwiȩkszenia wartości funkcji celu Dla takiej tablicy optymalna wartość funkcji celu znajduje siȩ w zerowym wierszu i zerowej kolumnie tablicy (element α 00 )

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ c) Może siȩ zdarzyć że tablica sympleksowa (7) przedstawia rozwi azanie optymalne natomiast niektóre elementy α 0j j = n znajduj ace siȩ w zerowym wierszu tej tablicy s a ujemne Może to jednak mieć miejsce wy l acznie w przypadku degeneracji Sytuacja ta bȩdzie omówiona później Wymiana zmiennej bazowej (piwotyzacja) Za lóżmy że w uk ladzie równań α 00 α 0 r α 0j r j α 0n r n = z α 0 α r α j r j α n r n = s α i0 α i r r j α in r n = s i α m0 α m r α mj r j α mn r n = s m z niewiadomymi s s m (zmienne bazowe) r r n (zmienne niebazowe) i z wspó lczynnik 0 Wówczas możemy wykonać wymianȩ zmiennej bazowej s i ze zmienn a niebazow a r j W ten sposób dostaniemy nowy uk lad zmiennych bazowych s s i r j s i+ s m który możemy wyrazić za pomoc a pozosta lych niewiadomych r r j s i r j+ r n (nowych zmiennych niebazowych) W tym przypadku otrzymamy α i0 α i r r j s i + i po wstawieniu do pozosta lych równań otrzymamy (α k0 α i0α kj ) (α k α iα kj r j+ α in r n = r j )r (α kj α kj )r j

ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA α kj s i (α kj+ +α kj )r j+ (α kn α inα kj )r n = s k k = 0 m k i (oznaczono tu zmienn a z jako s 0 ) Przy tej wymianie bazy zamieniono tylko dwie zmienne s i i r j tzn stara i nowa baza różni a siȩ dok ladnie na jednej pozycji Te dwie bazy odpowiadaj a wiȩc dwóm wierzcho lkom zbioru X które po l aczone s a wspóln a krawȩdzi a Po wymianie bazy otrzymaliśmy wiȩc nowy uk lad równań równoważny staremu Odpowiadaj aca mu tablica sympleksowa ma nastȩpuj ac a krótk a postać: r r j s i r j+ r n α 00 α 0 α 0j α 0j α 0j+ α 0n = z α 0 α α j α j α j+ α n = s α i 0 α i α i j α i j α i j+ α i n = s i α i0 α i + α in = r j α i+0 α i+ α i+j α i+j α i+j+ α i+n = s i+ α m0 α m α mj α mj α mj+ α mn = s m gdzie = α il= α il dla l j α kj = α kj dla k i α kl = α kl α ilα kj dla l j i k i Opisane czynności wymiany zmiennej bazowej bȩdziemy nazywać piwotyzacj a (od ang pivot oś) element nazywa siȩ elementem g lównym (lub osi a) i-ty wiersz nazywa siȩ wierszem g lównym zaś j-ta kolumna kolumn a g lówn a

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ Opisane regu ly wymiany zmiennych można schematycznie przedstawić nastȩpuj aco [ ] [ ] q p q p p r s r p s qr (8) p gdzie p jest elementem g lównym q dowolnym elementem w wierszu g lównym r dowolnym elementem w kolumnie g lównej zaś s dowolnym pozosta lym elementem Krawȩdzie zbioru rozwi azań dopuszczalnych Na podstawie tablicy sympleksowej można również wyznaczyć krawȩdzie które l acz a wierzcho lek odpowiadaj acy tej tablicy z s asiednimi wierzcho lkami Za lóżmy że tablica sympleksowa r r j r n α 00 α 0 α 0j α 0n = z α 0 α α j α n = s α i0 α i α in = s i α m0 α m α mj α mn = s m przedstawia niezdegenerowane dopuszczalne rozwi azanie bazowe (α i0 > 0 i = m) Jeśli nadamy zmiennej niebazowej r j wartość t 0 przy czym pozosta le zmienne niebazowe r k (dla k j) przyjmiemy równe zeru to otrzymamy s i (t) = t + α i0 i = m Równania te s a parametrycznymi równaniami prostej zawieraj acej odpowiedni a krawȩdź wychodz ac a z wierzcho lka który przedstawia powyższa tablica Id ac wzd luż tej krawȩdzi pozostaniemy w zbiorze rozwi azań dopuszczalnych dopóki s i 0 i = m Nietrudno zauważyć że α i0 s i (t) 0 dla wszystkich i t min (9) i: >0

ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA Wartościom zmiennej t [0 min i:αij >0 α i0 ] odpowiadaj a wiȩc punkty na odpowiedniej krawȩdzi zbioru rozwi azań dopuszczalnych wychodz acej z wierzcho lka który przedstawia powyższa tablica Ćwiczenie Określić wszystkie krawȩdzie wychodz ace z wierzcho lka odpowiadaj acego tablicy sympleksowej podanej w przyk ladzie Piwotyzacja przy znanym dopuszczalnym rozwi azaniu bazowym (II faza metody sympleksowej) W punkcie tym zak ladamy że wszystkie wspó lrzȩdne wektora (α 0 α m0 ) w tablicy sympleksowej (7) s a nieujemne Wówczas odpowiadaj ace tej tablicy rozwi azanie bazowe jest dopuszczalne Jeśli za lożenie to jest spe lnione dla startowej tablicy sympleksowej () czyli innymi s lowy b 0 to odpowiadaj acy jej wierzcho lek 0 (pocz atek uk ladu wspó lrzȩdnych) jest rozwi azaniem dopuszczalnym ZPL () Wówczas tablica ta jest tablic a startow a w algorytmie sympleksowym W każdej iteracji algorytmu przeprowadza siȩ wymianȩ bazy w taki sposób aby wartość funkcji celu odpowiadaj aca kolejnej tablicy sympleksowej by la nie mniejsza niż wartość odpowiadaj aca tablicy poprzedniej Zak ladamy ponadto że nie pojawi a siȩ rozwi azania zdegenerowane (rozpatrzymy je później) Podane poniżej regu ly piwotyzacji odnosz a siȩ do postaci klasycznej ZPL i do postaci krótkiej tablicy sympleksowej (7) Iteracja II fazy algorytmu sympleksowego Krok (wybór kolumny g lównej ) Wybrać dowoln a kolumnȩ j 0 dla której α 0j0 < 0 (najczȩściej wybiera siȩ j 0 takie że α 0j0 = min j:α0j <0 α 0j ) Jeśli brak takiego j 0 to tablica sympleksowa przedstawia rozwi azanie optymalne (patrz uwaga b) Krok (Wybór wiersza g lównego) Wśród wszystkich i dla których 0 > 0 wybrać i 0 dla którego α i0 α i0 = min α i0 j 0 i:0 >0 0

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ Jeśli brak takiego i (0 0 dla wszystkich i) to funkcja celu jest nieograniczona z góry na zbiorze X rozwi azań dopuszczalnych Krok (Piwotyzacja) Wymienić zmienn a bazow a s i0 ze zmienn a niebazow a r j0 i przetransformować tablicȩ sympleksow a zgodnie z regu l a (8) Uwaga a) Wybór wiersza g lównego podany w kroku nie wyprowadza ze zbioru rozwi azań dopuszczalnych Fakt ten wynika z równoważności (9) b) Jeśli dla tablicy sympleksowej (7) przedstawiaj acej bazowe niezdegenerowane rozwi azanie dopuszczalne dla wszystkich i zachodz a nierówności 0 0 to ZPL przedstawione t a tablic a jest nieograniczone Dla dowodu tego faktu wystarczy zauważyć że w tym przypadku zwiȩkszanie zmiennej niebazowej r j do + nie wyprowadza ze zbioru rozwi azań dopuszczalnych natomiast wartość funkcji celu rośnie nieograniczenie c) Jeśli nie wyst api degeneracja to po wykonaniu skończenie wielu iteracji II fazy algorytmu sympleksowego albo wyznaczymy rozwi azanie optymalne albo stwierdzimy że rozwi azań takich brak Fakt ten wynika z obserwacji że wierzcho lków zbioru rozwi azań dopuszczalnych (tablic sympleksowych) jest skończenie wiele a w przypadku braku degeneracji każda iteracja prowadzi do zmniejszenia wartości funkcji celu Przyk lad Przy pomocy algorytmu sympleksowego wyznaczymy rozwi azanie optymalne ZPL podanego w przyk ladzie Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać (zaznaczono element g lówny): x x 0 = z 00 = u 70 6 9 = u 60 0 = u

6 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA Dwie kolejne piwotyzacje daj a nastȩpuj ace tablice sympleksowe: x u 0 = z 0 = u 80 6 9 = u 60 0 = x i u u 0 6 = z 0 6 = u 0 6 = x 60 0 = x Ostatnia tablica przedstawia rozwi azanie optymalne: x = (0 60) Optymalna wartość funkcji celu wynosi z = 0 Na tym samym przyk ladzie przedstawimy kolejne wymiany bazy przeprowadzane na d lugiej postaci tablicy sympleksowej Przekszta lcenia te s a w istocie identyczne z metod a eliminacji Gaussa w której element g lówny wyznacza siȩ zgodnie z regu lami podanymi w algorytmie sympleksowym Otrzymujemy kolejne tablice sympleksowe z zaznaczonymi w nich elementami g lównymi z u u u x x 0 0 0 = 0 0 0 0 = 00 0 0 0 6 9 = 70 0 0 0 0 = 60 z u u u x x 0 0 0 = 0 0 0 0 = 0 0 0 9 6 0 = 80 0 0 0 0 = 60 z u u u x x 0 6 0 0 = 0 0 6 0 0 = 0 0 0 6 0 = 0 0 0 0 0 = 60

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 7 Jak widać otrzymaliśmy to samo rozwi azanie optymalne co poprzednio x = (0 60) Uwaga W czȩści przedstawionych w tym rozdziale przyk ladów podajemy kolejne tablice sympleksowe od pocz atkowej do tablicy przedstawiaj acej rozwi azanie optymalne Powinno to u latwić czytelnikowi samodzielne przeprowadzanie wymiany zmiennej bazowej i porównanie wyników Do wymiany zmiennej bazowej (piwotyzacji) można użyć również komputera i zastosować odpowiednie pakiety matematyczne Niektóre z nich można znaleźć w Internecie na przyk lad na stronie: http : //wwwprincetonedu/ rvdb/lpbook/ Stosowanie tych pakietów polega najczȩściej na wskazaniu przez użytkownika elementu g lównego tablicy sympleksowej natomiast odpowiedni program wyznacza kolejn a tablicȩ Przypadki szczególne Rozpatrujemy zadanie programowania liniowego w postaci klasycznej i zak ladamy że algorytm sympleksowy startuje z dopuszczalnego rozwi azania bazowego (b 0) oraz że w trakcie jego realizacji nie wystȩpuje degeneracja (rozpatrzymy j a później) Funkcja celu nieograniczona (zbiór rozwi azań optymalnych pusty) Przypadek ten wyst api dok ladnie wówczas gdy dla pewnej tablicy sympleksowej odpowiadaj acej rozwi azaniu dopuszczalnemu (α i0 0 dla i = m) istnieje kolumna j 0 dla której α 0j0 < 0 i dla której wszystkie

8 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA pozosta le elementy tej kolumny s a niedodatnie (α kj0 0 dla k = m): r r j0 r n α 00 α 0 < 0 α 0n = z 0 α 0 α n = s 0 α i 0 α in = s i 0 α m 0 α mn = s m Przyk lad 6 Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować x + x przy ograniczeniach x x x + x x + x x x 0 Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać x x 0 = z = u = u = u Po piwotyzacji otrzymamy u x = z = x = u 0 = u

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 9 Teraz jeśli u = 0 i x = t 0 to wszystkie zmienne bazowe pozostan a nieujemne i z = + t + gdy t + Funkcja celu jest wiȩc nieograniczona na zbiorze X rozwi azań dopuszczalnych w konsekwencji problem nie posiada rozwi azania optymalnego Wiele rozwi azań optymalnych Ten przypadek wyst api wtedy gdy istnieje tablica sympleksowa której odpowiada optymalne rozwi azanie bazowe (α i0 0 dla i = m oraz α 0j 0 dla j = n) i istnieje para (i 0 j 0 ) i 0 { m} j 0 { n} dla której α 0j0 = 0 α i0 0 > 0 i α i0 j 0 > 0: r r j0 r n α 00 0 = 0 0 = z 0 α α j0 α n = s > 0 α i0 > 0 α i0 n = s i0 0 α m α mj0 α mn = s m Uwaga: dla rozwi azania zdegenerowanego przypadek ten może mieć miejsce również pod innymi warunkami Przyk lad 7 Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować x + x przy ograniczeniach x x x 7 x + x 0 x x 0

60 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać x x 0 = z = u 7 0 = u 0 = u natomiast kolejne tablice maj a postać u x 6 = z = x 7 0 = u 7 = u i u u 0 0 = z 7 7 7 = x 7 7 7 7 7 7 = u 7 = x Ostatnia tablica odpowiada rozwi azaniu optymalnemu x = ( 7 7 ) Po dokonaniu wymiany zmiennych u i u otrzymamy now a tablicȩ u u 0 0 = z = x 7 7 = u 7 = x (0) która odpowiada nowemu bazowemu rozwi azaniu optymalnemu x = ( 7) Ponieważ w tym przypadku kolejna dopuszczalna piwotyzacja doprowadzi do rozwi azania x wiȩc problem posiada tylko dwa dopuszczalne bazowe rozwi azania optymalne: x i x Odpowiadaj a one dwom wierzcho lkom w zbiorze rozwi azań optymalnych X Zgodnie z twierdzeniami 7 i mamy: X = {x : x = λx + ( λ)x λ [0 ]} = {x : x = ( 7 λ + ( λ) λ + 7( λ) λ [0 ]} 7

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 6 Przyk lad 8 Wyznaczymy wszystkie rozwi azania optymalne zadania: maksymalizować 9 8 x + 6 x + 9 6 x przy ograniczeniach x + x + 6x 7 7 x + x + x x x + 8 7 x 9 x x x 0 Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać x x x 9 0 8 6 9 6 = z 7 7 6 = u = u 9 8 7 = u Po piwotyzacji otrzymamy x u x 0 8 0 = z 7 8 6 97 9 0 = u = x 6 = u Ostatnia tablica odpowiada rozwi azaniu optymalnemu x = (0 8 0) Dwa nastȩpne bazowe rozwi azania optymalne x b adź x otrzymamy po wymianie zmiennych niebazowych x b adź x ze zmienn a bazow a u : u u x 0 8 0 = z 89 0 6 67 8 8 7 9 = x = x 7 6 = u albo x u u 0 8 0 = z 9 68 8 = x 8 6 = x + = u

6 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA Mamy: x = ( 89 0 6 0) oraz x = (0 8 6 68 ) Dalsze piwotyzacje nie przynios a nowych rozwi azań optymalnych Tak wiȩc X = {x R : x = λ x + λ x + λ x λ λ λ 0 λ + λ + λ = } Zbiór rozwi azań optymalnych nieograniczony Przypadek ten może wyst apić dok ladnie wtedy gdy istnieje tablica sympleksowa odpowiadaj aca rozwi azaniu optymalnemu (α i0 0 dla i = m oraz α 0j 0 dla j = n) dla której istnieje j 0 takie że α 0j0 = 0 i dla wszystkich i zachodzi α i0 = 0 (degeneracja) b adź 0 0: r r j0 r n α 00 0 = 0 0 = z 0 α 0 α n = s = 0 α i 0 α in = s i 0 α m 0 α mn = s m Przyk lad 9 Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: Pocz atkowa tablica ma postać maksymalizować x + x przy ograniczeniach x + x x + x x x 0 x x 0 = z = u = u

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 6 Dwie nastȩpne tablice maj a postać x u 6 = z i = x = u u u 8 0 = z 7 = x = x Ostatnia tablica odpowiada bazowemu rozwi azaniu optymalnemu x = ( 7 ) Dla ostatniej tablicy żadna piwotyzacja nie jest dopuszczalna ponieważ wszystkie elementy w jedynej dopuszczalnej kolumnie g lównej s a ujemne Bior ac teraz u = 0 i u = t 0 otrzymamy z = 8 x = + t 0 x = 7 + t 0 Tak wiȩc zbiór rozwi azań optymalnych X jest pó lprost a: X = {x R : x = x + ( ) t t 0} Przyk lad 0 Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować 6 x + x + 7 x przy ograniczeniach x + 9 x x 9 x + x + x x x + x 6 x x x 0 Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać x x x 0 6 7 = z 9 9 = u 6 = u = u Teraz możliwy jest wybór jednego z trzech elementów g lównych: α = 9 albo α = albo α = Wybór drugiego z nich daje kolejn a tablicȩ

6 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA sympleksow a: x u x 0 7 = z 0 7 7 = u = x = u Tablica ta przedstawia zdegenerowane bazowe rozwi azanie optymalne x = (0 0) Jeśli teraz przyj ać u = x = 0 i x = t 0 otrzymamy z = x = t x = + t 0 x = 0 Zbiór rozwi azań optymalnych X zawiera wiȩc pó lprost a opisan a powyższymi równaniami parametrycznymi Wybór w pocz atkowej tablicy sympleksowej elementu g lównego α = 9 prowadzi do kolejnych tablic x u x 9 7 0 0 9 0 8 9 9 8 = z = x = u 7 8 = u i x u u + + + = z = x 0 = x = u Ostatnia przedstawia otrzymane już uprzednio rozwi azanie x = (0 0) Z tej tablicy nie można jednak odczytać że zbiór X jest nieograniczony Przyczyn a jest pojawiaj aca siȩ degeneracja Zauważmy ponadto że dla tej tablicy dowolna piwotyzacja jest niedopuszczalna W końcu wybór w pocz atkowej tablicy sympleksowej elementu g lównego α = prowadzi do tablicy x x u 7 9 7 0 7 = z 9 = u = x 7 6 = u

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 6 Mamy teraz dwie dopuszczalne możliwości wyboru elementu g lównego: α = 9 b adź α = Wybór dowolnego z nich prowadzi do wyznaczonego już uprzednio rozwi azania x Tak wiȩc X = {x R : x = x + ( 0) t t 0} Piwotyzacja przy nieznanym dopuszczalnym rozwi azaniu bazowym (I faza metody sympleksowej) Jeśli wektor b w pocz atkowej tablicy sympleksowej () ma przynajmniej jedn a ujemn a wspó lrzȩdn a to tablica ta przedstawia niedopuszczalne rozwi azanie bazowe Opiszemy teraz jak można w tym przypadku otrzymać dopuszczalne rozwi azanie bazowe przy pomocy algorytmu sympleksowego Uzyskanie bazowego rozwi azania dopuszczalnego Zacznijmy od nastȩpuj acego przyk ladu Przyk lad Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować x + x przy ograniczeniach x + x x + x x x 6 x x 0 Pocz atkowa tablica ma postać x x 0 = z = u = u 6 = u

66 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA i przedstawia niedopuszczalne rozwi azanie bazowe (x u) = (0 0 6) Naszym pierwszym celem jest teraz uzyskanie nieujemnej wartości zmiennej uzupe lniaj acej u Cel ten osi agniemy jeśli wybierzemy u jako tzw pomocnicz a funkcjȩ celu któr a bȩdziemy maksymalizować przy pozosta lych spe lnionych ograniczeniach Odpowiednie piwotyzacje bȩd a prowadzone tak d lugo aż u 0 W naszym przypadku otrzymamy już po pierwszej piwotyzacji tablicȩ x u = z = x = u = u która przedstawia dopuszczalne rozwi azanie bazowe Można wiȩc j a traktować jako startow a tablicȩ sympleksow a w II fazie algorytmu sympleksowego i postȩpować dalej wed lug opisanych już regu l piwotyzacji Otrzymamy wówczas nastȩpuj ac a tablicȩ: u u 7 = z = x = x 6 = u która odpowiada rozwi azaniu optymalnemu x = ( ) Przedstawimy teraz I fazȩ algorytmu sympleksowego która wyznacza dopuszczalne rozwi azanie bazowe lub stwierdza że brak jest takiego rozwi azania Iteracja I fazy algorytmu sympleksowego Krok (Wybór pomocniczej funkcji celu) Wybrać najwiȩksze k dla którego α k0 < 0: k = max{i : α i0 < 0}

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 67 Jeśli brak takiego k (α i0 0 dla i = m) to tablica odpowiada dopuszczalnemu rozwi azaniu bazowemu (w tym przypadku przechodzi siȩ do II fazy algorytmu sympleksowego) Krok (Wybór kolumny g lównej ) Wybrać j 0 dla którego α kj0 < 0 (najczȩściej wybiera siȩ j 0 = min{α kj0 : α kj0 < 0} Jeśli brak jest takiego j 0 (α kj 0 dla j = n) to brak jest rozwi azania dopuszczalnego (problem jest sprzeczny) Krok (Wybór wiersza g lównego) Wśród wszystkich i k dla których > 0 wybrać i 0 dla którego u lamek ten osi aga minimum: α i0 0 α i0 0 α i0 j 0 = min{ α i0 0 : i k i α i0 0 > 0} () (Zauważmy że takie i 0 istnieje gdyż α k0 < 0 i α kj0 < 0) Krok (Piwotyzacja) Wymienić zmienn a bazow a s i0 ze zmienn a niebazow a r j0 i przetransformować tablicȩ sympleksow a zgodnie z regu l a piwotyzacji (8) Przejść do kroku Uwaga a) Dla i > k elementy α i0 pozostan a po piwotyzacji nieujemne: α i0 0 = α i 0 0 α i0 j 0 > 0 zgodnie z równości a () α Dla i i 0 mamy α i0 = α i0 α i0 0 ij0 α i0 Jeśli 0 0 to α j i0 α i0 0 0 gdyż α i 0 0 α i0 > 0 zgodnie z równości a () Jeśli natomiast 0 > 0 j 0 to dla i k mamy: α i0 = 0 ( α i0 0 α i 0 0 α i0 ) 0 zgodnie z równości a j 0 () α b) Element α k0 wzrośnie po piwotyzacji gdyż α k0 = α k0 α i0 0 kj0 α i0 > j 0 α α k0 i α kj0 < 0 i i0 0 α i0 > 0 zgodnie z równości a () j 0 c) Za lóżmy że problem posiada rozwi azanie dopuszczalne (W przeciwnym wypadku sprzeczność ograniczeń zostanie stwierdzona po skończenie

68 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA wielu iteracjach I fazy algorytmu sympleksowego W przypadku niewyst apienia degeneracji kolejne tablice przedstawiaj a bowiem różne rozwi azania bazowe których jest skończenie wiele) Wówczas z b) wynika że po skończenie wielu iteracjach α k0 bȩdzie dodatnie (w wyniku każdej piwotyzacji α k0 rośnie) Ponadto z a) wynika że wówczas zbiór wierszy z ujemnymi elementami α i0 zmniejszy siȩ Zatem po skończenie wielu iteracjach I faza algorytmu sympleksowego doprowadzi do bazowego rozwi azania dopuszczalnego d) Zanim wybierze siȩ k w kroku można pozamieniać wiersze tablicy sympleksowej tak by α i0 < 0 dla i = k i α i0 0 dla i = k + m Prowadzi to czȩsto do szybszego wyznaczenia rozwi azania dopuszczalnego Należy jednak wówczas pamiȩtać o tym aby po takiej operacji kolejn a ewentualn a zamianȩ wierszy przeprowadzić dopiero wtedy gdy w wyniku piwotyzacji α k0 osi agnie nieujemn a wartość Uwaga Rozważmy teraz ograniczenia zadania programowania liniowego w postaci kanonicznej Ax + Iu = b x u 0 i pomnóżmy przez te równania dla których prawa strona jest ujemna (b i < 0) Otrzymany uk lad równań zapiszmy w postaci A z = b przy czym z = (x u ) Bazowe rozwi azanie dopuszczalne wyjściowego zadania można również wyznaczyć wprowadzaj ac tzw zmienne sztuczne y R m i nastȩpnie rozwi azuj ac problem pomocniczy: maksymalizować e y przy ograniczeniach A z + y = b z y 0 () Można pokazać że wyjściowe ZPL posiada rozwi azanie dopuszczalne z = (x u ) wtedy i tylko wtedy gdy (z 0) jest rozwi azaniem optymalnym

OPIS METODY SYMPLEKSOWEJ 69 problemu () Zauważmy przy tym że dla ostatniego problemu istnieje rozwi azanie dopuszczalne (punkt (0 b ) 0 spe lnia podane w nim ograniczenia) i posiada rozwi azanie optymalne (funkcja celu jest ograniczona przez 0) Zbiór rozwi azań dopuszczalnych pusty Przyk lad Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować x x przy ograniczeniach x + x x + x x + x x x 0 Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać x x 0 = z = u = u = u Ponieważ odpowiada ona niedopuszczalnemu rozwi azaniu bazowemu należy zastosować I fazȩ algorytmu sympleksowego Jako funkcjȩ pomocnicz a wybierzemy u Aby skrócić liczbȩ dokonywanych piwotyzacji przesuniemy trzeci wiersz w miejsce pierwszego Otrzymamy kolejne tablice sympleksowe x x 0 = z = u = u = u u x = z = u = x = u

70 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA i u u = z = u = x = x Ostatnia tablica wskazuje na to że zbiór rozwi azań dopuszczalnych X jest pusty (ograniczenia u = u u u u u 0 s a sprzeczne) Przyk lad Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować x x x przy ograniczeniach x + x + x x x + x x x x x 0 Dwie pierwsze tablice sympleksowe maj a postać (u wybieramy jako pomocnicz a funkcjȩ celu) x x x 0 = z = u = u 0 = u x u x = z = x 0 = u = u Ostatnia tablica wskazuje na to że brak jest rozwi azań dopuszczalnych

DEGENERACJA 7 Degeneracja Motto: Matematyka uczy że należy liczyć siȩ z zerami Algorytm sympleksowy wyznacza w skończenie wielu krokach bazowe rozwi azanie optymalne (II faza) lub bazowe rozwi azanie dopuszczalne (I faza) przy za lożeniu że nie wyst api a po drodze rozwi azania zdegenerowane Za lożenie to jest wykorzystywane w istotny sposób w celu pokazania że funkcja celu (pomocnicza funkcja celu) rośnie w wyniku każdej piwotyzacji z czego z kolei wynika zbieżność algorytmu w skończenie wielu krokach Bez tego za lożenia może powstać cykl kolejnych piwotyzacji daj acych rozwi azania zdegenerowane które nie s a optymalne W ten sposób powstanie nieskończony ci ag rozwi azań bazowych nie przybliżaj acych siȩ nawet do rozwi azania optymalnego (II faza) b adź dopuszczalnego (I faza) Przyk lad Rozważmy nastȩpuj ace ZPL: maksymalizować x 0x + x 6x przy ograniczeniach x 8x x + 9x 0 x x x + x 0 x x x x x 0 Pocz atkowa tablica sympleksowa ma postać x x x x 0 0 6 = z 0 8 9 = u 0 = u 0 0 0 = u

7 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA i odpowiada rozwi azaniu zdegenerowanemu (x u) = (0 0 0 0 0 0 ) Wybieraj ac za każdym razem przy kolejnych piwotyzacjach kolumnȩ g lówn a j 0 dla której c j0 = min{ c j : j = n} i pierwszy dopuszczalny wiersz g lówny otrzymamy kolejne tablice sympleksowe u x x x 0 7 = z 0 6 = x 0 = u 0 0 0 = u u u x x 0 8 = z 0 8 8 8 = x 0 8 = x 0 0 0 = u u u x x 0 = z 0 8 = x 0 6 8 6 6 = x 8 = u u u x x 0 6 = z 0 6 6 = x 0 6 = x 6 6 = u x u x x 0 7 = z 0 8 = u 0 6 6 = x 0 0 0 = u x x x x 0 6 0 = z 0 9 8 = u 0 = u 0 0 0 = u Widzimy że ostatnia tablica jest równoważna pierwszej oraz że kolejne piwotyzacje dokonywane zgodnie z podan a wyżej regu l a nie dadz a żadnego nowego bazowego rozwi azania dopuszczalnego Jeśli jednak w pocz atkowej tablicy wybierzemy trzeci a kolumnȩ jako kolumnȩ g lówn a otrzymamy nastȩpuj ace tablice: x x u x 0 6 = z 8 9 = u = u 0 0 0 = x

DEGENERACJA 7 u x u x = z = u = x = x Ostatnia tablica odpowiada rozwi azaniu optymalnemu x = ( 0 0) z optymaln a wartości a funkcji celu z = Degeneracji można unikn ać zak lócaj ac praw a stronȩ ograniczeń czyli rozwi azuj ac problem maksymalizować przy ograniczeniach c x Ax b + ε x 0 przy czym ε = (ε ε m ) i wspó lrzȩdne ε i > 0 i = m wybrane zosta ly dostatecznie ma le Można pokazać że wyjściowy problem () posiada rozwi azanie wtedy i tylko wtedy gdy problem z zak lócon a praw a stron a posiada rozwi azanie dla każdego ε > 0 Jeśli wzi ać za ε i > 0 i = m wystarczaj aco ma le liczby losowe to prawdopodobieństwo że nast api degeneracja jest równe zero Uwaga Dla praktycznej realizacji algorytmu sympleksowego w przypadku wyst apienia degeneracji wystarczy aby wy l acznie w celu wyznaczenia wiersza g lównego dodać dostatecznie ma le ε > 0 do prawej strony tych równań dla których b i = 0 Przyk lad Rozpatrzmy jeszcze raz problem podany w przyk ladzie Jeśli zastosujemy powyższ a uwagȩ otrzymamy nastȩpuj acy ci ag tablic sympleksowych: x x x x 0 0 6 = z ε 8 9 = u ε = u 0 0 0 = u

7 ROZDZIA L METODA SYMPLEKSOWA u x x x 0 = z ε = u ε 6 = x 0 0 0 = u u x u x = z = u = x = x Widzimy że ostatnia tablica odpowiada rozwi azaniu optymalnemu x = ( 0 0)