PRACE ORYGINALNE ORIGINAL PAPERS

PRACE ORYGINALNE ORIGINAL PAPERS Przegląd Nauowy Inżynieria i Kształtowanie Środowisa nr 66, 04: 37 33 (Prz. Nau. Inż. Kszt. Środ. 66, 04) Scientific Review Engineering and Environmental Sciences No 66, 04: 37 33 (Sci. Rev. Eng. Env. Sci. 66, 04) Mare CHALECKI, Grzegorz JEMIELITA Katedra Inżynierii Budowlanej, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego w Warszawie Department of Civil Engineering, Warsaw University of Life Sciences SGGW Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego * Free vibrations of micro-non-homogeneous plate band Słowa luczowe: pasmo płytowe, częstość drgań własnych, metoda przemieszczeń Key words: plate band, natural frequency, displacement method Wstęp Jędrysia (04) rozpatrzył drgania własne pasma przy zastosowaniu modelowania tolerancyjnego. Założył, że sztywność pasma nie zależy od zmiennej y (rys. ). Bazując na równaniu różniczowym pasma płytowego o zmiennej sztywności i masie względem osi x, przy uwzględnieniu wpływu bezwładności obrotowej, wyznaczył częstości drgań własnych. RYSUNEK. Pasmo płytowe z mirostruturą FIGURE. Plate band with micro-structure * Z uwagi na rozbudowane wzory artyuł złożono jednołamowo. Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 37

Wierzbici i inni (04, s. 53) podają następujące stwierdzenie dotyczące modelowania tolerancyjnego: Ta zaleta modelowania tolerancyjnego zaowocowała opisem i rozwiązaniem wielu problemów mechanii ośrodów niejednorodnych. Niestety, uzysujemy tu rozwiązania przybliżone, dla tórych nie dysponujemy efetywnymi metodami oceny doładności otrzymywanych rozwiązań. W przypadu zagadnienia przedstawionego przez Jędrysiaa (04) można uzysać rozwiązanie ścisłe bądź formalnie ścisłe w ramach teorii płyt cienich. Cząstowe równanie różniczowe drgań płyty, w przypadu niezależności sztywności, gęstości i warunów brzegowych od zmiennej y i brau sił wymuszających drgania, można przedstawić w postaci (Jemielita, 00, s. 307). 3 h wxt, Dx wxt, x hxwxt, 0 () x x x x gdzie: ρ gęstość materiału g m 3, Ex h D sztywność płyty, D. x 3 Formalnie ścisłe rozwiązanie równania różniczowego () o dowolnie zmiennych współczynniach, opisującego problem drgań własnych pasma, można uzysać za pomocą szeregów Fouriera funcji własnych (Jemielita, 0). W tej pracy poażemy możliwość uzysania ścisłego rozwiązania zagadnienia przedstawionego w pracy Jędrysiaa (04), orzystając z metod mechanii budowli. W tym celu zauważmy, że problem drgań własnych taiego pasma sprowadza się do znalezienia drgań własnych beli Bernoullego z poprawą Rayleigh o zmiennych soowo sztywności i masie. Celem pracy jest ścisłe wyznaczenie drgań własnych cieniego pasma płytowego o mirostruturze poazanej na rysunu. Podstawowe założenia Rozpatrzmy pasmo płytowe Kirchhoffa o danej szeroości (L) i stałej grubości (h), o mirostruturze poazanej na rysunu. Pasmo wzdłuż zmiennej x słada się z N omóre o stałej długości (l), równej L l () N 38 M. Chaleci, G. Jemielita

Każda omóra jest złożona z trzech części, dwóch materiałów o sztywnościach D, D i masach na jednostę powierzchni μ, μ (rys. ), przy czym 3 3 Eh Eh D D, D D, D 0, 0, h r, 0, r 0 gdzie: η dowolna dodatnia liczba rzeczywista więsza od zera, r dowolna dodatnia liczba rzeczywista więsza bądź równa zeru, μ masą na jednostę szeroości pasma [g/m]. RYSUNEK. Wymiary omóri FIGURE. Dimensions of a cell Widoczne jest, że przyjmujemy możliwość rozpatrywania bezmasowej części środowej omóri. Długości części sładowych omóri o numerze wyznaczamy ze wzorów l = ξ l, l = ξ l w tórych oznaczono,, =,, 3,..., N, l l L l N N N Komórę pasma można tratować ja element pręta o przeroju F = h b, b = m. W celu uzysania drgań własnych pasma należy wyznaczyć macierz sztywności (wzory transformacyjne) typowego elementu (omóri) prętowego o długości l = l + l. Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 39

Wzory transformacyjne elementu pasma Komórę obustronnie utwierdzonego pasma możemy tratować jao utwierdzony pręt, o olejnym numerze, długości l, o zmiennych soowo sztywności L N i masie na jednostę długości pręta (omóri), tórego (tórej) podpory doznają amplitud przemieszczeń (obrotów i przesunięć): φ, φ, w, w (rys. 3). w D, D, D, 3 w W l l l W l= L N RYSUNEK 3. Model omóri periodyczności zgodny z oznaczeniami stosowanymi w metodzie przemieszczeń FIGURE 3. Model of a periodic cell complying with the denotations used in the displacement method Rozpatrzmy pręt o zmiennych masie i sztywności (rys. 3). Wzory transformacyjne na amplitudy momentów:,,, 3, i amplitudy sił przywęzłowych: 3 W, W, W, W, zależą od parametrów gdzie, 4 r l 4 (3) D a ω jest poszuiwaną częstością drgań własnych. Uład równań równowagi na amplitudy momentów i sił przywęzłowych zapiszemy w postaci 3 3 W W W W 0, 0, 0, 0 (4) w tórej 30 M. Chaleci, G. Jemielita

D l D l D l D 3 l W W W W D l D l D l D L 3 przy czym ąty obrotu ψ są zdefiniowane następująco w w w w,,, l l l l a odpowiednie funcje oreślone są wzorami (i =, ): i ch i sin i cos i sh i sh sin sh sin, i i i i i, i i i i ch cos ch cos ch cos i i i i i i 3 3 i ch i cos i ch sin sh cos sh sin, i i i i i i i, i i i i ch cos ch cos ch cos i i i i i i (5) Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 3

Podane funcje dotyczą pręta drgającego z pominięciem poprawi Rayleigh. Dalszy to rozumowania nie zależy od uwzględnienia czy też pominięcia bezwładności obrotowej. W przypadu uwzględnienia bezwładności obrotowej funcje (5) będą miały inną postać. Uład równań (4) zapiszemy w postaci macierzowej Rf R 0 0 w tórej macierz sztywności i macierz momentów wyjściowych zapisujemy w postaci 3 4 3 4, 0, 3 3 33 34 3 4 4 34 44 3 r r r r r r r r R K f r r r r r r r r r r r r r,, 3, 4 r r r r r r r 3 4, 4 3, 33 44 3 3, 34 3 Rozwiązaniem uładu równań (4) są przemieszczenia,,, zależne od przemieszczeń węzłów i, tj. od,,, następująco A ( n ) B C ( n ) D C ( n ) D A ( n ) B A C n n B D C A n n D B 3 M. Chaleci, G. Jemielita

Współczynnii A D macierzy odwrotnej K dla danego elementu (omóri) o numerze zależą od parametrów:, N, η, r. Postać tych współczynniów jest dość sompliowana (ażdy z nich zajmuje o. jednej strony formatu A4) i niezbyt łatwa do wyznaczenia numerycznie, dlatego wzory tych współczynniów zostaną w pracy pominięte. Mając przemieszczenia f, siły przywęzłowe dowolnego elementu wyznaczymy ze wzorów D l D W l D l W D l (6) Szczególnego potratowania wymagają pierwszy i ostatni element, tj. dla = i = N. Przy = spełnione są równości, 0, przy = N zaś 0, N. Pierwsza omóra ma stałą sztywność D i masę μ, ostatnia zaś stałą N sztywność D D i masę r. W zależności od podparcia pasma wzory transformacyjne dla pierwszej i ostatniej omóri podał Hetmańsi (004, s. 84 85). Macierz sztywności elementu (omóri). Macierz sztywności pasma Wzory (6), po podstawieniu wyznaczonych przemieszczeń φ, φ, ψ, ψ zapiszemy w postaci D 3 4 l D 3 4 l Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 33

D Wl 3 3 33 34 l D W l 4 4 43 44 l lub w postaci macierzowej D bf K L 0 w tórej oznaczono b 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 Ostatecznie możemy zapisać następujący wzór K gdzie: K macierz sztywności -tego elementu, gdzie: 3 4 3 4,, 3 3 33 34 W 4 4 43 44 W K C C A A, n n 34 M. Chaleci, G. Jemielita

D D B 3 ( n ), 4 ( n ) B 4 4 =, =, 3 = 4 4 = 3, C C A A, n n 3 3 3 3 D D B 33 ( n ), 34 ( n ) B 3 3 3 4 = 3, 4 = 3, 43 = 34, 44 = 33 (7) Można łatwo wyazać, że 3 = 3 i 3 = 4, a więc macierz sztywności elementu jest symetryczna. RYSUNEK 4. Schematyczny przerój pasma płytowego FIGURE 4. Schematic section of a plate band Na rysunu 4 schematycznie przedstawiono przerój pasma z dowolną liczbą omóre (N). Niewiadomymi wielościami są uogólnione przemieszczenia węzłów, w lub, w/ l. Dla dowolnego węzła N możemy ułożyć dwa równania równowagi 0, W W 0, N tóre zawierają sześć nieznanych uogólnionych przemieszczeń: φ, ψ, φ, ψ, φ +, ψ +. Łącznie otrzymujemy uład (N ) równań o (N ) niewiadomych. Uład ten zapiszemy w postaci Kφ = 0 gdzie: K macierz sztywności pasma o elementach będących funcją poszuiwanej wartości λ, dim K = (N ) (N ), φ jednoolumnowa macierz uogólnionych przemieszczeń, dim φ = (N ). Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 35

Poniżej przedstawiono struturę macierzy K i φ (omóri niewypełnione są równe 0). a b c d b a b d c d b a b d c d b d b d b a b d c d b a b d c d b a d c K= e f g h f e f h g h f e f h g h f h f h f e f h g h f e f h g h f e h g 3...... 3...... N 3 N N N 3 N N Macierz K słada się z czterech podmacierzy o struturze pasmowej. Poszczególne wyrazy są równe: () i a a, l D a,, l r D () i ( i ) () ( ), p(,, ), (,, ) N b b c c, l D 4 () i () i () i ( i ) () () ( ) (), i i i, 4 4, p (,, ) 4,, c ( l, r, D), d, d, e 4 ( N) ( i) ( i) ( i) ( i) () i ( i) ( i) 4 3 3 3 3 e, (,, ),,, p l D e (, l r, D), f 4 4 () ( N) ( i) ( i) 3 3 3 36 M. Chaleci, G. Jemielita

f g g, l D 8,, ( N ) ( i) ( i) ( i) ( i ) g (, l r, D) 34, h 3, h 3 8 () i ( i ) () i () i ( i) () 3, 34 34, p (,, ) 34 gdzie indes górny w wyrazach a h oznacza numer wiersza podmacierzy, a w wyrazach numer omóri (elementu) pasma (a więc np. wyraz f w trzecim wierszu podmacierzy K wymaga wzięcia wyrazu 3 dla omóri 3, a wyraz f wyrazu 3 dla omóri 4). Wyrazy dane są wzorami (7). Ponieważ 3 = 3 i 3 = 4, więc f = d i e = c, a zatem macierz sztywności pasma jest symetryczna. Wyrazy: a, a, c, c, e, e, g, g, są onsewencją aapitu zawartego pod wzorami (6). W zależności od sposobu podparcia współczynnii: α p, θ p, γ p, α, θ, γ, w nich zawarte mogą być równe α, θ, γ dla utwierdzenia, α, θ, γ dla podparcia swobodnego, α, θ, γ dla brzegu swobodnego (wzory patrz Hetmańsi 004, s. 84 85). Wyznaczenie przybliżonych wartości częstości Z warunu DetK = 0 dla danych N, η, r możemy wyznaczyć olejne wartości λ, a następnie ze wzoru (3) wartości częstości drgań własnych. Polega to oczywiście na przedstawieniu zależności funcyjnej DetK(λ) i wyznaczeniu jej miejsc zerowych. Ponieważ macierz K ma ogólnie duże rozmiary, jej wyrazy zależą w bardzo złożony sposób od funcji danych wzorem (5), a dodatowo funcje te od wielości λ, więc taa zależność funcyjna będzie niesłychanie złożona, a jej policzenie może zająć bardzo dużo czasu nawet omputerom z wydajnym procesorem (a prawdopodobnie zostanie przerwane z powodu całowitego zajęcia pamięci operacyjnej). Dlatego najlepiej jest dla danych parametrów η, r i N przyjąć startową wartość λ 0 i przy danym rou zwięszania wartości startowej, po zmianie znau wartości wyznacznia, zastosować metodę bisecji do znalezienia wartości taiej λ, że jest spełniony warune DetK(λ ) ~ 0. Jao przyład wyonano obliczenia dla płyty 6-omórowej, obustronnie utwierdzonej, dla tórej wybrano η = 5 i r = 4 (wartości zbliżone dla właściwości dobrego betonu i stali: E b 40 000 MPa, E s 00 000 MPa, ρ b 000 g/m 3, ρ s 8000 g/m 3 ). Dla olejnych wartości λ = [0,0; 0,; 0, 0,9; ] otrzymano wartości DetK(λ), poazane na wyresie (rys. 5). Na podstawie taiego wyresu można oszacować z dużą doładnością, że DetK = 0 dla λ = 0,75555. Należy pamiętać, że dla λ = 0 w celu policzenia wyznacznia powinno stosować się przejścia graniczne dla funcji (5). W podobny sposób można też przeprowadzić ontrolę poprawności przedstawionych w niniejszej pracy obliczeń. Jeśli założymy, że płyta jest jednorodna, czyli Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 37

40000 0000 0, 0,4 0,6 0,8,0 0 000 40 000 RYSUNEK 5. Wartości wyznacznia DetK(λ) FIGURE 5. Values of the determinant DetK(λ) η = i r =, to powinniśmy otrzymać wartości λ odpowiadające jednorodnemu pasmu płytowemu. Na przyład, załadając N = 8, otrzymamy wyresy analogiczne do tego z rysunu 5, zależne od podparcia. Otrzymano następujące wartości λ: dla pasma płytowego obustronnie utwierdzonego λ = 0,595, λ = 0,9865; dla pasma płytowego obustronnie przegubowo podpartego λ = 0,3970, λ = 0,78540; dla pasma płytowego utwierdzonego z jednej strony, a przegubowo podpartego z drugiej λ = 0,49085, λ = 0,88357; dla pasma płytowego utwierdzonego z jednej strony, a swobodnego z drugiej λ = 0,3439, λ = 0,58677. Z teorii drgań uładów prętowych wiadomo, że dla beli obustronnie utwierdzonej dwa pierwsze współczynnii λ wynoszą 4,73 i 7,853, dla beli obustronnie podpartej swobodnie π i π, dla beli utwierdzonej z jednej strony, a swobodnie podpartej z drugiej 3,97 i 7,069, a dla beli wsporniowej,875 i 4,694. Otrzymane wartości λ dla jednorodnych płyt 8-omórowych są zatem doładnie 8 razy mniejsze niż wartości dla bele potratowanych ja strutura złożona z jednej omóri, bo przyjęta we wzorze (3) długość (l) dotyczy pojedynczej omóri. Świadczy to o poprawności opisanego modelu. Poniżej zbadano zależność pierwszej wartości częstości drgań własnych (ω) od liczby omóre (N), współczynnia zmiany sztywności (η) i współczynnia zmiany masy (r). W ażdym przypadu częstość drgań pasma wyznaczamy ze wzoru patrz wzory () i (3). L N D 38 M. Chaleci, G. Jemielita

RYSUNEK 6. Zależność λ N (r, η) dla N = 7 FIGURE 6. Function λ N (r, η) for N = 7 RYSUNEK 7. Zależność λ N (N, η) dla r = 3 FIGURE 7. Function λ N (N, η) for r = 3 RYSUNEK 8. Zależność λ N (N, r) dla η = 3 FIGURE 8. Function λ N (N, r) for η = 3 Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 39

Przy danych D, L, μ zmienność pierwszej wartości częstości drgań własnych można badać jao zmienność iloczynu λ N. Rysune 6 przedstawia zależność λ N (r, η) dla N = const = 7, rysune 7 zależność λ N (N, η) dla r = const = 3, zaś rysune 8 zależność λ N (N, r) dla η = const = 3. Wniosi Przedstawiony sposób rozwiązania zagadnienia drgań mironiejednorodnego pasma płytowego pozwala na stosunowo szybie otrzymanie, z żądaną doładnością, wartości częstości drgań przy dowolnej zmianie parametrów (r, η) charateryzujących poszczególne omóri o danej długości (l) ażda. Na rysunu 6 widoczne jest, że wraz ze wzrostem masy jednostowej wtrącenia w stosunu do masy jednostowej osnowy (wzrost r) częstość drgań własnych maleje, a wraz ze wzrostem sztywności wtrącenia, w stosunu do sztywności osnowy (wzrost η), częstość drgań własnych rośnie. W przypadu zmiany liczby omóre (N) i zmiany sztywności wtrącenia (η), przy danym rozładzie masy (rys. 7), wraz ze wzrostem liczby omóre (N) zmiana wartości częstości jest nieznaczna, zaś rośnie przy wzroście sztywności wtrącenia. Przy danym rozładzie sztywności w omórce, a zmianie liczby omóre (N) i zmianie masy jej części środowej (wtrącenie), można zaobserwować (rys. 8) spade częstości drgań wraz ze wzrostem masy części środowej, zaś przy wzroście liczby omóre (N) zmiana wartości częstości jest nieznaczna. Powyższe wniosi są zgodne z intuicją inżyniersą, co świadczy o poprawności ułożonego programu obliczeń. Literatura Hetmańsi, K. (004). Zastosowanie Microsoft Excel w mechanice onstrucji. Warszawa: OWPW. Jemielita, G. (00). Teorie płyt sprężystych. W C. Woźnia (red.), Mechania sprężystych płyt i powło. Mechania techniczna, 8. (strony 48-330). Warszawa: PWN. Jemielita, G. (0). Solutions to the problems of mechanics of non-homogeneous beams and plates. W K. Wilmańsi (red.), Mathematical methods in continuum mechanics. (strony 383-40). Łódź: Technical University of Łódź. Jędrysia, J. (04). Drgania swobodne mironiejednorodnego cieniego pasma płytowego. W G. Jemielita (red.), Modelowanie strutur i onstrucji inżyniersich. (strony 33-5). Warszawa: Wyd. SGGW. Wierzbici E., Kula D. i Mazewsa M. (04). O fourierowsiej realizacji tolerancyjnego modelowania zagadnień przewodnictwa ciepła prostych ompozytów periodycznych. W G. Jemielita (red.), Modelowanie strutur i onstrucji inżyniersich. (strony 53-66). Warszawa: Wyd. SGGW. 330 M. Chaleci, G. Jemielita

Streszczenie Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego. W pracy przedstawiono sposób obliczania częstości drgań własnych mironiejednorodnego pasma płytowego. Sposób ten opiera się na metodzie przemieszczeń jednej z lasycznych metod mechanii budowli i jest alternatywny w stosunu do techni homogenizacji. Przedstawiono również wynii obliczeń uzysane tym sposobem. Wynii te są zgodne z intuicją inżyniersą, co świadczy o poprawności ułożonego programu obliczeń. Summary Free vibrations of micro-non-homogeneous plate band. The paper presents a procedure of calculation of natural frequencies of a micro-non-homogeneous plate band. The procedure bases on the displacement method one of the classical methods of mechanics of constructions and is alternative to the homogenization techniques. There were also presented the results of calculation obtained with this procedure. These results are consistent with the engineer s intuition, what confirms that the calculation program is completed properly. Authors address: Mare Chaleci, Grzegorz Jemielita Katedra Inżynierii Budowlanej SGGW ul. Nowoursynowsa 59, 0-776 Warszawa Poland e-mails: mare_chaleci@sggw.pl, g.jemielita@gazeta.pl Drgania własne mironiejednorodnego pasma płytowego 33